量纲分析

1.1量纲

当对一个物理概念进行定量描述时，总离不开它的一些特性，比如，时间、质量、密度、速度、力等等，这种表示不同物理特性的量，称之为具有不同的“量纲”。概括来说，将一个物理导出量用若干个基本量的乘方之积表示出来的表达式，称为该物理量的量纲式，简称量纲

(dimension)（量纲又称为因次）。它是在选定了单位制之后，由基本物理量单位表达的式子。在国际单位制(I)中，七个基本物理量长度、质量、时间、电流、热力学温度、物质的量、发光强度的量纲符号分别是L、M、T、I、Q、N和J

　　速度v = ds/dt 量纲： =　　加速度a = dv/dt 量纲：　　力F = ma 量纲：

　　压强P = F/S 量纲：

实际中，也有些量是无量纲的，比如等，此时记为。

有量纲的物理量都可以进行无量纲化处理量纲有赖于基本量的选择，是外加的有关量的度量手段。模型所描述的规律应该独立于量纲的影响。机理模型的深入探讨应该排除量纲的影响，因此机理模型需要无量纲化。使用无量纲量来描述客观规律。 在量纲表达式中,其基本量量纲的全部指数均为零的量，即无量纲量，也称纯数。1.无量纲量具有数值的特性，它可以通过两个量纲相同的物理量相除得到，也可由几个量纲不同的物理量通过乘除组合得到。2.无量纲量具有这样一些特点：①无量纲数既无量纲又无单位，因此其数值大小与所选单位无关。即无论选择什么单位制计算，其结果总是相同的。当然，同一问题必须用同一单位制进行计算。②对数、指数、三角函数等超越函数的运算往往都是对无量纲量来讲的。③一个力学方程，如果用无量纲数表示的话，它的应用就可以不受单位制的限制。

要正确反映一个物理现象所代表之客观规律，当用数学公式描述已物理量时，等号两端就必须保持量纲的一致性和单位的一致性，即其所遵循的物理方程式各项的量纲必须一致，可以用这一原理来校核物理方程和经验公式的正确性和完整性。 量纲分析就是基于量纲一致的原则来分析物理量之间关系的一种方法。

1.2 量纲齐次原则

当用数学公式表示一个物理定律时，等号两端必须保持量纲的一

致性，这种性质称为量纲齐次性。当方程中各项具有相同的量纲时，这个方程被称为是量纲齐次的，也只有具有相同量纲的量才可以作比较或相加、减，由此可知，物理定律必须是量纲齐次的。根据量纲齐次原理，可以有下面的量纲分析法的基本定理。

定理（BUCKINGHAM PI）设有个物理量满足某定律：，

是基本量纲的量纲可以表示为矩阵称为量纲矩阵，若的秩rankA=r,可设线性齐次方程组是维向量），有个基本解为

则为个相互独立的无量纲的量，且有与等价，其中为一未知函数。

1.3量纲分析的一般步骤

（1）将与问题有关的物理量（变量或常量）收集起来，记为，根据问题的物理意义确定基本量纲，记为（2）写出的量纲

（3）设满足关系，其中为待定的，为无量纲的量，因此，于是.（4）解线性方程组，矩阵称为量纲矩阵，若的秩rankA=r,则线性齐次方程组有个基本解为

（5）记，则为无量纲的量.（6）由解出物理规律.

解题步骤：

1. 分析影响因素，列出函数方程

根据题意可知，溢流堰过流时单宽流量q 与堰顶水头H、水的密度ρ和重力加速度g 有关，用函数关系式表示为

2. 将q写成H，ρ，g的指数乘积形式，即

3. 写出量纲表达式

4. 选L、T、M作为基本量纲，表示各物理量的量纲为

5. 由量纲和谐性原理求各量纲指数6. 代入指数乘积式，得

即

其中，k1为无量纲系数，即流量系数m，由实验来确定。