南昌大学大二公共课专业概率论与数理统计试卷及答案 (5)

2021 学年概率论与数理统计第一学期期末试卷

一、单项选择题〔每题4分，总分值36分〕

1、设随机变量(X,Y)~N(3,1;2,1;0),设ZX2Y7, 则Z~〔 〕。

(A)N(0,3) ； (B) N(0,5)； (C)N(0,46)； (D) N(0,54)。

2、设X1,X2,X3为总体的一个样本,以下几个总体均值的无偏估计量中，

最正确的是〔 〕。

1531ˆ1X1X1XX2X3123102; (B) 326;

(A)

ˆX1(C)

ˆXX1213341ˆ1X1X5XX312312； 〔D〕3412 。

3、设x1,x2,,xn为来自总体X的样本，x为样本均值，总体X的均值为，

的置信度为0.95,置信区间的上、下限分别为b(x1,x2,,xn)与

a(x1,x2,,xn), 则该区间的意义是( )。

(A)

P{a(x1,x2,,xn)b(x1,x2,,xn)}0.95

；

(B)

P{a(x1,x2,,xn)xb(x1,x2,,xn)}0.95

；

(C)

P{a(x1,x2,,xn)b(x1,x2,,xn)}0.05

；

(D)

P{a(x1,x2,,xn)xb(x1,x2,,xn)}0.05

。

4、设随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)，且函数f(x,y)连续，

ZXY的概率密度为

22fZ(z)，记

Cr:x2y2r2，

则有当z0时，fZ(z)( )。

f(x,y)dsdr1， (B)2(A)

0CzCrzCf(x,y)dsz，

(C)

f(x,y)dsz， (D)

Czf(x,y)ds .

5、设连续型随机变量X的概率密度为f(x),分布函数为F(x)，

则一定有( )成立。

(A)X是连续函数； (B) F(x)是连续函数 ；

(C) f(x)是连续函数； (D) 对任意实数x，成立F(x)f(x) 。

6、从0~9这十个数码中任意取出4个，则所取的4个数码能排成四位偶数的

概率为〔 〕。

414141〔A〕42； 〔B〕90； 〔C〕9； 〔D〕2 。

7、设随机变量(X,Y)的分布函数为F(x,y)，对任意实数z，

P{max{X,Y}z}

( )。

〔A〕

P{Xz}P{Yz}P{Xz,Yz}

，(B) F(z,z),

(C) 1F(z,z), (D) P{Xz,Yz} 。

22EX,EYYX8、设与相互独立,且均存在，则有

〔A〕D(XY)DXDY; (B)

D(XY)EX2EY2(EX)2(EY)2

〔C〕

D(XYc)DXDY

,〔D〕

D(XY)Cov(X,Y)

。

29、设总体X~N(0,),X1,X2,,X15为总体X的一个样本,

则以下各式中正确的选项是( )。

(A)

Xk115k~N(0,15), (B)

Xk1152k~2(15),

2Xkk15(C)

Xj615~t(10)X, (D)

52k2jXj6k115~F(5,10)2j 。

二、填空题〔每题4分，总分值36分〕

1、随机变量X的分布函数

0,x11F(x)(1x3),1x121,x1

,

2则Y2X1的分布函数FY(y) 。

2、设随机变量X的分布律为

P{Xk}(1p)pk1

，0p1，k1,2, ,

则DX 。

3、设

X1,X2,,X92X~N(,)的简单随机样本, 是来自总体

21619192(YY)2212Y1XkY2XkS(XkY2)Z6k13k72k7S2,, ,,

则统计量Z服从的分布为 。

4、将n只球放入m只盒子中去,每只球落入各个盒子是等可能的,(每盒容纳球的个数不限),设X为有球的盒子数，则 EX 。

5、设A,B为随机事件,

P(A)0.6,P(B)0.8,P(B|A)0.85

,则P(A|B) 。

6、三门火炮同时炮击一敌舰(每炮发射一弹).设击中敌舰一、二、三发炮弹的概率分别为、、,而敌舰中弹一、二、三发时被击沉的概率分别为0.3、0.6、0.8。则敌舰被击沉的概率为 。

7、设随机变量X的二阶矩EX存在，令函数g(t)E(Xt)，

22

则当t 时, g(t)E(Xt)2的值最小。

8、设X1,X2,,Xn是来自正态总体N(0,1)的一个样本,1mn,

则统计量

nY1mm(X2k)k1kX2km1

服从的分布为 。

1n9、设X1,X,X2A1X2,n是来自总体X的样本，且EX,DX，记nXkk11nB2n(X2kX)k1，假设ˆ2A21cB2是2的无偏估计量， 则常数c 。

三、〔总分值8分〕设X为连续型随机变量,其概率密度为

f(x),

且对某k0，有E|X|k存在，

试证：对任意0，成立

P{|X|}E|X|kk

。

，

简述一下这道题的结论在概率论中的哪些方面有用处。

四、〔总分值10分〕〔此题学过1-9章和11-13章的学生做，仅学过1至9章的学生不做〕

设随机过程X(t)asin(t),其中a和是非零常数,是在(0,2)上服从均匀分布的随机变量。

试求： (1)写出的概率密度f()； 〔2〕求E[X(t)]; (3)求E[X(t)X(t)]； (4)判断X(t)是否为平稳过程？

(备用公式:

1sinsin[cos()cos()]2

)

[四]、〔总分值10分〕〔此题仅学过1至9章的学生做；学过1至9章和11-13章的学生不做〕

设

0X1,X2,,Xn是总体

X~N(0,2)的样本,

x1,x2,,xn为样本值，

。

试求:(1)的极大似然估计值；

2〔2〕的极大似然估计量。

2五、〔总分值10分〕〔此题学过1至9章和11-13章的学生作，仅学过1至9章的学生不做〕

Xn

表示第n步传输出的数字,

则{Xn,n0,1,2,}是一齐次马尔可夫链;

试求：〔1〕写出状态空间S和一步转移概率矩阵P;

(2) 求

P{Xn11,Xn21|Xn0} 。

[五]、〔总分值10分〕〔此题仅学过1至9章的学生做，学过1-9章和11-13章的学生不作〕

二维随机变量X,Y的概率密度为

a(xy),0x1,0y2f(x,y)0,其它

,

确定常数a； 〔2〕求P{XY}.

(1)

B卷答案

一、单项选择题〔每题4分，总分值36分〕

二、填空题〔每题4分，总分值36分〕

1、

0,y1y13FY(y)()2,1y321,y3

；

DX2、

p(m1)n(1p)2； 3、F(1,2)； 4、m[1mn] 。

5、P(A|B)0.7；6、0.41; 7、 kEX

8、

n1m2Y(Xk)Xk2~2(nm1)mk1km1

1； 9、n1 。



三、〔总分值8分〕

证明 P{|X|}|x|f(x)dx

|x|k|x|kf(x)dx1k|x|kf(x)dx

E|X|kk .

答: 此不等式的特例是车比谢夫不等式

P{|X|}E|X|22

，

P{|XEX|}E|XEX|22DX2

，

在随机变量的概率估计和在研究随机变量序列依概率收敛〔大数定律的证明〕等方面有用处。

四、〔总分值10分〕〔此题学过1至9章和11-13章的学生作，仅学过1至9章的学生不做〕

1,02f()20,其它解 〔1〕的概率密度 ，………………………2分

(2)E[X(t)]

E[asin(t)]asin(t)f()d

1d02

asin(t)02 ， ……………4分 (3)E[X(t)X(t)]

E[asin(t)asin((t))]

asin(t)asin((t))f()d

211a2[coscos((2t)2)]d022

a2cos2 ， ………6分

a22E[X(t)]2 ， (4)

因为EX(t)0是常数，

a2E[X(t)X(t)]cos2

仅依赖于，

2E[X(t)]存在，所以X(t)是平稳过程…………………………10分

五、〔总分值10分〕〔此题学过1至9章和11-13章的学生作，仅学过1至9章的学生不做〕

解 (1)状态空间S={0,1}, ……………………………………………2分

0.950.05P0.050.95, ………………………………5分 一步转移概率矩阵

(2)

P{Xn11,Xn21|Xn0}

P{Xn11|Xn0}P{Xn21|Xn11,Xn0}

P{Xn11|Xn0}P{Xn21|Xn11}

p01p110.050.950.0475

. ………………………………………10分

[四]、〔总分值10分〕〔此题仅学过1至9章学生做，学过1-9章和11-13章学生不做〕

解 似然函数为

L(x1,,xn;)2i1n11exp[2(xi0)2]22

11exp[2222n2(xi1ni0)2]

,

n1lnLln(22)222(xi1ni0)2

,

解方程

dLn11222(2)2d2(xi1ni0)20

,

1nˆ(xi0)2ni1得 ，

2这就是的极大似然估计值,

21n2(X)i0ni12的极大似然估计量为.

2[五]、〔总分值10分〕〔此题仅学过1至9章学生做，学过1-9章和11-13章学生不做〕

解 (1) 由概率密度的性质

1fx,ydxdydxa(xy)dy0012

a(2x2)dxa(x22x)|10a301

，

13 ;

即得

adx (2) P{XY}001x1x1dxf(x,y)dy00(xy)dy3

1121211311(xx)dxx|0032236

.