2020届高考数学(理)一轮复习专题卷 专题04 指数函数、对数函数及幂函数(解析版)

2020届高考数学（理）一轮复习专题卷

跟踪知识梳理

考纲解读： 1．指数函数

(1)了解指数函数模型的实际背景．

(2)理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点． (3)知道指数函数是一类重要的函数模型． 2．对数函数

(1)理解对数函数的概念，理解对数函数的单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点． (2)知道对数函数是一类重要的函数模型．

(3)了解指数函数y＝ax与对数函数y＝logax互为反函数(a>0，且a≠1)． 3．幂函数

(1)了解幂函数的概念．

11

(2)结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝x的图象，了解它们的变化情况．

x2考点梳理：

一、指数函数的概念、图象与性质

概念 函数y＝ax(a>0，a≠1)叫做指数函数 底数 a>1 0值域 （0，+∞） 性质 过定点（0,1），即x＝0时，y＝1 在R上是增函数 在R上是减函数 二、对数函数的概念、图象与性质

概念 底数 a>1 函数y＝logax(a>0，a≠1)叫做对数函数 0概念 形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中α为常数 1图象(α＝－1，，1，2，3) 2

性质 所有的幂函数在(0，＋∞)都有定义，并且图象都过点（1,1） α>0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间（0，+∞）上是增 函数 α<0时，幂函数的图象在区间(0，＋∞)上是减函数．在第一象限 内，当x从右边趋向原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴，当x趋于＋∞时，图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴 四、反函数 1．概念

当一个函数的自变量和因变量成一一对应时，可以把这个函数的因变量作为一个新的函数的自变量，而把这个函数的自变量作为新的函数的因变量，我们称这两个函数互为反函数．

2．指数函数y＝ax(a>0，a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，a≠1)互为反函数，由于在反函数中是交换了x，y的位置，故互为反函数的两个函数的定义域和值域互换，即原函数的值域是其反函数的定义域，原函数的定义域是其反函数的值域．

核心能力必练

一、选择题

1．(2018湖南永州第三次模拟,4)下列函数中,与函数y=2x-2-x的定义域、单调性与奇偶性均一致 的是 ( )

1A.y=sin x B.y=x3 C.y=   D.y=log2x

2【答案】B

x

y=x3是定义域为R的单调递增函数,且是奇函数符合题意.故选B.

12．(2018福建厦门一模,5)已知a=,b=log10.3,c=ab,则a,b,c的大小关系是 ( )

22A.a0.311【解析】 b=log10.3>log1=1>a=,c=ab22223．.(2018河南八市学评第一次测评,10)设函数f(x)=x2-a与g(x)=ax(a>1且a≠2)在区间(0,+∞)上具

0.31有不同的单调性,则M=(a-1)0.2与N=的大小关系是 ( )

aA.M=N B.M≤N C.MN 【答案】D

0.1

4．函数yax2a0,且a1的图象经过的定点坐标是（ ）

A. 0,1 B. 2,1 C. 2,1 D. 2,0 【答案】C

【解析】令x20，则x2，则函数ya5．已知幂函数fxx的图象经过点A(A.x2的图象过定点2,1，故选C.

1,2)，则实数的值为（ ） 211 B. C.2 D.2 22【答案】A

11【解析】由已知得2，则.故选A.

22x121,x1,6．已知函数fx若f(a)1，则f(1a)（ ）

log3x,x1,2A．2 B．2 C．1 D．1 【答案】B

【解析】当a1时，2a111，即a2，则f(1a)log242；当a1时，log2(3a)1，即a

5

，不合题意，故f(1a)2，故选B． 2

7．若loga20（a0，且a1），则函数fxlogax1的图象大致是（ ）

【答案】B

8．若f10xx，则f3（ ）

A．log310 B．lg3 C．10 D．3 【答案】B

【解析】由函数的对应关系可得103，解得xlg3，故选B.

x23x2,9．函数fx若fa1，则a的值是（ ） 2log3x1x2,310

xA．2 B．1 C．1或2 D．1或2 【答案】A

3【解析】当a2时，

a22log3(a21)1，1，解得a2，不符合；当a2时，故a4，即a2．故

a2，故选A．

10．设alog32,blog52,clog23，则（ ）

A．acb B．bca C．cba D．cab 【答案】D

【解析】因为alog3211,blog52，clog23log221,log251，所以0a1，log23log25

0b1，又log25log231，所以

11，即0ba1，所以cab，故选D． log25log2311．函数y1logax283a0,且a1的图象恒过定点A，若点A的横坐标为x0，函数

y2axx04的图象恒过定点B，则B点的坐标为（ ）

A．27,3 B．27,5 C．3,5 D．2,5 【答案】B

12．已知函数ya，yx，ylogcx的图象如图所示，则（ ）

xb

A．abc B．acb C．cab D．cba 【答案】C

【解析】由题中图象可知a1,0b1,c1，所以b最小；对于ya，x1时，ya，由题中图象

可知1a2；对于ylogcx，y1时，cx，由图象可知2c3，故cab，故选C.

13．已知实数x，y满足aa（0a1），则下列关系式恒成立的是（ ） A．

xyx11 B．sinxsiny x21y212233C．ln(x1)ln(y1) D．xy 【答案】D

【解析】∵实数x，y满足aa（0a1），∴xy.对于A，

xy1122x1y等价于1，

x21y212222即xy，当x1，y1时，满足xy，但xy不成立；对于B，当x，yπ时，满足xy，2

但sinxsiny不成立；对于C，ln(x1)ln(y1)等价于xy成立，当x1，y1时，满足

2222xy，但x2y2不成立；对于D，当xy时，x3y3恒成立，故选D.

x12e,x2,14．设fx则ff2的值为（ ） 2logx1,x2,3A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C

211【解析】f(2)log3(21)1,f(f(2))f(1)2e2，故选C.

12ax,x1,fx1fx215．已知函数fx当时，0，则a的取值范围是（ ） xx121xx12logax,x1,3111111A．(0，] B．， C．(0，] D．，

323243【答案】A

16．已知alog15，blog23，c1，d320.6，那么（ ）

A．acbd B．adcb

C．abcd D．acd【答案】B

【解析】由幂函数的性质可知d30.6b

0,1，由对数的运算性质可知alog250，而

blog231,2，又c1，所以adcb，故选B．

117．幂函数的图象经过点2，，则它的单调递增区间是（ ）

4

0 A．0， B．[0，) C．， D．，【答案】D

11【解析】根据幂函数的图象经过点2，，可以求出幂函数的解析式为yx22，进而可以求

4x0，故选D． 得它的单调递增区间是，18．已知a0,b0，且ab1，则函数f(x)a与函数g(x)logbx的图象可能是（ ）

x

【答案】B

19．已知35A，且

ab112，则A的值是（ ） abA.15 B.15 C.15 D.22 【答案】B 【解析】113a5bA,alog3A,blog5A,logA3logA5logA152，

abA15，故选B.

20．幂函数fxm2m5xm1在0,上单调递减，则m等于（ ）

A.3 B.2 C.2或3 D.3 【答案】B 【解析】

fx为幂函数，m2m51，m3或m2，当m3时，fxx4，在

0,上单调递增；当m2时，fxx1，在0,上单调递减，故选B.

21．函数fx16x16xlog2x的图象大致为（ ）



A． B．

C．【答案】A

D．

22．已知函数yf(x)与函数ye互为反函数，函数yg(x)的图象与函数yf(x)关于x轴对称，

xg(a)1，则实数a的值（ ）

A.e B.【答案】D

【解析】由反函数可知fxlnx，函数yg(x)的图象与函数yf(x)关于x轴对称，则

11 C. D.e eegxlnx，galna1,ae.

35123．函数fx的图象关于y轴对称，且对任意xR都有fx3fx，若当x,时，fx，

222则f2017（ ）

x11A． B． C．4 D．4

44

【答案】A

【解析】因为函数fx对任意xR都有fx3fx，所以fx6fx3fx，

所以函数fx是周期为6的函数，而f2017f33661f1，由fx3fx可得

f23f2f1，因为函数fx的图象关于y轴对称，所以函数fx是偶函数，所以111f2f2，所以f2017f1f2，故选A.

44222cos2x124．若直线axy0（a0）与函数f(x)图象交于不同的两点A，B，且点C(6,0)，

2xln2x若点D(m,n)满足DADBCD，则mn（ ）

A．1 B．2 C．3 D．a 【答案】B

25．函数fxkx4lnxxx1，若fx0的解集为s,t，且s,t中只有一个整数，则实数k的取值范围为（ ）

141141A．2 ，  B．(2 ， ]

ln33ln2ln33ln2C．(411411,1  ， 1] D．ln332ln2ln332ln2【答案】B

【解析】fx0x1只有一个整数解等价于kx4x只有一个大于1的整数解，设 lnxgxxlnx1x，则gx，可得在递减，在递增，由图可知， kx41,ee,gx2lnxlnxlnx

22k4,14ln212 3ln2ln333k4,ln3y654321-4-3-2-1-1O123x

二、填空题

2x126．(2018湖南益阳4月调研,13)已知函数f(x)=(a∈R)的图象关于点0,对称,则a= .

1a2x2【答案】1

27．函数f(x)log1(x24x5)的单调递减区间为 .

2【答案】5,

【解析】由x4x50得x1或x5，函数可由ftlog1t,tx24x5复合而成，其中

22ftlog1t为减函数，tx24x5的增区间为5,，所以函数f(x)log1(x24x5)的单调递

22减区间为5,.

28．已知函数fx2x2x，若不等式fx2axaf30对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是 . 【答案】2,6

【解析】因为fx2x2x为奇函数且为R上增函数，所以

fx2axaf30fx2axa f3fx2axaf3x2axa3对任

意实数x恒成立，即a24(a3)02a6.

29．已知指数函数yfx，对数函数ygx和幂函数yhx的图象都过P1,2，如果2fx1gx2hx34，那么x1x2x3 .

【答案】

3 2

30．如图，过原点O的直线与函数y2的图象交于A、B两点，过B作y轴的垂线交函数y4的图象于点C，若AC平行于y轴，则点A的坐标为 .

xx

【答案】1,2

【解析】设A(n,2),B(m,2)，则C(nmmmm,2)，因为AC平行于y轴，所以n，所以 222n2mmnm，即nm1，又 A(,2),B(m,2)，又因为A,B,O三点共线，所以kOAkOB，所以mm22nm，所以n1，所以点A的坐标为(1,2). 2