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2015年高考数学真题分类汇编:专题(15)复数(理科)及答案

2020-07-25 来源:好走旅游网
专题十五 复数

1.【2015高考新课标2,理2】若a为实数且(2ai)(a2i)4i,则a( ) A.1 B.0 C.1 D.2 【答案】B

【解析】由已知得4a(a4)i4i,所以4a0,a44,解得a0,故选B. 【考点定位】复数的运算.

【名师点睛】本题考查复数的运算,要利用复数相等列方程求解,属于基础题. 2.【2015高考四川,理2】设i是虚数单位,则复数i3222( ) i(A)-i (B)-3i (C)i. (D)3i 【答案】C 【解析】

i322ii2i2ii,选C. ii【考点定位】复数的基本运算.

【名师点睛】复数的概念及运算也是高考的热点,几乎是每年必考内容,属于容易题.一般来说,掌握复数的基本概念及四则运算即可.

3.【2015高考广东,理2】若复数zi32i ( i是虚数单位 ),则z( ) A.32i B.32i C.23i D.23i 【答案】D.

【解析】因为zi32i23i,所以z23i,故选D. 【考点定位】复数的基本运算,共轭复数的概念.

【名师点睛】本题主要考查复数的乘法运算,共轭复数的概念和运算求解能力,属于容易题;复数的乘法运算应该是简单易解,但学生容易忘记和混淆共轭复数的概念,zabi的共轭复数为zabi.

4.【2015高考新课标1,理1】设复数z满足

1z=i,则|z|=( ) 1z(A)1 (B)2 (C)3 (D)2

【答案】A

【解析】由

1z1i(1i)(1i)==i,故|z|=1,故选A. i得,z1z1i(1i)(1i)【考点定位】本题主要考查复数的运算和复数的模等.

【名师点睛】本题将方程思想与复数的运算和复数的模结合起来考查,试题设计思路新颖,本题解题思路为利用方程思想和复数的运算法则求出复数z,再利用复数的模公式求出|z|,本题属于基础题,注意运算的准确性.

5.【2015高考北京,理1】复数i2i( ) A.12i 【答案】A

B.12i

C.12i

D.12i

考点定位:本题考查复数运算,运用复数的乘法运算方法进行计算,注意i21. 【名师点睛】本题考查复数的乘法运算,本题属于基础题,数的概念的扩充部分主要知识点有:复数的概念、分类,复数的几何意义、复数的运算,特别是复数的乘法与除法运算,运算时注意i2注意运算的准确性,近几年高考主要考查复数的乘法、除法,求复数的模、1,

复数的虚部、复数在复平面内对应的点的位置等.

6.【2015高考湖北,理1】 i为虚数单位,i607的共轭复数为( ) ....

A.i B.i C.1 D.1 【答案】A

【解析】i607i4151i3i,所以i607的共轭复数为i,选A . ....【考点定位】共轭复数.

【名师点睛】复数中,i是虚数单位,i1;i24n1i,i4n21,i4n3i,i4n1(nZ)

7.【2015高考山东,理2】若复数z满足

zi,其中i为虚数为单位,则z=( ) 1i(A)1i (B)1i (C)1i (D)1i 【答案】A 【解析】因为

zi,所以,zi1i1i ,所以,z1i 故选:A. 1i【考点定位】复数的概念与运算.

【名师点睛】本题考查复数的概念和运算,采用复数的乘法和共轭复数的概念进行化简求解. 本题属于基础题,注意运算的准确性.

8.【2015高考安徽,理1】设i是虚数单位,则复数

2i在复平面内所对应的点位于( ) 1i (A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限 【答案】B 【解析】由题意

2i2i(1i)22i1i,其对应的点坐标为(1,1),位于第二1i(1i)(1i)2象限,故选B.

【考点定位】1.复数的运算;2.复数的几何意义.

【名师点睛】复数的四则运算问题主要是要熟记各种运算法则,尤其是除法运算,要将复数

分母实数化(分母乘以自己的共轭复数),这也历年考查的重点;另外,复数zabi在复平面内一一对应的点为Z(a,b).

9.【2015高考重庆,理11】设复数a+bi(a,bR)的模为3,则(a+bi)(a-bi)=________. 【答案】3 【解析】由

abi3得

a2b23,即a2b23,所以

(abi)(abi)a2b23.

【考点定位】复数的运算.

【名师点晴】复数的考查核心是代数形式的四则运算,即使是概念的考查也需要相应的运算支持.本题首先根据复数模的定义得abia2b2,复数相乘可根据平方差公式求得

(abi)(abi)a2(bi)2

a2b2,也可根据共轭复数的性质得(abi)(abi)a2b2.

10.【2015高考天津,理9】i是虚数单位,若复数12iai 是纯虚数,则实数a的值为 . 【答案】2

【解析】12iaia212ai是纯虚数,所以a20,即a2. 【考点定位】复数相关概念与复数的运算.

【名师点睛】本题主要考查复数相关概念与复数的运算.先进行复数的乘法运算,再利用纯虚数的概念可求结果,是容易题.

11.【2015江苏高考,3】设复数z满足z234i(i是虚数单位),则z的模为_______. 【答案】5

【解析】|z2||34i|5|z|25|z|5 【考点定位】复数的模

【名师点晴】在处理复数相等的问题时,一般将问题中涉及的两个复数均化成一般形式,利用复数相等的充要条件“实部相等,虚部相等”进行求解.本题涉及复数的模,利用复数模的

z|z||z|2z2,|z1z2||z1||z2|,|1|1.z2|z2|

性质求解就比较简便:

1i12.【2015高考湖南,理1】已知

z2,则复数z=( ) 1i(i为虚数单位)

A.1i B.1i C.1i D.1i 【答案】D.

【考点定位】复数的计算.

【名师点睛】本题主要考查了复数的概念与基本运算,属于容易题,意在考查学生对复数代

数形式四则运

算的掌握情况,基本思路就是复数的除法运算按“分母实数化”原则,结合复数的乘法进行

计算,而复数

的乘法则是按多项式的乘法法则进行处理.

13.【2015高考上海,理2】若复数z满足3zz1i,其中i为虚数单位,则z . 【答案】

【解析】设zabi(a,bR),则3(abi)abi1i4a1且2b1z【考点定位】复数相等,共轭复数

11i 4211i 42【名师点睛】研究复数问题一般将其设为zabi(a,bR)形式,利用复数相等充要条件:实部与实部,虚部与虚部分别对应相等,将复数相等问题转化为实数问题:解对应方程组问题.复数问题实数化转化过程中,需明确概念,如zabi(a,bR)的共轭复数为zabi(a,bR),复数加法为实部与实部,虚部与虚部分别对应相加.

【2015高考上海,理15】设z1,z2C,则“z1、z2中至少有一个数是虚数”是“z1z2是虚数”的( )

A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分又非必要条件 【答案】B

【解析】若z1、z2皆是实数,则z1z2一定不是虚数,因此当z1z2是虚数时,则“z1、z2中至少有一个数是虚数”成立,即必要性成立;当z1、z2中至少有一个数是虚数,z1z2不一定是虚数,如z1z2i,即充分性不成立,选B. 【考点定位】复数概念,充要关系

【名师点睛】形如a+bi(a,b∈R)的数叫复数,其中a,b分别是它的实部和虚部.若b=0,则a+bi为实数;若b≠0,则a+bi为虚数;若a=0且b≠0,则a+bi为纯虚数.判断概念必须从其定义出发,不可想当然.

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