高中数学知识点总结及公式大全

高中数学知识点总结

1. 对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”。

如：集合Ax|ylgx，By|ylgx，C(x,y)|ylgx，A、B、C

中元素各表示什么？

2. 进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集的特殊情况。

注重借助于数轴和文氏图解集合问题。

空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。

如：集合Ax|x22x30，Bx|ax1

若BA，则实数a的值构成的集合为

（答：11，0，3） 3. 注意下列性质：

（1）集合a1，a2，……，ann的所有子集的个数是2；

（2）若ABABA，ABB；

1

（3）德摩根定律：

CUABCUACUB，CUABCUACUB

4. 你会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法）

如：已知关于x的不等式ax5x2a0的解集为M，若3M且5M，求实数a

的取值范围。

（∵3M，∴a·3532a0aa·551，539，25）∵5M，∴52a0

5. 可以判断真假的语句叫做命题，逻辑连接词有“或”()，“且”()和().

若pq为真，当且仅当p、q均为真

若pq为真，当且仅当p、q至少有一个为真

若p为真，当且仅当p为假

6. 命题的四种形式及其相互关系是什么？

（互为逆否关系的命题是等价命题。）

2

“非”

原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假。

7. 对映射的概念了解吗？映射f：A→B，是否注意到A中元素的任意性和B中与之对应元素的唯一性，哪几种对应能构成映射？

（一对一，多对一，允许B中有元素无原象。）

8. 函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？

（定义域、对应法则、值域）

9. 求函数的定义域有哪些常见类型？

例：函数yx4xlgx32的定义域是

（答：0，22，33，4）

10. 如何求复合函数的定义域？

如：函数f(x)的定义域是a，b，ba0，则函数F(x)f(x)f(x)的定

义域是_____________。

（答：a，a）

11. 求一个函数的解析式或一个函数的反函数时，注明函数的定义域了吗？

3

如：fx1

exx，求f(x).

令tx1，则t0

∴xt21

∴f(t)et21t21 ∴f(x)ex21x21x0

12. 反函数存在的条件是什么？

（一一对应函数）

求反函数的步骤掌握了吗？

（①反解x；②互换x、y；③注明定义域）

如：求函数f(x)1xx0x2x0的反函数

（答：f1(x)x1x1xx0）

13. 反函数的性质有哪些？

①互为反函数的图象关于直线y＝x对称；

4

②保存了原来函数的单调性、奇函数性；

③设yf(x)的定义域为A，值域为C，aA，bC，则f(a)=bf1(b)a

f1f(a)f1(b)a，ff1(b)f(a)b

14. 如何用定义证明函数的单调性？

（取值、作差、判正负）

如何判断复合函数的单调性？

（yf(u)，u(x)，则yf(x)（外层）（内层）

当内、外层函数单调性相同时f(x)为增函数，否则f(x)为减函数。）

如：求ylog1x22x的单调区间2

（设ux22x，由u0则0x2

且log21u，ux11，如图：2

u O 1 2 x

5

当x(0，1]时，u，又log1u，∴y2

当x[1，2)时，u，又log1u，∴y2

∴……）

15. 如何利用导数判断函数的单调性？

在区间a，b内，若总有f'(x)0则f(x)为增函数。（在个别点上导数等于零，不影响函数的单调性），反之也对，若f'(x)0呢？

如：已知a0，函数f(x)x3ax在1，上是单调增函数，则a的最大值是（ ）

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

（令f'(x)3x2a3xa3xa30

则xa或xa33

由已知f(x)在[1，)上为增函数，则a31，即a3

∴a的最大值为3）

6

16. 函数f(x)具有奇偶性的必要（非充分）条件是什么？

（f(x)定义域关于原点对称）

若f(x)f(x)总成立f(x)为奇函数函数图象关于原点对称

若f(x)f(x)总成立f(x)为偶函数函数图象关于y轴对称

注意如下结论：

（1）在公共定义域内：两个奇函数的乘积是偶函数；两个偶函数的乘积是偶函数；一个偶函数与奇函数的乘积是奇函数。

（2）若f(x)是奇函数且定义域中有原点，则f(0)0。 a·2xa2如：若f(x)为奇函数，则实数a2x1

（∵f(x)为奇函数，xR，又0R，∴f(0)0 a·20a2即0，∴a1）021

2x又如：f(x)为定义在(1，1)上的奇函数，当x(0，1)时，f(x)x，41

求f(x)在1，1上的解析式。

2x（令x1，0，则x0，1，f(x)x41

7

又f(x)为奇函数，∴f(x)2x2x4x114x

2xx(1，0)又f(0)0，∴f(x)4x1x0）2x4x1x0，1

17. 你熟悉周期函数的定义吗？

（若存在实数T（T0），在定义域内总有fxTf(x)，则f(x)为周期函数，T是一个周期。）

如：若fxaf(x)，则

（答：f(x)是周期函数，T2a为f(x)的一个周期）

又如：若f(x)图象有两条对称轴xa，xb

即f(ax)f(ax)，f(bx)f(bx)

则f(x)是周期函数，2ab为一个周期

如：

8

18. 你掌握常用的图象变换了吗？

f(x)与f(x)的图象关于y轴对称

f(x)与f(x)的图象关于x轴对称

f(x)与f(x)的图象关于原点对称

f(x)与f1(x)的图象关于直线yx对称

f(x)与f(2ax)的图象关于直线xa对称

f(x)与f(2ax)的图象关于点(a，0)对称

将yf(x)图象左移a(a0)个单位yf(x右移a)a(a0)个单位yf(xa) 上移b(b0)个单位yf(xa)b下移b(b0)个单位yf(xa)b

注意如下“翻折”变换：

9

f(x)f(x)f(x)f(|x|)

如：f(x)log2x1

作出ylog2x1及ylog2x1的图象

y y=log2x O 1 x

19. 你熟练掌握常用函数的图象和性质了吗？

(k<0) y (k>0) y=b O’(a,b) O x x=a

（1）一次函数：ykxbk0

（2）反比例函数：ykxk0推广为ybkxak0是中心O'(a，b)的双曲线。

10

b4acb22（3）二次函数yax2bxca0ax2a4a图象为抛物线

顶点坐标为b2a，4acb24a，对称轴xb2a

开口方向：a0，向上，函数y4acb2min4a

a0，向下，y4acb2max4a

应用：①“三个二次”（二次函数、二次方程、二次不等式）的关系——二次方程

ax2bxc0，0时，两根x1、x2为二次函数yax2bxc的图象与x轴

的两个交点，也是二次不等式ax2bxc0(0)解集的端点值。

②求闭区间［m，n］上的最值。

③求区间定（动），对称轴动（定）的最值问题。

④一元二次方程根的分布问题。

0如：二次方程ax2bxc0的两根都大于kbk2af(k)0

11

y (a>0) O k x1 x2 x

一根大于k，一根小于kf(k)0

（4）指数函数：yaxa0，a1

（5）对数函数ylogaxa0，a1

由图象记性质！ （注意底数的限定！）

y y=ax(a>1) (01) 1 O 1 x (0利用它的单调性求最值与利用均值不等式求最值的区别是什么？

12

y k O k x

20. 你在基本运算上常出现错误吗？

指数运算：a01(a0)，ap1ap(a0)

mmannam(a0)，an1nam(a0)

对数运算：logaM·NlogaMlogaNM0，N0

logMaNlog1aMlogaN，lognaMnlogaM

对数恒等式：alogaxx

对数换底公式：logbablogcloglogbnnamlogabcam

21. 如何解抽象函数问题？

（赋值法、结构变换法）

如：（1）xR，f(x)满足f(xy)f(x)f(y)，证明f(x)为奇函数。

13

（先令xy0f(0)0再令yx，……）

（2）xR，f(x)满足f(xy)f(x)f(y)，证明f(x)是偶函数。

（先令xytf(t)(t)f(t·t)

∴f(t)f(t)f(t)f(t)

∴f(t)f(t)……）

（3）证明单调性：f(x2)fx2x1x2……

22. 掌握求函数值域的常用方法了吗？

（二次函数法（配方法），反函数法，换元法，均值定理法，判别式法，利用函数单调性法，导数法等。）

如求下列函数的最值：

（1）y2x3134x

（2）y2x4x3

2x2（3）x3，yx3

（4）yx49x2设x3cos，0，

14

（5）y4x9x，x(0，1]

23. 你记得弧度的定义吗？能写出圆心角为α，半径为R的弧长公式和扇形面积公式吗？

（l·R，S1扇2l·R12·R2）

R 1弧度 O R

24. 熟记三角函数的定义，单位圆中三角函数线的定义

sinMP，cosOM，tanAT

y B S T P α O M A x

如：若80，则sin，cos，tan的大小顺序是

又如：求函数y12cos2x的定义域和值域。

15

（∵12cos2x）12sinx0

∴sinx22，如图：

∴2k54x2k4kZ，0y12

25. 你能迅速画出正弦、余弦、正切函数的图象吗？并由图象写出单调区间、对称点、对称轴吗？

sinx1，cosx1

16

y ytgx   2 O 2  x

对称点为k2，0，kZ

ysinx的增区间为2k2，2k2kZ

减区间为32k2，2k2kZ

图象的对称点为k，0，对称轴为xk2kZ

ycosx的增区间为2k，2kkZ

减区间为2k，2k2kZ

图象的对称点为k2，0，对称轴为xkkZ

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ytanx的增区间为k，k2kZ2

26. 正弦型函数y=Asinx+的图象和性质要熟记。或yAcosx

（1）振幅|A|，周期T2||

若fx0A，则xx0为对称轴。

若fx00，则x0，0为对称点，反之也对。

（2）五点作图：令x依次为0，2，，32，2，求出x与y，依点

x，y）作图象。

（3）根据图象求解析式。（求A、、值）

(x1)如图列出0(x2)2 解条件组求、值

18

（

正切型函数yAtanx，T||

27. 在三角函数中求一个角时要注意两个方面——先求出某一个三角函数值，再判定角的范围。

如：cos23x62，x，2，求x值。

（∵x3752，∴6x63，∴x654，∴x1312）

28. 在解含有正、余弦函数的问题时，你注意（到）运用函数的有界性了吗？

如：函数ysinxsin|x|的值域是

（x0时，y2sinx2，2，x0时，y0，∴y2，2）

29. 熟练掌握三角函数图象变换了吗？

（平移变换、伸缩变换）

平移公式：

（1）点P（x，y）a(h，k)x'xh平移至P'（x'，y'），则y'yk

（2）曲线f(x，y)0沿向量a(h，k)平移后的方程为f(xh，yk)0

如：函数y2sin2x41的图象经过怎样的变换才能得到ysinx的

19

图象？

（y2sin2x41横坐标伸长到原来的2倍y2sin122x41

左平移个单位2sinx414y2sinx1上平移1个单位y2sinx

纵坐标缩短到原来的12倍ysinx）

30. 熟练掌握同角三角函数关系和诱导公式了吗？

如：1sin2cos2sec2tan2tan·cotcos·sectan4sin2cos0……称为1的代换。

“k·2”化为的三角函数——“奇变，偶不变，符号看象限”，

“奇”、“偶”指k取奇、偶数。

如：cos94tan76sin21

又如：函数ysintancoscot，则y的值为

A. 正值或负值 B. 负值 C. 非负值

D. 正值

20

sin2sincos1cos（y0，∵0）coscos2sin1cossin

sin31. 熟练掌握两角和、差、倍、降幂公式及其逆向应用了吗？

理解公式之间的联系：

令sinsincoscossinsin22sincos

令coscoscossinsincos2cos2sin2 tantantan22 2cos112sin 1tan·tan1cos22 1cos2sin22cos2tan22tan 1tan2

asinbcosa2b2sin，tanba

sincos2sin4 3

sin3cos2sin应用以上公式对三角函数式化简。（化简要求：项数最少、函数种类最少，分母中不含三角函数，能求值，尽可能求值。）

具体方法：

21

（1）角的变换：如，222……

（2）名的变换：化弦或化切

（3）次数的变换：升、降幂公式

（4）形的变换：统一函数形式，注意运用代数运算。

如：已知sincos1cos21，tan23，求tan2的值。

（由已知得：sincos2sin2cos2sin1，∴tan12 又tan23

∴tan2tan21tantan321tan·tan1）12·1832

32. 正、余弦定理的各种表达形式你还记得吗？如何实现边、角转化，而解斜三角形？余弦定理：a2b2c22bccosAcosAb2c2a22bc

（应用：已知两边一夹角求第三边；已知三边求角。）

正弦定理：aba2RsinAsinAsinBcsinC2Rb2RsinBc2RsinC

22

S12a·bsinC

∵ABC，∴ABC

∴sinABsinC，sinAB2cosC2

如ABC中，2sin2AB2cos2C1

（1）求角C；

2）若a2b2c2（2，求cos2Acos2B的值。

（（1）由已知式得：1cosAB2cos2C11

又ABC，∴2cos2CcosC10

∴cosC12或cosC1（舍）

又0C，∴C3

（2）由正弦定理及a2b21c22得：

2sin2A2sin2Bsin2Csin2334

1cos2A1cos2B34

23

∴cos2Acos2B34）

33. 用反三角函数表示角时要注意角的范围。

反正弦：arcsinx2，2，x1，1

反余弦：arccosx0，，x1，1

反正切：arctanx2，2，xR

34. 不等式的性质有哪些？

（1）ab，c0acbcc0acbc

（2）ab，cdacbd

（3）ab0，cd0acbd

（4）ab01a1b，ab011ab

（5）ab0anbn，nanb

（6）|x|aa0axa，|x|axa或xa

如：若1a1b0，则下列结论不正确的是（）

24

A.a2b2B.abb2

C.|a||b||ab|D.abba2

答案：C

35. 利用均值不等式：

2a2b22aba，bR；ab2ab；abab2求最值时，你是否注意到“a，bR”且“等号成立”时的条件，积(ab)或和(ab)其中之一为定

值？（一正、二定、三相等）

注意如下结论：

a2b2ab2ab22ababa，bR

当且仅当ab时等号成立。

a2b2c2abbccaa，bR

当且仅当abc时取等号。

ab0，m0，n0，则

25

babmam1anbnab

如：若x0，23x4x的最大值为

（设y23x4x2212243

当且仅当3x4x，又x0，∴x233时，ymax243）又如：x2y1，则2x4y的最小值为

（∵2x22y22x2y221，∴最小值为22）

36. 不等式证明的基本方法都掌握了吗？

（比较法、分析法、综合法、数学归纳法等）

并注意简单放缩法的应用。

如：证明1122132…1n22

（1122132……1n211111223……n1n11121213……1n11n21n2）

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37.解分式不等式f(x)g(x)aa0的一般步骤是什么？

（移项通分，分子分母因式分解，x的系数变为1，穿轴法解得结果。）

38. 用“穿轴法”解高次不等式——“奇穿，偶切”，从最大根的右上方开始

如：x1x12x230

39. 解含有参数的不等式要注意对字母参数的讨论

如：对数或指数的底分a1或0a1讨论

40. 对含有两个绝对值的不等式如何去解？

（找零点，分段讨论，去掉绝对值符号，最后取各段的并集。）

例如：解不等式|x3|x11

（解集为1x|x2）

41.会用不等式|a||b||ab||a||b|证明较简单的不等问题

如：设f(x)x2x13，实数a满足|xa|1

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求证：f(x)f(a)2(|a|1)

证明：

|f(x)f(a)||(x2x13)(a2a13)|

|(xa)(xa1)|(|xa|1)|xa||xa1||xa1||x||a|1

又|x||a||xa|1，∴|x||a|1

∴f(x)f(a)2|a|22|a|1

（按不等号方向放缩）

42. 不等式恒成立问题，常用的处理方式是什么？（可转化为最值问题，或“△”问题）如：af(x)恒成立af(x)的最小值

af(x)恒成立af(x)的最大值

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af(x)能成立af(x)的最小值

例如：对于一切实数x，若x3x2a恒成立，则a的取值范围是

（设ux3x2，它表示数轴上到两定点2和3距离之和

umin325，∴5a，即a5

或者：x3x2x3x25，∴a5）

43. 等差数列的定义与性质

定义：an1and(d为常数)，ana1n1d

等差中项：x，A，y成等差数列2Axy

前n项和Sa1annnn1n2na12d

性质：an是等差数列

（1）若mnpq，则amanapaq；

（2）数列a2n1，a2n，kanb仍为等差数列；

Sn，S2nSn，S3nS2n……仍为等差数列；

（3）若三个数成等差数列，可设为ad，a，ad；

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aS（4）若am2mn，bn是等差数列Sn，Tn为前n项和，则b1T；m2m1

（5）an为等差数列Snan2bn（a，b为常数，是关于n的常数项为

0的二次函数）

Sn的最值可求二次函数Snan2bn的最值；或者求出an中的正、负分界项，即：

当a，d0，解不等式组an010a0可得Sn达到最大值时的n值。n1 当aan010，d0，由可得Sn达到最小值时的n值。an10

如：等差数列an，Sn18，anan1an23，S31，则n

（由anan1an233an13，∴an11

又Sa33a12·33a21，∴a213

∴Saaa11n1nn2an1·n3n22218

n27）

44. 等比数列的定义与性质

30

定义：an1q（q为常数，q0），ana1qn1an

等比中项：x、G、y成等比数列G2xy，或Gxy na1(q1)前n项和：Sna11qn（要注意1q(q1)!）

性质：an是等比数列

（1）若mnpq，则am·anap·aq

（2）Sn，S2nSn，S3nS2n……仍为等比数列

45.由Sn求an时应注意什么？

（n1时，a1S1，n2时，anSnSn1）

46. 你熟悉求数列通项公式的常用方法吗？

例如：（1）求差（商）法

如：a111n满足2a122a2……2nan2n5解：

n1时，12a1215，∴a114

1

31

n2时，12a12……112a22n1an12n152

12得：12nan2

∴an2n1

∴a14(n1)n2n1(n2)

［练习］

数列a满足S5nnSn13an1，a14，求an

（注意到aSn1n1Sn1Sn代入得：S4n

又S14，∴Sn是等比数列，Sn4n

n2时，anSnSn1……3·4n1

（2）叠乘法

例如：数列aan1n中，a13，an，求annn1

解：

a2aaaa·3……n1·2……n1，∴n11a2an123na1n

32

又a13，∴an3n

（3）等差型递推公式

由anan1f(n)，a1a0，求an，用迭加法

n2时，a2a1f(2)a3a2f(3)…………两边相加，得：anan1f(n)

ana1f(2)f(3)……f(n)

∴ana0f(2)f(3)……f(n)

［练习］

数列a1n，a11，an3nan1n2，求an

（a1n23n1）

（4）等比型递推公式

ancan1dc、d为常数，c0，c1，d0

可转化为等比数列，设anxcan1x

ancan1c1x

33

令(c1)xd，∴xdc1

∴addnc1是首项为a1c1，c为公比的等比数列

∴adnc1adn11c1·c

∴adn1dna1c1cc1

数列an满足a19，3an1an4，求an

4n1（an831）

5）倒数法

例如：a2an11，an1a，求ann2

由已知得：1aan211n12an2an

∴1a1n1a1n2

111a为等差数列，na1，公差为12

34

［练习］（

1a1n1·11n1n22

∴an2n1

47. 你熟悉求数列前n项和的常用方法吗？

例如：（1）裂项法：把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项。n如：an是公差为d的等差数列，求1k1akak1

解：

由1a11d1a1d0k·ak1akakdkak1

n∴1n11k1akak1k1da1kak1

111d1111a……1a2a2a3anan11d1a11an1

［练习］

求和：111211123……123……n

35

（a1n…………，Sn2n1）

（2）错位相减法：

若an为等差数列，bn为等比数列，求数列anbn（差比数列）前n项

和，可由SnqSn求Sn，其中q为bn的公比。

如：Sn12x3x24x3……nxn11

x·Snx2x23x34x4……n1xn1nxn2

12：1xSn1xx2……xn1nxn

x1时，S1xnnn1x2nx1x

x1时，Snn1n123……n2

（3）倒序相加法：把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加。Sna1a2……an1anSa相加nnan1……a2a1

2Sna1ana2an1……a1an……

36

［练习］

x2111已知f(x)，则f(1)f(2)ff(3)ff(4)f2341x2

x1（由f(x)fx1x22x2112221x1x11x1x2

111∴原式f(1)f(2)ff(3)ff(4)f234

111113）22

48. 你知道储蓄、贷款问题吗？

△零存整取储蓄（单利）本利和计算模型：

若每期存入本金p元，每期利率为r，n期后，本利和为：

nn1Snp1rp12r……p1nrpnr……等差问题2

△若按复利，如贷款问题——按揭贷款的每期还款计算模型（按揭贷款——分期等额归还本息的借款种类）

若贷款（向银行借款）p元，采用分期等额还款方式，从借款日算起，一期（如一年）后为第一次还款日，如此下去，第n次还清。如果每期利率为r（按复利），那么每期应还x元，满足

p(1r)nx1rn1x1rn2……x1rx

37

x11rnn1rx1r11r

∴xpr1rn1rn1

p——贷款数，r——利率，n——还款期数

49. 解排列、组合问题的依据是：分类相加，分步相乘，有序排列，无序组合。

（1）分类计数原理：Nm1m2……mn

（mi为各类办法中的方法数）

分步计数原理：Nm1·m2……mn

（mi为各步骤中的方法数）

（2）排列：从n个不同元素中，任取m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一

列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列，所有排列的个数记为Amn.

Amnnn1n2……nm1n!nm!mn

规定：0!1

38

（3）组合：从n个不同元素中任取m（m≤n）个元素并组成一组，叫做从n个不

同元素中取出m个元素的一个组合，所有组合个数记为Cmn.

nn1……nm1Amn!Cnm!m!nm!Ammmn

规定：C0n1

（4）组合数性质：

nmm101nnCm，CmCmnCnnCnn1，CnCn……Cn2

50. 解排列与组合问题的规律是：

相邻问题捆绑法；相间隔问题插空法；定位问题优先法；多元问题分类法；至多至少问题间接法；相同元素分组可采用隔板法，数量不大时可以逐一排出结果。

如：学号为1，2，3，4的四名学生的考试成绩

xi89，90，91，92，93，(i1，2，3，4)且满足x1x2x3x4，

则这四位同学考试成绩的所有可能情况是（ ）

A. 24 B. 15 C. 12 D. 10

解析：可分成两类：

39

（1）中间两个分数不相等，

有C455（种）

（2）中间两个分数相等

x1x2x3x4

相同两数分别取90，91，92，对应的排列可以数出来，分别有3，4，3种，∴有10种。∴共有5＋10＝15（种）情况

51. 二项式定理

(ab)nC0nC1n1nabC2n2nab2…Crnrnabr…Cnnnanb

二项展开式的通项公式：Trrr1Cnanbr(r0，1……n)

Crn为二项式系数（区别于该项的系数）

性质：

（1）对称性：CrnrnCnr0，1，2，……，n

（2）系数和：C0C1nnnn…Cn2

40

C135024…2n1nCnCn…CnCnCn

（3）最值：n为偶数时，n＋1为奇数，中间一项的二项式系数最大且为第

nn212项，二项式系数为Cn；n为奇数时，(n1)为偶数，中间两项的二项式

n1n1系数最大即第n1项及第n11项，其二项式系数为Cn2Cn222

如：在二项式x111的展开式中，系数最小的项系数为（用数字

表示）

（∵n＝11

∴共有12项，中间两项系数的绝对值最大，且为第1226或第7项

由Crr11x11(1)r，∴取r5即第6项系数为负值为最小：

C6511C11426

又如：12x2004a20a1xa2x……a20042004xxR，则

a0a1a0a2a0a3……a0a2004（用数字作答）

（令x0，得：a01

41

令x1，得：a0a2……a20041

∴原式2003a0a0a1……a20042003112004）

52. 你对随机事件之间的关系熟悉吗？

（1）必然事件，P)1，不可能事件，P()0

（2）包含关系：AB，“A发生必导致B发生”称B包含A。

A B

（3）事件的和（并）：AB或AB“A与B至少有一个发生”叫做A与B

的和（并）。

（4）事件的积（交）：A·B或AB“A与B同时发生”叫做A与B的积。

（5）互斥事件（互不相容事件）：“A与B不能同时发生”叫做A、

互斥。42

B

A·B

（6）对立事件（互逆事件）：

“A不发生”叫做A发生的对立（逆）事件，A

AA，AA

（7）独立事件：A发生与否对B发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件。A与B独立，A与B，A与B，A与B也相互独立。

53. 对某一事件概率的求法：

分清所求的是：（1）等可能事件的概率（常采用排列组合的方法，即

P(A)A包含的等可能结果一次试验的等可能结果的总数mn

（2）若A、B互斥，则PABP(A)P(B)

43

（3）若A、B相互独立，则PA·BPA·PB

（4）P(A)1P(A)

（5）如果在一次试验中A发生的概率是p，那么在n次独立重复试验中A恰好发生

k次的概率：Pkn(k)Cknp1pnk

如：设10件产品中有4件次品，6件正品，求下列事件的概率。

（1）从中任取2件都是次品；

PC2421C21015

（2）从中任取5件恰有2件次品；

PC234102C6C51021

（3）从中有放回地任取3件至少有2件次品；

解析：有放回地抽取3次（每次抽1件），∴n＝103

而至少有2件次品为“恰有2次品”和“三件都是次品”

∴mC22133·464

44

23C2443·4·64∴P3125 103（4）从中依次取5件恰有2件次品。

解析：∵一件一件抽取（有顺序）

523∴nA10，mC24A5A6

23C2104A5A6∴P4521 A10分清（1）、（2）是组合问题，（3）是可重复排列问题，（4）是无重复排列问题。

54. 抽样方法主要有：简单随机抽样（抽签法、随机数表法）常常用于总体个数较少时，它的特征是从总体中逐个抽取；系统抽样，常用于总体个数较多时，它的主要特征是均衡成若干部分，每部分只取一个；分层抽样，主要特征是分层按比例抽样，主要用于总体中有明显差异，它们的共同特征是每个个体被抽到的概率相等，体现了抽样的客观性和平等性。

55. 对总体分布的估计——用样本的频率作为总体的概率，用样本的期望（平均值）和方差去估计总体的期望和方差。

要熟悉样本频率直方图的作法：

（1）算数据极差xmaxxmin；

（2）决定组距和组数；

45

（3）决定分点；

（4）列频率分布表；

（5）画频率直方图。

其中，频率小长方形的面积组距×频率组距

样本平均值：x1x1x2……xnn

样本方差：S21x1x2x2x2……xnx2n

如：从10名女生与5名男生中选6名学生参加比赛，如果按性别分层随机抽样，则组成此参赛队的概率为____________。

42C10C5（6）C15

56. 你对向量的有关概念清楚吗？

（1）向量——既有大小又有方向的量。

（2）向量的模——有向线段的长度，|a|

46

（3）单位向量|a0|1，a0a|a|

（4）零向量0，|0|0

（5）相等的向量长度相等ab方向相同

在此规定下向量可以在平面（或空间）平行移动而不改变。

（6）并线向量（平行向量）——方向相同或相反的向量。

规定零向量与任意向量平行。

b∥a(b0)存在唯一实数，使ba

（7）向量的加、减法如图：

OAOBOC OAOBBA

（8）平面向量基本定理（向量的分解定理）

47

e1，e2是平面内的两个不共线向量，a为该平面任一向量，则存在唯一

实数对1、2，使得a1e12e2，e1、e2叫做表示这一平面内所有向量

的一组基底。

（9）向量的坐标表示

i，j是一对互相垂直的单位向量，则有且只有一对实数x，y，使得

axiyj，称(x，y)为向量a的坐标，记作：ax，y，即为向量的坐标

表示。

设ax1，y1，bx2，y2

则abx1，y1y1，y2x1y1，x2y2

ax1，y1x1，y1

48

若Ax1，y1，Bx2，y2

则ABx2x1，y2y1

|AB|x22x1y2y12，A、B两点间距离公式

57. 平面向量的数量积

（1）a·b|a|·|b|cos叫做向量a与b的数量积（或内积）。

为向量a与b的夹角，0，

B b O  a D A 数量积的几何意义：

a·b等于|a|与b在a的方向上的射影|b|cos的乘积。

（2）数量积的运算法则

①a·bb·a

②(ab)ca·cb·c

③a·bx1，y1·x2，y2x1x2y1y2

49

注意：数量积不满足结合律(a·b)·ca·(b·c)

（3）重要性质：设ax1，y1，bx2，y2

①a⊥ba·b0x1·x2y1·y20

②a∥ba·b|a|·|b|或a·b|a|·|b|

ab（b0，惟一确定）

x1y2x2y10

③2a|a|2x2y211，|a·b||a|·|b|

④cosa·b1x2y1y2|xa|·|b|x2221y1·x22y2

［练习］

（1）已知正方形ABCD，边长为1，ABa，BCb，|abc|

答案：22

ACc，则

50

（2）若向量ax，1，b4，x，当x时a与b共线且方向相同

答案：2

（3）已知a、b均为单位向量，它们的夹角为60o，那么|a3b|

答案：13

58. 线段的定比分点

设P1x1，y1，P2x2，y2，分点Px，y，设P1、P2是直线l上两点，P点在

l上且不同于PP1、2，若存在一实数，使P1PPP2，则叫做P分有向线段 P1P2所成的比（0，P在线段P1P2内，0，P在P1P2外），且

x1x2xx1，P为Px1x221P2中点时，yy1y21yy1y22 如：ABC，Ax1，y1，Bx2，y2，Cx3，y3

则ABC重心G的坐标是x1x2x3yy2y33，13

※. 你能分清三角形的重心、垂心、外心、内心及其性质吗？

59. 立体几何中平行、垂直关系证明的思路清楚吗？

51

平行垂直的证明主要利用线面关系的转化：

线∥线线∥面面∥面判定线⊥线线⊥面面⊥面性质线∥线线⊥面面∥面

线面平行的判定：

a∥b，b面，aa∥面

a b 

线面平行的性质：

∥面，面，ba∥b

三垂线定理（及逆定理）：

PA⊥面，AO为PO在内射影，a面，则

a⊥OAa⊥PO；a⊥POa⊥AO

P  O a

52

线面垂直：

a⊥b，a⊥c，b，c，bcOa⊥

a O 面面垂直：

a⊥面，a面⊥

面⊥面，l，a，a⊥la⊥

a⊥面，b⊥面a∥b

面⊥a，面⊥a∥

α b c α a l β a b 

53

60. 三类角的定义及求法

（1）异面直线所成的角θ，0°＜θ≤90°

（2）直线与平面所成的角θ，0°≤θ≤90°

＝0o时，b∥或b

（3）二面角：二面角l的平面角，0o180o

54

（三垂线定理法：A∈α作或证AB⊥β于B，作BO⊥棱于O，连AO，则AO⊥棱l，∴∠AOB为所求。）

三类角的求法：

①找出或作出有关的角。

②证明其符合定义，并指出所求作的角。

③计算大小（解直角三角形，或用余弦定理）。

［练习］

（1）如图，OA为α的斜线OB为其在α内射影，OC为α内过O点任一直线。

证明：coscos·cos

A α O θ β B C D

（为线面成角，∠AOC=，∠BOC=）

（2）如图，正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中对角线BD1＝8，BD1与侧面B1BCC1所成的为30°。①求BD1和底面ABCD所成的角；

55

②求异面直线BD1和AD所成的角；

③求二面角C1—BD1—B1的大小。

D1 C1 A1 B1 H G D C A B

36（①arcsin；②60o；③arcsin）43

（3）如图ABCD为菱形，∠DAB＝60°，PD⊥面ABCD，且PD＝AD，求面PAB与面PCD所成的锐二面角的大小。

P F D C A E B

（∵AB∥DC，P为面PAB与面PCD的公共点，作PF∥AB，则PF为面PCD与面PAB的交线……）

61. 空间有几种距离？如何求距离？

点与点，点与线，点与面，线与线，线与面，面与面间距离。

56

将空间距离转化为两点的距离，构造三角形，解三角形求线段的长（如：三垂线定理法，或者用等积转化法）。

如：正方形ABCD—A1B1C1D1中，棱长为a，则：

（1）点C到面AB1C1的距离为___________；

（2）点B到面ACB1的距离为____________；

（3）直线A1D1到面AB1C1的距离为____________；

（4）面AB1C与面A1DC1的距离为____________；

（5）点B到直线A1C1的距离为_____________。

D C A B D1 C1 A1 B1

62. 你是否准确理解正棱柱、正棱锥的定义并掌握它们的性质？正棱柱——底面为正多边形的直棱柱

正棱锥——底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面的中心。

57

正棱锥的计算集中在四个直角三角形中：

RtSOB，RtSOE，RtBOE和RtSBE

它们各包含哪些元素？

S1正棱锥侧2C·h'（C——底面周长，h'为斜高）

V锥13底面积×高

63. 球有哪些性质？

（1）球心和截面圆心的连线垂直于截面rR2d2

（2）球面上两点的距离是经过这两点的大圆的劣弧长。为此，要找球心角！（3）如图，θ为纬度角，它是线面成角；α为经度角，它是面面成角。

58

（4）S球4R2，V球4R33

（5）球内接长方体的对角线是球的直径。正四面体的外接球半径R与内切球半径r之比为R：r＝3：1。

如：一正四面体的棱长均为2，四个顶点都在同一球面上，则此球的表面

积为（ ）

A.3B.4C.33D.6

答案：A

64. 熟记下列公式了吗？

（1）l直线的倾斜角0，，ktany2y1x，x1x22x12

P1x1，y1，P2x2，y2是l上两点，直线l的方向向量a1，k

（2）直线方程：

点斜式：yy0kxx0（k存在）

斜截式：ykxb

截距式：xayb1

59

一般式：AxByC0（A、B不同时为零）

（3）点Px0，y0到直线l：AxByC0的距离dAx0By0CA2B2

（4）l1到lk2k12的到角公式：tan1k1k2

l1与l2的夹角公式：tank2k11k1k2

65. 如何判断两直线平行、垂直？

A1B2A2B1Al1∥l21C2A2C1

k1k2l1∥l2（反之不一定成立）

A1A2B1B20l1⊥l2

k1·k21l1⊥l2

66. 怎样判断直线l与圆C的位置关系？

圆心到直线的距离与圆的半径比较。

直线与圆相交时，注意利用圆的“垂径定理”。

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67. 怎样判断直线与圆锥曲线的位置？

联立方程组关于x（或y）的一元二次方程“”0相交；0相切；0相离

68. 分清圆锥曲线的定义

第一定义椭圆PF1PF22a，2a2cF1F2双曲线PF1PF22a，2a2cF1F2抛物线PFPK

第二定义：ePFcPKa

0e1椭圆；e1双曲线；e1抛物线

y b xa2c O F1 F2 a x

x2a2y2b21ab0

a2b2c2

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x2y221a0，b02ab

c2a2b2

e>1 e=1 P 0x2y2x2y269.与双曲线221有相同焦点的双曲线系为220abab

70. 在圆锥曲线与直线联立求解时，消元后得到的方程，要注意其二次项系数是否为零？△≥0的限制。（求交点，弦长，中点，斜率，对称存在性问题都在△≥0下进行。）

弦长公式P1P21kx21x24x1x22

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1212y1y24y1y2k

71. 会用定义求圆锥曲线的焦半径吗？

如：

x2y2a2b21

PF2PK，PFa2e2ex0cex0aPF1ex0a

y22pxp0

y P(x0,y0) K F1 O F2 x l y A P2 O F x P1 B

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通径是抛物线的所有焦点弦中最短者；以焦点弦为直径的圆与准线相切。

72. 有关中点弦问题可考虑用“代点法”。

如：椭圆mx2ny21与直线y1x交于M、N两点，原点与MN中点连

线的斜率为2m，则的值为2n

m22 答案：n73. 如何求解“对称”问题？

（1）证明曲线C：F（x，y）＝0关于点M（a，b）成中心对称，设A（x，y）为曲线C上任意一点，设A'（x'，y'）为A关于点M的对称点。

xx'yy'，bx'2ax，y'2by）22

（由a只要证明A'2ax，2by也在曲线C上，即f(x')y'

AA'⊥l（2）点A、A'关于直线l对称AA'中点在l上 kAA'·kl1AA'中点坐标满足l方程

xrcos74.圆x2y2r2的参数方程为（为参数）yrsin

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xacosx2y2椭圆221的参数方程为（为参数）abybsin

75. 求轨迹方程的常用方法有哪些？注意讨论范围。

（直接法、定义法、转移法、参数法）

76. 对线性规划问题：作出可行域，作出以目标函数为截距的直线，在可行域内平移直线，求出目标函数的最值

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