高中数学知识点总结及公式大全

高中数学知识点总结

1. 对于集合，一定要抓住集合的代表元素,及元素的“确定性、互异性、无序性”。

如：集合Ax|ylgx，By|ylgx，C(x,y)|ylgx，A、B、C

中元素各表示什么？

2. 进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集的特殊情况。

注重借助于数轴和文氏图解集合问题.

空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。

如：集合Ax|x22x30，Bx|ax1

若BA，则实数a的值构成的集合为

（答：11，0，3）

3。 注意下列性质：

（1）集合a1，a2，……，an的所有子集的个数是2n；

（2）若ABABA，ABB；

(3）德摩根定律:

CUABCUACUB，CUABCUACUB

4. 你会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法）

如：已知关于x的不等式ax5x2a0的解集为M，若3M且5M，求实数a 的取值范围。

（∵3M，∴a·3532a0a5a·551，39，25）

∵5M，∴52a05. 可以判断真假的语句叫做命题，逻辑连接词有“或”()，“且”()和 “非”().

1

若pq为真，当且仅当p、q均为真

若pq为真，当且仅当p、q至少有一个为真

若p为真，当且仅当p为假

6。 命题的四种形式及其相互关系是什么？ （互为逆否关系的命题是等价命题。）

原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假.

7。 对映射的概念了解吗?映射f：A→B，是否注意到A中元素的任意性和B中与之对应元素的唯一性，哪几种对应能构成映射？ （一对一，多对一，允许B中有元素无原象.)

8. 函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？ （定义域、对应法则、值域)

9。 求函数的定义域有哪些常见类型？

例：函数yx4xlgx32的定义域是

（答：0，22，33，4）

10. 如何求复合函数的定义域？

如：函数f(x)的定义域是a，b，ba0，则函数F(x)f(x)f(x)的定

义域是_____________.

（答：a，a）

 11. 求一个函数的解析式或一个函数的反函数时，注明函数的定义域了吗?

如：fx1exx，求f(x).

令tx1，则t0

∴xt21 ∴f(t)et21t21

2

∴f(x)ex21x21x0

12。 反函数存在的条件是什么? (一一对应函数） 求反函数的步骤掌握了吗?

（①反解x；②互换x、y；③注明定义域）

如：求函数f(x)1xx0x2x0的反函数 （答：f1(x)x1x1xx0）  13. 反函数的性质有哪些？

①互为反函数的图象关于直线y＝x对称； ②保存了原来函数的单调性、奇函数性;

③设yf(x)的定义域为A，值域为C，aA，bC，则f(a)=bf1(b)af1f(a)f1(b)a，ff1(b)f(a)b

14. 如何用定义证明函数的单调性？ (取值、作差、判正负） 如何判断复合函数的单调性?

（yf(u)，u(x)，则yf(x)（外层）（内层）

当内、外层函数单调性相同时f(x)为增函数，否则f(x)为减函数。）

如：求ylog21x2x的单调区间

2（设ux22x，由u0则0x2

且log1u，ux121，如图：

2

3

u O 1 2 x

当x(0，1]时，u，又log1u，∴y

2当x[1，2)时，u，又log1u，∴y

2∴……）

15。 如何利用导数判断函数的单调性？

在区间a，b内，若总有f'(x)0则f(x)为增函数。（在个别点上导数等于零，不影响函数的单调性），反之也对，若f'(x)0呢？

如：已知a0，函数f(x)x3ax在1，上是单调增函数，则a的最大值是（）

A. 0 B。 1 C。 2 D. 3

（令f'(x)3x2a3aax3x30

则xa或xa33 由已知f(x)在[1，)上为增函数，则a31，即a3 ∴a的最大值为3）

16。 函数f（x）具有奇偶性的必要（非充分）条件是什么？（f（x)定义域关于原点对称）

若f(x)f(x)总成立f(x)为奇函数函数图象关于原点对称 若f(x)f(x)总成立f(x)为偶函数函数图象关于y轴对称

注意如下结论：

4

（1）在公共定义域内:两个奇函数的乘积是偶函数；两个偶函数的乘积是偶函数；一个偶函数与奇函数的乘积是奇函数。

（2）若f(x)是奇函数且定义域中有原点，则f(0)0。 如：若f(x)a·2xa22x1为奇函数，则实数a

（∵f(x)为奇函数，xR，又0R，∴f(0)0 即a·20a22010，∴a1）

f(x)为定义在(1，1)上的奇函数，当x(0，1)时，f(x)2x又如：4x1，求f(x)在1，1上的解析式。

x0，1，f(x)2x（令x1，0，则4x1

2x(x)为奇函数，∴f(x)2x又f4x114x 2xx(1，0)又f(0)0，∴f(x)4x1x0）

2x4x1x0，1 17。 你熟悉周期函数的定义吗?

（若存在实数T（T0），在定义域内总有fxTf(x)，则f(x)为周期函数,T是一个周期.）

如：若fxaf(x)，则

（答：f(x)是周期函数，T2a为f(x)的一个周期） 又如：若f(x)图象有两条对称轴xa，xb

即f(ax)f(ax)，f(bx)f(bx) 则f(x)是周期函数，2ab为一个周期

5

如：

18。 你掌握常用的图象变换了吗?

f(x)与f(x)的图象关于y轴对称 f(x)与f(x)的图象关于x轴对称

f(x)与f(x)的图象关于原点对称 f(x)与f1(x)的图象关于直线yx对称

f(x)与f(2ax)的图象关于直线xa对称

f(x)与f(2ax)的图象关于点(a，0)对称 将yf(x)图象左移a(a0)个单位yf(xa)右移a(a0)个单位yf(xa)上移b(b0)个单位yf(xa)b下移b(b0)个单位yf(xa)b 注意如下“翻折”变换：

f(x)f(x)f(x)f(|x|)

如：f(x)log2x1

作出ylog2x1及ylog2x1的图象

6

y y=log2x O 1 x

19。 你熟练掌握常用函数的图象和性质了吗?

(k<0) y (k>0) y=b O’(a,b) O x x=a

（1）一次函数：ykxbk0

（2）反比例函数：ykxk0推广为ybkxak0是中心O'(a，b) 的双曲线.

b2（3）二次函数yax2bxca0a4acb2x2a4a图象为抛物线

b2a，4acb2顶点坐标为b4a，对称轴x2a

开口方向：a0，向上，函数y4acb2min4a

a0，向下，y4acb2max4a

应用：①“三个二次”(二次函数、二次方程、二次不等式）的关系-—二次方程ax2bxc0，0时，两根x1、x2为二次函数yax2bxc的图象与x轴 的两个交点，也是二次不等式ax2bxc0(0)解集的端点值。

②求闭区间[m，n］上的最值.

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③求区间定（动），对称轴动(定）的最值问题。 ④一元二次方程根的分布问题。

0如：二次方程ax2bxc0的两根都大于kbk

2af(k)0 y (a>0) O k x1 x2 x

一根大于k，一根小于kf(k)0

（4）指数函数：yaxa0，a1 （5）对数函数ylogaxa0，a1

由图象记性质！(注意底数的限定！)

y y=ax(a>1) (01) 1 O 1 x (0（6）“对勾函数”yxkxk0 利用它的单调性求最值与利用均值不等式求最值的区别是什么？

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y k O k x

20。 你在基本运算上常出现错误吗?

指数运算：a01(a0)，ap1ap(a0) mannam(a0)，amn1nam(a0)

对数运算：logaM·NlogaMlogaNM0，N0

logMaNlogM1aMlogaN，lognanlogaM 对数恒等式：alogaxx

对数换底公式：loglogcbabloglognambnlogab cam 21。 如何解抽象函数问题？ (赋值法、结构变换法）

如：（1）xR，f(x)满足f(xy)f(x)f(y)，证明f(x)为奇函数。（先令xy0f(0)0再令yx，……）

（2）xR，f(x)满足f(xy)f(x)f(y)，证明f(x)是偶函数。 （先令xytf(t)(t)f(t·t)

∴f(t)f(t)f(t)f(t) ∴f(t)f(t)……）

（3）证明单调性：f(x2)fx2x1x2……

22。 掌握求函数值域的常用方法了吗？

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（二次函数法(配方法），反函数法，换元法,均值定理法，判别式法,利用函数单调性法，导数法等。） 如求下列函数的最值：

（1）y2x3134x

（2）y2x4 x32x2（3）x3，y

x3（4）yx49x2设x3cos，0，

（5）y4x9，x(0，1] x 23。 你记得弧度的定义吗？能写出圆心角为α，半径为R的弧长公式和扇形面积公式吗?

（l·R，S扇11l·R·R2） 22

R

1弧度 O R

24。 熟记三角函数的定义,单位圆中三角函数线的定义

sinMP，cosOM，tanAT

y T B S P α O M A x

10

如：若0，则sin，cos，tan的大小顺序是8

又如：求函数y12cosx的定义域和值域。

2（∵12cosx）12sinx0

2∴sinx2，如图： 2

∴2k5x2kkZ，0y12 44 25. 你能迅速画出正弦、余弦、正切函数的图象吗？并由图象写出单调区间、对称点、对称轴吗？

sinx1，cosx1

11

y ytgx   O  x 22

对称点为k2，0，kZ

ysinx的增区间为2k2，2k2kZ

减区间为2k2，2k32kZ

图象的对称点为k，0，对称轴为xk2kZ ycosx的增区间为2k，2kkZ 减区间为2k，2k2kZ

图象的对称点为k2，0，对称轴为xkkZ

ytanx的增区间为k，k22kZ 26. 正弦型函数y=Asinx+的图象和性质要熟记。或yAcosx（1）振幅|A|，周期T2|| 若fx0A，则xx0为对称轴。

若fx00，则x0，0为对称点，反之也对。

（2）五点作图：令x依次为0，2，，32，2，求出x与y，依点（x,y）作图象。

（3）根据图象求解析式。（求A、、值）

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(x1)0如图列出

(x2)2解条件组求、值

正切型函数yAtanx，T || 27。 在三角函数中求一个角时要注意两个方面——先求出某一个三角函数值,再判定角的范围。

23如：cosx，x，，求x值。

622（∵x375513，∴x，∴x，∴x） 26636412 28. 在解含有正、余弦函数的问题时，你注意（到）运用函数的有界性了吗？

如：函数ysinxsin|x|的值域是

（x0时，y2sinx2，2，x0时，y0，∴y2，2）

29。 熟练掌握三角函数图象变换了吗? (平移变换、伸缩变换） 平移公式：

x'xha(h，k) （1）点P（x，y）P'（x'，y'），则平移至y'yk（2）曲线f(x，y)0沿向量a(h，k)平移后的方程为f(xh，yk)0

如：函数y2sin2x1的图象经过怎样的变换才能得到ysinx的 413

图象?

（y2sin2x41横坐标伸长到原来的2倍y2sin212x41

左平移个单位2sinx414y2sinx1上平移1个单位y2sinx 纵坐标缩短到原来的12倍ysinx） 30。 熟练掌握同角三角函数关系和诱导公式了吗?

如：1sin2cos2sec2tan2tan·cotcos·sectan4 sin2cos0……称为1的代换。 “k·2”化为的三角函数——“奇变，偶不变，符号看象限”，

“奇”、“偶”指k取奇、偶数。

如：cos974tan6sin21

又如：函数ysintancoscot，则y的值为

A。 正值或负值 B。 负值 C。 非负值 D。 正值sinsin（ycossin2cos10，∵0）coscoscos2sin1 sin 31. 熟练掌握两角和、差、倍、降幂公式及其逆向应用了吗？ 理解公式之间的联系：

sinsincoscossin令sin22sincos

14

令coscoscossinsincos2cos2sin2 tantantan22 2cos112sin 1tan·tan1cos22 1cos22sin2cos2tan22tan 1tan2

asinbcosa2b2sin，tansincos2sin 4b asin3cos2sin

3应用以上公式对三角函数式化简。（化简要求：项数最少、函数种类最少,分母中不含三角函数，能求值，尽可能求值。) 具体方法：

（1）角的变换：如，…… 222（2）名的变换:化弦或化切 （3)次数的变换：升、降幂公式

(4)形的变换：统一函数形式，注意运用代数运算。

sincos21，tan，求tan2的值。

1cos23sincoscos1 （由已知得：1，∴tan2sin22sin22又tan

321tantan321） ∴tan2tan1tan·tan12·1832如：已知 32。 正、余弦定理的各种表达形式你还记得吗？如何实现边、角转化,而解斜三角形?

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b2c2a2余弦定理：a2b2c22bccosAcosA2bc

（应用：已知两边一夹角求第三边;已知三边求角.）

a2R正弦定理：asinAbsinBcsinAsinC2Rb2RsinB

c2RsinCS12a·bsinC ∵ABC，∴ABC

∴sinABsinC，sinAB2cosC2 如ABC中，2sin2AB2cos2C1 （1）求角C；

）若a2b2c2（22，求cos2Acos2B的值。

（（1）由已知式得：1cosAB2cos2C11

又ABC，∴2cos2CcosC10

∴cosC12或cosC1（舍） 又0C，∴C3

（2）由正弦定理及a2b212c2得：

2sin2A2sin2Bsin2Csin2334

1cos2A1cos2B34

∴cos2Acos2B34）

33. 用反三角函数表示角时要注意角的范围.

反正弦：arcsinx2，2，x1，1

反余弦：arccosx0，，x1，1

16

反正切：arctanx2，2，xR

34. 不等式的性质有哪些？

（1）ab，c0acbcc0acbc

（2）ab，cdacbd （3）ab0，cd0acbd

（4）ab01a1b，ab01a1b （5）ab0anbn，nanb

（6）|x|aa0axa，|x|axa或xa

如：若1a1b0，则下列结论不正确的是（）

A.a2b2B.abb2

C.|a||b||ab|D.abba2 答案:C

35. 利用均值不等式：

a2b22aba，bR2；ab2ab；abab2求最值时，你是否注 意到“a，bR”且“等号成立”时的条件，积(ab)或和(ab)其中之一为定值?(一正、二定、三相等) 注意如下结论：

a2b22ab2ab2ababa，bR 当且仅当ab时等号成立。 a2b2c2abbccaa，bR

当且仅当abc时取等号。

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ab0，m0，n0，则

bbamam1anabnb 如：若x0，23x4x的最大值为

（设y243xx2212243 当且仅当3x4x，又x0，∴x233时，ymax243） 又如：x2y1，则2x4y的最小值为

（∵2x22y22x2y221，∴最小值为22）

36。 不等式证明的基本方法都掌握了吗? （比较法、分析法、综合法、数学归纳法等） 并注意简单放缩法的应用。

如：证明1122132…1n22 （1122132……1n211111223……n1n

11121213……11n1n

21n2）37.解分式不等式f(x)g(x)aa0的一般步骤是什么？ （移项通分，分子分母因式分解,x的系数变为1,穿轴法解得结果。) 38。 用“穿轴法”解高次不等式-—“奇穿，偶切\从最大根的右上方开始

如：x1x12x230

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39。 解含有参数的不等式要注意对字母参数的讨论

如：对数或指数的底分a1或0a1讨论

40。 对含有两个绝对值的不等式如何去解？

(找零点，分段讨论，去掉绝对值符号，最后取各段的并集.）

例如：解不等式|x3|x11

（解集为1x|x2）

41.会用不等式|a||b||ab||a||b|证明较简单的不等问题 如：设f(x)x2x13，实数a满足|xa|1 求证：f(x)f(a)2(|a|1)

证明:|f(x)f(a)||(x2x13)(a2a13)|

|(xa)(xa1)|(|xa|1)|xa||xa1||xa1| |x||a|1又|x||a||xa|1，∴|x||a|1 ∴f(x)f(a)2|a|22|a|1

（按不等号方向放缩）

42。 不等式恒成立问题，常用的处理方式是什么？(可转化为最值问题，或“△题）

如：af(x)恒成立af(x)的最小值 af(x)恒成立af(x)的最大值 af(x)能成立af(x)的最小值

例如：对于一切实数x，若x3x2a恒成立，则a的取值范围是

（设ux3x2，它表示数轴上到两定点2和3距离之和 umin325，∴5a，即a5

\"问19

或者：x3x2x3x25，∴a5）

43. 等差数列的定义与性质

定义：an1and(d为常数)，ana1n1d

等差中项：x，A，y成等差数列2Axy

前n项和Sa1annnn1n2na12d

性质：an是等差数列

（1）若mnpq，则amanapaq；

（2）数列a2n1，a2n，kanb仍为等差数列；

Sn，S2nSn，S3nS2n……仍为等差数列；

（3）若三个数成等差数列，可设为ad，a，ad； （4）若an，bn是等差数列Sn，Tn为前n项和，则ambS2m1； mT2m1（5）an为等差数列Snan2bn（a，b为常数，是关于n的常数项为

0的二次函数）

S2n的最值可求二次函数Snanbn的最值；或者求出an中的正、负分界项，即：

当aan010，d0，解不等式组可得Sn达到最大值时的n值。

an10当a0，d0，由an01可得aSn达到最小值时的n值。n10

如：等差数列an，Sn18，anan1an23，S31，则n

（由anan1an233an13，∴an11

又Sa1a332·33a21，∴a123

20

∴Saa11n1nna2an1·n3n22218 n27）

44. 等比数列的定义与性质

定义：an1aq（q为常数，q0），anan11q n等比中项：x、G、y成等比数列G2xy，或Gxy na1(q1)前n项和：Sna11qn（要注意!）

1q(q1)性质：an是等比数列

（1）若mnpq，则am·anap·aq

（2）Sn，S2nSn，S3nS2n……仍为等比数列 45.由Sn求an时应注意什么？

（n1时，a1S1，n2时，anSnSn1）

46。 你熟悉求数列通项公式的常用方法吗? 例如：（1）求差（商)法

如：a1211n满足a122a2……2nan2n51

解：n1时，12a1215，∴a114

n2时，12a11122a2……2n1an12n15212得：12nan2

∴a1n2n

∴a14(n1)n2n1(n2)

［练习]

21

数列a满足S5nnSn13an1，a14，求an

（注意到an1Sn1Sn代入得：Sn1S4 n又S14，∴Sn是等比数列，Snn4

n2时，anSnSn1……3·4n1

（2）叠乘法

例如：数列an中，a13，an1an，求an nn1解：

a2·a3……an12n1a1aa·……，∴n12an123na1n又a13，∴an3n （3)等差型递推公式

由anan1f(n)，a1a0，求an，用迭加法

n2时，a2a1f(2)aaf(3)32…………两边相加，得：

anan1f(n)ana1f(2)f(3)……f(n) ∴ana0f(2)f(3)……f(n)

［练习]

数列an，a11，an3n1an1n2，求an

（a1n23n1） （4)等比型递推公式

ancan1dc、d为常数，c0，c1，d0

可转化为等比数列，设anxcan1x

ancan1c1x

22

令(c1)xd，∴xd c1dd∴an，c为公比的等比数列 是首项为a1c1c1∴anddn1a1·c c1c1dn1d∴ana1 cc1c1［练习］

数列an满足a19，3an1an4，求an

4（an83n11）

（5)倒数法

例如：a11，an11an12an，求an an2由已知得：1an1an211 2an2an∴11 an2111为等差数列，1，公差为

a12an1111n1·n1 an22∴an2 n1 47。 你熟悉求数列前n项和的常用方法吗？

例如：（1）裂项法：把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项。

如：an是公差为d的等差数列，求1 aak1kk1n解：由11111d0

ak·ak1akakddakak123

n∴1nk1akak1111k1da

kak11d111a1……11a1a22a3anan1

1d1a11an1［练习]

求和：11121123……1123……n （an…………，Sn21n1） （2）错位相减法：

若an为等差数列，bn为等比数列，求数列anbn（差比数列）前n项 和，可由SnqSn求Sn，其中q为bn的公比。

如：S3n12x3x24x……nxn11

x·Snx2x23x34x4……n1xn1nxn2

12：1xS2n1xx……xn1nxn

nnx1时，S1xnxn1x21x

x1时，S3……nnn1n122

（3)倒序相加法:把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加。Sna1a2……an1anSa……a相加

nnan12a12Sna1ana2an1……a1an……

[练习］

已知f(x)x21x2，则f(1)f(2)f12f(3)f113f(4)f4

24

x1（由f(x)fx1x22x211 2221x1x11x1x2111∴原式f(1)f(2)ff(3)ff(4)f

234111113） 22 48. 你知道储蓄、贷款问题吗？ △零存整取储蓄（单利）本利和计算模型:

若每期存入本金p元，每期利率为r，n期后，本利和为:

nn1Snp1rp12r……p1nrpnr……等差问题

2△若按复利，如贷款问题-—按揭贷款的每期还款计算模型(按揭贷款——分期等额归还本息的借款种类）

若贷款（向银行借款）p元,采用分期等额还款方式,从借款日算起，一期(如一年)后为第一次还款日，如此下去，第n次还清.如果每期利率为r（按复利)，那么每期应还x元，满足

p(1r)nx1rn1x1rn2……x1rx

n11rn1r1x xr11r∴xpr1rn1rn1

p——贷款数，r—-利率，n-—还款期数

49. 解排列、组合问题的依据是:分类相加，分步相乘,有序排列，无序组合。

（1）分类计数原理：Nm1m2……mn

（mi为各类办法中的方法数） 分步计数原理：Nm1·m2……mn

25

（mi为各步骤中的方法数）

(2)排列:从n个不同元素中,任取m（m≤n）个元素,按照一定的顺序排成一

列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列，所有排列的个数记为Amn.

Amnnn1n2……nm1规定：0!1

n!mn

nm!（3)组合：从n个不同元素中任取m（m≤n）个元素并组成一组，叫做从n个不

同元素中取出m个元素的一个组合，所有组合个数记为Cmn.

nn1……nm1Amn!n Cmm!m!nm!Ammn规定：C0n1

（4）组合数性质：

nmm101nnCm，CmCmnCnnCnn1，CnCn……Cn2

50。 解排列与组合问题的规律是：

相邻问题捆绑法;相间隔问题插空法；定位问题优先法；多元问题分类法;至多至少问题间接法；相同元素分组可采用隔板法,数量不大时可以逐一排出结果. 如：学号为1，2，3，4的四名学生的考试成绩

xi89，90，91，92，93，(i1，2，3，4)且满足x1x2x3x4，

则这四位同学考试成绩的所有可能情况是(） A. 24 B。 15 C。 12 D。 10 解析:可分成两类：

（1）中间两个分数不相等，

4有C55（种）

26

(2）中间两个分数相等

x1x2x3x4

相同两数分别取90，91,92，对应的排列可以数出来,分别有3,4，3种,∴有10种。 ∴共有5＋10＝15（种）情况 51. 二项式定理

(ab)nC0n1n1naCnabC2n2nab2…Crnrnabr…Cnnnb

二项展开式的通项公式：Tnrrrr1Crnab(r0，1……n)Cn为二项式系数（区别于该项的系数）性质:

（1）对称性：CrCnrnnr0，1，2，……，n （2）系数和：C0C1nnnn…Cn2

C135024n1nCnCn…CnCnCn…2 （3)最值：n为偶数时，n＋1为奇数，中间一项的二项式系数最大且为第

nn221项，二项式系数为Cn；n为奇数时，(n1)为偶数，中间两项的二项式 n1n1系数最大即第n1项及第n11项，其二项式系数为Cn2Cn222

如：在二项式x111的展开式中，系数最小的项系数为（用数字

表示）

（∵n＝11

∴共有12项，中间两项系数的绝对值最大，且为第1226或第7项 由Crr11x11(1)r，∴取r5即第6项系数为负值为最小： C6511C11426

又如：12x2004a20a1xa2x……a2004x2004xR，则

a0a1a0a2a0a3……a0a2004（用数字作答）

27

（令x0，得：a01

令x1，得：a0a2……a20041

∴原式2003a0a0a1……a20042003112004）

52. 你对随机事件之间的关系熟悉吗？

（1）必然事件，P)1，不可能事件，P()0

（2）包含关系：AB，“A发生必导致B发生”称B包含A。

A B

（3）事件的和（并）：AB或AB“A与B至少有一个发生”叫做A与B

的和（并)。

（4）事件的积（交）：A·B或AB“A与B同时发生”叫做A与B的积。

（5）互斥事件(互不相容事件)：“A与B不能同时发生”叫做A、B互斥。A·B

(6）对立事件（互逆事件)：

“A不发生”叫做A发生的对立（逆）事件，A AA，AA

28

（7）独立事件：A发生与否对B发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件。

A与B独立，A与B，A与B，A与B也相互独立。

53。 对某一事件概率的求法：

分清所求的是：（1）等可能事件的概率（常采用排列组合的方法,即

P(A)A包含的等可能结果m一次试验的等可能结果的总数n

（2）若A、B互斥，则PABP(A)P(B)

（3）若A、B相互独立，则PA·BPA·PB

（4）P(A)1P(A)

(5)如果在一次试验中A发生的概率是p,那么在n次独立重复试验中A恰好发生k次的概率：P)Ckkn(knp1pnk

如：设10件产品中有4件次品,6件正品，求下列事件的概率. （1）从中任取2件都是次品；

C22P41C2

1015（2)从中任取5件恰有2件次品;

C234C10P26C51021 （3）从中有放回地任取3件至少有2件次品; 解析：有放回地抽取3次(每次抽1件)，∴n＝103 而至少有2件次品为“恰有2次品”和“三件都是次品”

29

213∴mC23·464

23C2443·4·64∴P3 312510(4)从中依次取5件恰有2件次品. 解析：∵一件一件抽取（有顺序)

523∴nA10，mC24A5A6

23C2104A5A6 ∴P4521A10分清（1）、(2）是组合问题,（3)是可重复排列问题,（4)是无重复排列问题。 54。 抽样方法主要有:简单随机抽样(抽签法、随机数表法）常常用于总体个数较少时,它的特征是从总体中逐个抽取;系统抽样，常用于总体个数较多时，它的主要特征是均衡成若干部分，每部分只取一个；分层抽样，主要特征是分层按比例抽样，主要用于总体中有明显差异，它们的共同特征是每个个体被抽到的概率相等，体现了抽样的客观性和平等性。

55。 对总体分布的估计—-用样本的频率作为总体的概率,用样本的期望（平均值）和方差去估计总体的期望和方差。 要熟悉样本频率直方图的作法：

（1）算数据极差xmaxxmin；

（2)决定组距和组数； （3)决定分点; （4）列频率分布表； （5）画频率直方图。

其中，频率小长方形的面积组距×频率 组距样本平均值：x1x1x2……xn n30

样本方差：S21x1x2x2x2……xnx2 n如：从10名女生与5名男生中选6名学生参加比赛，如果按性别分层随机抽样,则组成此参赛队的概率为____________.

（C4210C5C6）

15 56。 你对向量的有关概念清楚吗？ （1）向量——既有大小又有方向的量.

（2）向量的模——有向线段的长度，|a|

（3）单位向量|a0|1，a0a|

a|（4）零向量0，|0|0

（5）相等的向量长度相等ab方向相同

在此规定下向量可以在平面（或空间）平行移动而不改变. （6)并线向量（平行向量)——方向相同或相反的向量。 规定零向量与任意向量平行。

b∥a(b0)存在唯一实数，使ba

（7）向量的加、减法如图：

OAOBOC

31

OAOBBA

（8）平面向量基本定理（向量的分解定理)

e1，e2是平面内的两个不共线向量，a为该平面任一向量，则存在唯一

实数对a1、2，使得1e12e2，e1、e2叫做表示这一平面内所有向量

的一组基底。 （9)向量的坐标表示

i，j是一对互相垂直的单位向量，则有且只有一对实数x，y，使得

axiyj，称(x，y)为向量a的坐标，记作：ax，y，即为向量的坐标

表示.

设ax1，y1，bx2，y2

则abx1，y1y1，y2x1y1，x2y2 ax1，y1x1，y1

若Ax1，y1，Bx2，y2

则ABx2x1，y2y1 |AB|x22x1y2y12，A、B两点间距离公式

57。 平面向量的数量积

（1）a·b|a|·|b|cos叫做向量a与b的数量积（或内积）。

为向量a与b的夹角，0，

32

B b O  a D A

数量积的几何意义：

a·b等于|a|与b在a的方向上的射影|b|cos的乘积。

（2）数量积的运算法则

①a·bb·a

②(ab)ca·cb·c

③a·bx1，y1·x2，y2x1x2y1y2

注意：数量积不满足结合律(a·b)·ca·(b·c)

（3）重要性质：设ax1，y1，bx2，y2

①a⊥ba·b0x1·x2y1·y20 ②a∥ba·b|a|·|b|或a·b|a|·|b| ab（b0，惟一确定）

x1y2x2y10

③2a|a|2x2y2，|a·b||11a|·|b|

④cosa·bx1x2y1y2|

a|·|b|x2y2·x2y21122［练习]

（1）已知正方形ABCD，边长为1，ABa，BCb，ACc，则

|abc|

答案：22

（2）若向量ax，1，b4，x，当x时a与b共线且方向相同答案：2

33

（3）已知a、b均为单位向量，它们的夹角为60o，那么|a3b|

答案：13

58。 线段的定比分点

设P1x1，y1，P2x2，y2，分点Px，y，设P1、P2是直线l上两点，P点在

l上且不同于P1、P2，若存在一实数，使P1PPP2，则叫做P分有向线段 P1P2所成的比（0，P在线段P1P2内，0，P在P1P2外），且 x1x2x1x2x1，P为PP中点时，xyy122 y12yy21y12如：ABC，Ax1，y1，Bx2，y2，Cx3，y3

则ABC重心G的坐标是x1x2x3yy2y33，13 ※。 你能分清三角形的重心、垂心、外心、内心及其性质吗? 59。 立体几何中平行、垂直关系证明的思路清楚吗? 平行垂直的证明主要利用线面关系的转化：

线∥线线∥面面∥面判定线⊥线线⊥面面⊥面性质

线∥线线⊥面面∥面线面平行的判定：

a∥b，b面，aa∥面

a b 

线面平行的性质：

∥面，面，ba∥b

34

三垂线定理（及逆定理):

PA⊥面，AO为PO在内射影，a面，则 a⊥OAa⊥PO；a⊥POa⊥AO

P O a 线面垂直：

a⊥b，a⊥c，b，c，bcOa⊥

a O α b c 面面垂直:

a⊥面，a面⊥

面⊥面，l，a，a⊥la⊥

α a l β

a⊥面，b⊥面a∥b 面⊥a，面⊥a∥

a b  60. 三类角的定义及求法

35

（1）异面直线所成的角θ，0°＜θ≤90°

（2）直线与平面所成的角θ,0°≤θ≤90°

＝0o时，b∥或b

（3）二面角：二面角l的平面角，0o180o

（三垂线定理法:A∈α作或证AB⊥β于B，作BO⊥棱于O,连AO，则AO⊥棱l，∴∠为所求.) 三类角的求法： ①找出或作出有关的角。

②证明其符合定义，并指出所求作的角。 ③计算大小（解直角三角形，或用余弦定理）。 ［练习］

AOB36

（1)如图，OA为α的斜线OB为其在α内射影，OC为α内过O点任一直线.

证明：coscos·cos

A θ O β B C D α

（为线面成角，∠AOC=，∠BOC=）

(2）如图，正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中对角线BD1＝8，BD1与侧面B1BCC1所成的为30°。 ①求BD1和底面ABCD所成的角； ②求异面直线BD1和AD所成的角； ③求二面角C1—BD1—B1的大小。

D1 C1 A1 B1 H G D C A B

36（①arcsin；②60o；③arcsin）

43（3）如图ABCD为菱形,∠DAB＝60°，PD⊥面ABCD，且PD＝AD，求面PAB与面PCD所成的锐二面角的大小。

37

P F D C A E B

（∵AB∥DC,P为面PAB与面PCD的公共点，作PF∥AB，则PF为面PCD与面PAB的交线……）

61. 空间有几种距离?如何求距离？

点与点,点与线，点与面,线与线,线与面，面与面间距离。

将空间距离转化为两点的距离,构造三角形，解三角形求线段的长（如：三垂线定理法，或者用等积转化法）。

如:正方形ABCD-A1B1C1D1中，棱长为a，则： （1）点C到面AB1C1的距离为___________; (2）点B到面ACB1的距离为____________； (3）直线A1D1到面AB1C1的距离为____________; （4）面AB1C与面A1DC1的距离为____________； （5）点B到直线A1C1的距离为_____________。

D C A B D1 C1 A1 B1

62。 你是否准确理解正棱柱、正棱锥的定义并掌握它们的性质？ 正棱柱——底面为正多边形的直棱柱

38

正棱锥-—底面是正多边形,顶点在底面的射影是底面的中心.

正棱锥的计算集中在四个直角三角形中：

RtSOB，RtSOE，RtBOE和RtSBE

它们各包含哪些元素？

S正棱锥侧V锥1C·h'（C——底面周长，h'为斜高） 21底面积×高 3 63. 球有哪些性质?

（1）球心和截面圆心的连线垂直于截面rR2d2

(2）球面上两点的距离是经过这两点的大圆的劣弧长。为此，要找球心角! （3）如图，θ为纬度角，它是线面成角;α为经度角，它是面面成角。

（4）S球4R2，V球4R3 3（5)球内接长方体的对角线是球的直径。正四面体的外接球半径R与内切球半径r之比为R：r＝3:1。

如：一正四面体的棱长均为2，四个顶点都在同一球面上，则此球的表面

积为()

A.3B.4C.33D.6

答案:A

39

64。 熟记下列公式了吗?

（1）l直线的倾斜角0，，ktany2y1x，x1x2 2x12Py1x1，1，P2x2，y2是l上两点，直线l的方向向量a1，k

(2）直线方程：

点斜式：yy0kxx0（k存在）

斜截式：ykxb

截距式：xayb1 一般式：AxByC0（A、B不同时为零）

（3）点Px0，y0到直线l：AxByC0的距离dAx0By0CA2B2

（4）lk2k11到l2的到角公式：tan1kk

12lk2k11与l2的夹角公式：tan1kk

12 65。 如何判断两直线平行、垂直？

A1B2A2B1AAl1∥l2 1C22C1k1k2l1∥l2（反之不一定成立） A1A2B1B20l1⊥l2 k1·k21l1⊥l2

66. 怎样判断直线l与圆C的位置关系? 圆心到直线的距离与圆的半径比较。 直线与圆相交时,注意利用圆的“垂径定理\". 67. 怎样判断直线与圆锥曲线的位置？

40

联立方程组关于x（或y）的一元二次方程“”0相交；0相切；0相离

68。 分清圆锥曲线的定义

椭圆PF1PF22a，2a2第一定义cF1F2双曲线PF1PF22a，2a2cF1F2

抛物线PFPK第二定义：ePFPKca 0e1椭圆；e1双曲线；e1抛物线

y a2 b xc O F1 F2 a x

x2y2a2b21ab0 a2b2c2

x2y2a2b21a0，b0 c2a2b2

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e>1 e=1 P 0x2y2x2y269.与双曲线221有相同焦点的双曲线系为220

abab 70. 在圆锥曲线与直线联立求解时，消元后得到的方程,要注意其二次项系数是否为零？△≥0的限制。(求交点,弦长，中点，斜率，对称存在性问题都在△≥0下进行。）

弦长公式P1P21k22xx124x1x2

1212y1y24y1y2 k 71。 会用定义求圆锥曲线的焦半径吗? 如：

y P(x0,y0) K F1 O F2 x l

x2y221 2abPF2a2e，PF2ex0ex0a PKcPF1ex0a

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y A P2 O F x P1 B

y22pxp0

通径是抛物线的所有焦点弦中最短者；以焦点弦为直径的圆与准线相切。 72。 有关中点弦问题可考虑用“代点法\"。

如：椭圆mx2ny21与直线y1x交于M、N两点，原点与MN中点连

线的斜率为2m2，则n的值为

答案：

mn22 73. 如何求解“对称”问题?

(1）证明曲线C：F（x，y）＝0关于点M（a，b）成中心对称，设A（x，上任意一点,设A’(x',y’）为A关于点M的对称点。

（由axx'2，byy'2x'2ax，y'2by） 只要证明A'2ax，2by也在曲线C上，即f(x')y' （2）点A、A'关于直线l对称AA'⊥lAA'中点在l上 kAA'·kl1AA'中点坐标满足l方程

74.圆x2y2r2的参数方程为xrcosrsin（为参数）y

x2y2椭圆xacosa2b21的参数方程为ybsin（为参数）

75。 求轨迹方程的常用方法有哪些？注意讨论范围。

y）为曲线C43

（直接法、定义法、转移法、参数法）

76. 对线性规划问题：作出可行域，作出以目标函数为截距的直线,在可行域内平移直线，求出目标函数的最值。

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