2020-2021学年湖北省武汉市江汉区八年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）下列各题中均有四个备选答案，其中有且只有一个正确，请用2B铅笔在答卷卡上将对应题目正确答案的代号涂黑． 1．（3分）下列图案中，是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（3分）下列各组长度的三条线段能组成三角形的是（ ） A．4cm，5cm，9cm C．5cm，6cm，7cm
B．4cm，4cm，8cm D．3cm，5cm，10cm
3．（3分）点M（﹣3，4）关于x轴对称的点的坐标为（ ） A．（﹣3，﹣4）
B．（﹣3，4）
C．（3，﹣4）
D．（3，4）
4．（3分）下列分式是最简分式的是（ ） A．
9𝑦12𝑥
B．
𝑥+𝑦
𝑥2−𝑦
2C．
𝑥−𝑦
𝑥2−𝑦
2D．
𝑥+𝑦
𝑥2+𝑦2
5．（3分）等腰三角形中有一个角为100°，则其底角为（ ） A．50°
B．40°
C．40°或100°
D．50°或100°
6．（3分）如图，要测量池塘两岸相对的两点A，B的距离，可以在AB的垂线BF上取两点C，D，使BC＝CD．再作出BF的垂线DE，使A，C，E三点在一条直线上，通过证明△ABC≌△EDC，得到DE的长就等于AB的长，这里证明三角形全等的依据是（ ）
A．HL
B．SAS
C．SSS
D．ASA
7．（3分）下列运算正确的是（ ） A．(−2)0=0
1
B．(−2)−1=2
第 1 页
1
C．(−2)−2=4
1
D．(−2)−3=−6
1
8．（3分）下列分式中，把x，y的值同时扩大2倍后，值不变的是（ ） A．
𝑥+1𝑦+1
B．
𝑥+𝑦𝑥𝑦
C．
3𝑥−2𝑦2𝑥+3𝑦
2
D．
𝑥2+𝑦2𝑥+𝑦
9．（3分）2018年、2019年、2020年某地的森林面积（单位：km）分别是S1，S2，S3，2020年与2019年相比，森林面积的增长率提高了（ ） A．C．
𝑆3−𝑆1𝑆1
B．D．
𝑆3−𝑆2𝑆2
𝑆2𝑆3−𝑆1𝑆3
𝑆1𝑆2
𝑆1𝑆3−𝑆22𝑆1𝑆2
10．（3分）下列命题：
①等腰三角形的高、中线和角平分线重合； ②到角两边距离相等的点一定在这个角的平分线上；
③到线段两端点距离相等的点一定在这条线段的垂直平分线上． 正确的有（ ） A．0个
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）下列各题不需要写出解答过程，请将结果直接填在答卷指定的位置． 11．（3分）分式
𝑥−2𝑥+2
B．1个 C．2个 D．3个
有意义，则x的取值范围是 ．
12．（3分）某桑蚕丝的直径约为0.000016，将“0.000016米”用科学记数法可表示为 米． 13．（3分）如果一个正多边形的一个内角是162°，则这个正多边形是正 边形． 14．（3分）如果x+16x+k是一个完全平方式，那么k的值是 ．
15．（3分）如图，在△ABC中，D，E分别在边CB和BC的延长线上，BD＝BA，CE＝CA，若∠BAC＝50°，则∠DAE＝ ．
2
16．（3分）如图，在四边形ABCD中，∠C＝90°，∠A＝∠B＝60°，若AD＝a，BC＝b，则AB的长为 （用含a，b的式子表示）．
第 2 页
三、解答题（共5小题，第17至20题，每小题10分，第21题12分，共52分）下列各题需要在答题卷指定位置写出文字说明、证明过程、计算步骤或作出图形． 17．（10分）计算：
（1）[3a•a﹣（a）]÷a；
2
4
3
2
3
（2）（x+1）（x﹣1）﹣（x﹣1）．
18．（10分）因式分解： （1）6m（m+n）﹣4n（m+n）； （2）x﹣x．
19．（10分）已知，如图，在△ABC中，AB＝AC，D，E分别在CA，BA的延长线上，且BE＝CD，连BD，CE． （1）求证：∠D＝∠E；
（2）若∠BAC＝108°，∠D＝36，则图中共有 个等腰三角形．
o4
2
2
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20．（10分）（1）先化简，再求值：(1−𝑎−1)÷（2）解方程：
2𝑥𝑥−2
1
𝑎(𝑎−2)
，其中a＝2020； 𝑎2−1=1−
12−𝑥
．
21．（12分）如图，所有的网格都是由边长为1的小正方形构成，每个小正方形的顶点称为格点，顶点都是格点的三角形称为格点三角形，△ABC为格点三角形．
（1）如图，图1，图2，图3都是6×6的正方形网格，点M，点N都是格点，请分别按要求在网格中作图：
①在图1中作△MNP，使它与△ABC全等； ②在图2中作△MDE，使△MDE由△ABC平移而得； ③在图3中作△NFG，使△NFG与△ABC关于某条直线对称；
（2）如图4，是一个4×4的正方形网格，图中与△ABC关于某条直线轴对称的格点三角形有 个．
第 4 页
四、填空题（共4小题，每小题4分，共16分）下列各题不需要写出解答过程，请将结果直接填在答卷指定位置.
22．（4分）已知关于x的分式方程
2
𝑥
𝑥−1
−2=
𝑚
𝑥−1
的解为正数，则m的取值范围为 ．
𝑎211223．（4分）若a−2=3，则a+2= ；4= ．
𝑎𝑎𝑎−2𝑎2−1
24．（4分）如图，△ABC为等腰三角形，AB＝AC，∠A＝100°，D为BC的中点，点E在AB上，∠BDE＝15°，
P是等腰△ABC腰上的一点，若△EDP是以DE为腰的等腰三角形，则∠EDP的大小为 ．
25．（4分）如图，在平面直角坐标系中，点E在原点，点D（0，2），点F（1，0），线段DE和EF构成一个“L”形，另有点A（﹣1，5），点B（﹣1，﹣1），点C（6，﹣1），连AD，BE，CF． 若将这个“L”形沿y轴上下平移，当AD+DE+BE的值最小时，E点坐标为 ； 若将这个“L”形沿x轴左右平移，当AD+DE+EF+CF的值最小时，E点坐标为 ．
五、解答题（共3小题，第26题10分，第27题12分，第28题12分，共34分）下列各题需要在答题卷指定位置写出文字说明、证明过程、计算步骤或作出图形．
26．（10分）某县要修筑一条长为6000米的乡村旅游公路，准备承包给甲、乙两个工程队来合作完成，已知甲队每天筑路的长度是乙队的2倍，前期两队各完成了400米时，甲比乙少用了5天． （1）求甲、乙两个工程队每天各筑路多少米？
（2）若甲队每天的工程费用为1.5万元，乙队每天的工程费用为0.9万元，要使完成全部工程的总费用
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不超过120万元，则至少要安排甲队筑路多少天？
27．（12分）如图，已知CD是线段AB的垂直平分线，垂足为D，C在D点上方，∠BAC＝30°，P是直线CD上一动点，E是射线AC上除A点外的一点，PB＝PE，连BE． （1）如图1，若点P与点C重合，求∠ABE的度数； （2）如图2，若P在C点上方，求证：PD+2AC＝CE；
（3）若AC＝6，CE＝2，则PD的值为 （直接写出结果）．
1
28．（12分）在平面直角坐标系中，A（a，0），B（0，b）分别是x轴负半轴和y轴正半轴上一点，点C与
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点A关于y轴对称，点P是x轴正半轴上C点右侧一动点． （1）当2a+4ab+4b+2a+1＝0时，求A，B的坐标； （2）当a+b＝0时，
①如图1，若D与P关于y轴对称，PE⊥DB并交DB延长线于E，交AB的延长线于F，求证：PB＝PF； ②如图2，把射线BP绕点B顺时针旋转45，交x轴于点Q，当CP＝AQ时，求∠APB的大小．
o2
2
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2020-2021学年湖北省武汉市江汉区八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）下列各题中均有四个备选答案，其中有且只有一个正确，请用2B铅笔在答卷卡上将对应题目正确答案的代号涂黑． 1．（3分）下列图案中，是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项不合题意； B、不是轴对称图形，故本选项不合题意； C、是轴对称图形，故本选项符合题意； D、不是轴对称图形，故本选项不合题意； 故选：C．
2．（3分）下列各组长度的三条线段能组成三角形的是（ ） A．4cm，5cm，9cm C．5cm，6cm，7cm
【解答】解：根据三角形的三边关系， A、4+5＝9，不能组成三角形，不符合题意； B、4+4＝8，不能够组成三角形，不符合题意； C、5+6＞7，能组成三角形，符合题意；
D、3+5＝8＜10，不能组成三角形，不符合题意． 故选：C．
3．（3分）点M（﹣3，4）关于x轴对称的点的坐标为（ ） A．（﹣3，﹣4）
B．（﹣3，4）
C．（3，﹣4）
D．（3，4）
B．4cm，4cm，8cm D．3cm，5cm，10cm
【解答】解：点M（﹣3，4）关于x轴对称的点的坐标为（﹣3，﹣4）， 故选：A．
4．（3分）下列分式是最简分式的是（ ）
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A．
9𝑦
12𝑥
9𝑦
B．=
3𝑦4𝑥
𝑥+𝑦
𝑥2−𝑦
2C．
𝑥−𝑦
𝑥2−𝑦
2D．
𝑥+𝑦
𝑥2+𝑦2 【解答】解：A.B.
𝑥+𝑦𝑥−𝑦𝑥2−𝑦2𝑥2−𝑦2
==
12𝑥
𝑥+𝑦
，不是最简分式，故本选项不符合题意；
1𝑥−𝑦
(𝑥+𝑦)(𝑥−𝑦)1𝑥+𝑦
=，不是最简分式，故本选项不符合题意；
C.，不是最简分式，故本选项不符合题意；
D．是最简分式，故本选项符合题意； 故选：D．
5．（3分）等腰三角形中有一个角为100°，则其底角为（ ） A．50°
B．40°
C．40°或100°
D．50°或100°
【解答】解：∵等腰三角形的一个角100°， ∴100°的角是顶角，
∴底角是×（180°﹣100°）＝40°，
21
故选：B．
6．（3分）如图，要测量池塘两岸相对的两点A，B的距离，可以在AB的垂线BF上取两点C，D，使BC＝CD．再作出BF的垂线DE，使A，C，E三点在一条直线上，通过证明△ABC≌△EDC，得到DE的长就等于AB的长，这里证明三角形全等的依据是（ ）
A．HL
B．SAS
C．SSS
D．ASA
【解答】解：因为证明在△ABC≌△EDC用到的条件是：CD＝BC，∠ABC＝∠EDC，∠ACB＝∠ECD， 所以用到的是两角及这两角的夹边对应相等即ASA这一方法． 故选：D．
7．（3分）下列运算正确的是（ ） A．(−2)0=0 C．(−2)−2=4
1
11
B．(−2)−1=2 D．(−2)−3=−6
1
1
【解答】解：A、（−2）0＝1，故此选项错误； B、（−2）1＝﹣2，故此选项错误；
﹣
1
第 9 页
C、（−2）2＝4，故此选项正确；
﹣
1
D、（−）3＝﹣8，故此选项错误．
﹣
1
2故选：C．
8．（3分）下列分式中，把x，y的值同时扩大2倍后，值不变的是（ ） A．
𝑥+1𝑦+1
B．
2𝑥+12𝑦+1
𝑥+𝑦
【解答】解：A、B、
2𝑥+2𝑦2𝑥×2𝑦6𝑥−4𝑦4𝑥+6𝑦
≠
𝑥𝑦
𝑥+1
C．
3𝑥−2𝑦2𝑥+3𝑦
D．
𝑥2+𝑦2𝑥+𝑦
𝑦+1
，故A的值有变化．
==
𝑥+𝑦2𝑥𝑦
≠
𝑥+𝑦𝑥𝑦
，故B的值有变化．
C、
3𝑥−2𝑦2𝑥+3𝑦
，故C的值不变．
≠
𝑥2+𝑦2𝑥+𝑦
D、
4𝑥2+4𝑦22𝑥+2𝑦
=
2𝑥2+2𝑦2𝑥+𝑦
，故D的值有变化．
故选：C．
9．（3分）2018年、2019年、2020年某地的森林面积（单位：km2）分别是S1，S2，S3，2020年与2019年相比，森林面积的增长率提高了（ ） A．C．
𝑆3−𝑆1𝑆1
𝑆2−𝑆1𝑆1
B．
𝑆3−𝑆2𝑆2
𝑆2𝑆3−𝑆1𝑆3
𝑆1𝑆2
D．，
𝑆1𝑆3−𝑆22𝑆1𝑆2
【解答】解：2019年的增长率是：2020年的增长率是：
𝑆3−𝑆2𝑆2
，
𝑆3−𝑆2𝑆2
则2020年与2019年相比，森林面积的增长率提高了：故选：D．
10．（3分）下列命题：
①等腰三角形的高、中线和角平分线重合； ②到角两边距离相等的点一定在这个角的平分线上；
−
𝑆2−𝑆1𝑆1
=
2𝑆1𝑆3−𝑆2
𝑆1𝑆2
．
③到线段两端点距离相等的点一定在这条线段的垂直平分线上． 正确的有（ ） A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
【解答】解：①等腰三角形的底边上的高、中线和顶角的角平分线互相重合，原命题是假命题； ②在角的内部，到角两边距离相等的点一定在这个角的平分线上，原命题是假命题； ③到线段两端点距离相等的点一定在这条线段的垂直平分线上，是真命题；
第 10 页
故选：B．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）下列各题不需要写出解答过程，请将结果直接填在答卷指定的位置． 11．（3分）分式
𝑥−2𝑥+2
有意义，则x的取值范围是 x≠﹣2 ．
【解答】解：分式有意义，则x+2≠0，所以x≠﹣2． 故答案为：x≠﹣2．
12．（3分）某桑蚕丝的直径约为0.000016，将“0.000016米”用科学记数法可表示为 1.6×105 米．
﹣
【解答】解：0.000016米＝1.6×105．
﹣
故答案为：1.6×105．
﹣
13．（3分）如果一个正多边形的一个内角是162°，则这个正多边形是正 二十 边形． 【解答】解：∵正多边形的一个内角是162°， ∴它的外角是：180°﹣162°＝18°， 边数n＝360°÷18°＝20． 故答案为：二十．
14．（3分）如果x2+16x+k是一个完全平方式，那么k的值是 64 ． 【解答】解：∵x2+16x+k是一个完全平方式， ∴16＝2√𝑘， 解得k＝64． 故答案是：64．
15．（3分）如图，在△ABC中，D，E分别在边CB和BC的延长线上，BD＝BA，CE＝CA，若∠BAC＝50°，则∠DAE＝ 115° ．
【解答】解：∵AB＝BD，AC＝CE， ∴∠BAD＝∠BDA，∠E＝∠CAE， 设∠BAD＝∠BDA＝x，∠E＝∠CAE＝y，
∴∠ABC＝∠BAD+∠BDA＝2x，∠ACB＝∠E+∠CAE＝2y， ∵∠ABC+∠ACB+∠BAC＝180°， ∴2x+2y+50°＝180°， ∴x+y＝65°，
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∴∠DAE＝∠DAB+∠CAE+∠BAC＝65°+50°＝115°． 故答案为：115°．
16．（3分）如图，在四边形ABCD中，∠C＝90°，∠A＝∠B＝60°，若AD＝a，BC＝b，则AB的长为 2b﹣a （用含a，b的式子表示）．
【解答】解：过D点作DE⊥AB于E，作DF∥AB交BC于F，过F点作FG⊥AB于G， ∴BF＝AD＝a，∠AFD＝∠B＝60°， ∴CF＝BC﹣BF＝b﹣a， ∵∠C＝90°， ∴∠CDF＝30°， ∴DF＝2CF＝2（b﹣a）， ∵∠A＝60°， ∴∠ADE＝30°， ∴AE=AD=a， ∵∠B＝60°， ∴∠BFG＝30°， ∴BG=2BF=2a， ∴EG＝DF＝2（b﹣a），
∴AB＝AE+EG+BG=a+2（b﹣a）+a＝2b﹣a．
解法二：延长AD交BC的延长线于E，则△DEC是等边三角形．
1
2121
1
1212
设AB＝AE＝BE＝x，则DE＝x﹣a，EC＝x﹣b， ∵∠E＝60°，∠DCE＝90°， ∴∠EDC＝30°，
第 12 页
∴DE＝2EC， ∴x﹣a＝2（x﹣b）＜ ∴x＝2b﹣a， ∴AB＝2b﹣a． 故答案为：2b﹣a．
三、解答题（共5小题，第17至20题，每小题10分，第21题12分，共52分）下列各题需要在答题卷指定位置写出文字说明、证明过程、计算步骤或作出图形． 17．（10分）计算：
（1）[3a2•a4﹣（a3）2]÷a3； （2）（x+1）（x﹣1）﹣（x﹣1）2． 【解答】解：（1）[3a2⋅a4﹣（a3）2]÷a3 ＝（3a6﹣a6）÷a3 ＝2a6÷a3 ＝2a3；
（2）（x+1）（x﹣1）﹣（x﹣1）2 ＝x2﹣1﹣x2+2x﹣1 ＝2x﹣2．
18．（10分）因式分解：
（1）6m（m+n）﹣4n（m+n）； （2）x4﹣x2．
【解答】解：（1）6m（m+n）﹣4n（m+n） ＝2（m+n）（3m﹣2n）； （2）x4﹣x2 ＝x2（x2﹣1） ＝x2（x+1）（x﹣1）．
19．（10分）已知，如图，在△ABC中，AB＝AC，D，E分别在CA，BA的延长线上，且BE＝CD，连BD，
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CE．
（1）求证：∠D＝∠E；
（2）若∠BAC＝108°，∠D＝36o，则图中共有 5 个等腰三角形．
【解答】（1）证明：∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB， 在△EBC和△DCB中， 𝐵𝐸=𝐶𝐷
{∠𝐴𝐵𝐶=∠𝐴𝐶𝐵， 𝐵𝐶=𝐶𝐵
∴△EBC≌△DCB（SAS）， ∴∠E＝∠D．
（2）图中共有5个等腰三角形． ∵∠BAC＝108°，AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB＝36°， ∵∠D＝∠E＝36°，
∴∠D＝∠BCD，∠E＝∠CBE， ∴∠DAB＝∠EAC＝72°，
∴∠DBA＝∠DAB＝72°，∠EAC＝∠ECA＝72°， ∴DB＝DA，EA＝EC，
∴△ABD，△AEC，△BCD，△BCE，△ABC是等腰三角形． 故答案为：5．
20．（10分）（1）先化简，再求值：(1−（2）解方程：
2𝑥
1𝑎(𝑎−2)
)÷2，其中a＝2020； 𝑎−1𝑎−1𝑥−2
=1−
12−𝑥
．
【解答】解：（1）原式=𝑎−1⋅=𝑎，
𝑎+1
𝑎−2(𝑎+1)(𝑎−1)
𝑎(𝑎−2)当a＝2020时，原式=2020=2020；
2020+12021
第 14 页
（2）两边同时乘以（x﹣2）得： 2x＝x﹣2+1， 解得：x＝﹣1，
检验：把x＝﹣1代入x﹣2≠0， 所以x＝﹣1是原方程的解， 即原方程解为x＝﹣1．
21．（12分）如图，所有的网格都是由边长为1的小正方形构成，每个小正方形的顶点称为格点，顶点都是格点的三角形称为格点三角形，△ABC为格点三角形．
（1）如图，图1，图2，图3都是6×6的正方形网格，点M，点N都是格点，请分别按要求在网格中作图：
①在图1中作△MNP，使它与△ABC全等；
②在图2中作△MDE，使△MDE由△ABC平移而得； ③在图3中作△NFG，使△NFG与△ABC关于某条直线对称；
（2）如图4，是一个4×4的正方形网格，图中与△ABC关于某条直线轴对称的格点三角形有 6 个．
【解答】解：（1）①如图1中，△MNP即为所求作． ②如图2中，△MDE即为所求作． ③如图3中，△NFG即为所求作．
第 15 页
～
（2）如图4中，有6个三角形． 故答案为：6．
四、填空题（共4小题，每小题4分，共16分）下列各题不需要写出解答过程，请将结果直接填在答卷指定位置.
22．（4分）已知关于x的分式方程【解答】解：
𝑥
𝑥𝑥−1
−2=
𝑚
𝑥−1
的解为正数，则m的取值范围为 m＜2且m≠1 ．
𝑥−1
−2=
𝑚
𝑥−1
，
方程两边同时乘（x﹣1）得x﹣2（x﹣1）＝m， 解得x＝﹣m+2． ∵x为正数， ∴﹣m+2＞0， 解得m＜2． ∵x≠1，
∴﹣m+2≠1，即m≠1．
∴m的取值范围为m＜2且m≠1． 故答案为：m＜2且m≠1．
𝑎212123．（4分）若a−2=3，则a+2= √13 ；4= 1 ．
𝑎𝑎𝑎−2𝑎2−1
2
【解答】解：∵a2−
1
=3， 𝑎2第 16 页
∴（a2−则a4+
1214）＝9，即a﹣2+=9，
𝑎4𝑎21
=11， 𝑎41214）＝a+2+=13，
𝑎4𝑎2∴（a2+则a2+
𝑎2
1
=√13（负值舍去）， 𝑎2𝑎4−2𝑎2−1
=
1𝑎2−2−2𝑎1=
13−2
=1，
故答案为：√13，1．
24．（4分）如图，△ABC为等腰三角形，AB＝AC，∠A＝100°，D为BC的中点，点E在AB上，∠BDE＝15°，P是等腰△ABC腰上的一点，若△EDP是以DE为腰的等腰三角形，则∠EDP的大小为 62.5°或70°或80°或150° ．
【解答】解：∵AB＝AC，∠A＝100°， ∴∠B=2（180°﹣∠A）＝40°， ∵∠BDE＝15°， ∴∠AED＝55°，
∵当△DEP是以DE为腰的等腰三角形， ①当点P在AB上， ∵DE＝DP1，
∴∠DP1E＝∠AED＝55°，
∴∠EDP1＝180°﹣55°﹣55°＝70°， ②当点P在AC上，
∵AB＝AC，D为BC的中点， ∴∠BAD＝∠CAD，
过D作DG⊥AB于G，DH⊥AC于H， ∴DG＝DH，
在Rt△DEG与Rt△DP2H中， 𝐷𝐸=𝐷𝑃2
{， 𝐷𝐺=𝐷𝐻
第 17 页
1
∴Rt△DEG≌Rt△DP2H（HL）， ∴∠AP2D＝∠AED＝55°， ∵∠BAC＝100°， ∴∠EDP2＝150°， ③当点P在AC上，
同理证得Rt△DEG≌Rt△DPH（HL）， ∴∠EDG＝∠P3DH，
∴∠EDP3＝∠GDH＝180°﹣100°＝80°，
④当点P在AB上，EP＝ED时，∠EDP=（180°﹣55°）＝62.5°． 故答案为：62.5°或70°或80°或150°．
1
2
25．（4分）如图，在平面直角坐标系中，点E在原点，点D（0，2），点F（1，0），线段DE和EF构成一个“L”形，另有点A（﹣1，5），点B（﹣1，﹣1），点C（6，﹣1），连AD，BE，CF． 若将这个“L”形沿y轴上下平移，当AD+DE+BE的值最小时，E点坐标为 （0，1） ； 若将这个“L”形沿x轴左右平移，当AD+DE+EF+CF的值最小时，E点坐标为 （3.5，0） ．
【解答】解：（1）如图，作AA′∥DE，且AA′＝2，作点A′关于y轴的对称点A″，连接BA″交y轴于E′，此时AD′+D′E′+BE′的值最小，
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观察图像可知E′（0，1）． 故答案为：（0，1）．
（2）设E（m，0），则D（m，2），F（m+1，0）． ∵AD+DE+EF+CF＝AD+3+CF，
∴AD+CF的值最小时，AD+DE+EF+CF的值最小， ∵AD+CF=√(𝑚+1)2+32+√(𝑚−5)2+12，
∴欲求AD+CF的最小值，可以把问题转化为，在x轴上找一点P（m，0），使得点P到M（﹣1，3），N（5，﹣1）的距离和最小（如图1中），
连接MN交x轴于P，此时PM+PN的值最小，观察图像可知P（3.5，0）， ∴E（3.5，0）． 故答案为：（3.5，0）．
五、解答题（共3小题，第26题10分，第27题12分，第28题12分，共34分）下列各题需要在答题卷指定位置写出文字说明、证明过程、计算步骤或作出图形．
26．（10分）某县要修筑一条长为6000米的乡村旅游公路，准备承包给甲、乙两个工程队来合作完成，已知甲队每天筑路的长度是乙队的2倍，前期两队各完成了400米时，甲比乙少用了5天． （1）求甲、乙两个工程队每天各筑路多少米？
（2）若甲队每天的工程费用为1.5万元，乙队每天的工程费用为0.9万元，要使完成全部工程的总费用不超过120万元，则至少要安排甲队筑路多少天？
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【解答】解：（1）设乙队每天筑路x米，则甲每天筑路2x米． 依题意，得：
400𝑥
−
4002𝑥
=5，
解得：x＝40，
经检验：x＝40是原分式方程的解， 则2x＝80
答：甲每天筑路80米，乙每天筑路40米； （2）设甲筑路t天，则乙筑路天数为
6000−80𝑡
40
=（150﹣2t）天，
依题意：1.5t+0.9（150﹣2t）≤120， 解得：t≥50，
∴甲至少要筑路50天．
27．（12分）如图，已知CD是线段AB的垂直平分线，垂足为D，C在D点上方，∠BAC＝30°，P是直线CD上一动点，E是射线AC上除A点外的一点，PB＝PE，连BE． （1）如图1，若点P与点C重合，求∠ABE的度数； （2）如图2，若P在C点上方，求证：PD+2AC＝CE；
（3）若AC＝6，CE＝2，则PD的值为 1或5 （直接写出结果）．
1
【解答】（1）解：如图1，∵点P与点C重合，CD是线段AB的垂直平分线，
∴PA＝PB，
∴∠PAB＝∠PBA＝30°， ∴∠BPE＝∠PAB+∠PBA＝60°， ∵PB＝PE，
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∴△BPE为等边三角形， ∴∠CBE＝60°， ∴∠ABE＝90°；
（2）如图2，过P作PH⊥AE于H，连BC，作PG⊥BC交BC的延长线于G，
∵CD垂直平分AB， ∴CA＝CB． ∵∠BAC＝30°，
∴∠ACD＝∠BCD＝60°．
∴∠GCP＝∠HCP＝∠BCE＝∠ACD＝∠BCD＝60°． ∴PG＝PH，CG＝CH=2CP，CD=2AC． 在Rt△PGB和Rt△PHE中， 𝑃𝐺=𝑃𝐻{． 𝑃𝐵=𝑃𝐸
∴Rt△PGB≌Rt△PHE（HL）． ∴BG＝EH，即CB+CG＝CE﹣CH． ∴CB+CP＝CE−CP，即CB+CP＝CE． 又∵CB＝AC，
∴CP＝PD﹣CD＝PD−2AC． ∴PD+2AC＝CE；
（3）如图3，过P作PH⊥AE于H，连BC，作PG⊥BC交BC于G，
1
1
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此时Rt△PGB≌Rt△PHE（HL）． ∴BG＝EH，即CB﹣CG＝CE+CH．
∴CB−CP＝CE+CP，即CP＝CB﹣CE＝6﹣2＝4． 又∵CB＝AC，
∴PD＝CP﹣CD＝4﹣3＝1． 如图4，
1
212
同理，PC＝EC+BC＝8， PD＝PC﹣CD＝8﹣3＝5． 故答案是：1或5．
28．（12分）在平面直角坐标系中，A（a，0），B（0，b）分别是x轴负半轴和y轴正半轴上一点，点C与点A关于y轴对称，点P是x轴正半轴上C点右侧一动点． （1）当2a2+4ab+4b2+2a+1＝0时，求A，B的坐标； （2）当a+b＝0时，
①如图1，若D与P关于y轴对称，PE⊥DB并交DB延长线于E，交AB的延长线于F，求证：PB＝PF； ②如图2，把射线BP绕点B顺时针旋转45o，交x轴于点Q，当CP＝AQ时，求∠APB的大小．
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【解答】解：（1）∵2a2+4ab+4b2+2a+1＝0， ∴（a+2b）2+（a+1）2＝0， ∵（a+2b）2≥0 （a+1）2≥0， ∴a+2b＝0，a+1＝0， ∴a＝﹣1，b=1
2， ∴A（﹣1，0）B（0，1
2）．
（2）①证明：如图1中，
∵a+b＝0， ∴a＝﹣b， ∴OA＝OB，
又∵∠AOB＝90°， ∴∠BAO＝∠ABO＝45°， ∵D与P关于y轴对称， ∴BD＝BP， ∴∠BDP＝∠BPD， 设∠BDP＝∠BPD＝α，
则∠PBF＝∠BAP+∠BPA＝45°+α， ∵PE⊥DB，
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∴∠BEF＝90°， ∴∠F＝90o﹣∠EBF，
又∠EBF＝∠ABD＝∠BAO﹣∠BDP＝45°﹣α， ∴∠F＝45o+α， ∴∠PBF＝∠F， ∴PB＝PF．
②解：如图2中，过点Q作QF⊥QB交PB于F，过点F作FH⊥x轴于H．可得等腰直角△BQF，
∵∠BOQ＝∠BQF＝∠FHQ＝90°，
∴∠BQO+∠FQH＝90°，∠FQH+∠QFH＝90°， ∴∠BQO＝∠QFH， ∵QB＝QF，
∴△FQH≌△QBO（AAS）， ∴HQ＝OB＝OA， ∴HO＝AQ＝PC， ∴PH＝OC＝OB＝QH， ∴FQ＝FP， 又∠BFQ＝45° ∴∠APB＝22.5°．
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