2021-2022学年山西省晋中市灵石县八年级（上）期中数学试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）
1. √2的相反数是（ ） A.√2
2. 如图，点𝐴的坐标(−1, 2)，则点𝐴关于𝑦轴的对称点的坐标为( )
B.−√2 C.
√22
D.−
√2 2
A.(1, 2)
B.(−1, −2)
C.(1, −2) D.(2, −1)
3. 有理数9的平方根是（ ） A.±3
4. 回顾学习函数的过程，由函数的表达式通过列表、描点、连线画出函数的图象，再利用函数图象研究函数的性质．这个过程中主要体现的数学方法是（ ） A.数形结合
5. 与无理数√33最接近的整数是（ ） A.4
6. 下列各点在一次函数𝑦=2𝑥−3的图象上的是( ) A.( 2, 3)
7. 将一块体积为1000𝑐𝑚3的正方体锯成8块同样大小的小正方体木块，则每个小正方体木块的棱长为（ ） A.5𝑐𝑚
8. 一艘轮船在同一航线上往返于甲、乙两地．已知轮船在静水中的速度为15𝑘𝑚/ℎ，水流速度为5𝑘𝑚/ℎ．轮船先从甲地顺水航行到乙地，在乙地停留一段时间后，又从乙地逆水航行返回到甲地．设轮船从甲地出发后所用时间为𝑡(ℎ)，航行的路程为𝑠(𝑘𝑚)，则𝑠与𝑡的函数图象大致是( )
B.6𝑐𝑚
C.7𝑐𝑚
D.8𝑐𝑚
B.(2, 1)
C.(0, 3)
D.(3,0)
B.5
C.6
D.7
B.类比
C.公理化
D.归纳
B.−3
C.3
D.±√3 试卷第1页，总15页
A. B.
C.
D.
9. 中国象棋是中华名族的文化瑰宝，它源远流长，趣味性强，成为极其广泛的棋艺活动．如图，若在象棋盘上建立直角坐标系，使“帅”位于点(−1, −2)，“马”位于点(3, −2)，则“兵”位于点（ ）
A.(−1, 1)
10. 甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速步行2400米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发4分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人的距离𝑦（米）与甲出发的时间𝑡（分）之间的关系如图所示，下列结论： ①甲步行的速度为60米/分； ②乙走完全程用了30分钟； ③乙用12分钟追上甲；
④乙到达终点时，甲离终点还有360米； 其中正确的结论有（ ）
B.(−2, −1)
C.(−3, 1)
D.(−2, 1)
A.1个
在函数𝑦＝2𝑥中，𝑦的值随𝑥值的增大而________．（填“增大”或“减小”）
在平面直角坐标系中的第二象限内有一点𝑀，它到𝑥轴的距离为3，到𝑦轴的距离为4，则点𝑀的坐标是________．
B.2个
C.3个
D.4个
二、填空题（每题3分，共15分）
试卷第2页，总15页
如图，在𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵＝𝐵𝐶＝1，∠𝐴𝐵𝐶＝90∘，点𝐴，𝐵在数轴上对应的数分别为1，2．以点𝐴为圆心，𝐴𝐶长为半径画弧，交数轴的负半轴于点𝐷，则与点𝐷对应的数是________．
在同一平面直角坐标系中，一次函数𝑦＝𝑘1𝑥+2(𝑘1<0)与𝑦＝𝑘2𝑥+6(𝑘2>0)的图象的交点在第________象限．
如图，已知𝑎，𝑏，𝑐分别是𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶的三条边长，∠𝐶＝90∘，我们把关于𝑥的形如𝑦=
𝑎𝑐
𝑏𝑐
3√5
)在“勾股一次函数”的图象上，且5
𝑥+的一次函数称为“勾股一次函数”，若点𝑃(1,
𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶的面积是5，则𝑐的值是________．
三、解答题（共75分） 计算 （1）
（2）(3+√5)(√5−2)；
（3）(√27+√3−√18)÷√2
交通警察通常根据刹车后车轮滑过的距离估计车辆行驶的速度，所用的经验公式是𝑣＝16√𝑑𝑓，其中𝑣表示车速（单位：𝑘𝑚/ℎ），𝑑表示刹车后车轮滑过的距离（单位：𝑚），𝑓表示摩擦因数．在某次交通事故中，测得𝑑＝6𝑚，𝑓＝1.5，求肇事汽车的车速．
1
√12×√6； √3试卷第3页，总15页
如图，在四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，∠𝐷＝90∘，𝐴𝐵＝15，𝐵𝐶＝20，𝐶𝐷＝7，𝐴𝐷＝24．
（1）求对角线𝐴𝐶的长；
（2）求四边形𝐴𝐵𝐶𝐷的面积．
2016年5月27日，太原与大同之间开通了“点对点”的云冈号旅游列车（中间不停车），该列车为空调车，由6节硬座车厢、1节软卧车厢、1节硬卧车厢组成．行驶的路程约300𝑘𝑚，该旅游列车从太原站出发，以平均速度110𝑘𝑚/ℎ开往大同．用𝑥(ℎ)表示列车行驶的时间，𝑦(𝑘𝑚)表示列车距大同的距离．
（1）写出𝑦与𝑥之间的函数关系式；
（2）当该旅游列车距大同就还有80𝑘𝑚时，求行驶了多长时间．
在12世纪印度数学家婆什迦罗的著作中，有一首诗，也称“荷花问题”： 平平湖水清可鉴，面上半尺生荷花； 出泥不染亭亭立，忽被强风吹一边， 渔人观看忙向前，花离原位二尺远； 能算诸君请解题，湖水如何知深浅”
这首诗的大意是：在平静的湖面上，有一朵荷花高出水面半尺，忽然一阵强风吹来把荷花垂直拉到水里且荷花恰好落在水面．此时，捕鱼的人发现，花在水平方向上离开原来的位置2尺远，求湖水的深度．
阅读材料：
小明在学习二次根式的化简后，遇到了这样一个需要化简的式子：√3+2√2．该如何试卷第4页，总15页
化简呢？思考后，他发现3+2√2=1+2√2+(√2)2＝(1+√2)2．于是√3+2√2=√(1+√2)2=1+√2．善于思考的小明继续深入探索；当𝑎+𝑏√2=(𝑚+𝑛√2)2时（其中𝑎，𝑏，𝑚，𝑛均为正整数），则𝑎+𝑏√2=𝑚2+2√2𝑚𝑛+2𝑛2．此时，𝑎＝𝑚2+2𝑛2，𝑏＝2𝑚𝑛，于是，√𝑎+𝑏√2=𝑚+𝑛√2．请你仿照小明的方法探索并解决下列何题：
（1）设𝑎，𝑏，𝑚，𝑛均为正整数且√𝑎+𝑏√3=𝑚+𝑛√3，用含𝑚，𝑛的式子分别表示𝑎，𝑏时，结果是𝑎＝________，𝑏＝________；
（2）利用（1）中的结论，选择一组正整数填空：√()+()√3=________+________√3；
（3）化简：√6+2√5．
如图，直线𝑙:𝑦=−2𝑥+2与𝑥轴，𝑦轴分別交于点𝐴，𝐵，在𝑦轴上有一点𝐶(0, 4)，动点𝑀从点𝐴出发以毎秒1个単位长度的速度沿𝑥轴向左运动，设运动的时间为𝑡秒．
1
（1）求点𝐴的坐标；
（2）请从𝐴，𝐵两题中任选一题作答．
𝐴．求△𝐶𝑂𝑀的面积𝑆与时间𝑡之间的函数表达式； 𝐵．当△𝐴𝐵𝑀为等腰三角形时，求𝑡的值．
试卷第5页，总15页
参考答案与试题解析
2021-2022学年山西省晋中市灵石县八年级（上）期中数学试卷
一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 【答案】 B
【考点】 实数的性质 【解析】
根据相反数的性质，互为相反数的两个数和为0，由此求解即可． 【解答】
√2的相反数是−√2． 2. 【答案】 A
【考点】
关于x轴、y轴对称的点的坐标 【解析】
求点关于坐标轴𝑦轴的对称点，纵坐标保持不变，横坐标变为相反数. 【解答】
解：点𝐴的坐标为(−1, 2)，
点𝐴关于𝑦轴对称的对称点相对于点𝐴，纵坐标不变，横坐标变为相反数， 所以对称点的坐标为(1, 2)． 故选𝐴. 3. 【答案】 A 【考点】 平方根 【解析】
直接利用平方根的定义计算即可． 【解答】
解：∵ 3和−3的平方都是9， ∴ 9的平方根是±3． 故选𝐴. 4. 【答案】 A
【考点】 函数的图象 【解析】
试卷第6页，总15页
从函数解析式到函数图象，再利用函数图象研究函数的性质正是数形结合的数学思想的体现． 【解答】
回顾学习函数的过程，由函数的表达式通过列表、描点、连线画出函数的图象，再利用函数图象研究函数的性质．这个过程中主要体现的数学方法是数形结合， 5. 【答案】 C
【考点】
估算无理数的大小 【解析】
直接得出5<√33<6，进而得出最接近的整数． 【解答】
∵ 5<√33<6， 且5.62＝31.36，
∴ 与无理数√33最接近的整数是：6． 6. 【答案】 B
【考点】
一次函数图象上点的坐标特点 【解析】
把各点分别代入一次函数𝑦=2𝑥−3检验即可． 【解答】
解：𝐴，2×2−3=1≠3，原式不成立，故本选项错误； 𝐵，2×2−3=1，原式成立，故本选项正确；
𝐶，2×0−3=−3≠3，原式不成立，故本选项错误； 𝐷，2×3−3=3≠0，原式不成立，故本选项错误． 故选𝐵． 7. 【答案】 A
【考点】 立方根的性质 【解析】
利用立方根定义求出棱长即可． 【解答】
根据题意知，每个小正方体木块的棱长为√8. 【答案】 C
【考点】 函数的图象
试卷第7页，总15页
3
10008
=
102
=5(𝑐𝑚)，
【解析】
由航行，休息，航行可得此函数图象将分三个阶段． 【解答】
解：第一个阶段，顺水航行，那么用时较少；
第二个阶段，休息，那么随着时间的增长，路程不再变化，函数图象将与𝑥轴平行； 第三个阶段，逆水航行，所走的路程继续增加，相对于第一个阶段，用时较多． 显然只有选项𝐶的图象满足上述的描述. 故选𝐶． 9. 【答案】 D
【考点】 位置的确定 【解析】
根据“帅”位于点(−1, −2)，“马”位于点(3, −2)，建立平面直角坐标系，结合坐标系可得答案． 【解答】
如图所示，根据题意可建立如图所示平面直角坐标系，
则“兵”位于点(−2, 1)， 10. 【答案】 D
【考点】
一次函数的应用 【解析】
根据题意和函数图象中的数据可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题． 【解答】
由题意可得：甲步行速度=
2404
=60米/分；故①符合题意；
设乙的速度为：𝑥米/分，
由题意可得：16×60＝(16−4)𝑥， 解得𝑥＝80
∴ 乙的速度为80米/分； ∴ 乙走完全程的时间=
240080
=30分，
故②符合题意；
由图可得：乙追上甲的时间为(16−4)＝12分；
试卷第8页，总15页
故③符合题意；
乙到达终点时，甲离终点距离是：2400−(4+30)×60＝360米， 故④符合题意；
故正确的结论为：①②③④， 二、填空题（每题3分，共15分） 【答案】 增大
【考点】
正比例函数的性质 【解析】
根据𝑦＝𝑘𝑥中，当𝑘>0时，𝑦的值随𝑥的值增大而增大，可得答案． 【解答】
∵ 在函数𝑦＝2𝑥中，𝑘＝2>0， ∴ 𝑦的值随𝑥值的增大而增大． 【答案】 (−4, 3) 【考点】 点的坐标 【解析】
根据第二象限内点的坐标特征，可得答案． 【解答】
由题意，得 𝑥＝−4，𝑦＝3，
即𝑀点的坐标是(−4, 3)， 【答案】 −√2+1 【考点】 实数 数轴
等腰直角三角形 在数轴上表示实数 【解析】
直接根据勾股定理，结合数轴即可得出结论． 【解答】
∵ 在𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶中，𝐵𝐶＝1，𝐴𝐵＝1， ∴ 𝐴𝐶=√12+12=√2．
∵ 以𝐴为圆心，以𝐴𝐶为半径画弧，交数轴的负半轴于点𝐷， ∴ 𝐴𝐷＝𝐴𝐶=√2，
∴ 点𝐷表示的实数是−√2+1． 【答案】 二
【考点】
两直线平行问题
试卷第9页，总15页
两直线相交非垂直问题 相交线 两直线垂直问题 【解析】
由一次函数𝑦＝𝑘𝑥+𝑏系数的性质，确定函数的图象即可求解． 【解答】
由一次函数𝑦＝𝑘𝑥+𝑏系数的性质，确定函数𝑦1＝𝑘1𝑥+2(𝑘1<0)、与𝑦2＝𝑘2𝑥+6(𝑘2>0)的图象，
由图象可以看出函数交点在第二象限， 故：答案为二． 【答案】 5
【考点】
一次函数图象上点的坐标特点 【解析】
依据题意得到三个关系式：𝑎+𝑏=即可得到𝑐的值． 【解答】 ∵ 点𝑃(1,
3
3√5)在“勾股一次函数”𝑦5𝑎
𝑏
3√5𝑐，𝑎𝑏＝10，𝑎25
+𝑏2＝𝑐2，运用完全平方公式
=𝑐𝑥+𝑐的图象上，
𝑎𝑏
∴ 5√5=𝑐+𝑐，即𝑎+𝑏=
1
3√5𝑐， 5
又∵ 𝑎，𝑏，𝑐分别是𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶的三条变长，∠𝐶＝90∘，𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶的面积是5， ∴ 2𝑎𝑏＝5，即𝑎𝑏＝10， 又∵ 𝑎2+𝑏2＝𝑐2，
∴ (𝑎+𝑏)2−2𝑎𝑏＝𝑐2， 即∴ (
3√52
𝑐)5
−2×10＝𝑐2，
解得𝑐＝5，
三、解答题（共75分） 【答案】 原式=√
12×63
＝2√6；
试卷第10页，总15页
原式＝3√5−6+5−2√5 =√5−1； 原式＝(3√3+＝(=
10√3−3
√33
−3√2)÷√2 3√2)÷√2 5√6−3
3．
【考点】
二次根式的混合运算 【解析】
（1）根据二次根式的乘除法则运算； （2）利用乘法公式展开，然后合并即可；
（3）先把各二次根式化简为最简二次根式，然后把括号内合并后进行二次根式的除法运算． 【解答】 原式=√
12×63
＝2√6；
原式＝3√5−6+5−2√5 =√5−1； 原式＝(3√3+＝(=
10√3−3
√33
−3√2)÷√2 3√2)÷√2 5√6−3
3．
【答案】
肇事汽车的车速为48千米/时 【考点】 算术平方根 【解析】
直接用题目中速度公式和计算器即可求出． 【解答】
根据题意得：𝑣＝16√6×1.5=16×√9=16×3＝48（千米/时） 【答案】
在𝑅𝑡△𝐴𝐷𝐶中，∠𝐷＝90∘
根据勾股定理得：𝐴𝐶=√𝐴𝐷2+𝐶𝐷2=25； 在△𝐴𝐶𝐵中
∵ 𝐵𝐶2+𝐴𝐵2＝202+152＝252＝𝐶𝐴2，
试卷第11页，总15页
∴ △𝐴𝐶𝐵是直角三角形，∠𝐴𝐵𝐶＝90∘， ∴ 𝑆四边形𝐴𝐵𝐶𝐷＝𝑆𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶+𝑆𝑅𝑡△𝐴𝐶𝐷， =2𝐴𝐵⋅𝐵𝐶+2𝐴𝐷⋅𝐶𝐷＝150+84 ＝234．
【考点】 勾股定理
勾股定理的逆定理 【解析】
（1）根据勾股定理，在直角△𝐴𝐶𝐷中计算即可；
（2）首先利用勾股定理逆定理证明△𝐴𝐶𝐷是直角三角形，再利用三角形的面积公式进行计算即可． 【解答】
在𝑅𝑡△𝐴𝐷𝐶中，∠𝐷＝90∘
根据勾股定理得：𝐴𝐶=√𝐴𝐷2+𝐶𝐷2=25； 在△𝐴𝐶𝐵中
∵ 𝐵𝐶2+𝐴𝐵2＝202+152＝252＝𝐶𝐴2， ∴ △𝐴𝐶𝐵是直角三角形，∠𝐴𝐵𝐶＝90∘， ∴ 𝑆四边形𝐴𝐵𝐶𝐷＝𝑆𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶+𝑆𝑅𝑡△𝐴𝐶𝐷， =2𝐴𝐵⋅𝐵𝐶+2𝐴𝐷⋅𝐶𝐷＝150+84 ＝234． 【答案】
根据题意得：𝑦＝−110𝑥+300； 当𝑦＝80时，有−110𝑥+300＝80， 解得：𝑥＝2．
答：行驶了2个小时． 【考点】
一次函数的应用 【解析】
（1）由列车距大同的距离＝列出的平均速度×行驶的时间+两地间的路程，即可得出结论；
（2）代入𝑦＝80求出𝑥的值，即可得出结论． 【解答】
根据题意得：𝑦＝−110𝑥+300； 当𝑦＝80时，有−110𝑥+300＝80， 解得：𝑥＝2．
答：行驶了2个小时． 【答案】 湖水的深度3.75尺 【考点】 数学常识
勾股定理的应用 【解析】
试卷第12页，总15页
1
1
1
1
根据题意，运用勾股定理，列方程解答即可． 【解答】
若设湖水的深度𝑥尺．则荷花的长是(𝑥+0.5)米．在直角三角形中，根据勾股定理， 得：(𝑥+0.5)2＝𝑥2+22， 解之得：𝑥＝3.75， 【答案】 𝑚2+3𝑛2,2𝑚𝑛 2,1
√6+2√5=√(√5+1)2=√5+1． 【考点】
二次根式的性质与化简 【解析】
（1）利用已知直接去括号进而得出𝑎，𝑏的值；
（2）取𝑚＝2，𝑛＝1，计算𝑎和𝑏的值，利用完全平方公式，变形得出答案； （3）直接利用完全平方公式，变形化简即可． 【解答】
由题意得：𝑎+𝑏√3=(𝑚+𝑛√3)2， ∴ 𝑎+𝑏√3=𝑚2+3𝑛2+2√3𝑚𝑛， ∴ 𝑎＝𝑚2+3𝑛2，𝑏＝2𝑚𝑛； 故答案为：𝑚2+3𝑛2；2𝑚𝑛；
取𝑚＝2，𝑛＝1，则𝑎＝𝑚2+3𝑛2＝7，𝑏＝2𝑚𝑛＝4， 7+4√3=(2+√3)2； 故答案为：√7+4√3，2，1； √6+2√5=√(√5+1)2=√5+1． 【答案】
对于直线𝐴𝐵:𝑦=−𝑥+2，
21
当𝑥＝0时，𝑦＝2；当𝑦＝0时，𝑥＝4，
则𝐴、𝐵两点的坐标分别为𝐴(4, 0)、𝐵(0, 2)； 𝐴、∵ 𝐶(0, 4)，𝐴(4, 0) ∴ 𝑂𝐶＝𝑂𝐴＝4，
当0≤𝑡≤4时，𝑂𝑀＝𝑂𝐴−𝐴𝑀＝4−𝑡，𝑆△𝑂𝐶𝑀=2×4×(4−𝑡)＝8−2𝑡； 当𝑡>4时，𝑂𝑀＝𝐴𝑀−𝑂𝐴＝𝑡−4，𝑆△𝑂𝐶𝑀=×4×(𝑡−4)＝2𝑡−8；
21
1
𝐵、△𝐴𝐵𝑀是等腰三角形，有三种情形：
试卷第13页，总15页
①当𝐵𝑀＝𝐴𝑀时，设𝐵𝑀＝𝐴𝑀＝𝑥，则𝑂𝑀＝4−𝑥， 在𝑅𝑡△𝑂𝐵𝑀中，∵ 𝑂𝐵2+𝑂𝑀2＝𝐵𝑀2， ∴ 22+(4−𝑥)2＝𝑥2， ∴ 𝑥=2， ∴ 𝐴𝑀=，
255
∴ 𝑡=时，△𝐴𝐵𝑀是等腰三角形．
2
5
②当𝐴𝑀′＝𝐴𝐵=√22+42=2√5时，即𝑡＝2√5时，△𝐴𝐵𝑀是等腰三角形． ③当𝐵𝑀″＝𝐵𝐴时，∵ 𝑂𝐵⊥𝐴𝑀″， ∴ 𝑂𝑀″＝𝑂𝐴＝4， ∴ 𝐴𝑀″＝8，
∴ 𝑡＝8时，△𝐴𝐵𝑀是等腰三角形．
综上所述，满足条件的𝑡的值为2𝑠或2√5𝑠或8𝑠． 【考点】
一次函数的综合题 【解析】
（1）由直线𝐿的函数解析式，令𝑦＝0求𝐴点坐标，𝑥＝0求𝐵点坐标； （2）𝐴、由面积公式𝑆=𝑂𝑀⋅𝑂𝐶求出𝑆与𝑡之间的函数关系式；
21
5
𝐵、△𝐴𝐵𝑀是等腰三角形，有三种情形，分别求解即可； 【解答】
对于直线𝐴𝐵:𝑦=−2𝑥+2，
当𝑥＝0时，𝑦＝2；当𝑦＝0时，𝑥＝4，
则𝐴、𝐵两点的坐标分别为𝐴(4, 0)、𝐵(0, 2)； 𝐴、∵ 𝐶(0, 4)，𝐴(4, 0) ∴ 𝑂𝐶＝𝑂𝐴＝4，
当0≤𝑡≤4时，𝑂𝑀＝𝑂𝐴−𝐴𝑀＝4−𝑡，𝑆△𝑂𝐶𝑀=2×4×(4−𝑡)＝8−2𝑡； 当𝑡>4时，𝑂𝑀＝𝐴𝑀−𝑂𝐴＝𝑡−4，𝑆△𝑂𝐶𝑀=2×4×(𝑡−4)＝2𝑡−8； 𝐵、△𝐴𝐵𝑀是等腰三角形，有三种情形：
1
1
1
试卷第14页，总15页
①当𝐵𝑀＝𝐴𝑀时，设𝐵𝑀＝𝐴𝑀＝𝑥，则𝑂𝑀＝4−𝑥， 在𝑅𝑡△𝑂𝐵𝑀中，∵ 𝑂𝐵2+𝑂𝑀2＝𝐵𝑀2， ∴ 22+(4−𝑥)2＝𝑥2， ∴ 𝑥=2， ∴ 𝐴𝑀=，
255
∴ 𝑡=时，△𝐴𝐵𝑀是等腰三角形．
2
5
②当𝐴𝑀′＝𝐴𝐵=√22+42=2√5时，即𝑡＝2√5时，△𝐴𝐵𝑀是等腰三角形． ③当𝐵𝑀″＝𝐵𝐴时，∵ 𝑂𝐵⊥𝐴𝑀″， ∴ 𝑂𝑀″＝𝑂𝐴＝4， ∴ 𝐴𝑀″＝8，
∴ 𝑡＝8时，△𝐴𝐵𝑀是等腰三角形．
综上所述，满足条件的𝑡的值为2𝑠或2√5𝑠或8𝑠．
5
试卷第15页，总15页
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