导热微分方程

要了解物体内部各点温度的分布，必须根据能量守恒定律与傅里叶定律，来建立导热物体中的温度场应当满足的数学关系式，即导热微分方程。

1、 原则：

 付立叶定律和能量守恒定律：  ——以能量方程为基础

热焓的增加量=传入物体的热量—传出物体的热量

2、 方程推导： 对于各向同性材料，

Q(1) 在x方向： QxktdydzQxdxQxxdxxx

2t dQxQxQxdxk2dxdydzx

(2) 单位时间内传入微元体内的热量

222ttt QdQxdQydQzk(222)dxdydzxyz

(3) 单位时间内微元体内能的变化 tQcdxdydzp 

tk2t2t2t (222)cPxyz

Or

ta2t 2t2t2t（3）无内热源、稳态导热：2220

xyz——拉普拉斯(Laplace)方程

dt2(4) 一维不稳定导热: 20

dx

3、导温系数（热扩散系数）（Thermal diffusivity）

物理意义—— 物体在相同加热或冷却条件下，物体内部各部分温度趋向于一致的能力

从温度的角度看，α越大，材料中温度变化速率越大，说明α也是判断材料传播温度变化能力大小的指标，因此又被称为导温系数。 热扩散率) 4 (Thermal diffusivity(热扩散率)Chapter 2 Heat Conduction Equations —§2-1 4 Thermal diffusivitykHeatconducted2(m/s)kHeatHeatconductedstoredCp(m /s)HeatstoredCpIt represents how fast heat diffuses through a material。 α越大，表示物体内部温度均匀化的能力越大，因而称之为热扩散率。

•It represents how fast heat diffuses through a material.k Cp •Thermal diffusivities of some materials:对于一般工程技术中发生的非稳态导热问题，傅里叶导热定律式 及导热方Table A-3 ~ Table A-12程式完全适用。但是在某些非傅里叶导热过程中，例如，在极短时间(如10-8～10-10s)内产生极大的热流密度的热量传递现象（激光加工过程）；极低温度(接近于0 K)时的导热问题等，则不能再用上述式 来描述。