量纲分析作业

整理：夏伟光

1、量纲是否就是单位？两者有何关系。

答:量纲不是单位。量纲表示物理量的基本属性。不同属性的物理量具有不同的量纲。单位是用来对物理量度量的标准。 2、“Dimension”一词有什么涵义（从中看出其演变）

“Dimension”开始有“维数”的意思；后有“长度，尺寸”的意思，指运动学、几何学上的概念；后来出现“量纲”的涵义，用来表示物理量的基本属性。

3、自由落体问题中，什么是基本量和导出量，单位系统如何选择，选法是否唯一？

答：自由落体问题中含有三个变量：下落行程h，下落时间t，重力加速度g。可以以h，g为基本量，t为导出量，以h，g为单位系统，也可以选t，g为基本量，h为导出量。t，g为单位系统，选法不唯一。 4、从物理上分析摆锤质量为何与单摆周期无关。

答： 对于一个单摆，当摆长l一定时，摆球的位置由摆角确定，摆球的运动由重力加速度g决定，摆球的运动是一个纯运动学的问题，与摆球的质量无关，所以摆球的周期与摆球的质量无关。 5、什么是谐振子，求自然频率。

答：把振动物体看作不考虑体积的微粒，这个振动物体称作谐振子。所谓谐振，在运动学就是简谐振动，该振动是物体在一个位置附近往复偏离该振动中心位置（叫平衡位置）进行运动，在这个振动形式下，物体受力的大小总是和他偏离平衡位置的距离成正比，并且受力方向

总是指向平衡位置。

自频率f与弹性系数k，微粒质量m有关。所以

fg(m,k)1M M 2TT取m，k为基本量并作单位系统，所以

fkmkmg(1,1)C

fC6、把π定理和有的书上说的相似三定理进行比较，分析说明哪个更本质？

答：相似三定理：

相似第一定理：彼此相似的现象其同名各相似准则数值相同。 相似第二定理：现象的各物理量之间的关系，可化为相似准则的关系。 相似第三定理：如两个现象单值条件相似，而且由单值组成的各相似准则数值相同，则两个现象相似。

相似三定理与π定理相比，显然π定理中各1,2,,Nk表示由其单位组成的无量纲量，而这些无量纲量即是相似三定理中的“同名相似准则”，显然，对于同一个函数f，f内各无量纲量值相同后，f值也必定唯一，即相似三定理中的“同一类现象、单值条件相似”等条件。

（1）相似第一定理：即π定理中若两个现象具有相同的函数

f(1,2,,Nk)，则其无量纲量数值相同。

（2）相似第二定理：即π定理中一个物理现象，因变量a是n

个自变量a1，a2，，an的函数，即af(a1，a2，,ak,ak1,,an)，

取

a1，a2，,ak作为单位，将因变量a无量化为f(1，2，,nk)，即无

量纲化因变量是nk个无量纲化自变量1，2，,nk的函数。

(3) 相似第三定理：即π定理中两个现象的各无量纲量

1,2,,Nk数值相同，且函数f形式相同，则f值也必定唯一。

相似三定律这么复杂的表述，用π定理一句话就能得到，显然π定理更本质。

7、用隐函数证明π定理。

答：把物理问题的一个因变量和N-1个自变量统一视作变量，其总数是N。记作a1，a2，，aN，则可将物理规律表示为

f(a1，a2，，aN)0

不妨取前k个变量，它们是a1，a2，，ak，其量纲分别为A1，A2，，Ak。后面N-k变量是导出量，其量纲可表示为基本量的量纲的幂次式：

[ak1]A1p1A2p2q2[ak2]A1q1A2Akpk,Akqk,Akrk

r2[aN]A1r1A2用基本量a1，a2，，ak作为单位系统，来度量其余量，由此得到的量值都是无量纲的纯数，它们满足的关系是：

f(1,1,,1;ak1(a1p1a2p2q2akpk),ak2(a1q1a2qkak),r2,aN(a1r1a2rkak)）0

上式后面N-k个为对F起作用的无量纲因变量，记为1,2,,Nk，因此函数关系可写为

f(1,2,,Nk)0

8、推导物理量量纲的幂次表达式的最后一步。

答：

rlff(rl,rm,rt)f(rl,rm,rt)(f(r,r,r))lmtrrllrlrff(rl,rm,rt)f(rl,rm,rt)m() f(rl,rm,rt)rrrmmmrff(rl,rm,rt)f(rl,rm,rt)t(f(r,r,r))lmtrtrtrtdfffffffdrldrmdrtdrldrmdrt rlrmrtrlrmrtdfdrldrmdrt frlrmrt两边积分得：lnflnrllnrmlnrtlnC

所以 fCrlrmrt (1)

由于f(rl,rm,rt)f(rl,rm,rt)f(rlrl,rmrm,rtrt)

而rl,rm,rt的取值也具有任意性，可取rlrl,rmrm,rtrt 可得：f(1,1,1)1

代入（1）式可得：C=1，所以f(rl,rm,rt)rlrmrt

可见，与之相对应，物理量X的量纲表示式应为

[X]LMT

9、盛水容器底侧小孔的出流速度。（有图）

答：小孔的出流速度v与容器中水的高度h，重力加速度g和小孔的直径d有关。

vf(d,g,h)LL L 2 L TT取,g,d为基本量，故有vdf()

hgh将f()在x=0点泰勒展开，

ddf'(0)d2f()f(0)f'(0)()...... hh2!hdh由于是小孔，

ddv《1，所以f()≈f(0)=C，即C, vCgh hhgh由不可压缩流体的伯努利方程知 C=2，即 v2gh。 10、若溢洪道断面为三角形，讨论溢洪流量。（有图）

答：单位时间内流过挡墙的质量流量Q，控制参数有三角形的底部顶角，流体的密度，上游水头h，重力加速度g。

Qf(,g,h,)MML 3 2 L 1 TLT取，g，h为单位系统，则：

Qgh121252f(1,1,1,)，所以

Qghf()

5211、分析定常管流的摩擦系数和总管阻？什么情况下可不考虑密度的影响，说明其物理原因。

答：摩擦系数Cd为单位面积上的管流阻力和管动压之比。因此，Cd与管直径d，液体密度，粘度系数，流速U相关。即

Cdf(,,U,d)

取,U,d为基本量并作单位系统，得Cdf(总管阻PCdU22dlUd)f(Re)

dl2U2f(Re)

（2）层流时，可以不考虑密度的影响。层流时，每个质点基本上作等速运动，流元所受的惯性力和粘性力相比较小，惯性效应不明显。

因此可不考虑惯性即密度的影响。

12、在低速绕流问题中，如水和空气互相模拟，问机、艇的尺寸和速度的缩比范围是什么？

解：固体受到流体的作用力wf(l,l',v,,,) 取l,v,作为单位，得

wl'vl，其中 f(,,Re)Re22vll低速绕流的模拟需要两方面的模拟条件，即 ① 几何相似：()m()p和mp； ② 动力学相似：(Re)m(Re)p。 （1）先分析低速飞机在水中的模拟

对于低速飞行的飞机，飞行的速度范围200～400km/h，即50～120m/s，一般飞机的尺寸：长30～60m，翼展30～60m，高10～20m，水洞的尺寸：直径d=0.1～2m， 则尺寸缩比为llplm15600（考虑做模型试验时飞机的放置方式，

l'll'l显然应以翼展方向的缩比为准）。

常温下空气的运动粘性系数p()p14.8106m2/s，水的运动粘性系数m()m1.007106m2/s，

(vl)p(/)p14.8106vlvl由(Re)m(Re)p，得()m()p，得14.7 6(vl)m(/)m1.00710则

vpvm14.7•lm0.021 lp又vp50120m/s，所以vm506000m/s

一般情况下，水洞的水流速度的量级为1～10m/s，显然流速远远达不到要求，因此用水洞模拟飞机的低速绕流是不现实的。 （2）再分析潜艇在空气中的模拟：

对于低速前行的潜艇，其实际速度vp520m/s，潜艇的尺寸：长50～100m，宽5～15m，风洞的尺寸：直径为0.1～3m， 则尺寸缩比为llplm显2150（考虑做模型试验时潜艇的放置方式，

然应以宽度方向的缩比为准）。

常温下水的运动粘性系数p()p1.007106m2/s，空气的运动粘性系数m()m14.8106m2/s。

(vl)p(/)p1.007106vlvl由(Re)m(Re)p，得()m()p，得0.068 6(vl)m(/)m14.810所以

vpvm0.068•lm0.00050.03 lp又vp520m/s，所以vm15040000m/s

因此当潜艇的速度很小且尺寸较小时，可以用大尺寸的风洞进行模拟，即只有在这种情况下模型试验才可以在风洞中进行。 13、作船舶润湿面积的量纲分析。（有图）

答：船舶的润湿面积S的控制参数有：船舶外形的特征长度l，排水体积D，船行进的速度v，水的密度，水的粘性系数，重力加速度g。所以

Sf(l,D;V;,,g)ML 23LML L L 3 TLTLT2取l,v,作为单位系统，得到

13SDgf(,,)，所以 232llvlvlSDvlv2f(,,)f(,Re,Fr)l2lgl

14、轴承问题是否要考虑惯性效应？说明理由。

答：在轴承润滑问题中，存在三种力，即惯性力，粘性力和压力。但是一般情况下，标志惯性力和粘性力之比的

vhh()在0.001-0.01之l间，所以可忽略惯性力的影响。为表征惯性的密度，v是滑速，h是滑面平均间隙，hRr（R为定承半径，r为轴半径）。 15、求小球在流体中下落的最终速度和所受的力。 解：控制参数：小球的特征长度，取直径d 小球的密度s和水的密度 重力加速度g和水的粘性系数

对小球进行受力分析：小球在达到最终速度时已经处于平衡状态，此时受到三个力的作用，重力G、浮力F'和粘滞阻力F，其中重力向下，浮力和粘滞阻力向上，所以有 FGF'

由stokes公式知粘滞阻力Fkvd, 即 kvdGF'

显然在分析小球的最终速度v时，小球的密度s和水的密度是以差的形式即(s)出现的，小球的最终速度v满足函数关系 vf(s,,g,d) 取s，和d作为单位系统，有

v/(s)df(g/d223)

2d3g即 vf() （1） 2(s)d由stokes公式知粘滞阻力Fkvd，

小球达到平衡后粘滞阻力F将是恒值，所以速度v和成反比，即 v所以（1）式可化为 v粘滞阻力Fkvdk•C其中C,C'为常数。

16、什么条件下可不考虑表面张力对水波波速的影响。从物理上做简单分析。

答：波长比较长时可不考虑表面张力对水波波速的影响。由水波理论：

(2)Tstanh(2H) 112g(2H)(gH)2c212121



•C(s)2d3gC(s)gd2(s)d2

(s)gd2•dC'(s)gd3

(2)2Ts若波长比2(Ts(g))大得多，的值就远小于1，则可以忽略2g12表面张力的影响。

16、讨论两端固定的梁在侧载作用下的挠度。（有图）

答：控制参数有梁的长度l，杨氏模量E，截面矩I，分布载荷q(x)，它可以由特征分布载荷qm和表示分布特征的长度lm来表征。所以

wf(x;l;EI;qm,lq)L L L FL2 F

LLwxqml3lq,)选取l和EI作为基本量，则：f(;llEIl

lqqml3constconstlEI只要保持和，就会有一个无量纲的挠度分布 wxf()l l17、讨论悬臂梁在自重作用下的最大挠度与梁长的关系。 解：显然梁的最大挠度发生在梁的自由端处，即xl处 控制参数：梁的长度l 梁的抗弯刚度EI 单位长度的梁的重量q

wmax f(l,EI,q)

ML3M

L L 2 2TTwmaxql3f() 取 l,EI坐位单位系统，则 lEI又在弹性范围内，wmax1 Ewmaxql3C所以有 ，其中C为常数， lEI即 wmaxql4C 所以 wmaxl4

EI18、什么样的结构物需要考虑重力的作用？

答:（1）重力占主导作用时，如分析悬臂梁在自重作用下的挠度分布，显然要考虑重力。

（2）在弹性体的高度h超过一定数值，即表征重力gh与弹性极限Y的比值

gh接近或超过1时，弹性体所受到的重力效应不能被Y忽略，这样的结构物需要考虑重力的作用。

（3）即使表征重力gh与弹性极限Y的比值

gh远远小于1，如Y果所要研究的问题出现弹性失效，如屈曲失稳，也应该考虑重力的作用。

19、调查一下国内的离心机有多大，可以做什么样的结构物的重力效应实验。

答：（1）工业装备结构分析，国家重点实验室

最大载荷100kg ，加速度范围20500m/s2，最大回转半径2250mm,主要用于航空航天领域的科学研究。

（2）中国工程物理研究院结构力学研究所 TLJ-60

有效半径2.0m，最大载荷：100g时600kg，200g时300kg。最大容量60gt，加速度范围10-200g，用于模拟边坡、隧道、大坝、矿井等土工结构场在重力场作用下的变形特性和应力状态试验。 20、如方形空心梁由实心梁代替，那么实心梁的形状要求符合什么条件？

解：对梁的挠度分析可知，不必要求模型的截面形状遵守几何相似的

qml3const，即 条件，只要求截面矩满足EIqml3qml3)m()p (EIEI对于方形实心梁，设边长为L，则 Im14L 121(L14L24) 12对于方形空心梁，设外边长为L1，内边长为 L2，则 Ip21求有限弹性体的固有周期。

答：控制参数有：周期T，弹性体特征长度l，密度，杨氏模量E，

泊松比，则

Tf(l,,E,)MM

T L 3 12LLT取l,,E为基本量并作为单位系统，所以：

Tf()l lTf()EE22、弹性体中体波的传播有无色散现象，为什么？

答：体波是指体内一点扰动在有限时间传播到有限体积的波，显然在体波的传播中没有特征长度，也就无法去度量波长，所以体波波速的控制参数中没有波长。

波速c的控制参数有介质的密度，泊松比，杨氏模量E，则：

cf(,E,)LMM 3 1TLLT2取，E作为基本量，则有cE•f()，即 cE•f()

体波的波速与波长无关，所以弹性体中体波的传播没有色散现象。 23、杆径对杆中弹性波波速起什么作用？

答：杆中弹性波一方面沿杆长方向传播，另一方面当遇到杆表面时会发生反射，因而会影响波的传播，波速表达式中会出现项。由量纲分析波速c(E)f(v;R)，波速与波长有关。因此细杆中弹性波为色散波。

12R细长杆压缩波波速c(E)[12v2(R)2]，当R增加时，波速降低。 24、求两块单板正面相撞引起的弹性波的波速。（与有关弹性波书中的结果作对比）

答：波速c的控制参数有平板的密度，泊松比，杨氏模量E，则：

cf(,E,)LMM 3 1TLLT212取，E作为基本量，则有cE•f()，即 cE•f()

王礼立的《应力波基础》给出的一维应变弹性纵波波速c为

c1E1f() 即 (1)(12)(1)(12)E。

由于00.5，所以可得 f()1，即c25、若硬度计的压头不是锥形而是球形，可否分析硬度和强度在什么条件下成正比？

答：材料杨氏模量E，屈服极限Y，n是塑性硬化指数，泊松比，给定了材料和球形压头半径R，那么，载荷F和接触深度hc应该由压入深度h唯一确定。

FfF(E,;Y,n;h,R)

和hcfh(E,;Y,n;h,R)

c因硬度H定义为HF(a)2，而aR2(Rhc)2 所以H同样是上述自变量的函数，即HfH(E,;Y,n;h,R) 取E，R作为基本量并取作单位系统，于是有：

hF(ER2)fF(YE,,n,),RhhcRfhc(YE,,n,),

RhHEfH(YE,,n,)R也可写为 HYgH(YE,,n,)

可见右边无量纲数中是随h的变化而变化的，难以判断H和Y成正比关系。

26、什么是几何相似？什么是几何相似律？举例说明。

答：几何相似是指在模型实验中，模型与原型之间遵循的几何形状相似条件。

例如在低速绕流中，几何相似指（l/l,)m（l/l,)p，即mp 几何相似律：若模型采用与原型相同的材料，则在满足几何形状相似和分布函数相同的条件下，在几何相似点上有相同的相对位移，应力和应变。

例如在考虑弹性体内的位移wi，应力ij，应变ij时，在几何相似点上有(wi/l)m(wi/l)p,(ij)m(ij)p,(ij)m(ij)p 27、相似律是否一定相求几何相似？

答：不一定，例如在分析梁的挠度时，不必要求模型的截面形状遵守

qml3const，即 几何相似的条件，只要求截面矩满足EIqml3qml3)m()p (EIEIhRhR再例如在结构失稳的临界载荷模拟实验中，不需要截面形状几何相似，只要做到原型和模型的截面矩具有相同的分布函数。

28、估计和比较典型金属材料中弹性波传播和热传导的特征时间。 答：（1）对于钢，7.8103kg/m3,c0.50103Nm/(kgK)

l1m,50N/(secK),E2.11011kg/(sec2m)

弹性波的传播时间约为：te.wl(E/)1m(0.5210m/sec)4121(2.11011(7.8103))12sec

1.9104sec

热传导的特征时间约为：

th.c.2cl332(7.8100.50101)50sec0.78105sec

0.7810sec5两个特征时间的比值为：te.wt41.910sech.c.2109

两个特征时间相差九个数量级之多。

（2）对于铜，8.9103kg/m3,c0.39103Nm/(kgK)

l1m,401N/(secK),E1.21011kg/(sec2m)

弹性波的传播时间约为：te.wl(E/)1m(0.3710m/sec)4121(1.21011(8.9103))12sec

2.7104sec

热传导的特征时间约为：

th.c.2cl332(8.9100.39101)sec8.6103sec 4018.610sec3两个特征时间的比值为：

te.wth.c.42.710sec3.1108

两个特征时间相差八个数量级之多。

（3）对于铝，2.69103kg/m3,c0.88103Nm/(kgK)

l1m,237N/(secK),E0.71011kg/(sec2m)

弹性波的传播时间约为：te.wl(E/)121(0.71011(2.69103))12sec

1m(0.5110m/sec)41.96104sec

热传导的特征时间约为：

th.c.2cl332(2.69100.88101)237sec1104sec

110sec4两个特征时间的比值为：

te.wth.c.41.9610sec2108

两个特征时间相差八个数量级之多。

由此可见，两个特征时间相差八到九个数量级，由局部温升引起的应力和应变的变化极其迅速地传播到物体内部各处，而热传导与其相比则十分缓慢。既然导热极慢，而变形极快，可以近似地认为两种效应是可以解耦的。