matlab实验6 非线性方程近似解

实验六 非线性方程近似解

实验目的 1. 用MATLAB软件掌握求解非线性方程的迭代法和牛顿法，并对结果作初步分析； 2. 通过实例练习用非线性方程求解实际问题。 实验内容

预备：编写牛顿切线法和割线法的程序 牛顿割线法程序 牛顿切线法程序 function y=newton2(x0,x1,n,tol) function y=newton1(x0,n,tol) x(1)=x0; x(1)=x0; x(2)=x1; b=1; b=1; i=1; i=2; while(abs(b)>eps*x(i)) while(abs(b)>eps*x(i)) x(i+1)=x(i)-fun1(x(i))/dfun1(xx(i+1)=x(i)-fun1(x(i))*(x(i)-x( (i)); i-1))/(fun1(x(i))-fun1(x(i-1))) b=x(i+1)-x(i); ; i=i+1; b=x(i+1)-x(i); if(i>n) error('n is full'); i=i+1; end if(i>n) error('n is full'); end end disp(i-1); end y=x(i); disp(i-2); y=x(i); x20的两个根，准确到10-6，取不同的初值计算，输出初值、根的1. 用牛顿法求sinx2近似值和迭代次数，分析两个根的收敛域；再用迭代法求解（可构造不同的迭代公式，如，进行比较。 x(2sinx)等）

a. 牛顿法，用以上程序代入不同的初值结果如下： 初值 根的近似值 -2 0 -1.5 0 -1 0 -0.5 0 0 0 0.5 0 1 1.4044 1.5 1.4044 2 1.4044 2.5 1.4044

迭代次数 7 7 7 7 1 8 7 5 6 7 12经过反复尝试，两个根（0和1.4044）的收敛区域如下

根 收敛区域 0 -∞构造迭代公式x(2sinx)，编制如下程序计算迭代结果： function y=dd(x0,n,tol) x(1)=x0; b=1; i=1;

while(abs(b)>eps*x(i))

x(i+1)=(2*sin(x(i)))^0.5; b=x(i+1)-x(i); i=i+1;

if(i>n) error('n is full'); end end

disp(i-1); y=x(i);

在不同的初值下迭代的结果如下

初值 根的近似值 迭代次数 -2 1.4044 21 -1.5 1.4044 21 -1 1.4044 21 -0.5 1.4044 21 0 1.4044 1 0.5 0 19 1 1.4044 18 1.5 1.4044 17 2 1.4044 18 2.5 1.4044 19 可以发现，迭代有可能进入复数区域，而且如果不是初值为0，就不可能得到0这个根。这是由于y(2sinx)的图形只在1.4044附近斜率是小于1的，在0附近不满足不动点收敛的条件。

比较可知，牛顿法和迭代法对于此题都有较大的收敛区域。同样精度的情况下牛顿法的迭代次数较少。牛顿法通过更换初值可以得到全部的两个根，而迭代法则只能得到一个。

7.炮弹发射视为斜抛运动，已知初速为200m/s，问要击中水平距离360m、垂直距离160m得目标，当忽略空气阻力时，发射角应多大。如果只考虑水平方向的阻力，且设阻力与（水平方向）速度成正比，系数为0.1(1/s)，结果又如何。

解：设发射角为θ，当不考虑空气阻力时，炮弹的运动方程如下：

1212x200cost 12y200sint9.8t2消去t可以得到ytanx4.9(x)2

200cos代入x=360, y=160；得到关于θ的一元非线性方程。用牛顿法解这个方程 function y=fun1(x)

y=360*tan(x)-4.8*(360/200/cos(x))^2-160; newton2(5,6,100,1e-6) ans=

0.4623

即发射角大约是0.4623rad（约合26.4695°）。

d2xdx若阻力与水平速度成正比则20.1

dtdt代入初始条件可以得出x10200cosexp(0.1t)10200cos 将之替代上面参数方程的第一个式子。同样编制程序如下

function y=fun1(x)

y=200*sin(x)*(-10*log(1-360/2000/cos(x)))-4.9*(-10*log(1-360/2000/cos(x))) newton2(0.5,1,100,1e-6) ans =

0.4027

即有阻力时发射角应为0.4027rad（约合23.073°）。