2.2 对数函数讲义

2.2 对数函数

一、对数的概念：如果ax＝N(a＞0且a≠1)，那么数x叫做以a为底

数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数。

（1）常用对数：把以10为底数的对数叫做常用对数log10N简记为lgN，如：log105记为lg5 （2）自然对数：把以无理数（e＝2.71828……）为底的对数称为自然对数，logeN简记为lnN，如：loge5记为ln5。

N的对

性质：（1）0和负数没有对数；（2）1的对数是0，即loga1＝0；（3）底数的对

数等于1，即logaa＝1

例1：求下列各式中的x （1）logx27＝

31 （2）x＝log27 （3）log5(log2x)＝0 2931333【解析】：（1）∵ logx27＝ ∴ x2＝(x2)＝27＝3 ∴x2＝3 ∴x＝9

2（2）∵x＝log27

11112x3x2 ∴ 27＝ ∴3＝＝3 ∴3x＝－2 ∴x＝－ 9993（3）∵log5(log2x)＝0 ∴log2x＝1 ∴x＝2

2变式练习：解下列方程 （1）log64x＝－ （2）logx4＝2 （3）lg2x－lgx－2＝0

311【解析】：（1） （2）2 （3）或1000

1610

二、对数运算性质 【如果a＞0且a≠1；M＞0，N＞0，m、n∈R】

（1）loga(MN)＝logaM＋logaN （2）loga（3）logaMn＝nlogaM [loganb＝

mM＝logaM－logaN NlogaNmlogab] （4）anN 对数恒等式

（5）logab＝例2：计算

logcblgblnb1＝＝(c＞0且c≠1) 换底公式 （6）logab＝

logcalgalnalogba 1

511log20log0.7＋lg （2）lg5＋lg8＋lg5×lg20＋lg22 （3）77×77 82318【解析】：（1）原式＝lg(12.5××)＝lg10＝1

251（2）原式＝lg5＋lg23＋lg5×(lg4＋lg5)＋lg22＝lg5＋lg2＋2lg5×lg2＋lg25＋lg22

3（1）lg12.5－lg

＝lg5＋lg2＋(lg5＋lg2)2＝1＋1＝2 （3）原式＝7log720log70.7＝7log714＝14

【lg5＋lg2＝lg10＝1，lg2≈0.301， lg5≈0.699】

变式练习1：计算下列代数式的值。

（1）lg1421g

lg2437lg27lg83lg101log0.23 （2）；（3）（4）5； lg7lg18；

lg93lg1.2【解析】：（1）：lg142lg7lg7lg18lg(27)2(lg7lg3)lg7lg(322) 3lg2lg72lg72lg3lg72lg3lg20；

lg243lg355lg35（2）； 2lg92lg32lg33(lg32lg21)3lg27lg83lg10lg(3)lg23lg102（3）=． 322lg32lg212lg1.2lg10555（4）原式 = log315； 10.21log5553355变式练习2：计算：log2sin＋log2cos的值为（ ）

1212132312A：4 B：1 C：－4 D：－1 【解析】：loglog

255＋log2cos＝log121212＝log1(2)2 ＝＝－4 C

14(2)22sin24sin255cos＝log1212215sin＝26例3：log43×log92＋log2【解析】（1）原式 =

32

115153log23log32log22． 224442变式练习1：计算：(log2125＋log425＋log85)×(log52＋log254＋log1258)

2

【解析】：13

变式练习2：已知log189＝a，18b＝5，求log3645的值。

【解析】：log185＝b，则log3645＝

log1845log189log185ab＝＝＝

log1836log1818log1821log182ab181log18()9＝

abab＝

11log1892a例4：解方程lg(x＋5)2＝2

【解析】：∵ lg(x＋5)2＝2 ∴2 lg｜x＋5｜＝2

∴lg｜x＋5｜＝1，即｜x＋5｜＝10 ∴x＝5或x＝－15

变式练习1：已知log7[log3(log2x)]＝0，那么xA：

12等于（ ）

3321 B： C： D：

6343变式练习2：若实数x满足

【解析】：15 lg11(lgx－lg3)＝lg5－lg(x10)，则x＝________。 22xx55)，得＝lg(＝，x＝－5(舍去) 或 x＝15

33x10x10三、对数函数概念：

函数f(x)＝logax（a＞0且a≠1）叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域为（0，＋∞）

例5：求下列函数的定义域

（1）f(x)＝log2(x－2) （2）f(x)＝【解析】：（1）x－2＞0 解之得x＞2 （2）1

log5(x3)x30解之得x＞－3且x≠－2

x31165xx2变式练习1：（1）f(x)＝log(x1)(x2) （2）f(x)＝（3）f(x)＝

lg(x3)log1(x1)2【解析】：（1）x＞1且x≠3 （2）(1，2) （3）－3＜x≤1且x≠－2

3

变式练习2：已知函数f(x)＝

等于 ( ) A：{x︱x＞－1} 【解析】：C

11x的定义域为M，g(x)＝ln(1＋x)的定义域为N，则M∩N

B：{x︱x＜1} C：{x︱－1＜x＜1} D：

四、对数函数的图象与性质

底数：a＞1 定义域：(0，＋∞) 值域：(－∞，＋∞) 恒过定点（1，0） 在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数 底数：0＜a＜1 当x＞1，y＞0 当0＜x＜1， y＜0 当x＞1，y＜0 当x＜1，y＞0 4

（1）底数互为倒数，两对数函数图象关于x轴对称（2）当a＞1在第一象限底数越大，图象越靠近x轴，在第四象限底数越大越靠近y轴；当0＜a＜1在第四象限底数越小越靠近x轴，在第一象限底数越小靠近y轴。【小大小大】 （3）当a＞1，log2a＞log5a＞log0.2a＞log0.5a；反之若： 当0＜a＜1，log0.5a＞log0.2a＞log5a＞log2a

例6：比较大小（1）log23.4__________log28.5 （2）log3_____log20.8 （3） log0.31.8______log0.32.7 （4）log67______log76 【解析】：＜ ＞ ＞ ＞

变式练习1：实数 0.95.1，5.10.9，log0.95.1的大小关系是______________。

【解析】5.1＞0.90.95.1＞log0.95.1

变式练习2：如图是三个对数函数的图像，则a、b、c的

大小关系是（ ）

A：a＞b＞c B：c＞b＞a C：c＞a＞b D：a＞c＞b 【解析】：D

变式练习3：关于x不等式log1(2x1)＞log1(2x1)的解集为_______________。

222x1012【解析】：3x0解之得：－＜x＜

232x13x

5

变式练习4：求解关于x不等式logx【解析】：(0，

1＜1。 31)∪(1，＋∞) 3lgx,x0例7：已知函数f(x)＝x，则f[f(－2)]＝_____________。

10,x0【解析】：f [ f(－2)]＝f (10)＝f (

211)＝lg＝－2 100100变式练习1：已知函数函数f(x)＝lgx，若f(ab)＝1，则f(a2)＋f(b2)＝_____________。

【解析】：2

变式练习2：设函数f(x)＝logax(a＞0且a≠1)，若f(x1×x2×…×x2017)＝8，则f(x12)

＋f(x2)＋…＋f(x2017)的值等于________。 【解析】：16

例8：已知函数f(x)＝lg(x2xa)的定义域为R，实数a的取值范围是__________。 【解析】：(1，＋∞)

222变式练习1：设函数f(x)＝lg[(a21)x2(2a1)x1]，若函数f(x)的定义域为R，实

数a的取值范围是__________。 5

【解析】：(－∞，－)

4

变式练习2：已知函数f(x)＝loga(x1（1）函数f(x)的定义域是) (a＞0且a≠1)。

x1________；函数f(x)的是___________函数（填奇、偶、非奇非偶）。

变式练习3：已知函数f(x)＝loga(3a)，当x∈[0，2]时，函数f(x)恒有意义，求实数a的取值范围是___________________。

【解析】：，3－ax>0对x∈[0,2]恒成立，a>0，且a≠1.设g(x)＝3－ax，

33则g(x)在[0,2]上为减函数，∴g(x)min＝g(2)＝3－2a>0，∴a<.∴a的取值范围是(0,1)∪(1，)．

22

五、反函数：

概念：设A，B分别是函数y＝f(x)的定义域和值域，如果由函数y＝f(x)所解得的x＝g(y)

也是一个函数（即对任意一个y∈B，都有唯一的一个x∈A与之对应，也就是一一映射），

－－

那么就称x＝g(y)是函数y＝f(x)的反函数，记作x＝f1(y)，习惯上改写成y＝f1(x)。

特别的：指数函数和对数函数互为反函数。

6

步骤：（1）求出函数y＝f(x)的值域作为反函数的定义域；（2）由y＝f(x)解出x＝f(y)；（3）

把x＝f

－1

－1

(y)改写成y＝f(x)，并写出函数的定义域（即为原函数的值域）。

－1

性质：（1）原函数的定义域是反函数的值域，原函数的值域是反函数的定义域；（2）若奇

函数存在反函数，则它的反函数也是奇函数；（3）若点（a，b）在原函数图象上，则点(b，a)必在其反函数图象上；（4）原函数的单调性与反函数的单调性相同；（5）原函数与反函数的图象关于y＝x对称。

例8：若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a＞0且a≠1)的反函数，且f(2)＝1，则f(x)＝________。 【解析】：∵函数y＝f(x)是y＝ax(a＞0且a≠1)的反函数 ∴f(x)＝logax， ∵f(2)＝1，∴ f(2)＝loga2＝1，∴a＝2 ∴f(x)＝log2x

1x1变式练习：（1）已知y＝()的反函数为y＝f(x)，若f(x0)＝，则x0＝___________。

42【解析】：2 （2）设函数f(x) ＝【解析】：

2x1，y＝g(x)是f(x)的反函数，则g(－2) ＝___________。

4x35 6课 后 综 合 练 习

1、2＝

31化为对数式为( ) 818D：log2(3)＝

A：log12＝－3 B：log1(3)＝2 C：log2()＝－3

881 8【解析】：C

2、在b＝log(a2)(5a)，实数a的取值范围是( )

A：a＞5或a＜2 B：2＜a＜3或3＜a＜5 C： 2＜a＜5 D：3＜a＜4 【解析】：B

3、有以下四个结论：①lg(lg10)＝0；②ln(lne)＝0；③若10＝lgx，则x＝10；④若e＝lnx，则x＝e2，其中正确的是( )

A：①③ B：②④ C：①② D：③④ 【解析】：C

4、2log510＋log50.25＝( )

7

A：0 B：1 C：2 D：4 【解析】：C

5、已知lg2＝a，lg3＝b，则log36＝( ) A：

ababab B： C： D： ababab【解析】：B

6、计算log89×log932的结果为( ) A：4 B：【解析】：

51 C： 34D：

3 5lg12等于( ) lg152aba2b2aba2bA： B： C： D：

1ab1ab1ab1ab7、如果lg2＝a，lg3＝b，则8、计算：

（1）log43×log92－log12432 （2）log225×log38×log59

（3）(log43＋log83)(log32＋log92) （4）log23×log34×log45×log52

【解析】：

35 12 1 24

9、求下列函数的定义域：

（1）ylog2(4x) （2）ylg1 （3）f(x)log1(x1) x13

【解析】：x＜4 x＞1 1＜x≤2

10、设集合设A＝{x| x＞1或x＜－1 }，B＝{x | log2x＞0}则A∩B等于（ ） A：{x︱x＞1} B：{x︱x＞0} C：{x︱x＜－1} D：{x︱x＜－1 或x＞1} 【解析】：A

11、若log2a＜0， ()＞1，则

12b ( )

D：0＜a＜1，b＜0

A：a＞1，b＞0 B：a＞1，b＜0 C：0＜a＜1，b＞0 【解析】D

12、已知log7[log3(log2x)]＝0，那么x

12等于（ ）

8

A：

1111 B： C： D： 3233322【解析】：C

13、比较下列各组数中两个值的大小：

33（1）log35.4log35.5（2）log1log1e（3）lg0.02lg3.12 （4）ln0.55ln0.56（5）log27【解析】：＜ ＜ ＜ ＜ ＜ ＜

14、已知函数ylog(a1)x在(0,)上为增函数，则a的取值范围是 。 【解析】：a＞2

15、函数yloga(x3)3(a0且a1)恒过定点 。 【解析】：(4，3)

log450 （6）log75log67

log3x，x0116、已知函数f(x)＝x ，则f[f()]＝____________。

92，x0【解析】：

1 417、设f(x) ＝log3(x3)的反函数为y＝g(x)，若g(a)＝8，则a＝____________。 【解析】：2

18、已知函数f(x)＝log1(x2ax3)。（1）若函数f(x)的定义域为R，求实数a的取值

22范围；（2）若f(－1)＝3，求f(x)的单调区间；（3）是否存在实数a，使函数f(x)在(－∞，2)上为增函数？若存在，求出a的取值范围？若不存在，说明理由。

【解析】：（1）－3＜a＜3；（2）(－∞，1)增，减(3，＋∞)；（3）不存在，函数对称轴x＝a，f(x)在(－∞，2)上为增函数，则a≥2且4－4a＋3＞0，故不存在。

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