史上最全初三数学二次函数知识点归纳总结

二次函数知识点归纳及相关典型题

第一部分 基础知识

1.定义：一般地，如果yaxbxc(a,b,c是常数，a0)，那么y叫做x的二次函数. 2.二次函数yax的性质

（1）抛物线yax的顶点是坐标原点，对称轴是y轴. （2）函数yax的图像与a的符号关系.

①当a0时抛物线开口向上顶点为其最低点；

②当a0时抛物线开口向下顶点为其最高点.

（3）顶点是坐标原点，对称轴是y轴的抛物线的解析式形式为yax（a0）. 3.二次函数 yaxbxc的图像是对称轴平行于（包括重合）y轴的抛物线. 4.二次函数yaxbxc用配方法可化成：yaxh22222222b4acb2k的形式，其中h，k.

2a4a22225.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①yax；②yaxk；③yaxh；④yaxhk；

⑤yaxbxc.

6.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.

①a的符号决定抛物线的开口方向：当a0时，开口向上；当a0时，开口向下；

2a相等，抛物线的开口大小、形状相同.

②平行于y轴（或重合）的直线记作xh.特别地，y轴记作直线x0.

7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.

8.求抛物线的顶点、对称轴的方法

b4acb2bb4acb2（，）x （1）公式法：yaxbxcax，∴顶点是，对称轴是直线. 2a4a2a2a4a22 （2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为yaxhk的形式，得到顶点为(h,k)，对称轴是直线

2xh.

- 1 -

（3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对

称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.

用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失. 9.抛物线yaxbxc中，a,b,c的作用

（1）a决定开口方向及开口大小，这与yax中的a完全一样.

（2）b和a共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线yaxbxc的对称轴是直线

222xbbb，故：①b0时，对称轴为y轴；②0（即a、b同号）时，对称轴在y轴左侧；③0（即a、2aaab异号）时，对称轴在y轴右侧.

（3）c的大小决定抛物线yaxbxc与y轴交点的位置.

当x0时，yc，∴抛物线yaxbxc与y轴有且只有一个交点（0，c）： ①c0，抛物线经过原点; ②c0,与y轴交于正半轴；③c0,与y轴交于负半轴. 以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在y轴右侧，则 10.几种特殊的二次函数的图像特征如下： 函数解析式 开口方向 当a0时 开口向上 当a0时 对称轴 顶点坐标 （0,0） (0, k) (h,0) (h,k) 22b0. ayax2 yaxk yaxh 2x0（y轴） x0（y轴） xh xh xb 2a2yaxhk 2yaxbxc 2开口向下 b4acb2，() 2a4a11.用待定系数法求二次函数的解析式

（1）一般式：yaxbxc.已知图像上三点或三对x、y的值，通常选择一般式. （2）顶点式：yaxhk.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.

22 （3）交点式：已知图像与x轴的交点坐标x1、x2，通常选用交点式：yaxx1xx2. 12.直线与抛物线的交点

- 2 -

（1）y轴与抛物线yaxbxc得交点为(0, c).

2 （2）与y轴平行的直线xh与抛物线yaxbxc有且只有一个交点(h,ahbhc).

22 （3）抛物线与x轴的交点

2 二次函数yaxbxc的图像与x轴的两个交点的横坐标x1、x2，是对应一元二次方程axbxc0的两

2个实数根.抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定： ①有两个交点0抛物线与x轴相交；

②有一个交点（顶点在x轴上）0抛物线与x轴相切； ③没有交点0抛物线与x轴相离. （4）平行于x轴的直线与抛物线的交点

同（3）一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k，则横

坐标是axbxck的两个实数根.

（5）一次函数ykxnk0的图像l与二次函数yaxbxca0的图像G的交点，由方程组

22ykxnyax2bxc的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时l与G有两个交点; ②方程组只有一组解时

l与G只有一个交点；③方程组无解时l与G没有交点.

0，Bx2，0，由于x1、x2是 （6）抛物线与x轴两交点之间的距离：若抛物线yaxbxc与x轴两交点为Ax1，2方程axbxc0的两个根，故

2bcx1x2,x1x2aaABx1x2x1x22x1x224cb24acb4x1x2

aaaa2第二部分 典型习题

１.抛物线y＝x＋2x－2的顶点坐标是 （ D ）

A.（2，－2） B.（1，－2） C.（1，－3） D.（－1，－3） ２.已知二次函数yax2bxc的图象如图所示，则下列结论正确的是（ C ）

Ａ．ab＞0，c＞0 Ｂ．ab＞0，c＜0 Ｃ．ab＜0，c＞0 Ｄ．ab＜0，c＜0

2

- 3 -

第２,３题图 第4题图

３.二次函数y＝ax＋bx＋c的图象如图所示，则下列结论正确的是（ Ｄ ） A．a＞0，b＜0，c＞0 B．a＜0，b＜0，c＞0 C．a＜0，b＞0，c＜0 D．a＜0，b＞0，c＞0 ４.如图，已知

中，BC=8，BC上的高

，D为BC上一点，

，交AB于点E，交AC于点F（EF不过A、

2B），设E到BC的距离为，则的面积关于的函数的图象大致为（ Ｄ ）

EF4xEF82x,yx24x 84５.抛物线yx2x3与x轴分别交于A、B两点，则AB的长为 4 ．

21)x－1与x轴交点的横坐标为x1、x2（x1＜x2）6.已知二次函数y＝kx＋(2k－，则对于下列结论：①当x＝－2时，y1)x1＝0有两个不相等的实数根x1、x2；④x1＜1，x2＞－1；⑤＝1；②当x＞x2时，y＞0；③方程kx＋(2k－221＋4k2x2－x1＝，其中所有正确的结论是 ①③④ （只需填写序号）．

k7.已知直线y2xbb0与x轴交于点A，与y轴交于点B；一抛物线的解析式为yxb10xc.

2（1）若该抛物线过点B，且它的顶点P在直线y2xb上，试确定这条抛物线的解析式；

（2）过点B作直线BC⊥AB交x轴交于点C，若抛物线的对称轴恰好过C点，试确定直线y2xb的解析式. 解：（1）yx10或yx4x6

22b10b216b100b10b216b100,)，b（0，b)代入， 将得cb.顶点坐标为(由题意得2，2424解得b110,b26.

- 4 -

（2）y2x2

8.有一个运算装置，当输入值为x时，其输出值为y，且y是x的二次函数，已知输入值为2,0,1时, 相应的输出值分别为5,3,4．

（1）求此二次函数的解析式；

（2）在所给的坐标系中画出这个二次函数的图象,并根据图象写出当输出值y为正数时输入值x的取值范围. 解：（1）设所求二次函数的解析式为yax2bxc,

a(2)2b(2)c5c3a1则a02b0c3,即2ab4 ,解得b2 abc4c3ab1故所求的解析式为:yx22x3. （2)函数图象如图所示.

由图象可得，当输出值y为正数时， 输入值x的取值范围是x1或x3．

9.某生物兴趣小组在四天的实验研究中发现：骆驼的体温会随外部环境温度的变化而变化，而且在这四天中每昼夜的体温变化情况相同．他们将一头骆驼前两昼图．请根据图象回答：

⑴第一天中，在什么时间范围内这头骆驼从最低上升到最高需要多少时间? ⑵第三天12时这头骆驼的体温是多少? ⑶兴趣小组又在研究中发现，图中10时到 22时的曲线是抛物线，求该抛物线的解 析式．

解：⑴第一天中，从4时到16时这头骆驼的

体温是上升的

它的体温从最低上升到最高需要12小时 ⑵第三天12时这头骆驼的体温是39℃

第9题

夜的体温变化情况绘制成下

的体温是上升的?它的体温

12x2x2410x22 164210.已知抛物线yax(3a)x4与x轴交于A、

3⑶y B两点，与y轴交于点C．是否存在实数a，使得

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△ABC为直角三角形．若存在，请求出a的值；若不 存在，请说明理由．

解：依题意，得点C的坐标为（0，4）．

设点A、B的坐标分别为（x1，0），（x2，0）， 由ax(3a)x40，解得 x13，x2 ∴ 点A、B的坐标分别为（-3，0），（ ∴ AB|2434． 3a4，0）． 3a43|，ACAO2OC25， 3a42|42． 3aBCBO2OC2| ∴ AB|241641683|2223929， 3a9a3a9aa1622 AC25，BC16． 29a 〈ⅰ〉当ABACBC时，∠ACB＝90°． 由ABACBC，

22222216816925(16)． 229aa9a1 解得 a．

4162540016222 ∴ 当a时，点B的坐标为（，0），AB，AC25，BC．

4993 得

于是ABACBC． ∴ 当a22221时，△ABC为直角三角形． 422 〈ⅱ〉当ACABBC时，∠ABC＝90°． 由ACABBC，得25( 解得 a222168169)(16)． 22a9a9a4． 9444 当a时，3，点B（-3，0）与点A重合，不合题意．

93a349 〈ⅲ〉当BCACAB时，∠BAC＝90°． 由BCACAB，得

222222161681625(9)． 22a9a9a- 6 -

解得 a4．不合题意． 91时，△ABC为直角三角形． 4 综合〈ⅰ〉、〈ⅱ〉、〈ⅲ〉，当a11.已知抛物线y＝－x2＋mx－m＋2.

（1）若抛物线与x轴的两个交点A、B分别在原点的两侧，并且AB＝5，试求m的值；

（2）设C为抛物线与y轴的交点，若抛物线上存在关于原点对称的两点M、N，并且 △MNC的面积等于27，试求m的值. 解: (1)Ａ（x1，0）,B(x2，0) . 则x1 ，x2是方程 x2－mx＋m－2＝0的两根. ∵x1 ＋ x2 ＝m , x1·x2 =m－2 ＜0 即m＜2 ;

2又AB＝∣x1 — x2∣＝（x1+x2）4x1x25 , ∴m2－4m＋3=0 .

解得：m=1或m=3(舍去) , ∴m的值为1 . （2）M(a，b)，则N(－a，－b) . ∵M、N是抛物线上的两点,

∴y C amam2b,①

2amam2b.②2M O x N ①＋②得：－2a2－2m＋4＝0 . ∴a2＝－m＋2 . ∴当m＜2时，才存在满足条件中的两点M、N. ∴a2m .

这时M、N到y轴的距离均为2m, 又点C坐标为（0，2－m）,而S△M N C = 27 , ∴2×

1×（2－m）×2m=27 . 2∴解得m=－7 .

12.已知：抛物线y＝ax＋4ax＋t与x轴的一个交点为A（－1，0）． （1）求抛物线与x轴的另一个交点B的坐标；

（2）D是抛物线与y轴的交点，C是抛物线上的一点，且以AB为一此抛物线的解析式；

（3）E是第二象限内到x轴、y轴的距离的比为5∶2的点，如果点与点A在此抛物线对称轴的同侧，问：在抛物线的对称轴上是否存若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

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2底的梯形ABCD的面积为9，求

E在（2）中的抛物线上，且它在点P，使△APE的周长最小?

解法一：

（1）依题意，抛物线的对称轴为x＝－2． ∵ 抛物线与x轴的一个交点为A（－1，0），

∴ 由抛物线的对称性，可得抛物线与x轴的另一个交点B的坐标为（－3，0）．

（2）∵ 抛物线y＝ax＋4ax＋t与x轴的一个交点为A（－1， 0），

21)＋t＝0．∴ t＝3a．∴ y＝ax2＋4ax＋3a． ∴ a(－1)＋4a(－ ∴ D（0，3a）．∴ 梯形ABCD中，AB∥CD，且点C在抛物线y＝ax＋4ax＋3a 上， ∵ C（－4，3a）．∴ AB＝2，CD＝4． ∵ 梯形ABCD的面积为9，∴ ∴ a±1．

2 ∴ 所求抛物线的解析式为y＝x＋4x＋3或y＝x4ax3．

22211(ABCD)OD＝9．∴ (2＋4)3a＝9．

22 （3）设点E坐标为（x0，y0）.依题意，x0＜0，y0＜0， 且

55＝．∴ y0＝－x0．

2x022y0 ①设点E在抛物线y＝x＋4x＋3上，

∴y0＝x0＋4x0＋3．

215x＝，0x＝6，y＝－x,0200 解方程组 得 2515；y0＝y＝x2＋4x＋3＝．y00004 ∵ 点E与点A在对称轴x＝－2的同侧，∴ 点E坐标为（15，）． 24 设在抛物线的对称轴x＝－2上存在一点P，使△APE的周长最小． ∵ AE长为定值，∴ 要使△APE的周长最小，只须PA＋PE最小． ∴ 点A关于对称轴x＝－2的对称点是B（－3，0）， ∴ 由几何知识可知，P是直线BE与对称轴x＝－2的交点． 设过点E、B的直线的解析式为y＝mx＋n，

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15m＝,1m＋n＝,2 ∴ 2 4 解得n＝3.－3m＋n＝0.2 ∴ 直线BE的解析式为y＝ ∴ 点P坐标为（－2，

131x＋．∴ 把x＝－2代入上式，得y＝． 222

1）． 222 ②设点E在抛物线y＝x4x3上，∴ y0＝x04x03．

53y0＝－x0,2 解方程组 消去y0，得x0x0＋3＝0． 22y＝x24x3.000 ∴ △＜0 . ∴ 此方程无实数根． 综上，在抛物线的对称轴上存在点P（－2，解法二：

（1）∵ 抛物线y＝ax＋4ax＋t与x轴的一个交点为A（－1，0），

21），使△APE的周长最小． 21)＋t＝0．∴ t＝3a．∴ y＝ax2＋4ax＋3a． ∴ a(－1)＋4a(－

令 y＝0，即ax＋4ax＋3a＝0．解得 x1＝－1，x2＝－3． ∴ 抛物线与x轴的另一个交点B的坐标为（－3，0）．

（2）由y＝ax＋4ax＋3a，得D（0，3a）． ∵ 梯形ABCD中，AB∥CD，且点C在抛物线

222y＝ax2＋4ax＋3a上，

∴ C（－4，3a）．∴ AB＝2，CD＝4． ∵ 梯形ABCD的面积为9，∴ ∴ 3a＝3．∴ a±1．

∴ 所求抛物线的解析式为y＝x＋4x＋3或

（3）同解法一得，P是直线BE与对称轴x＝－2的交点． ∴ 如图，过点E作EQ⊥x轴于点Q．设对称轴与x轴的交

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21(AB＋CD)OD＝9．解得OD＝3． 2y＝－x2－4x－3．

点为F．

BFPF11PF＝．∴ ＝．∴ PF＝．

55BQEQ2241 ∴ 点P坐标为（－2，）．

2 由PF∥EQ，可得 以下同解法一．

13.已知二次函数的图象如图所示．

（1）求二次函数的解析式及抛物线顶点M的坐标．

（2）若点N为线段BM上的一点，过点N作x轴的垂线，垂足为点Q．当点N在线段BM上运动时（点N不与点B，点M重合），设NQ的长为l，四边形NQAC的面积为S，求S与t之间的函数关系式及自变量t的取值范围；

（3）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P，使△PAC为直角三角形?若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；

（4）将△OAC补成矩形，使△OAC的两个顶点成为矩形一边的两个顶形这一边的对边上，试直接写出矩形的未知的顶点坐标（不需要计算过解：（1）设抛物线的解析式ya(x1)(x2)，

∴ 2a1(2)．∴ a1．∴ yxx2．

2点，第三个顶点落在矩程）．

 其顶点M的坐标是，129． 4 （2）设线段BM所在的直线的解析式为ykxb，点N的坐标为N（t，h），

02kb，3 ∴ 91．解得k，b3．

2kb.423x3． 231112321 ∴ ht3，其中t2．∴ s12(2t3)ttt1．

22223423211 ∴ s与t间的函数关系式是Stt1，自变量t的取值范围是t2．

422 ∴ 线段BM所在的直线的解析式为y （3）存在符合条件的点P，且坐标是P1，，P2， 设点P的坐标为P(m，n)，则nmm2．

25724325． 4PA2(m1)2n2，PC2m2(n2)2，AC25．

分以下几种情况讨论：

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i）若∠PAC＝90°，则PCPAAC．

2nmm2， ∴ 

2222m(n2)(m1)n5.222 解得：m1557，m21（舍去）． ∴ 点P1，． 224222 ii）若∠PCA＝90°，则PAPCAC．

2nmm2， ∴ 

2222(m1)nm(n2)5. 解得：m3533．∴ 点P2，－． ，m40（舍去）

422 iii）由图象观察得，当点P在对称轴右侧时，PAAC，所以边AC的对角∠APC不可能是直角．

（4）以点O，点A（或点O，点C）为矩形的两个顶点，第三个顶点落在矩形这边OA（或边OC）的对边上，如图a，此

时未知顶点坐标是点D（－1，－2），

以点A，点C为矩形的两个顶点，第三个顶点落在矩形这一边AC的对边上，如图b，此时未知顶点坐标是E，，

1255F，458． 5

图a 图b

14.已知二次函数y＝ax－2的图象经过点（1，－1）．求这个二次函数的解析式，并判断该函数图象与x轴的交点的个数．

解：根据题意，得a－2＝－1.

∴ a＝1． ∴ 这个二次函数解析式是y＝x2．

因为这个二次函数图象的开口向上，顶点坐标是（0，－2），所以该函数图象与x轴有两个交点．

- 11 -

22

15.卢浦大桥拱形可以近似看作抛物线的一部分．在大桥截面1∶11000的比例图上，跨度AB＝5 cm，拱高OC＝0.9 cm，线段DE表示大桥拱内桥长，DE∥AB，如图（1）．在比例图上，以直线AB为x轴，抛物线的对称轴为y轴，以1 cm作为数轴的单位长度，建立平面直角坐标系，如图（2）．

（1）求出图（2）上以这一部分抛物线为图象的函数解析式，写出函数定义域；

（2）如果DE与AB的距离OM＝0.45 cm，求卢浦大桥拱内实际桥长（备用数据：21.4，计算结果精确到1米）． 解：（1）由于顶点C在y轴上，所以设以这部分抛物线为图象的函数解析式为 y＝ax＋

9． 105291855 因为点A（，0）（或B（，0））在抛物线上， 所以0＝a()＋，得a＝－．

22101252182955 因此所求函数解析式为y＝－x＋(x)．

12510229918295（2）因为点D、E的纵坐标为， 所以－x＋，得x＝2．

20201251045995 所以点D的坐标为（－），点E的坐标为（）． 2，2，

4420202 所以DE＝55522－(2)＝． 44252110000.01＝2752385（米）． 2 因此卢浦大桥拱内实际桥长为

16.已知在平面直角坐标系内，O为坐标原点，A、B是x轴正半轴上的两点，点A在点B的左侧，如图．二次函数

y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象经过点A、B，与y轴相交于点C．

（1）a、c的符号之间有何关系?

（2）如果线段OC的长度是线段OA、OB长度的比例中项，试证

a、c互为倒数；

（3）在（2）的条件下，如果b＝－4，AB＝43，求a、c的值． 解:

（1）a、c同号． 或当a＞0时，c＞0；当a＜0时，c＜0．

（2）证明：设点A的坐标为（x1，0），点B的坐标为（x2，0），则0＜x1＜x2．

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∴ OAx1，OBx2，OCc．

据题意，x1、x2是方程ax＋bx＋c0(a0)的两个根． ∴ x1x22c． a 由题意，得OAOB＝OC，即＝c＝c．

2ca22 所以当线段OC长是线段OA、OB长的比例中项时，a、c互为倒数． （3）当b4时，由（2）知，x1＋x2＝－＝＞0，∴ a＞0． 解法一：AB＝OB－OA＝x2－x1＝(x1＋x2)24x1x2， ∴ ABba4a4c164ac23()2－4()． 2aaaa231＝43．得a．∴ c＝2. a24164ac416423＝＝，

2a2aa ∵ AB43， ∴

解法二：由求根公式，x＝ ∴ x1＝2323，x2＝． aa232－323－＝． aaa ∴ AB＝OB－OA＝x2－x1＝ ∵ AB＝43，∴

231＝43，得a＝．∴ c＝2． a217.如图，直线y3x3分别与x轴、y轴交于点A、B，⊙E经过原点O及A、B两点． 3（1）C是⊙E上一点，连结BC交OA于点D，若∠COD＝∠CBO，求点A、B、C的坐标； （2）求经过O、C、A三点的抛物线的解析式：

（3）若延长BC到P，使DP＝2，连结AP，试判断直线PA与⊙E的位置关系，并说明理由．

解：（1）连结EC交x轴于点N（如图）． ∵ A、B是直线y

3，B(0,3)． x3分别与x轴、y轴的交点．∴ A（3，0）

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又∠COD＝∠CBO． ∴ ∠CBO＝∠ABC．∴ C是∴ ON13OB3． OA,EN2222的中点． ∴ EC⊥OA．

连结OE．∴ ECOE3． ∴ NCECEN333．∴ C点的坐标为（,）． 222（2）设经过O、C、A三点的抛物线的解析式为yaxx3． 333332∵ C（,）． ∴a(3)．∴ a3．

222229∴ y23223xx为所求． 98（3）∵ tanBAO3， ∴ ∠BAO＝30°，∠ABO＝50°． 311由（1）知∠OBD＝∠ABD．∴ OBDABO6030．

22∴ OD＝OB·tan30°－1．∴ DA＝2． ∵ ∠ADC＝∠BDO＝60°，PD＝AD＝2． ∴ △ADP是等边三角形．∴ ∠DAP＝60°．

∴ ∠BAP＝∠BAO＋∠DAP＝30°＋60°＝90°．即 PA⊥AB． 即直线PA是⊙E的切线．

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