（提升题）知识点分类
一．实数的运算（共1小题）1．（2023•长沙）计算：|﹣
|+（﹣2023）0﹣2sin45°﹣（）﹣1．
二．一元一次不等式的应用（共1小题）
2．（2023•长沙）为提升学生身体素质，落实教育部门“在校学生每天锻炼时间不少于1小时”的文件精神．某校利用课后服务时间，在八年级开展“体育赋能，助力成长”班级篮球赛，共16个班级参加．
（1）比赛积分规定：每场比赛都要分出胜负，胜一场积3分，负一场积1分．某班级在15场比赛中获得总积分为41分，问该班级胜负场数分别是多少？
（2）投篮得分规则：在3分线外投篮，投中一球可得3分，在3分线内（含3分线）投篮，投中一球可得2分，某班级在其中一场比赛中，共投中26个球（只有2分球和3分球），所得总分不少于56分，问该班级这场比赛中至少投中了多少个3分球？三．二次函数综合题（共3小题）
3．（2023•长沙）我们约定：若关于x的二次函数y1＝a1x2+b1x+c1与y2＝a2x2+b2x+c2同时满足
+（b2+b1）2+|c2﹣a1|＝0，（b1﹣b2）2023≠0，则称函数y1与函数y2互为“美
美与共”函数．根据该约定，解答下列问题：
（1）若关于x的二次函数y1＝2x2+kx+3与y2＝mx2+x+n互为“美美与共”函数，求k，m，n的值；
（2）对于任意非零实数r，s，点P（r，t）与点Q（s，t）（r≠s）始终在关于x的函数y1＝x2+2rx+s的图象上运动，函数y2与y1互为“美美与共”函数．①求函数y2的图象的对称轴；
②函数y2的图象是否经过某两个定点？若经过某两个定点，求出这两个定点的坐标；否则，请说明理由；
（3）在同一平面直角坐标系中，若关于x的二次函数y1＝ax2+bx+c与它的“美美与共”函数y2的图象顶点分别为点A，点B，函数y1的图象与x轴交于不同两点C，D，函数y2的图象与x轴交于不同两点E，F．当CD＝EF时，以A，B，C，D为顶点的四边形能否
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为正方形？若能，求出该正方形面积的取值范围；若不请说明理由．
4．（2022•长沙）若关于x的函数y，当t﹣≤x≤t+时，函数y的最大值为M，最小值为N，令函数h＝
，我们不妨把函数h称之为函数y的“共同体函数”．
（1）①若函数y＝4044x，当t＝1时，求函数y的“共同体函数”h的值；②若函数y＝kx+b（k≠0，k，b为常数），求函数y的“共同体函数”h的解析式；（2）若函数y＝（x≥1），求函数y的“共同体函数”h的最大值；
（3）若函数y＝﹣x2+4x+k，是否存在实数k，使得函数y的最大值等于函数y的“共同体函数“h的最小值．若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．
5．（2021•长沙）我们不妨约定：在平面直角坐标系中，若某函数图象上至少存在不同的两点关于y轴对称，则把该函数称之为“T函数”，其图象上关于y轴对称的不同两点叫做一对“T点”．根据该约定，完成下列各题．
（1）若点A（1，r）与点B（s，4）是关于x的“T函数”y＝
的图象上的一对“T点”，则r＝ ，s＝ ，
t＝ （将正确答案填在相应的横线上）；
（2）关于x的函数y＝kx+p（k，p是常数）是“T函数”吗？如果是，指出它有多少对“T点”如果不是，请说明理由；
（3）若关于x的“T函数”y＝ax2+bx+c（a＞0，且a，b，c是常数）经过坐标原点O，且与直线l：y＝mx+n（m≠0，n＞0，且m，n是常数）交于M（x1，y1），N（x2，y2）两点，当x1，x2满足（1﹣x1）﹣1+x2＝1时，直线l是否总经过某一定点？若经过某一定点，求出该定点的坐标；否则，请说明理由．四．全等三角形的判定与性质（共1小题）
6．（2023•长沙）如图，AB＝AC，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E．（1）求证：△ABE≌△ACD；（2）若AE＝6，CD＝8，求BD的长．
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五．平行四边形的性质（共2小题）
7．（2023•长沙）如图，在▱ABCD中，DF平分∠ADC，交BC于点E，交AB的延长线于点F．
（1）求证：AD＝AF；
（2）若AD＝6，AB＝3，∠A＝120°，求BF的长和△ADF的面积．
8．（2022•长沙）如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB＝AD．（1）求证：AC⊥BD；
（2）若点E，F分别为AD，AO的中点，连接EF，EF＝，AO＝2，求BD的长及四边形ABCD的周长．
六．矩形的判定与性质（共1小题）
9．（2021•长沙）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，△OAB是等边三角形，AB＝4．
（1）求证：▱ABCD是矩形；（2）求AD的长．
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七．圆的综合题（共2小题）
10．（2023•长沙）如图，点A，B，C在⊙O上运动，满足AB2＝BC2+AC2，延长AC至点D，使得∠DBC＝∠CAB，点E是弦AC上一动点（不与点A，C重合），过点E作弦AB的垂线，交AB于点F，交BC的延长线于点N，交⊙O于点M（点M在劣弧（1）BD是⊙O的切线吗？请作出你的判断并给出证明；
（2）记△BDC，△ABC，△ADB的面积分别为S1，S2，S，若S1•S＝（S2）2，求（tanD）2的值；
（3）若⊙O的半径为1，设FM＝x，FE•FN•数解析式，并写出自变量x的取值范围．
＝y，试求y关于x的函
上）．
11．（2021•长沙）如图，点O为以AB为直径的半圆的圆心，点M，N在直径AB上，点P，Q在
上，四边形MNPQ为正方形，点C在
上运动（点C与点P，Q不重合），连接BC
并延长交MQ的延长线于点D，连接AC交MQ于点E，连接OQ．（1）求sin∠AOQ的值；（2）求
的值；
（3）令ME＝x，QD＝y，直径AB＝2R（R＞0，R是常数），求y关于x的函数解析式，并指明自变量x的取值范围．
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八．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共1小题）
12．（2023•长沙）2023年5月30日9点31分，“神舟十六号”载人飞船在中国酒泉卫星发射中心点火发射，成功把景海鹏、桂海潮、朱杨柱三名航天员送入到中国空间站．如图，在发射的过程中，飞船从地面O处发射，当飞船到达A点时，从位于地面C处的雷达站测得AC的距离是8km，仰角为30°；10s后飞船到达B处，此时测得仰角为45°．（1）求点A离地面的高度AO；
（2）求飞船从A处到B处的平均速度．（结果精确到0.1km/s，参考数据：
≈1.73）
九．频数（率）分布直方图（共1小题）
13．（2023•长沙）为增强学生安全意识，某校举行了一次全校3000名学生参加的安全知识竞赛．从中随机抽取n名学生的竞赛成绩进行了分析，把成绩（满分100分，所有竞赛成绩均不低于60分）分成四个等级（D：60≤x＜70；C：70≤x＜80；B：80≤x＜90；A：90≤x≤100），并根据分析结果绘制了不完整的频数分布直方图和扇形统计图．
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请根据以上信息，解答下列问题：（1）填空：n＝
，m＝
；
（2）请补全频数分布直方图；
（3）扇形统计图中B等级所在扇形的圆心角度数为
度；
（4）若把A等级定为“优秀”等级，请你估计该校参加竞赛的3000名学生中达到“优秀”等级的学生人数．
一十．列表法与树状图法（共1小题）
14．（2022•长沙）2022年3月22日至28日是第三十五届“中国水周”，在此期间，某校举行了主题为“推进地下水超采综合治理，复苏河湖生态环境”的水资源保护知识竞赛．为了了解本次知识竞赛成绩的分布情况，从参赛学生中随机抽取了150名学生的初赛成绩进行统计，得到如下两幅不完整的统计图表．成绩x/分60≤x＜7070≤x＜8080≤x＜9090≤x＜100
（1）表中a＝
，b＝
，c＝
；
60
c
45
b
a
0.2
频数15
频率0.1
（2）请补全频数分布直方图；
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（3）若某班恰有3名女生和1名男生的初赛成绩均为99分，从这4名学生中随机选取2名学生参加复赛，请用列表法或画树状图法求选出的2名学生恰好为一名男生、一名女生的概率．
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湖南省长沙市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题
（提升题）知识点分类
参考答案与试题解析
一．实数的运算（共1小题）1．（2023•长沙）计算：|﹣【答案】﹣1．【解答】解：原式＝＝
+1﹣
﹣2
+1﹣2×
﹣2
|+（﹣2023）0﹣2sin45°﹣（）﹣1．
＝﹣1．
二．一元一次不等式的应用（共1小题）
2．（2023•长沙）为提升学生身体素质，落实教育部门“在校学生每天锻炼时间不少于1小时”的文件精神．某校利用课后服务时间，在八年级开展“体育赋能，助力成长”班级篮球赛，共16个班级参加．
（1）比赛积分规定：每场比赛都要分出胜负，胜一场积3分，负一场积1分．某班级在15场比赛中获得总积分为41分，问该班级胜负场数分别是多少？
（2）投篮得分规则：在3分线外投篮，投中一球可得3分，在3分线内（含3分线）投篮，投中一球可得2分，某班级在其中一场比赛中，共投中26个球（只有2分球和3分球），所得总分不少于56分，问该班级这场比赛中至少投中了多少个3分球？【答案】（1）该班级胜负场数分别是13场和2场；（2）该班级这场比赛中至少投中了4个3分球．【解答】解：（1）设胜了x场，负了y场，根据题意得：解得
，
，
答：该班级胜负场数分别是13场和2场；
（2）设班级这场比赛中投中了m个3分球，则投中了（26﹣m）个2分球，根据题意得：3m+2（26﹣m）≥56，解得m≥4，
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答：该班级这场比赛中至少投中了4个3分球．三．二次函数综合题（共3小题）
3．（2023•长沙）我们约定：若关于x的二次函数y1＝a1x2+b1x+c1与y2＝a2x2+b2x+c2同时满足
+（b2+b1）2+|c2﹣a1|＝0，（b1﹣b2）2023≠0，则称函数y1与函数y2互为“美
美与共”函数．根据该约定，解答下列问题：
（1）若关于x的二次函数y1＝2x2+kx+3与y2＝mx2+x+n互为“美美与共”函数，求k，m，n的值；
（2）对于任意非零实数r，s，点P（r，t）与点Q（s，t）（r≠s）始终在关于x的函数y1＝x2+2rx+s的图象上运动，函数y2与y1互为“美美与共”函数．①求函数y2的图象的对称轴；
②函数y2的图象是否经过某两个定点？若经过某两个定点，求出这两个定点的坐标；否则，请说明理由；
（3）在同一平面直角坐标系中，若关于x的二次函数y1＝ax2+bx+c与它的“美美与共”函数y2的图象顶点分别为点A，点B，函数y1的图象与x轴交于不同两点C，D，函数y2的图象与x轴交于不同两点E，F．当CD＝EF时，以A，B，C，D为顶点的四边形能否为正方形？若能，求出该正方形面积的取值范围；若不请说明理由．【答案】（1）k的值为﹣1，m的值为3，n的值为2．（2）①函数y2的图象的对称轴为x＝﹣．②函数y2的图象过定点（0，1），（
）．
（3）当CD＝EF时，以A，B，C，D为顶点的四边形能构成正方形，该正方形面积的取值范围为S＞2．
【解答】解：（1）由题意可知，a2＝c2，a1＝c2，b1＝﹣b2≠0，∴m＝3，n＝2，k＝﹣1．
答：k的值为﹣1，m的值为3，n的值为2．
（2）①∵点P（r，t）与点Q（s，t）（r≠s）始终在关于x的函数y1＝x2+2rx+s的图象上运动，∴对称轴为x＝
，
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∴s＝﹣3r，∴
∴对称轴为x＝
，
．
答：函数y2的图象的对称轴为x＝﹣．②
令3x2+2x＝0，解得
∴过定点（0，1），（
，
）．
）．
，，，
答：函数y2的图象过定点（0，1），（（3）由题意可知∴
，
∴CD＝，EF＝，
∵CD＝EF且b2﹣4ac＞0，∴|a|＝|c|．1°若a＝﹣c，则
要使以A，B，C，D为顶点的四边形能构成正方形，则△CAD，△CBD为等腰直角三角形，∴CD＝2|yA|，∴
，
，
∴
∴b2+4a2＝4，∴
，
，
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∵b2＝4﹣4a2＞0，∴0＜a2＜1，∴S正＞2，
2°若a＝c，则A、B关于y轴对称，以A，B，C，D为顶点的四边形不能构成正方形，综上，当a＝﹣c时，以A，B，C，D为顶点的四边形能构成正方形，此时S＞2．4．（2022•长沙）若关于x的函数y，当t﹣≤x≤t+时，函数y的最大值为M，最小值为N，令函数h＝
，我们不妨把函数h称之为函数y的“共同体函数”．
（1）①若函数y＝4044x，当t＝1时，求函数y的“共同体函数”h的值；②若函数y＝kx+b（k≠0，k，b为常数），求函数y的“共同体函数”h的解析式；（2）若函数y＝（x≥1），求函数y的“共同体函数”h的最大值；
（3）若函数y＝﹣x2+4x+k，是否存在实数k，使得函数y的最大值等于函数y的“共同体函数“h的最小值．若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）①h＝2022；②h＝±k；
（2）h的最大值为；（3）存在，k的值为﹣
．
【解答】解：（1）①∵t＝1，
第11页（共29页）
∴≤x≤，∵函数y＝4044x，
∴函数的最大值M＝6066，函数的最小值N＝2022，∴h＝2022；
②当k＞0时，函数y＝kx+b在t﹣≤x≤t+有最大值M＝kt+k+b，有最小值N＝kt﹣k+b，∴h＝k；
当k＜0时，函数y＝kx+b在t﹣≤x≤t+有最大值M＝kt﹣k+b，有最小值N＝kt+k+b，∴h＝﹣k；综上所述：h＝|k|；（2）t﹣≥1，即t≥，函数y＝（x≥1）最大值M＝
，最小值N＝
，
∴h＝，
当t＝时，h有最大值；
（3）存在实数k，使得函数y的最大值等于函数y的“共同体函数“h的最小值，理由如下：
∵y＝﹣x2+4x+k＝﹣（x﹣2）2+4+k，
∴函数的对称轴为直线x＝2，y的最大值为4+k，①当2≤t﹣时，即t≥，
此时M＝﹣（t﹣﹣2）2+4+k，N＝﹣（t+﹣2）2+4+k，∴h＝t﹣2，
此时h的最小值为；
第12页（共29页）
②当t+≤2时，即t≤，
此时N＝﹣（t﹣﹣2）2+4+k，M＝﹣（t+﹣2）2+4+k，∴h＝2﹣t，
此时h的最小值为；
③当t﹣≤2≤t，即2≤t≤，此时N＝﹣（t+﹣2）2+4+k，M＝4+k，∴h＝（t﹣）2，∴h的最小值为；
④当t＜2≤t+，即≤t＜2，
此时N＝﹣（t﹣﹣2）2+4+k，M＝4+k，∴h＝（t﹣）2，∴h的最小值为；
h的函数图象如图所示：h的最小值为，由题意可得＝4+k，解得k＝﹣
；
．
综上所述：k的值为﹣
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5．（2021•长沙）我们不妨约定：在平面直角坐标系中，若某函数图象上至少存在不同的两点关于y轴对称，则把该函数称之为“T函数”，其图象上关于y轴对称的不同两点叫做一对“T点”．根据该约定，完成下列各题．
（1）若点A（1，r）与点B（s，4）是关于x的“T函数”y＝
的图象上的一对“T点”，则r＝ 4 ，s＝ ﹣1 ，t
＝ 4 （将正确答案填在相应的横线上）；
（2）关于x的函数y＝kx+p（k，p是常数）是“T函数”吗？如果是，指出它有多少对“T点”如果不是，请说明理由；
（3）若关于x的“T函数”y＝ax2+bx+c（a＞0，且a，b，c是常数）经过坐标原点O，且与直线l：y＝mx+n（m≠0，n＞0，且m，n是常数）交于M（x1，y1），N（x2，y2）两点，当x1，x2满足（1﹣x1）﹣1+x2＝1时，直线l是否总经过某一定点？若经过某一定点，求出该定点的坐标；否则，请说明理由．【答案】（1）r＝4，s＝﹣1，t＝4；
（2）当k＝0时是“T函数”，当k≠0时不是“T函数”；（3）（1，0）．
【解答】解：（1）∵A，B关于y轴对称，∴s＝﹣1，r＝4，∴A的坐标为（1，4），
第14页（共29页）
把A（1，4）代入是关于x的“T函数”中，得：t＝4，故答案为r＝4，s＝﹣1，t＝4；（2）当k＝0时，有y＝p，此时存在关于y轴对称的点，
∴y＝kx+p是“T函数”，且有无数对“T”点，当k≠0时，不存在关于y轴对称的点，
若存在，设其中一点（x0，kx0+p），则对称点（﹣x0，﹣∴kx0+p＝﹣kx0+p，∴k＝0，与k≠0矛盾，∴不存在，
∴y＝kx+p不是“T函数”；（3）∵y＝ax2+bx+c过原点，∴c＝0，
∵y＝ax2+bx+c是“T函数”，∴b＝0，∴y＝ax2，
联立直线l和抛物线得：
，
即：ax2﹣mx﹣n＝0，
，
，又∵
，
化简得：x1+x2＝x1x2，∴
，即m＝﹣n，
∴y＝mx+n＝mx﹣m，当x＝1时，y＝0，∴直线l必过定点（1，0）．
四．全等三角形的判定与性质（共1小题）
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kx0+p），6．（2023•长沙）如图，AB＝AC，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E．（1）求证：△ABE≌△ACD；（2）若AE＝6，CD＝8，求BD的长．
【答案】（1）见解答；（2）4．
【解答】（1）证明：∵CD⊥AB，BE⊥AC，∴∠AEB＝∠ADC＝90°，在△ABE和△ACD中，
，
∴△ABE≌△ACD（AAS）；（2）解：∵△ABE≌△ACD，∴AD＝AE＝6，在Rt△ACD中，AC＝∵AB＝AC＝10，
∴BD＝AB﹣AD＝10﹣6＝4．五．平行四边形的性质（共2小题）
7．（2023•长沙）如图，在▱ABCD中，DF平分∠ADC，交BC于点E，交AB的延长线于点F．
（1）求证：AD＝AF；
（2）若AD＝6，AB＝3，∠A＝120°，求BF的长和△ADF的面积．
＝
＝10，
第16页（共29页）
【答案】（1）见解析；（2）3，9
．
【解答】（1）证明：在▱ABCD中，∵AB∥CD，∴∠CDE＝∠F，∵DF平分∠ADC，∴∠ADE＝∠CDE，∴∠F＝∠ADF，∴AD＝AF，
（2）解：∵AD＝AF＝6，AB＝3，∴BF＝AF﹣AB＝3；
过D作DH⊥AF交FA的延长线于H，
∵∠BAD＝120°，∴∠DAH＝60°，∴∠ADH＝30°，∴AH＝∴
∴△ADF的面积＝
，
＝3
，
．
8．（2022•长沙）如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB＝AD．（1）求证：AC⊥BD；
第17页（共29页）
（2）若点E，F分别为AD，AO的中点，连接EF，EF＝，AO＝2，求BD的长及四边形ABCD的周长．
【答案】（1）证明见解析；（2）BD＝6，菱形ABCD的周长＝4
．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝AD，∴▱ABCD是菱形，∴AC⊥BD；
（2）解：∵点E，F分别为AD，AO的中点，∴EF是△AOD的中位线，∴OD＝2EF＝3，
由（1）可知，四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，AC⊥BD，BD＝2OD＝6，在Rt△AOD中，由勾股定理得：AD＝∴菱形ABCD的周长＝4AD＝4六．矩形的判定与性质（共1小题）
9．（2021•长沙）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，△OAB是等边三角形，AB＝4．
（1）求证：▱ABCD是矩形；（2）求AD的长．
．
＝
＝
，
第18页（共29页）
【答案】见试题解答内容
【解答】（1）证明：∵△AOB为等边三角形，∴∠BAO＝∠AOB＝60°，OA＝OB，∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB＝OD＝BD，OA＝OC＝AC，∴BD＝AC，∴▱ABCD是矩形；
（2）解：∵▱ABCD是矩形，∴∠BAD＝90°，∵∠ABO＝60°，
∴∠ADB＝90°﹣60°＝30°，∴AD＝
AB＝4
．
七．圆的综合题（共2小题）
10．（2023•长沙）如图，点A，B，C在⊙O上运动，满足AB2＝BC2+AC2，延长AC至点D，使得∠DBC＝∠CAB，点E是弦AC上一动点（不与点A，C重合），过点E作弦AB的垂线，交AB于点F，交BC的延长线于点N，交⊙O于点M（点M在劣弧（1）BD是⊙O的切线吗？请作出你的判断并给出证明；
（2）记△BDC，△ABC，△ADB的面积分别为S1，S2，S，若S1•S＝（S2）2，求（tanD）2的值；
（3）若⊙O的半径为1，设FM＝x，FE•FN•数解析式，并写出自变量x的取值范围．
＝y，试求y关于x的函
上）．
【答案】（1）BD是⊙O的切线；理由略；
第19页（共29页）
（2）；
（3）y＝x，0＜x≤1．
【解答】解：（1）BD是⊙O的切线．证明：如图，在△ABC中，AB2＝BC2+AC2，∴∠ACB＝90°．又点A，B，C在⊙O上，∴AB是⊙O的直径．∵∠ACB＝90°，∴∠CAB+∠ABC＝90°．又∠DBC＝∠CAB，∴∠DBC+∠ABC＝90°．∴∠ABD＝90°．∴BD是⊙O的切线．
（2）由题意得，S1＝BC•CD，S2＝BC•AC，S＝AD•BC．∵S1•S＝（S2）2，
∴BC•CD•AD•BC＝（BC•AC）2．∴CD•AD＝AC2．∴CD（CD+AC）＝AC2．
又∵∠D+∠DBC＝90°，∠ABC+∠A＝90°，∠DBC＝∠A，∴∠D＝∠ABC．∴tan∠D＝∴CD＝
＝tan∠ABC＝．
．
又CD（CD+AC）＝AC2，∴
+BC2＝AC2．
∴BC4+AC2•BC2＝AC4．∴1+（
）2＝（
）4．
第20页（共29页）
由题意，设（tan∠D）2＝m，∴（
）2＝m．
∴1+m＝m2．∴m＝∵m＞0，∴m＝
．
．
．
∴（tan∠D）2＝（3）设∠A＝α，
∵∠A+∠ABC＝∠ABC+∠DBC＝∠ABC+∠N＝90°，∴∠A＝∠DBC＝∠N＝α．
如图，连接OM．∴在Rt△OFM中，OF＝∴BF＝BO+OF＝1+
＝
．
．
，AF＝OA﹣OF＝1﹣
）•tanα，
∴在Rt△AFE中，EF＝AF•tanα＝（1﹣
AE＝＝．
在Rt△ABC中，BC＝AB•sinα＝2sinα．（∵r＝1，∴AB＝2．）AC＝AB•cosα＝2cosα．在Rt△BFN中，BN＝
＝
，FN＝
＝
．
∴y＝FE•FN•
第21页（共29页）
＝x2•
＝x2•
＝x2•
＝x2•＝x．即y＝x．∵FM⊥AB，
∴FM最大值为F与O重合时，即为1．∴0＜x≤1．
综上，y＝x，0＜x≤1．
11．（2021•长沙）如图，点O为以AB为直径的半圆的圆心，点M，N在直径AB上，点P，Q在
上，四边形MNPQ为正方形，点C在
上运动（点C与点P，Q不重合），连接BC
并延长交MQ的延长线于点D，连接AC交MQ于点E，连接OQ．（1）求sin∠AOQ的值；（2）求
的值；
（3）令ME＝x，QD＝y，直径AB＝2R（R＞0，R是常数），求y关于x的函数解析式，并指明自变量x的取值范围．
【答案】（1）（2）
．
．
第22页（共29页）
（3）y＝﹣（R＜x＜R）．
【解答】解：（1）如图，连接OP．∵四边形MNPQ是正方形，
∴∠OMQ＝∠ONP＝90°，MQ＝PN，∵OQ＝OP，
∴Rt△OMQ≌Rt△ONP（HL），∴OM＝ON，
设OM＝ON＝m，则MQ＝2m，OQ＝∴sin∠AOQ＝
＝
＝
．
＝
m，
（2）由（1）可知OM＝ON＝m，OQ＝OA＝∴AM＝OA﹣OM＝∴
＝
＝
m﹣m，．
m，MN＝2m，
（3）∵AB＝2R，∴OA＝OB＝OQ＝R，∵QM＝2MO，∴OM＝
，MQ＝
，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝∠DCE＝90°，∵∠CED＝∠AEM，∴∠A＝∠D，
∵∠AME＝∠DMB＝90°，∴△AME∽△DMB，∴
＝
，
第23页（共29页）
∴＝，
∴y＝﹣，
＝
，
当点C与P重合时，
∴＝，
∴x＝∴
R，R＜x＜
R．
八．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共1小题）
12．（2023•长沙）2023年5月30日9点31分，“神舟十六号”载人飞船在中国酒泉卫星发射中心点火发射，成功把景海鹏、桂海潮、朱杨柱三名航天员送入到中国空间站．如图，在发射的过程中，飞船从地面O处发射，当飞船到达A点时，从位于地面C处的雷达站测得AC的距离是8km，仰角为30°；10s后飞船到达B处，此时测得仰角为45°．（1）求点A离地面的高度AO；
（2）求飞船从A处到B处的平均速度．（结果精确到0.1km/s，参考数据：
≈1.73）
第24页（共29页）
【答案】（1）4km；（2）0.3km/s．
【解答】解：（1）在Rt△AOC中，∵∠AOC＝90°，∠ACO＝30°，AC＝8km，∴AO＝AC＝
（km），
（2）在Rt△AOC中，∵∠AOC＝90°，∠ACO＝30°，AC＝8km，∴OC＝
AC＝4
（km），
在Rt△BOC中，∵∠BOC＝90°，∠BCO＝45°，∴∠BCO＝∠OBC＝45°，∴OB＝OC＝4
km，
）km，
≈0.3（km/s）．
∴AB＝OB﹣OA＝（4
∴飞船从A处到B处的平均速度＝九．频数（率）分布直方图（共1小题）
13．（2023•长沙）为增强学生安全意识，某校举行了一次全校3000名学生参加的安全知识竞赛．从中随机抽取n名学生的竞赛成绩进行了分析，把成绩（满分100分，所有竞赛成绩均不低于60分）分成四个等级（D：60≤x＜70；C：70≤x＜80；B：80≤x＜90；A：90≤x≤100），并根据分析结果绘制了不完整的频数分布直方图和扇形统计图．
第25页（共29页）
请根据以上信息，解答下列问题：（1）填空：n＝ 150 ，m＝ 36 ；（2）请补全频数分布直方图；
（3）扇形统计图中B等级所在扇形的圆心角度数为 144 度；
（4）若把A等级定为“优秀”等级，请你估计该校参加竞赛的3000名学生中达到“优秀”等级的学生人数．【答案】（1）150，36；（2）见解析；（3）144；（4）480人．
【解答】解：（1）n＝60÷40%＝150，∵m%＝∴m＝36；
故答案为：150，36；
（2）D等级学生有：150﹣54﹣60﹣24＝12（人），补全的频数分布直方图，如图所示：
×100%＝36%，
第26页（共29页）
（3）扇形统计图中B等级所在扇形的圆心角度数为360°×40%＝144°；故答案为：144；
（4）3000×16%＝480（人），
答：估计该校参加竞赛的3000名学生中达到“优秀”等级的学生人数有480人．一十．列表法与树状图法（共1小题）
14．（2022•长沙）2022年3月22日至28日是第三十五届“中国水周”，在此期间，某校举行了主题为“推进地下水超采综合治理，复苏河湖生态环境”的水资源保护知识竞赛．为了了解本次知识竞赛成绩的分布情况，从参赛学生中随机抽取了150名学生的初赛成绩进行统计，得到如下两幅不完整的统计图表．成绩x/分60≤x＜7070≤x＜8080≤x＜9090≤x＜100
（1）表中a＝ 30 ，b＝ 0.3 ，c＝ 0.4 ；（2）请补全频数分布直方图；
（3）若某班恰有3名女生和1名男生的初赛成绩均为99分，从这4名学生中随机选取2名学生参加复赛，请用列表法或画树状图法求选出的2名学生恰好为一名男生、一名女生的概率．
60
c
45
b
a
0.2
频数15
频率0.1
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【答案】（1）30，0.3，0.4；（2）图形见解析；（3）．
【解答】解：（1）由题意得：a＝150﹣15﹣45﹣60＝30，b＝45÷150＝0.3，c＝60÷150＝0.4，
故答案为：30，0.3，0.4；（2）补全频数分布直方图如下：
（3）画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中选出的2名学生恰好为一名男生、一名女生的结果有6种，∴选出的2名学生恰好为一名男生、一名女生的概率为
＝．
第28页（共29页）
第29页（共29页）
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