由小见大,运筹千里

由小见大，决胜千里

——“动点最值”精选

1.如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，若AC=12，则四边形ABCD面积的最大值是（ ） A.36 B.362 C.72 D.722

B C

B P A

A D

E D C B F O C A D 第1题图 第2题图 第3题图

2.如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC=8，点D是斜边BC的中点，点E、F分别在直角边AB、AC上运动，且保持BE=AF，连接DE、DF、EF，求△AEF面积的最大值.

3.如图,在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，O为矩形ABCD的中心，以D为圆心1为半径作⊙D，P为⊙D上的一个动点，连接AP、OP，则△AOP面积的最大值为（ ） A.4 B.

213517 C. D. 5844.如图，⊙O的半径为1，弦AB=1，点P为优弧AB上一动点，AC⊥AP交直线PB于点C，则△ABC的最大面积是（ ） A.

P O B C B C B C A 2331 B. C. D.

2242A D A D

第4题图 第5题图 第6题图

5.在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC⊥BD，若AD=6，BC=14，则四边形ABCD面积的最大值是 . 6.四边形ABCD中，AB=20,BC=30,∠B=120°，∠A+∠C=195°，求四边形ABCD面积的最大值.

7.四边形ABCD中，AB=AD，AC=42，∠BAD=2∠BCD=60°，求四边形ABCD面积的最小值.

8.在四边形ABCD中，BC=BA，BD=30，∠A+∠C=180°，求四边形ABCD面积的最大值.

C

D

B

A

B A D C

9.（1）如图，菱形ABCD的边长为6，对角线AC=63，点E、F在AC上，且EF=2，求DE+BF的最小值.

D

（2）如图，四边形ABCD中，AB=AD=6，∠BAD=60°，∠BCD=120°,求四边形ABCD周长的最大值.

A B

D C B

A E F C

10.如图，在△ABC中，∠BAC=45°，AD⊥BC于点D，已知BD=6，CD=4，求△ABC的面积.

11.如图，线段AB的长为20，点D在AB上，△ACD是边长为8的等边三角形，过点D作与CD垂直的射线DP，过DP上一动点G（不与D重合）做矩形CDGH，记矩形CDGH的对角线交点为O,连接OB，求线段BO的最小值.

12.如图，已知AB=8，P为线段AB上一动点，分别以AP、BP为边在AB的同侧作菱形APCD和PBFE，点P，C，E在一条直线上，∠DAP=60°，M、N分别是对角线AC、BE的中点，当点P在线段AB上移动时，求点M、N之间的最短距离.

A D M P B C E

N

F

A C O G D B

P H B D C A 13.如图，P为⊙O内的一个定点，A为⊙O上的一个动点，射线AP、AO分别与⊙O交于B、C两点，若⊙O的半径为3，OP=3，求弦BC的最大值.

C O B P A 14.如图，菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°，点P、Q、K分别为线段BC、CD、BD上的任意一点，求PK+QK的最小值.

15.如图，∠MON=90°矩形ABCD的顶点A、B分别在OM、ON上，当B在边ON上运动时，A随之在边OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=2，BC=3，运动过程中，当点D到点O的距离最大时，OA的长度为（ ） A.31 B.3 C.2 D.23

第15题图 第16题图 第17题图

16.如图，∠MON=90°，△ABC的顶点A、B分别在OM、ON上，其中∠BAC=90°，AB=BC=2，当B在边ON上运动时，A随之在边OM上运动，Rt△ABC的形状保持不变，运动过程中，点C到点O的最大距离为（ ） A.22 B.5 C.51 D.10

17.如图，点A、B分别在直角MON的边OM和ON上运动，且AC=BC=26，AB=20，则点C到点O的最小距离为（ ） A.10 B.226 C.14 D.16

18.已知等边△ABC的边长为2，两顶点A、B分别在平面直角坐标系的x轴负半轴，y轴正半轴上滑动，点C在第四象限，连接OC，则线段OC长的最小值是 .

O A B E D P E A O C C N B O B N C O M D M A B P

C A K Q D

M A

B N

y D B A P x C A C C B 第18题图 第19题图 第20题图

19.如图，点C是线段AB上的动点，分别以AC、BC为边在AB的同侧作等边△ACD，等边△BCE，BD、AE交于点P,若AB=6，则PC的最大值为 .

20.如图，线段AB长为6cm，点C是线段AB上一动点（不与A，B重合），分别以AC和BC为斜边，在AB同侧作等腰直角三角形△ADC，△CEB，点P是DE的中点，当点C从距离A点1cm处沿AB向右运动至距离点B1cm处时，点P运动的路径长是 cm.

21.如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠A=60°，点M是AD边的中点，连接MC，将菱形ABCD翻折，使点A落在线段CM上的点E处，折痕交AB于点N，则线段EC的长为 .

M D E E C F B C

A D B D A

A

N B F E C 第21题图 第22题图 第23题图

22.如图，在△ABC中，AB=AC=62,∠BAC=90°，点D、E为BC边上的两点，分别沿AD、AE折叠，B、C两点重合于点F，若DE=5，则AD的长为 .

23.已知，如图，△ABC中，∠A=45°，AB=6，AC=42,点D、E、F分别是三边AB、BC、CA上的点，则△DEF周长的最小值是 .

24.如图，在矩形ABCD中，点M、N分别在边AD、BC上，将四边形CDMN沿直线MN翻折后，点D落在边BC上的点P，如果AB=3，BC=9,那么△PMN的面积S的取值范围是 . A M D A′

B D P N C B C

O A C A E

D

y l P B x 第24题图 第25题图 第26题图

25.如图，矩形ABCD中，AB=5，AD=8，E是AD上一动点，把△ABE沿BE折叠，当点A的对应点A′落在矩形ABCD的对称轴上时，则AE的长为 .

26.如图，在平面直角坐标系中，点A（4，0），点B（0，2），过点A的直线l⊥线段AB，P是直线l上一动点，过P作PC⊥x轴，垂足为C，把△ACP沿AP翻折180°，使点C落在点D处，且以点A、D、P为顶点的三角形与△ABP相似，则所有满足此条件的点AP的坐标是 .

27.如图，在平面直角坐标系中，已知A（0，4），B（-1，0），在y轴上有一动点G，则BG+

B O A D 1AG的最小值为 . 3D E G C yB C

x O E F A

A F B 第27题图 第28题图 第29题图

28.如图，矩形OABC中，OA=3，OB=4，D为OB中点，E，F为OA上两动点，且EF=2,则四边形CDEF周长的最小值为 .

29.如图，正方形ABCD的边长为4，在这个正方形内作等边三角形EFG（三角形的顶点可以在正方形的边上），使它们的中心重合，则△EFG的顶点到正方形ABCD的顶点的最短距离是 .

30.如图，在平面直角坐标系中，已知A（0，4），B（4，0），以AB为边在第一象限内做正方形ABCD，在△AOB内部作正方形OPQR，使P、R、Q三点分别在线段OA、OB、AB上，将正方形OPQR绕点O顺时针旋转时，求点C到点Q距离的最大值和最小值.

y A P Q D y C B A B′ A′ C A D

O R B x O x B C 第30题图 第31题图 第32题图

31.如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A、B分别落在x轴、y轴的正半轴上，顶点C在第一象限，BC与x轴平行，已知BC=2，△ABC的面积为1，将△ABC绕点C顺时针旋转90°，△ABC旋转到△A′B′C的位置，求经过点B′的反比例函数关系式.

32.等邻边四边形ABCD中，AD=CD，∠ABC=75°，∠ADC=60°，BD=4，求四边形ABCD面积的最小值.

33.已知，AB=8，点P为线段AB上的一个动点，分别以AP、BP为边在AB同侧作正方形APDC、BPEF. （1）请求出这两个正方形面积之和的最小值.

（2）如图2，以AB为边作正方形ABCD，动点P、Q在正方形ABCD的边上运动，且PQ=8，若点P从点A出发，沿A→B→C→D的线路向点D运动，求点P从A到D的运动过程中PQ的中点O所经过的路程的长.

34.如图，正方形ABCD的边长为4，对角线AC、BD的交点为O，以O为端点引两条相互垂直的射线OM、ON，分别交AB、BC于点E、F，求EF的最小值.

35.在△ABC中，AB=2，∠ACB=120°

（1）求△ABC周长的最大值；（2）求△ABC面积的最大值.

B N F

C

A M E O D

D A E C P B A F D Q O P B C 36.如图，∠MON的边OM、ON上分别有点A、D，且∠MON=30°，OA=10，OD=6，B，C分别是OM、ON上的动点，求AC+BC+BD的最小值.

37.如图，∠AOB=45°，P是∠AOB内一定点，PO=10，Q、R分别是OA、OB上的动点，求△PQR周长的最小值.

38.如图，△ABC是等边三角形，点D是△ABC外一点，且DA=3，连接DB、DC，求线段DB+DC的最小值.

D B C A O Q R A P B

O N

B A M

D C

39.如图，正方形ABCD内一点E，E到A、B、C三点的距离之和的最小值为2

B E C A 6，求此正方形的边长.

D 40.（1）如图，矩形ABCD中，AB=6，AD=8，E、F分别为AB、AD的中点，点M、N分别为BC、CD上的动点，求四边形EFNM周长的最小值.

A F

D N

E

B M

C

（2）如图，正方形ABCD的边长为2，点O为AB边中点，在边AD、CD、BC上分别确定点M、N、P，使得四边形OMNP周长最小，并求出最小值.

M D N

C

A O P B

41.如图，矩形ABCD中，AB=4，AD=8，点E、F分别在线段BC、CD上，若点F是CD的中点，点E在线段BC上运动，将△CEF沿EF折叠，点C落在点M处，连接MB、MD，求四边形ABMD周长的最小值和此时CE的长度.

B E C M F

A D

42.（1）如图，点A在直线l上，以A为直角顶点作等腰直角△ABC，过点B作BM⊥l，过点C作CN⊥l,垂足分别为M、N，若BC=4，求四边形BMNC周长的最大值.

B M A N C l （2）如图，线段AB=4，点O是AB的中点，以O为直角顶点作Rt△COD，使得∠ODC=60°，OD=3,连接AD、BC，求四边形ABCD面积的最大值.

43.小明在一次数学兴趣小组活动中，对一个数学问题作如下探究：

A O B D C 问题情境：如图1，四边形ABCD中，AD∥BC，点E为DC边的中点，连接AE并延长交BC的延长线于点F，求证：S四边形ABCDSABF

B A

D

E C

F

问题迁移：如图2，在已知锐角∠AOB内有一个定点P，过点P任意做一条直线MN，分别交射线OA、OB于点M、N.小明将直线MN绕点P旋转的过程中发现，△MON的面积存在最小值，请问当直线MN在什么位置时，△MON的面积最小，并说明理由.

问题解决：如图3，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A、B、C、P的坐标分别为（6，0）、（6，3）、（

O M P N B A 9，2以点O为顶点的四边形面积的最大值.

9）、（4，2），过点P的直线l与四边形OABC一组对边OC、AB相交，将四边形OABC分成两个四边形，求其中2y C B P

O A x 44.在△ADG中，DG=2,∠GAD=45°，分别以AG、AD为边向外作正方形AGFE、正方形ABCD,连接EB，则△ABE面积的最大值是多少？

45.定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”，如图，在边长为6的正方形ABEF上裁出“等对角四边形”ABCD，若已经确定DA=4，∠DAB=60°，是否在正方形ABEF内（包括边上）存在一点C，使四边形ABCD是以∠DAB=∠BCD为等对角的“等对角四边形”的面积最大？若存在，试求出四边形ABCD面积的最大值.

46.如图，直线l外有一点D，点D到直线l的距离为5，△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，tan∠CAB=

A B

D F E

B C

E A F

G D

1，边AB在直线3l上滑动，求四边形ABCD周长的最小值.

D C A B l