高一数学笔记

第

也简称集。

一章集合

1一般地，研究对象统称为元素（element），一些元素组成的总体叫集合（set），

2元素与集合的关系；

（1）如果a是集合A的元素，就说a属于（belong to）A，记作a∈A

（2）如果a不是集合A的元素，就说a不属于（not belong to）A，记作aA（或a A）（举例） 3常用数集及其记法 非负整数集（或自然数集），记作N 正整数集，记作N*或N+； 整数集，记作Z 有理数集，记作Q 4任何一个集合是它本身的子集 5真子集的概念：若集合AB，存在元素xB且xA，则称集合A是集合B的真子集（proper subset）。记作：A B（或B A）

6空集的概念

不含有任何元素的集合称为空集（empty set），记作：

规定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集

7集合基本运算的一些结论：

A∩BA，A∩BB，A∩A=A，A∩=,A∩B=B∩A

AA∪B，BA∪B，A∪A=A，A∪=A,A∪B=B∪A

（CUA）∪A=U，（CUA）∩A=

若A∩B=A，则AB，反之也成立 若A∪B=B，则AB，反之也成立 若x∈（A∩B），则x∈A且x∈B 若x∈（A∪B），则x∈A，或x∈B 2AB，且BC，则AC ： AA ○第二章函数 §1.2.2函数的表示法 1．函数的概念： 设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数（function）．

记作： y=f(x)，x∈A．

其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域（domain）；与x的值相对应

的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域（range）．

2构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域

3 一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：AB为从集合A到集合B的一个映射（mapping）．

记作“f：AB”说明：（1）这两个集合有先后顺序，A到B的射与B到A的映射是截不同的．其中f表示具体的对应法则，可以用汉字叙述 补充：复合函数 如果y=f(u)(u∈M),u=g(x)(x∈A),则 y=f[g(x)]=F(x)(x∈A) 称为f、g的复合函数。 1.3.1函数的单调性 1．增函数 一般地，设函数y=f(x)的定义域为I， 如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1注意：

1 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质； ○

2 必须是对于区间D内的任意两个自变量x1，x2；当x12．函数的单调性定义

如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间：

3．判断函数单调性的方法步骤

利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤：

1 任取x1，x2∈D，且x1仿照偶函数的定义给出奇函数的定义

2．奇函数（odd function）（奇函数的图象关于原点对称）

一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=—f(x)，那么f(x)就

叫做奇函数．

注意：○3作出相应结论：若f(－x) = f(x) 或 f(－x)－f(x) =0，则f(x)是偶函数；若f(－x) =－f(x) 或 f(－x)＋f(x) = 0，f(x)是奇函数．

注意：函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件．首先看函数的定义域是否关于原点对称，若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称，(1)再根据定义判定; (2)由 f(-x)±f(x)=0或f(x)／f(-x)=±1来判定; (3)利用定理，或借助函数的图象判定 . §1.3.1函数的最大（小）值 （一）函数最大（小）值定义 1．最大值 一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足： （1）对于任意的x∈I，都有f(x)≤M； （2）存在x0∈I，使得f(x0) = M 那么，称M是函数y=f(x)的最大值（Maximum Value）． 思考：仿照函数最大值的定义，给出函数y=f(x)的最小值（Minimum Value）的定义．（学生活动）

注意：

1 函数最大（小）首先应该是某一个函数值，即存在x0∈I，使得f(x0) = M； ○

2 函数最大（小）应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的x∈I，都有f(x)○

≤M（f(x)≥M）．

2．利用函数单调性的判断函数的最大（小）值的方法

1 利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值 ○

2 利用图象求函数的最大（小）值 ○ 3 利用函数单调性的判断函数的最大（小）值 ○ 如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减则函数y=f(x)在

x=b处有最大值f(b)； 如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b)； §2.1.1指数 （一）指数与指数幂的运算 1．根式的概念 一般地，如果xna，那么x叫做a的n次方根（n th root），其中n>1，且n∈N*．

当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数．此时，a的n次方根用符号na表示．

式子na叫做根式（radical），这里n叫做根指数（radical exponent），a叫做被开方

数（radicand）．

当n是偶数时，正数的n次方根有两个，这两个数互为相反数．此时，正数a的正的n次方根用符号na表示，负的n次方根用符号－na表示．正的n次方根与负的n次方根可以合并成±na（a>0）．

由此可得：负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作n00．

思考：（课本P58探究问题）nan=a一定成立吗？．（学生活动）

结论：当n是奇数时，nana a(a0)当n是偶数时，nan|a| a(a0)．分数指数幂 正数的分数指数幂的意义 规定： ．有理指数幂的运算性质 （1）ar·arars (a0,r,sQ)； （2）(ar)sars (a0,r,sQ)； （3）(ab)raras

(a0,b0,rQ)．

§2.1.2指数函数及其性质

（一）指数函数的概念

一般地，函数yax(a0,且a1)叫做指数函数（exponential function），其中x是

自变量，函数的定义域为R．

2 ．你能根据指数函数的图象的特征归纳出指数函数的性质吗？

图象特征 函数性质 向x、y轴正负方向无限延伸 函数的定义域为R 图象关于原点和y轴不对称 非奇非偶函数 函数图象都在x轴上方 函数的值域为R+ 函数图象都过定点（0，1） 自左向右看， 自左向右看， 增函数 减函数 图象逐渐上升 图象逐渐下降 在第一象限内的在第一象限内的图象纵坐标都大图象纵坐标都小于1 于1 在第二象限内的在第二象限内的图象纵坐标都小图象纵坐标都大于1 于1 图象上升趋势是图象上升趋势是越来越陡 越来越缓 函数值开始增长函数值开始减小较慢，到了某一极快，到了某一

值后增长速度极值后减小速度较快； 课题：§2.2.1对数

1．对数的概念

一般地，如果axN(a0,a1)，那么数x叫做以，记．a为底．．N的对数（Logarithm）

慢； 作：

a— 底数，N— 真数，logaN— 对数式 1 注意底数的限制a0，且a1； 说明：○对数的性质 （1）负数和零没有对数； （2）1的对数是零：loga10； （3）底数的对数是1：logaa1；（4）对数恒等式：alogaNN； （5）logaann． ：§ （一）对数函数的概念

1．定义：函数ylogax(a0，且a1)叫做对数函数（logarithmic function）

其中x是自变量，函数的定义域是（0，+∞）．

1 对数函数的定义与指数函数类似，注意：○都是形式定义，注意辨别．如：y2log2x，

ylog5x 都不是对数函数，而只能称其为对数型函数． 52 对数 指数 对数 ○

（二）对数的运算性质

如果a0，且a1，M0，N0，那么： 1 loga(M·N)logaM＋logaN； ○2 loga○MlogaM－logaN； N3 logaMnnlogaM (nR)． ○注意：换底公式 logcb （a0，且a1；c0，且c1；b0）． logcalogab利用换底公式推导下面的结论 1n（2）logab． logab；logbam（1）logabnm函数对底数的限制：(a0，且a1)． 2 类比指数函数图象和性质的研究，研究对数函数的性质并填写如下表 ○

图象特征 函数性质 函数图象都在y轴右侧 函数的定义域为（0，＋∞）

图象关于原点和y轴不对称 非奇非偶函数 向y轴正负方向无限延伸 函数的值域为R 函数图象都过定点（1，1） 自左向右看， 自左向右看， 增函数 减函数 图象逐渐上升 图象逐渐下降 第一象限的图第一象限的图象纵坐标都大象纵坐标都大于0 于0 第二象限的图第二象限的图象纵坐标都小象纵坐标都小于0

于0