量纲分析作业 谈庆明

陈汭（ruì） 201228000718031

1、量纲是否就是单位，两者之间有什么关系？ 量纲不是单位，量纲是单位的属性。

例如：力的单位是N（牛顿），而力的量纲是[MLT2]（在质量系统（MLT系统）中），量纲[MLT2]是单位N的属性。

2、“Dimension”一词包含什么涵义？能否说说涵义的历史演变？

Dimension一词的名词性词义目前有一下三种：①尺寸、长度；②维度（数学）；③量纲（物理）。

最初，Dimension一词的涵义为物体的尺寸或长度；然后，随着数学的发展，Dimension又多了维度的涵义，代表数学空间里的维的概念；再后来，量纲的概念被提出，同样用Dimension来表示。

3、自由落体问题中，什么是基本量？什么是导出量？取什么做单位系统？选取是否唯一？

表3-1 自由落体问题中所涉及的物理量

物理量 物体质量 重力加速度 时间 距离 单位 kg m/s2 t m 量纲 M MT-2 T L 基本量 导出量 基本量 基本量 选取质量、时间和距离做单位系统，选取方式唯一。

4、用隐函数表示因果关系，并证明定理。

假设一个物理过程中包含n个物理量，则函数关系可以表示成

f(s1,s2,...,sk,sk1,...,sn)0（4-1）

式（4-1）即用隐函数表示的因果关系。

下面证明定理：假设前k项为一个独立变量组，用如下符号表示前k项变量的量纲

[s1]A1,[s2]A2,...,[sk]Ak（4-2）

则其余(nk)项变量的量纲可以表示成前k项变量的量纲的函数

[sk1]A1r11A2r12Akr1kr2kr21r22[sk2]A1A2Ak（4-3） .................................[s]Ar(nk)1Ar(nk)2Ar(nk)k12kn量纲分析

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如果前k项变量分别乘以某一倍数a1,a2,...,ak，记新的变量为

s1a1s1s2a2s2（4-4） .............saskkk则新的物理量的量纲为

[s1][a1s1][a1A1]A1[s2][a2s2][a2A2]A2（4-5） ......................................[s][as][aA]Akkkkkk相应的其余(nk)项新变量的量纲可以表示为

1]a1r11a2r12akr1k(A1r11A2r12Akr1k)a1r11a2r12akr1k[sk1][sk2]a1r21a2r22akr2k(A1r21A2r22Akr2k)a1r21a2r22akr2k[sk2][sk（4-6） ...............................................................................................[s]ar(nk)1ar(nk)2ar(nk)k(Ar(nk)1Ar(nk)2Ar(nk)k)ar(nk)1ar(nk)2ar(nk)k[s]12k12k12knn将式（4-6）改变书写格式，可以得到其余(nk)项新变量与原变量的倍数关系

sk1a1r11a2r12akr1ksk12a1r21a2r22akr2ksk2sk（4-7） .....................................sar(nk)1ar(nk)2ar(nk)ks12knn由于新变量仍然满足函数关系，故有

,s2,...,sk,sk1,...,sn)0（4-8） f(s1将（4-4）式和（4-7）式代入（4-8）式得

f(a1s1,a2s2,...,aksk,a111a212ak1ksk1,...,a1(nk)1a2(nk)2akrrrrrr(nk)ksn)0（4-9）

令

a11/s1a21/s2（4-10） ..............a1/skk将（4-10）式代入（4-9）式得

量纲分析

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k个1f(1,1,...,1,sk1s1s2r11r12skr1k,...,sns1r(nk)1s2r(nk)2skr(nk)k)0（4-11）

显然（4-11）式中前k项变量是无量纲的，根据量纲齐次原则，其余(nk)项也应该是无量纲的，这(nk)项称为相似准则或项。

证明完毕。

5、把定理和有的书上说的“相似三定理”作对比，分析说明：哪种说法更为本质？ 相似三定理的表述如下：

相似第一定理：对相似的现象，其相似指标等于1。

相似第二定理：设一物理系统有n个物理量，其中有k个物理量的量纲是相互独立的，那么这n个物理量可表示成是相似准则1,2,...,nk之间的函数关系。

相似第三定理：对于同一类物理现象，如果单值量相似，而且由单值量所组成的相似准则在数值上相等，则现象相似。

定理即相似第二定理。

相似第一定理从现象已经相似出发，考虑相似现象之间物理量的关系，但是不能保证满足相似第一定理的现象一定相似，是两现象相似的必要条件。相似第三定理从单值条件上对相似第一定理进行了补充，是两现象相似的充分条件。

相似第一定理中的相似指标，往往需要从物理方程中得出，有一定的限制性。而相似第二定理或定理则直接从量纲齐次的角度分析物理量，不需要直到现象中涉及的物理方程，适用范围更广，描述也更为本质。

6、从物理上分析摆锤质量与单摆周期无关的原因。 在单摆系统中，周期和任意位置或时刻摆锤的加速度直接相关，而摆锤的加速度由重力的分量提供，称为回复力，因为回复力与摆锤的质量相除后质量项抵消了，故加速度与摆锤质量无关，因此单摆的周期也与摆锤质量无关。

从运动方程的角度来分析，单摆的运动方程为

)（6-1） mgsinm(l等式两端消去质量，并考虑到sin的小量近似得到常用的单摆运动方程

gl0（6-2）

从（6-2）式可以明显看出单摆运动与摆锤质量无关。

7、从量纲齐次式的讨论中得到的偏导数关系，求出量纲函数f的最终表示。 量纲齐次式的讨论中得到的偏导数关系为

f/rl,rt)(rl,rm,r)f/(rl/rl)/f(rl,rm(1,1,1)/rl（7-1）

等式右端的f/(rl/rl)量纲分析

(1,1,1)是个常数，记为。考虑到（7-1）式中的上标可以去掉，将

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（7-1）式整理为

(rl/f(rl,rm,rt))f/rl(rl,rm,rt)（7-2）

类似地，可以得到如下的（7-3）式和（7-4）式

(rm/f(rl,rm,rt))f/rm(rt/f(rl,rm,rt))f/rt(rl,rm,rt)（7-3） （7-4）

(rl,rm,rt)根据（7-2）式~（7-4）式，可以求得（7-5）式的积分

f(rl,rm,rt)rlrmrt（7-5）

（7-5）式即为量纲函数的最终表示。

8、什么是谐振子？求其自振频率。

谐振子即振动质点。

与谐振子的自振频率相关的物理量列在表8-1中。

表8-1 与谐振子的自振频率相关的物理量

物理量 符号 量纲

质量 m 刚度 k 频率 f M MT-2 T-1 此问题共有三个物理量，两个独立量纲，一个项。取m，k为基本量，函数关系为

fk/mF(1,1)c（8-1）

进一步得到自振频率的表达式为

fck/m（8-2）

9、求盛水容器底侧的小孔出流速度。

表9-1 小孔出流问题中涉及的物理量

物理量 符号 量纲

出流速度 v LT-1 水深 h L 小孔直径 d L 重力加速度 g LT-2 此问题共涉及四个物理量，两个基本量纲，两个项。取g、h为基本单位，函数关

系为

量纲分析

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vghf(dh)（9-1）

由于

dh1，故f(dh)f(0)c，因此，得到出流速度的表达式为

vCgh（9-2）

10、若溢洪道的断面为三角形，讨论溢洪流量。

表10-1 溢流问题中所涉及的物理量

物理量 符号 量纲

流量 Q MT-1 流体密度  ML-3 重力加速度 g LT-2 上游水头 h 底部顶角  NAN L 其中NAN代表无量纲。此问题中共有三个独立量纲，选取、g、h为基本量，则项为

Qg1/2h5/2（10-1）

因此函数关系可以表示成

Qf()（10-2）

g1/2h5/2整理后可得溢洪流量的表达式为

Qg1/2h5/2f()（10-3）

11、分析定常管流问题中的摩擦系数和总管阻：并问什么情况下可不考虑密度的影响？说明其物理原因。

表11-1 定常管流问题中所涉及的物理量

物理量 进出口压差 符号 量纲

p 管长 l 圆管直径 流动速度 流体密度 粘性系数 d U   ML-1T-2 L L LT-1 ML-3 ML-1T-1 在此问题中，将进出口压差与管长看做两个物理量是不合理的，因为进出口压差是管长的正比例函数，故应该将p/l看做一个物理量进行分析。因此，此问题共涉及五个物理

量，具有三个独立量纲。取d、U、作为基本量，共有两个项，函数关系为

量纲分析

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pl(U/d)2f(Ud)f(Re)（11-1）

摩擦系数Cd可定义为单位面积上的管流阻力（因此，Cd可以表示为

Cdpd/42dl）和管动压（

U22）之比。

U/22pl(U2/d)81f(Re) （11-2）

总管阻P与单位面积上的管流阻力与圆管周长的乘积，故

PCdU22dldl2Uf(Re) （11-3）

2层流时，可以不考虑密度的影响。在层流时，每个质点基本上作等速运动，流体的惯性并不重要，可以不考虑密度的影响。

12、在低速绕流问题中，能否在水洞中做飞机机翼的模型实验，在风洞中做潜艇的模型实验？如果可以，给出机、艇的大小、速度的缩比范围。

低速绕流的模拟需要两方面的模拟条件：

（1）几何相似：()m()p和mp；

lll'l'（2）动力学相似：(Re)m(Re)p。 12.1 低速飞机在水洞中的模拟 从动力学相似条件出发，可得

(vl)m(vl)p （12-1）

整理（12-1）式，并将水和空气的相关参数代入，得

vpvm14.7lmlp （12-2）

通过资料得知，低速飞机的速度一般为几十米每秒，特征尺度为几十米，水洞的特征尺度为一米左右，因此，需要水洞中水流的速度达到一百米左右才有可能满足动力学相似条件，而水洞的水流速度一般只能得到十米每秒的量级，显然达不到要求，因此用水洞模拟飞机的低速绕流是不现实的。

12.2 潜艇在风洞中的模拟

与12.1中的分析类似，可以得到（12-3）式所示的相似条件

vpvm0.068lmlp （12-3）

通过资料得知低速潜艇的速度为十米每秒的量级，特征尺度为十米的量级，风洞的特征

量纲分析

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尺度为一米到十米的量级，因此，需要风洞中的风速达到一千米每秒的量级才能满足动力学相似条件。故对于某些情况，可以在高速风洞或超音速风洞中对潜艇受力进行模拟。

能够在风洞中进行模拟的潜艇速度要求在几十米每秒以下，特征尺度在几十米以下，模型的缩比为几十分之一。

13、做船舶润湿面积的量纲分析。

表13-1 船舶润湿面积问题涉及的物理量

物理量 润湿面积 特征尺度 排水体积 行进速度 流体密度 粘性系数 重力加速度

符号 S l D v   g 量纲 L-2 L L-3 LT-1 ML-3 ML-1T-1 LT-2 此问题中共有七个物理量，三个独立量纲，四个项。选取l、v、作为基本量，

函数关系如下

Sl2f(Dl3,vlvl,g2) （13-1）

进一步得到润湿面积的表达式为

Slf(2Dl3,vlvl,g2) （13-2）

14、轴承问题中是否应该考虑惯性力的作用？说明理由。

在轴承润滑问题中，存在三种力，即惯性力，粘性力和压力。但是一般情况下，标志惯性力和粘性力之比的Re(h/l)在0.001-0.01之间，所以可忽略惯性力的影响。其中为表征惯性的密度，v是滑速，h是滑面平均间隙，hRr（R为定承半径，r为轴半径）。

但是，如果相对转速交大或平均间隙交大，以致Re(h/l)达到1的量级，则必须考虑惯性力的影响。

15、用量纲分析法求小球在粘性流体中下落的最终速度和所受的力（Stokes公式）。 小球在粘性流体中下落时受到三个力的作用：小球自身的重力G、流体对小球的浮力

Fb、流体对小球的阻力Fd。

与Fd相关的物理量为：小球的下落速度v、小球的特征长度（取为小球的直径）d、流体的粘性系数 量纲分析

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利用量纲分析可得Fd的表达式为

Fd=c1vd（15-1）

与Fb相关的物理量为：流体的密度、小球的特征长度d、重力加速度g（因为浮力本质上是流体中不同位置的压强差，而流体的静压强与重力加速度有关，故浮力也与重力加速度有关）

利用量纲分析可得Fd的表达式为

Fb=c2gd（15-2）

3与G相关的物理量为：小球的密度s、小球的特征长度d、重力加速度g 利用量纲分析可得Fd的表达式为

G=c3sgd（15-3）

3当合力平衡时，有

FdFbG0（15-4）

将（15-1）式~（15-3）式代入（15-4）式并整理得小球的最终下落速度为

vc(s)gd2（15-5）

将（15-5）式代入（15-1）式得小球最终受到的阻力为

Fdc(s)gd（15-6）

3

16、什么条件下可以不考虑表面张力对水波波速的影响，从物理上做简单分析。 波长比较长时可不考虑表面张力对水波波速的影响。 由水波理论可知

c(gH)1/22(2)Ts12g1/2tanh(2H)(2H)1/21/2 （16-1）

2分析（16-1）式可知，若波长比2(Ts(g))忽略表面张力的影响。

量纲分析

大得多，

(2)Tsg2的值就远小于1，可以

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17、讨论两端固定的梁在侧载作用下的挠度。

表17-1 梁挠度问题所涉及的物理量 物理量 挠度 坐标 梁的长度 刚度 特征分布载荷 分布特征长度

符号 w x l EI 量纲 L L L FL2 FL-1 L qm lq 由于此问题中未涉及重力效应和质量，故选取力系统作为量纲系统。此问题中共有六个物理量，两个独立量纲，四个项。选取l、EI作为基本量，函数关系如下

w3xqmllqf(,,)（17-1） llEIl进一步得到挠度的表达式为

3xqmllqwlf(,,)（17-2）

lEIl

18、讨论悬臂梁在自重作用下的最大挠度与梁长的关系。

表18-1 与悬臂梁最大挠度相关的物理量

物理量 符号 量纲

最大挠度 wmax 梁长 l 弯曲刚度 EI 重力 G L L ML3T-2 MLT-2 此问题共有四个物理量，两个独立量纲，两个项。选取l、EI作为基本量，函数

关系如下

wmaxlf(ql3EI) （18-1）

考虑到在弹性限度内，挠度与抗弯刚度成正比，得

wmaxlcql3EI （18-2）

最终得到最大挠度与梁长的关系为

wmaxcl （18-2）

量纲分析

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19、什么样的结构物需要考虑重力的作用？

（1）重力占主导作用时，显然要考虑重力。如题18中讨论悬臂梁在自重下的最大挠度； （2）当弹性体的高度h超过一定数值，弹性体所受到的重力效应不能被忽略，因为此

gh时表征重力gh与弹性极限Y的比值接近或超过1；

Y（3）当结构的荷载超过弹性极限时，结构失效变形，需要考虑重力作用。

20、调查一下国内的离心机有多大，可以做什么样的结构物的重力效应实验。 这个问题我没有查到，不知道在哪里能查到。

21、如方形空心梁由实心梁代替，那么实心梁的形状要求符合什么条件？ 梁的截面参数是面积矩，故只要两个梁的面积矩相等，两个梁就等效。故有

(qmlEI11243)m(qmlEI3)p （21-1）

112(L1L2)。

44其中，对于方形实心梁，Im

L，对于方形空心梁，Ip22、求有限弹性体的固有周期。

表22-1 与弹性体固有周期有关的物理量（纵波）

物理量 符号 量纲 周期 T T 特征长度 l L 杨氏模量 E MLT-2 密度  ML-3 泊松比  NAN 此问题中涉及四个物理量，三个独立量纲，一个项。选取l、E、作为基本量，

函数关系如下

Tl/E/cf() （22-1）

进一步得到固有周期的表达式为

TclE/f() （22-2）

如果考虑的是横波，则将物理量中的杨氏模量替换为抗弯刚度EI即可，得

TcEIf() （22-3）

23、弹性体中体波的传播有无色散现象，为什么？ 弹性体中体波的传播无色散现象。

量纲分析

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表23-1 与弹性体体波有关的物理量

物理量 符号 量纲

波速 c LT-1 密度  ML-3 弹性常数 E MLT-2 泊松比  NAN 波长  L 此问题中共有五个物理量，三个独立量纲，两个项（泊松比是无量纲量，算作一个项）。选取、E、作为基本量，函数关系如下

cE/f()（23-1）

从（23-1）式可以看出，波速与波长无关，故弹性体的体波是非色散波。

24、杆径对杆中弹性波波速起什么作用？

弹性波在圆杆中传播，遇到介质表面时会发生反射，因此除了题23中所述物理量，波速还与圆杆的特征长度，即杆径R有关。经过量纲分析可得波速的表达式为

cEf(,R)（24-1）

25、求两块平板正面相撞引起的弹性波的波速（与有关弹性波书中的结果做对比）。 此问题所涉及的物理量与题23完全一样，故波速的表达式为

cEf()（25-1）



一维应变弹性纵波的波速为

c1E(1)(12) (25-2) 即

f()1(1)(12) （25-3）

26、若硬度计的压头不是锥形而是球形，可否分析硬度和强度在什么条件下成正比？ 将锥形压头公式中的压头半角替换为球径，可得

HYgH(YE,,n,h/R) （26-1）

因为h/R的值并不是常数，故不能判断硬度和强度成正比。

27、什么是几何相似？什么是几何相似律？举例说明。

几何相似：一般指初等几何相似，即现象中涉及的线度成固定比例，角度相等。如初等几何学中的相似三角形，即为几何相似的简单例子。

量纲分析

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几何相似律：若模型采用与原型相同的材料，则在满足几何形状相似和分布函数相同的条件下，在几何相似点上有相同的相对位移（运动学相似），应力和应变（动力学相似）。也可以说，几何相似是运动学相似和动力学相似的先决条件。如图27-1所示的两个受力梁所示，动力学相似可以表示成（27-1）式和（27-2）式

L1L1L2L2L3L3cL （27-1）

f1f1f2f2cf （27-2）

图27-1

28、相似律是否一定要求几何相似？ 相似律不一定要求几何相似。

有些情况下，几何相似很难做到，可以改变几何模型的相关参数，然后分析其影响，将得到的结果按照一定规律转换为所需结果。还有一些情况，不同方向上的几何尺度对结果的影响并不相同，即单位系统中不只有一个长度量纲，而是有多个在不同方向上的长度量纲，不同长度量纲之间不是量纲齐次的，这种情况下，在综合尺度上（不同方向上几何尺度的函数）也不需要几何相似条件，因为这时几何相似已经失去了意义。

29、估计和比较典型金属材料中弹性波传播和热传导的特征时间。 弹性波传导的特征时间为

t1lE/（29-1）

热传导的特征时间为

t2cl2（29-2）

表29-1列出了几种典型金属情况。其中特征长度取为1m。

量纲分析

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表29-1

材料 t1/s t2/s 铜 2.7104钢 1.9104铝 2.0104 38.610 50.810 41.010

从表29-1可以看出，对于这三种典型金属而言，弹性波的特征时间要远小于热传导的特征时间。

30、估计和比较地层中变形和渗流的特征时间。

与地层中变形的特征时间有关的物理量为：深度h、万有引力常数G、地层刚度K、地层物质间的等效粘性参数。共有两个项

T41=h/GK3，2=T3G/h2（30-1）

因此函数关系为

f(T4h/GK3,3TG/h2)=0（30-2）

与地层中渗流特征时间有关的物理量为：深度h、万有引力常数G、流体与地层物质间的等效粘性参数，地层的孔隙度n（无量纲量）。共有两个项

1=n，2=T3（30-3）

2G/h因此函数关系为

f(n,3TG/h2)=0（30-4）

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