数学小报

证明过程【证法1】 做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b，CDaAcbEcabB历史上关于勾股定理的事情 斜边长为c，再做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形. 从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b，所以面积相等. 11ab4abc24ab22 即 22【证法.3】（1876年美国总统Garfield证明） 以a、b 为直角边，以c为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于二分之一ab. 把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上. ∵ RtΔEAD ≌ RtΔCBE, ∴ ∠ADE = ∠BEC. ∵ ∠AED + ∠ADE = 90º, ∴ ∠AED + ∠BEC = 90º. ∴ ∠DEC = 180º―90º= 90º. ∴ ΔDEC是一个等腰直角三角形， 它的面积等于1/2c². 又∵ ∠DAE = 90º, ∠EBC = 90º,∴ AD∥BC. ∴ ABCD是一个直角 梯形，它的面积 等于1/2（a+b）. ∴1/2（a+b）²= 2*1/2ab+c² ∴a²+b²=c² ， 整理得 ab. a2b2c2b ab acaacbca b bbccbca aabb 【证法2】（赵爽证明）aDbGAaHEFC c以a、b 为直角边（b>a）， 以c为斜 边作四个全等的直角三角形，则每个直角 三角形的面积等于二分之一ab. 把这四个直角三 B角形拼成如图所示形状. ∵ RtΔDAH ≌ RtΔABE, ∴ ∠HDA = ∠EAB. ∵ ∠HAD + ∠HAD = 90º，∴ ∠EAB + ∠HAD = 90º， ∴ ABCD是一个边长为c的正方形，它的面积等于c2. ∵ EF = FG =GH =HE = b―a ,∠HEF = 90º. 《周髀算经》的开头，记载着一段对话：周公问：“我听说您对数学非常精通，我想请教一下：天没有梯子可以上去，地也没法用尺子去一段一段丈量，那么怎样才能得到关于天地得到数据呢？”商高回答说：“数的产生来源于对方和圆这些形体饿认识。其中有一条原理：当直角三角形‘矩’得到的一条直角边‘勾’等于3，另一条直 角边‘股’等于4的时候，那么它的斜边‘弦’就必定是5。”所以又被称为商高定理。 希腊的著名数学家毕达哥拉斯发现了这个定理，因此世界上许多国家都称勾股定理为“毕达哥拉斯 定理”。 传说中为了庆祝这一定理的发现，毕达哥拉斯学派杀了一百头牛酬谢供奉神灵，因 此这个定理又有人叫做“百牛定理”。 《周髀》上还说：“故禹之所以治天下者，此数之所由生也”。意思是大 禹除了把勾股定理 应用于治水工程中，还把其中的原理延伸至国家 建章立制的政治高度。 【证法4】（梅文鼎证明） 做四个全等的直角三角形，设它 们的两条直角边长分别为a、b ， 斜边长为c. 把它们拼成如图那样的 2ba∴ EFGH是一个边长为b―a的正方形，它的面积等于. ∴ a2b2c2. 124abbac22∴ 勾股定理 勾股定理在生活里的应用 RT△ABC 家装时,工人为了判断一个墙角是否标准直角 .可以分别在墙角向两个墙面量出30cm,40cm 并标记在一个点,然后量这两点间距离 是否是50cm如果超出一定误差, 则说明墙角不是直角.比如 A点有一高 杆在其附近B点要把从杆顶引下来的绳固 定在此点就可以算出绳子的长度要求了 在做木工活时,要是有大块的板材要定直角, 就用勾股定理.角尺太小,在大板上画的直角误差大.在做焊工 活时,做大的框架,有一定要直角的也是用勾股定理.比如说我 要一个直角,就取一个直角边3米,一个直角边4米,让斜边有5 米,那这个角就是直角了. 比如已知两个螺丝之间的位置,我们便可以用勾股定理求出两个螺丝之间的距离. 一个多边形，使D、E、F在一条直线上. 过C作AC的延长线交DF于点P. ∵ D、E、F在一条直线上, 且RtΔGEF ≌ Rt ΔEBD,∴ ∠EGF = ∠BED， ∵ ∠EGF + ∠GEF = 90°，∴ ∠BED + ∠GEF = 90°， ∴ ∠BEG =180º―90º= 90º. 又∵ AB = BE = EG = GA = c， ∴ ABEG是一个边长为c的正方形. ∴ ∠ABC + ∠CBE = 90º. ∵ RtΔABC ≌ RtΔEBD,∴ ∠ABC = ∠EBD. F∴ ∠EBD + ∠CBE = 90º. 即 ∠CBD= 90º. ba又∵ ∠BDE = 90º，∠BCP = 90º， EcGBC = BD = a. P∴ BDPC是一个边长为a的正方形. bb同理，HPFG是一个边长为b的正方形. Ccc设多边形GHCBE的面积为S， DHaab则a²+b²=S+2*1/2ab，c²=S+2*1/2ab a ∴a²+b²=c² AcB 【证法5】（辛卜松证明） 设直角三角形两直角边的长分别为a、b，斜边的长为c. 作边长是a+b的 正方形ABCD. 把正方形ABCD划分成上方左图所示的几个部分，则正方形ABCD 的面积为 （a+b）²=a²+b²+2ab；把正方形ABCD划分成上方右图所示的几个部分， 则正方形ABCD的面积为 222 ∴ ab2ab2abc, 222∴ abc. Aababab241abc22 =2abc. 2aa2DaAbcc21aba2caD1ab2bbBb2ababCbcb1ab2aBc1aab2Cb