拱桥习题课2

拱桥习题课

例1求均布荷载作用下，二次抛物线无铰拱的水平推力及拱脚截面内力（不计弹性压缩）——即求Hg N M

dy2x215解：tani1.333dx22.522.511cosi0.6001tan2i11.3332181515Mi2Hg90(T)f10Hg90N150(T)，M0，Q0cosi0.600

例2.设gd为拱顶单位长分布荷载（沿方向),gi为拱脚单位长分布荷载，f为矢高，L为计算跨径，分布荷重gi2xg=gd1m1,mg,l,求合理拱轴线及恒d2载水平推力（不及弹性压缩）

解：（1）由于求合理拱轴线，即此时拱轴线与拱在各种荷载作用下的压力线相吻合，这样在如图所示的荷载作用下，拱顶截面的弯矩等于0，即Md=0,由于对称性Qd＝0，且对任意拱截面而言，都只有轴力无弯矩和剪力，如图所示坐标系。

对任意截面取矩：yMx1Hg.................................(1)22 dy11dMxgxdx2Hgd2xH...........(2)g2＝2xl则 xl2,dxl2d,dx2l4d2代（d2y21d21Hgl4gxg2xgd1m1d2y1l2dgd4Hg1m1222令k2lgd4Hgm1则d2y1d2l2gd4Hgk22dy1l2gd12d4Hg3k3c12ylgd212418Hg12kc1c22）式由已知：

dy1边界条件：当0y10c20;0c10dl2gd2124y1k8Hg12l2gdl2gdk2km14Hg4Hgm12k21242y1k.....................................32m112当1,y1f代入3可得：k2k2(5+m)k212(m1)2f=,kf代入（3）式可得：2(m1)1212(m1)m512m124f212m1m1f16fy1m5f42m112m5m5m5f22y16m1合理拱轴线m52拱轴水平推力Hg:2222lgm1lgm1lgdm5lgdd2d由km1Hg212m14Hg4k48f4fm5

例3空腹拱桥恒载分布如图所示，求：

（1） 恒载作用下，合理拱轴线的m值？

（2） 不计弹性压缩，拱脚截面的弯矩，剪力及轴力？（不计偏高弯矩影响）

解：（1）根据空腹拱确定合理拱轴线的“五点重合法”求解

1505050M4749553101424445012.5141887.5T.m421Mj24725492555325106025152570251014257687.5T.m2y14M141887.50.246fMj7687.521f17687.5m21211.1482y21887.5142

(2)不计偏高弯矩影响：合理拱轴线下拱脚截面弯矩

Mj

=0

MHgfj7687.51537.5T5Klnmm21ln1.1481.148210.538拱脚截面1,y1f,chkm,shkch2k1shkm211.148210.564tancos2fkshk250.5380.5640.410lm1501.148111tan2110.41020.925Hg1537.5轴力：N1661.71T 轴力：Q0cos0.925

例4．某拱桥弹性中心位置

ys0.22，由活荷载引起拱顶处的弯矩Mp64.59kN.m，

水平推力Hp95.95kN（均未考虑弹性压缩）弹性压缩系数

10.0159,0.0131。

求拱顶处的轴向力，弯矩及剪力

解：即要求活载作用下考虑弹性压缩后引起的内力，考虑弹性压缩影响，即考虑由活载产生的轴向力对弯矩的影响，亦在弹性中心产生赘余水平力Hp（拉力）。

Hp10.0159Hp95.951.51kN110.0131NdHpHp95.951.5194.44kNMdMpMpMpHpys64.591.512.02267.64kN.mQd0

例5某空腹式拱，计算矢高为4.14m拱圈为等截面矩形，其厚度为85cm，拱圈材料容重为24kN/m,拱顶以上填料厚度为50cm，拱上建筑材料平均容重为20kN/m，拱脚截

33面的水平倾角

j47.35。，求该拱圈的拱轴系数？

解：gdrh1dr2d200.5240.8530.41kN/mdd0.850.85hf4.143.938m22cosj220.67752d0.85gjrh200.5203.93824118.870kN/m1drh1r2cosj0.67752gj118.870m3.910gd30.4

例6 某拱桥的计算跨径为30.57m，桥面宽度为净-9+2*0.75人行道，一行汽车车队相对于拱脚的支承反力等代荷载=6.50kn/m，一侧人行道上人群荷载=2.25 kn/m，相对拱脚的支承反力影响线面积5.284㎡，计算拱桥荷载时，拱脚处的支承反力？

解： 汽车引起的拱脚反力：

V汽=2×6.5×1/2×30.57×1=198.705kN

人群荷载引起的拱脚反力：

V人=2×2.25×5.284=23.778 kN

V=V+V汽人=198.705+23.778=222.483 kN

1y1m1(cha1)例7.无铰拱拱轴方程 分布荷载

gm1gd(1)y1f

gjmgd 证明：不计弹性压缩时，无论等截面或变截面，恒载引起的各截面的弯矩为

0

0M证明：设此拱轴线即位恒载压力线

Q0

d对任意截面取矩:

My1xHgMx— 任意截面以右全部恒载对该面的弯矩，则此无

铰拱的恒载压力线方程为：（对上式求二阶导数）

dy1dMdxHdx22122gxgHxg （1）

已知

m1gxgd(1fy1) 代入（1）

m1(1)y1f

dy1gd2dxHgx2l1dxl1dd212ldx21

2yd1l1gd(1m1)y21fHdg （2）

2k设

2Hgf2l1gd(m1) 代入（2）

2ydl21gd1y1k2dHg （3）

2

此上式为二阶非齐次常数微分方程，且为

f(x)ep(x)xm 型

20)p(x)l1gdmHg

22特征方程：

k0k

kx对应齐次方程通解为：

Yc1eckx2e

(0) 是特征方程的单根

∴设特解

y*Qm(x)ex 代入（3）

2y*l1gd1得：

k2Hg 2ykkl1gd∴ （3）式通解为：

1c1ec2ek2Hg dy1dck1kec2kek （5）

4）

( （

边界条件：

0y10dy10d 代入 (4) (5)

gdlc1c2cckHgc1c20 解得

12122gl2kH21d2g

gl(ey2kH∴

21d12gkgle)kH2k12dg

glykH21d12g1kkl1gd(ee)22kHg2 （6）

k∵

2lgdHgf21(m1) ∴

lgkH21d2gfm1 代入（6）

ffy1chkm1m1fy1(chk1)与所给拱轴线相同m1由此看出此无铰拱拱轴线与恒载压力线相同，且与等截面，变截面无关。此无铰拱恒载引起的各截面弯矩为零。例8．证明任意截面弯矩等于零，M0＝0

证明：

m1fgxgd1,y1chk1代入上式fm1gxgdchkMaX1X2ysy1Mg

Mg0gxdx(ax)k0gd(ax)chxdxl1aal1kkl1gd(ax)shx0shxdxkkl10l12l2akkl11gd2chxgd2cha10l 1kl1kaa设 a=x

gdlMg2(chk1)km1(chk1)y1f21Mggdl2k21m1fy1cy1

1px12px21122

11MdsEI12dsEI

2ds()ds()dsyyyyyM1ss122s22sEIEIEIy1(y1ys)sdsEI2MpdsM11pEIcy1dsEIcy1dsEI

MPdsM22pEIc(y1ys)y1dsEIc(y1ys)dsEIx1cy1dsEIdsEIccyS

(y1ys)ds

x2EIcy1(y1ys)dsEIa任一截面 Mcy1c(ysy)cy0

11

∴证明各截面弯矩为零