构造三角形重心巧定两平面法向量的方向

安徽省五河县刘集中学 刘瑞美（邮编：233333）

利用平面的法向量可以方便的求出二面角平面角的大小，由于两法向量的夹角未必就是二面角的平面角的大小，许多杂志上都介绍了直接从图形上观察两法向量的方向，来确定两法向量的夹角是否为两平面的夹角。这种方法虽然简单，但由于空间任意两个向量都是共面的，要从图形上直接判定他们的方向，需要很强的空间想象能力，好多学生是达不到这种境界的。在最后的复习中，我利用下面的两个定理引导学生用向量法求二面角的大小时，而学生不知道如何找二面角内的点P，结果给解题带来麻烦。为了帮助学生更好更快的解题，我们在二面角内总可以找到一个三角形，将此三角形的重心作为二面角内的点P，可以不加思索的让学生很方便的正确求解，偶有所得，现结合近年的年高考题，写出来与大家同享。

为了解决问题的方便，现给出如下的两个定理：

定理1：向量m是平面的一个法向量，点O在平面内，点P在平面外。若mOP＞0，则向量m与向量OP指向平面的同侧（如图1）；若mOP＜0，则向量m与向量OP指向平面的异侧（如图2）。

PmmO图1 P O图2 证明：当mOP＞0时，∵mOPmOPcos，∴cos＞0，∴0＜2，∴向量m与向量OP指向平面的同侧。同理可证当mOP＜0时，cos＜0，∴＜，

2∴向量m与向量OP指向平面的异侧。

定理2：点P是二面角l内一点，点O是棱l上一点，向量m,n分别是平面,的一个法向量，二面角l大小为。若mOP与nOP同号，则m,n；若

mOP与nOP异号，则m,n（如图3）

nPmO图3 1

证明：（一）若mOP与nOP异号

1）当mOP＞0且nOP＜0时，由定理1易知：向量m与向量OP指向平面的同侧；向量n与向量OP指向平面的异侧，而OP始终都是指向两平面外部的，所以向量m与向量n与两平面的指向互异，所以m,n 2）同理可证当mOP＜0且nOP＞0时，m,n （二）若mOP与nOP同号

1）当mOP＞0且nOP＞0时，由定理1易知：向量m与向量OP指向平面的同侧；向量n与向量OP也指向平面的同侧，而OP始终都是指向两平面外部的，所以向量m与向量n与两平面的指向一致，所以m,n； 2）同理可证：当mOP＜0且nOP＜0时，m,n

例1、（2008年全国高考数学北京卷文）

如图，在三棱锥P-ABC中，AC=BC=2，∠ACB=90°，AP=BP=AB，PC⊥AC. （Ⅰ）求证：PC⊥AB；

（Ⅱ）求二面角B-AP-C的大小. 解：（Ⅰ）略

（Ⅱ）由题易知：△APC≌△BPC，∴PCCB，∴以C为坐标原点，CB，CA，CP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系。

∴A(0,2,0)，则B(2,0,0)，C(0,0,0)，P(0,0,2)，AP中点

MzPM(0,1,1)，AP(0,2,2)， BA(2,2,0)，PC(0,0,2)。

yxB设平面BAP的一个法向量为n1(x1,y1,z1)，则由

A2x12y10n1BA0,即x1y1z1，故可取，可得2y2z011n1AP0C图4 n2AP0，可得n1(1,1,1).设平面APC的一个法向量为n2(x2,y2,z2)，则由n2PC02y22z20,即y2z20，故可取n2(1,0,0)，由于二面角的棱AP的中点2z0222M(0,1,1)，而BPC在二面角BAPC内，则BPC的重心Q(,0,)，

33

2

2122∴MQ(,1,)，∴MQn1，MQn2， ∵MQn1与MQn2异号，

3333∴二面角BAPC的大小与n1,n2的大小相等，所以

coscosn1,n2n1n2n1n233，故二面角BAPC的大小为arccos

33点评：利用三角形重心判定两平面法向量的方向，先在棱上找一点，为方便期间，一

般找二面角棱的中点，再结合定理就可以求出二面角的大小。 例2. （2008年全国高考数学全国卷理科18题），四棱锥ABCDE中，底面BCDE为矩形，侧

面ABC底面BCDE，BC2，CD2，ABAC． （Ⅰ）证明：ADCE；

（Ⅱ）设CE与平面ABE所成的角为45，求二面角CADE的大小．

解：（Ⅰ）略。

（Ⅱ）取CB的中点O, ∵ABAC，∴AO⊥CB，又侧面ABC底面BCDE，∴AO⊥底面BCDE，∴以O为坐标原点，OC，Oy，OA所在直线分别为x轴、

y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则B(1,0,0)，C(1,0,0)，

zAD(1,2,0)，E(1,2,0)，设A(0,0,a)，因此AD(1,2,a) ，

CD(0,2,0)，DE(2,0,0)，二面角的棱AD的中点

BMEy12aM(,,)，设平面CAD的法向量为n1(x1,y1,z1)， 222x1az12y10则由n1CD,n1AD，可得，y01x12y1az10xCOD图5 故可取n1(a,0,1)，同理可得平ADE的一个法向量为n2(0,a,2)，由于棱AD的中点

a12aM(,,)，而ABC在二面角CADE内，且ABC的重心Q的坐标为(0,0,)，

32222a22a12a,)，∴MQn1∴MQ(,，MQn2，

33226∵MQn1与MQn2同号，∴所求的二面角大小与n1,n2的大小互补， 所以coscosn1,n2n1n2n1n22a21a22，由于CE与平面ABE成45的

角，由题易知平面ABE的一个法向量为n(a,0,1)，而CE(2,2,0)，所以

3

sin45nCEnCE2aa216a3，∴cosn1,n2210， 10∴coscosn1,n21010，∴故二面角CADE的大小=arccos. 1010点评: 法向量的夹角与二面角的大小可能相等也可能互补，要注意法向量的方向。

利用法向量确定两平面的夹角的基本思想是：根据所求得的法向量的坐标，确定两法向量的指向（可以以坐标原点为起点，以两坐标对应的点分别为终点）若两法向量的指向互异，则它们的夹角与二面角的大小相等；若两法向量的指向一致，则它们的夹角与二面角的大小是互补的。

即向量n1,n2指向互异，则coscosn1,n2n1n2n1n2n1n2n1n2，arccosn1n2n1n2；

若向量n1,n2指向一致，则coscosn1,n2，arccosn1n2n1n2

参考文献：

1、 袁智斌.由动手操作上升到计算推理，中学数学教学参考（高中）（J）2007.6 2、 严勇.立体几何中的轨迹问题，中学数学杂志（高中）（J）2007.3 3、 王克亮.不妨回到最朴素的判定方法，中学教研（数学）（J），2008.1

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