(完整版)初三数学二次函数知识点汇总(齐全)

★二次函数知识点汇总★1.定义：一般地，如果yax2bxc(a,b,c是常数，a0)，那么y叫做x的二次函数.2.二次函数yax2的性质(1)抛物线yax2（a0）的顶点是坐标原点，对称轴是y轴.(2)函数yax2的图像与a的符号关系.①当a0时抛物线开口向上顶点为其最低点；②当a0时抛物线开口向下顶点为其最高点3.二次函数 物线.4.二次函数yax2bxc用配方法可化成：yaxhb4acb2h，k2a4a2yax2bxc的图像是对称轴平行于(包括重合)y轴的抛k的形式，其中.5.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①yax2；②yax2k；③yaxh2；④yaxh2k；⑤yax2bxc.6.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.①a决定抛物线的开口方向：当a0时，开口向上；当a0时，开口向下；a相等，抛物线的开口大小、形状相同.②平行于y轴(或重合)的直线记作xh.特别地，y轴记作直线x0.7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.8.求抛物线的顶点、对称轴的方法b4acb22(1)公式法：yaxbxcax2a4a2b4acb2（，），∴顶点是，对称2a4a轴是直线xb.2a2(2)配方法：运用配方法将抛物线的解析式化为yaxhk的形式，得到顶点为(h,k)，对称轴是xh.(3)运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.★用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失★9.抛物线yax2bxc中，a,b,c的作用(1)a决定开口方向及开口大小，这与yax2中的a完全一样.(2)b和a共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线yax2bxc的对称轴是直线xb,故：2a①b0时，对称轴为y轴；②b0(即a、b同号)时,对称轴在y轴左侧；a③b0(即a、b异号)时,对称轴在y轴右侧.a(3)c的大小决定抛物线yax2bxc与y轴交点的位置.当x0时，yc，∴抛物线yax2bxc与y轴有且只有一个交点(0，c)：①c0，抛物线经过原点; ②c0,与y轴交于正半轴；③c0,与y轴交于负半轴.以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在y轴右侧，则 b0.a10.几种特殊的二次函数的图像特征如下：函数解析式yax2yax2kyaxh2开口方向对称轴x0(y轴)顶点坐标(0,0)(0, k)(h,0)(h,k)b4acb2(，2a4a当a0时开口向上x0(y轴)xhyaxhk2当a0时xh开口向下yaxbxc2bx2a)11.用待定系数法求二次函数的解析式 (1)一般式：yax2bxc.已知图像上三点或三对x、y的值，通常选择一般式. (2)顶点式：yaxh2k.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式. (3)交点式：已知图像与x轴的交点坐标x1、x2，通常选用交点式：yaxx1xx2.12.直线与抛物线的交点 (1)y轴与抛物线yax2bxc得交点为(0,c) (2)与y轴平行的直线xh与抛物线yax2bxc有且只有一个交点(h,ah2bhc).

(3)抛物线与x轴的交点

二次函数yax2bxc的图像与x轴的两个交点的横坐标x1、x2，是对应一元二次方程

.抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一ax2bxc0的两个实数根元二次方程的根的判别式判定：

①有两个交点0抛物线与x轴相交；

②有一个交点(顶点在x轴上)0抛物线与x轴相切；③没有交点0抛物线与x轴相离.(4)平行于x轴的直线与抛物线的交点

同(3)一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k，则横坐标是ax2bxck的两个实数根.

(5)一次函数ykxnk0的图像l与二次函数yax2bxca0的图像

G的交点，由方程组

ykxn的解的数目来确定：2yaxbxc①方程组有两组不同的解时l与G有两个交点;

②方程组只有一组解时l与G只有一个交点；③方程组无解时

l与G没有交点.

(6)抛物线与x轴两交点之间的距离：若抛物线yax2bxc与x轴两交

0，Bx2，0，由于x1、x2是方程ax2bxc0的两个根，故 点为Ax1，bcx1x2,x1x2aaABx1x2x1x22x1x22b24acb4c4x1x2aaaa213．二次函数与一元二次方程的关系：(1)一元二次方程yax2bxc就是二次函数yax2bxc当函数y的值为0时的情况．(2)二次函数yax2bxc的图象与x轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、没有交点；当二次函数yax2bxc的图象与x轴有交点时，交点的横坐标就是当y0时自变量x的值，即一元二次方程ax2bxc0的根．(3)当二次函数yax2bxc的图象与x轴有两个交点时，则一元二次方程yax2bxc有两个不相等的实数根；当二次函数yax2bxc的图象与x轴有一个交点时，则一元二次方程ax2bxc0有两个相等的实数根；当二次函数yax2bxc的图象与x轴没有交点时，则一元二次方程ax2bxc0没有实数根14.二次函数的应用：(1)二次函数常用来解决最优化问题，这类问题实际上就是求函数的最大(小)值；(2)二次函数的应用包括以下方面：分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系；运用二次函数的知识解决实际问题中的最大(小)值．15.解决实际问题时的基本思路：(1)理解问题；(2)分析问题中的变量和常量；(3)用函数表达式表示出它们之间的关系；(4)利用二次函数的有关性质进行求解；(5)检验结果的合理性，对问题加以拓展等．