2019 年全国各地中考数学压轴题汇编（山东专版）
几何综合
参照答案与试题分析
1．（ 2019?青岛）如图，在 ? ABCD 中，对角线 AC 与 BD 订交于点 O，点 E，F 分别为 OB，OD 的中点，延伸 AE 至 G，使 EG＝ AE，连结 CG．
（ 1）求证：△ ABE≌△ CDF ；
（ 2）当 AB 与 AC 知足什么数目关系时，四边形 EGCF 是矩形？请说明原因． （ 1）证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ AB＝ CD ，AB∥CD ， OB＝ OD ，OA＝ OC， ∴∠ ABE＝∠ CDF ，
∵点 E， F 分别为 OB，OD 的中点，
∴ BE＝ OB，DF＝ OD， ∴ BE＝DF ，
在△ ABE 和△ CDF 中， ， ∴△ ABE≌△ CDF （ SAS）；
（ 2）解：当 AC＝ 2AB 时，四边形 EGCF 是矩形；原因以下： ∵ AC＝ 2OA，AC＝ 2AB，
∴ AB＝ OA，
∵ E 是 OB 的中点， ∴ AG⊥ OB，
∴∠ OEG＝ 90°，同理： CF ⊥OD ，
∴ AG∥CF， ∴ EG∥CF，
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∵ EG＝ AE，OA＝OC，
∴ OE 是△ ACG 的中位线， ∴ OE∥CG，
∴ EF∥CG，
∴四边形 EGCF 是平行四边形， ∵∠ OEG＝ 90°，
∴四边形 EGCF 是矩形． 2．（ 2019?淄博）如图，在 Rt△ ABC 中，∠ B＝90°，∠ BAC 的均分线 AD 交 BC 于点 D ，点上，以 AE 为直径的 ⊙O 经过点 D．
（ 1）求证： ① BC 是⊙ O 的切线；
② CD2
＝ CE?CA；
（ 2）若点 F 是劣弧 AD 的中点，且 CE＝ 3，试求暗影部分的面积．
解：（ 1）① 连结 OD ，
∵ AD 是∠ BAC 的均分线，∴∠ DAB ＝∠ DAO ，
∵ OD＝OA，∴∠ DAO ＝∠ ODA，
∴∠ DAO＝∠ ADO ，
∴ DO∥AB ，而∠ B＝90°，
∴∠ ODB＝ 90°，
∴ BC 是 ⊙O 的切线；
② 连结 DE，
∵ BC 是 ⊙O 的切线，∴∠ CDE ＝∠ DAC ， ∠ C＝∠ C，∴△ CDE∽△ CAD ，
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E 在 AC
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∴ CD2
＝CE?CA；
（ 2）连结 DE、 OE，设圆的半径为 R， ∵点 F 是劣弧 AD 的中点，∴是
OF 是 DA 中垂线， ∴ DF ＝ AF ，∴∠ FDA ＝∠ FAD ，
∵ DO∥AB ，∴∠ PDA＝∠ DAF ， ∴∠ ADO＝∠ DAO ＝∠ FDA ＝∠ FAD ， ∴ AF＝ DF ＝OA＝OD ，
∴△ OFD 、△ OFA 是等边三角
形， ∴∠ C＝ 30°，
∴ OD＝ OC＝（ OE+EC），而 OE＝ OD ， ∴ CE＝ OE＝R＝ 3，
S 暗影 ＝ S 扇形 DFO＝
× π× 32
＝
． 3．（ 2019?枣庄）如图，在
Rt△ABC 中，∠ ABC＝ 90°，以且 CD ＝CB，连结 DO 并延伸交 CB 的延伸线于点 E．（ 1）判断直线 CD 与 ⊙ O 的地点关系，并说明原因；（ 2）若 BE＝ 2， DE ＝ 4，求圆的半径及 AC 的长．
（ 1）证明：连结 OC． ∵ CB＝ CD ，CO＝ CO， OB＝OD ， ∴△ OCB≌△ OCD
（ SSS）， ∴∠ ODC ＝∠ OBC ＝ 90°，
∴ OD⊥DC ，
∴ DC 是⊙ O 的切线；
（ 2）解：设 ⊙O 的半径为 r． 2 2
2 ， 3 / 40
AB 为直径作 ⊙ O，点 D 为⊙ O 上一点，
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在 Rt△OBE 中，∵ OE ＝ EB +OB
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22
∴（ 4﹣ r ） ＝ r+2，
2
∴ r＝， ∵ tan∠ E＝ ∴＝
＝ ，
，
∴ CD＝BC ＝3，
在 Rt△ABC 中， AC＝ ∴圆的半径为 ， AC 的长为 3
＝ ．
＝ 3 ．
4．（ 2019?青岛）已知：如图，在四边形
ABCD 中， AB∥CD ，∠ ACB＝ 90°， AB＝ 10cm，BC＝ 8cm，
OD 垂直均分 A C．点 P 从点 B 出发，沿 BA 方向匀速运动，速度为
1cm/s；同时，点 Q 从点 D
出发，沿 DC 方向匀速运动，速度为 1cm/s；当一个点停止运动，另一个点也停止运动．过点 P 作
PE⊥ AB，交 BC 于点 E，过点 Q 作 QF∥ AC，分别交
AD， OD 于点 F， G．连结 OP， EG．设运
动时间为 t（ s）（ 0＜ t＜ 5），解答以下问题：
（ 1）当 t 为什么值时，点 E 在∠ BAC 的均分线上？
2（ 2）设四边形 PEGO 的面积为 S（ cm），求 S与 t 的函数关系式；
（ 3）在运动过程中，能否存在某一时辰
t，使四边形 PEGO 的面积最大？若存在，求出
若不存在，请说明原因；
t 的值； （ 4）连结 OE， OQ，在运动过程中，能否存在某一时辰
t，使 OE⊥ OQ？若存在，求出 t 的值； 若不存在，请说明原因．
解：（ 1）在 Rt△ ABC 中，∵∠ ACB ＝ 90°， AB＝ 10cm， BC＝ 8cm，
∴ AC＝
＝ 6（ cm），
∵ OD 垂直均分线段 AC，
∴ OC＝OA ＝3（ cm），∠ DOC ＝ 90°， ∵ CD∥AB ，
∴∠ BAC＝∠ DCO ，
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∵∠ DOC ＝∠ ACB ，
∴△ DOC ∽△ BCA ，
∴
＝ ＝ ， ∴ ＝
＝
， ∴ CD＝5（ cm）， OD＝ 4
（ cm）， ∵ PB＝ t， PE⊥ AB， 易知： PE＝ t， BE＝ t， 当点 E 在∠ BAC 的均分线上时，
∵ EP⊥ AB， EC⊥
AC， ∴ PE＝ EC， ∴ t＝ 8﹣ t， ∴ t＝ 4．
∴当 t 为 4 秒时，点 E 在∠ BAC 的均分线上． （ 2）如图，连结 OE， PC．
S
四边形
OPEG＝ S
△
OEG+S
△
OPE＝S△ OEG+（ S△ OPC+S
△
PCE﹣ S△
OEC）＝ ?（ 4﹣ t）?3+[ ?3?（ 8﹣ t ） + ?（ 8﹣ t）? t ﹣ ?3?＝﹣ t2 + t+6 （0＜ t＜ 5）．
（ 3）存在．
∵ S＝﹣ （ t﹣ ） 2
+
（ 0＜ t＜ 5），
∴ t＝ 时，四边形 OPEG 的面积最大，最大值为 ． （ 4）存在．如图，连结 OQ． ∵ OE⊥ OQ，
∴∠ EOC+∠ QOC＝ 90°， ∵∠ QOC+∠QOG ＝ 90°， ∴∠ EOC＝∠ QOG ，
∴ tan∠ EOC＝ tan∠ QOG ， ∴
＝
，
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8﹣ t）
（2019年全国各地中考数学压轴题汇编：几何综合(山东专版)(解析卷)
∴
＝ ， 2
整理得： 5t﹣ 66t+160＝ 0，
解得 t＝
或 10（舍弃） 秒时， OE⊥ OQ．
∴当 t＝
5．（ 2019?淄博）如图
1，正方形 ABDE 和 BCFG 的边 AB， BC 在同一条直线上，且 AB＝ 2BC，取
EF 的中点 M，连结 MD， MG ，MB ． （ 1）试证明 DM ⊥ MG ，并求的值．
（ 2）如图 2，将图 1 中的正方形变成菱形，设∠ EAB＝ 2α（ 0＜ α＜ 90°），其余条件不变，问 （ 1）
中的值有变化吗？如有变化，求出该值（用含α的式子表示）；若无变化，说明原因．
（ 1）证明：如图 1 中，延伸 DM 交 FG 的延伸线于
H． ∵四边形 ABCD ，四边形 BCFG 都是正方形，
∴ DE∥ AC∥GF，
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∴∠ EDM ＝∠ FHM ，
∵∠ EMD＝∠ FMH ，EM＝FM，
∴△ EDM ≌△ FHM （ AAS），
∴ DE＝ FH ，DM ＝ MH ，
∵ DE＝ 2FG ， BG＝ DG ， ∴ HG＝DG ，
∵∠ DGH ＝∠ BGF ＝ 90°， MH ＝ DM ， ∴ GM⊥ DM ，DM ＝MG，
连结 EB， BF，设 BC＝ a，则 AB ＝2a， BE＝ 2
a，∵∠ EBD＝∠ DBF ＝ 45°，
∴∠ EBF＝ 90°，
∴ EF＝
＝ a，
∵ EM＝MF ，
∴ BM＝ EF ＝
a，
∵ HM＝ DM ，GH ＝FG， ∴ MG＝ DF ＝a，
∴
＝ ＝ ． （ 2）解：（ 1）中
的值有变化．
原因：如图 2 中，连结 BE， AD 交于点 O，连结 OG，∵ DO＝OA， DG ＝ GB， ∴ GO∥AB ，OG＝ AB， ∵ GF∥ AC， ∴O，G，F 共线，
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＝ a，
，BF ，CG 交 BF 于 O′．
BF
CG
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∵ FG＝ AB，
∴ OF＝ AB＝DF ，
∵ DF ∥ AC，
AC∥OF ， ∴ DE∥OF，
∴ OD 与 EF 相互均分，
∵ EM＝MF ，
∴点 M 在直线 AD 上，
∵ GD＝GB＝ GO＝ GF，
∴四边形 OBFD 是矩形，
∴∠ OBF＝∠ ODF ＝∠ BOD＝ 90°，
∵ OM＝ MD ，OG＝ GF ，
∴ MG＝ DF ，设 BC＝ m，则 AB＝ 2m，
易知 BE＝ 2OB＝ 2?2m?sinα＝4msinα， BF＝ 2BO°＝ 2m?cosα， DF ＝ OB＝ 2m?sinα，
∵ BM＝ EF ＝
＝ ，GM ＝ DF ＝ m?sin α，
∴
＝ ＝ ． 6．（ 2019?潍坊）如图，正方形
ABCD 的边 CD 在正方形 ECGF 的边 CE 上，连结 DG，过点 A 作 AH
∥ DG，交 BG 于点 H ．连结 HF，AF，此中 AF 交 EC 于点 M．（ 1）求证：△ AHF 为等腰直角三角形．
（ 2）若 AB＝ 3， EC＝ 5，求 EM 的长．
证明：（ 1）∵四边形 ABCD ，四边形 ECGF 都是正方形
∴ DA∥ BC，AD＝ CD， FG ＝ CG，∠ B＝∠ CGF ＝ 90° ∵ AD∥ BC，AH∥ DG
∴四边形 AHGD 是平行四边形
∴ AH＝DG，AD ＝HG＝CD
∵ CD＝HG ，∠ ECG＝∠ CGF＝ 90°， FG＝ CG
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∴△ DCG ≌△ HGF （ SAS）
∴ DG＝HF ，∠ HFG ＝∠ HGD
∴ AH＝ HF ，
∵∠ HGD +∠DGF ＝ 90°
∴∠ HFG +∠ DGF ＝ 90°
∴ DG⊥HF ，且 AH∥DG
∴ AH⊥ HF ，且 AH ＝ HF
∴△ AHF 为等腰直角三角形．
（ 2）∵ AB ＝3， EC＝ 5，
∴ AD＝ CD ＝3， DE＝ 2， EF ＝5
∵ AD∥ EF
∴
＝ ，且 DE＝2
∴ EM＝
7．（ 2019?枣庄）在△ ABC 中，∠ BAC ＝ 90°， AB＝ AC， AD ⊥BC 于点 D．
（ 1）如图 1，点 M，N 分别在 AD， AB 上，且∠ BMN ＝ 90°，当∠ AMN ＝ 30°，段 AM 的长；
（ 2）如图 2，点 E， F 分别在 AB，AC 上，且∠ EDF ＝ 90°，求证： BE＝AF ；
（ 3）如图 3，点 M 在 AD 的延伸线上，点
N 在 AC 上，且∠ BMN ＝90°，求证：（ 1）解：∵∠ BAC＝ 90°， AB＝AC， AD⊥ BC，
∴ AD＝ BD ＝DC ，∠ ABC＝∠ ACB＝ 45°，∠ BAD＝∠ CAD＝ 45°， ∵ AB＝ 2，
∴ AD＝ BD ＝DC ＝ ，
∵∠ AMN ＝ 30°，
∴∠ BMD ＝ 180°﹣ 90°﹣ 30°＝ 60°，
∴∠ MBD ＝ 30°，
∴ BM＝2DM ，
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＝ 2 时，求线＝ AM．
AB
AB+AN
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222222） ， BM ﹣ DM＝ BD ，即（ 2DM ） ﹣ DM ＝（ 由勾股定理得，
解得， DM ＝
，
∴ AM＝AD﹣DM ＝ ﹣
；
（ 2）证明：∵ AD⊥ BC，∠ EDF ＝ 90°， ∴∠ BDE＝∠ ADF ，
在△ BDE 和△ ADF 中，
，
∴△ BDE≌△ ADF （ ASA）
∴ BE＝ AF ；
（ 3）证明：过点 M 作 ME ∥ BC 交 AB 的延伸线于 E， ∴∠ AME＝ 90°，
则 AE＝ AM ，∠ E＝ 45°， ∴ ME＝MA ，
∵∠ AME＝ 90°，∠ BMN ＝ 90°， ∴∠ BME＝∠ AMN ，
在△ BME 和△ AMN 中，
，
∴△ BME≌△ AMN （ASA），
∴ BE＝ AN，
∴ AB+AN＝ AB+BE＝ AE＝AM．
8．（ 2019?济宁）如图， AB 是⊙ O
的直径， C 是⊙O 上一点， D
点，且∠ CAE＝ 2∠ C，AC 与 BD 交于点 H ，与 OE 交于点 F．（ 1）求证： AE 是 ⊙O 的切线；
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是
的中点，
E 为 OD 延伸线上一
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（ 2）若 DH ＝ 9， tanC＝ ，求直径 AB 的长． 解：（ 1）∵ D 是
的中点，
∴ OE⊥ AC，
∴∠ AFE＝ 90°，
∴∠ E+∠ EAF ＝ 90°，
∵∠ AOE＝ 2∠ C，∠ CAE＝ 2∠ C，
∴∠ CAE＝∠ AOE，
∴∠ E+∠ AOE＝ 90°，
∴∠ EAO＝ 90°，
∴ AE 是⊙O 的切线；（ 2）∵∠ C＝∠ B，
∵ OD＝OB，
∴∠ B＝∠ ODB， ∴∠ ODB＝∠ C，
∴ tanC＝tan∠ODB ＝
＝ ， ∴设 HF ＝3x， DF ＝ 4x，
∴ DH ＝5x＝ 9，
∴ x＝ ， ∴DF＝
，HF＝ ， ∵∠ C＝∠ FDH ，∠ DFH ＝∠ CFD ，
∴△ DFH ∽△ CFD ，
∴ ＝ ， 12 / 40
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∴CF＝
＝ ， ∴ AF＝CF＝，
设 OA＝ OD＝ x，
∴ OF＝ x﹣
， 2
2 2 2
∵ AF +OF ＝OA ， ∴（
2
2
） +（ x﹣ ＝ x ， ）
解得： x＝ 10，
∴ OA＝ 10，
∴直径 AB 的长为 20．
9．（ 2019?潍坊）如图 1，菱形 ABCD 的极点 A，D 在直线上，∠ BAD ＝60°，以点
A 为旋转中心将
菱形 ABCD 顺时针旋转
α（0°＜ α＜ 30°），获得菱形 AB′ C′ D′， B′ C′交对角线 AC 于点
M， C′ D ′交直线 l 于点 N，连结 MN ．
（ 1）当 MN ∥ B′ D′时，求 α的大小．
（ 2）如图 2，对角线 B′ D′交 AC 于点 H ，交直线 l 与点 G，延伸 C′ B′交 AB 于点 E，连结 EH ．当 △ HEB′的周长为 2 时，求菱形 ABCD 的周长．
解：（ 1）∵四边形 AB′ C′ D′是菱形，
∴ AB′＝ B′ C′＝ C′D ′＝ AD ′，
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∵∠ B′ AD′＝∠ B′C′ D′＝ 60°，
∴△ AB′ D′，△ B′C′ D′是等边三角形，
∵ MN∥ B′ C′，
∴∠ C′ MN ＝∠ C′ B′ D′＝ 60°，∠ CNM ＝∠ C′D ′ B′＝ 60°，
∴△ C′ MN 是等边三角形，
∴ C′ M＝ C′ N，
∴ MB′＝ ND′，
∵∠ AB′ M＝∠ AD′ N＝ 120°， AB ′＝ AD′，
∴△ AB′ M≌△ AD′ N（ SAS），
∴∠ B′ AM＝∠ D′ AN，
∵∠ CAD＝
∠ BAD ＝ 30°，
∠ DAD ′＝ 15°，
∴ α＝ 15°．
（ 2）∵∠ C′ B′ D′＝ 60°，
∴∠ EB′ G＝ 120°，
∵∠ EAG＝ 60°，
∴∠ EAG+∠ EB′ G＝ 180°，
∴四边形 EAGB′四点共圆， ∴∠ AEB′＝∠ AGD ′，
∵∠ EAB′＝∠ GAD ′， AB′＝ AD′，
∴△ AEB′≌△ AGD ′（ AAS），
∴ EB′＝ GD′， AE＝ AG，
∵ AH＝ AH ，∠ HAE ＝∠ HAG ，
∴△ AHE≌△ AHG （ SAS），
∴ EH＝GH，
∵△ EHB′的周长为 2， EH+EB +HB
B H+HG+GD B D 2
∴ AB′＝ AB＝ 2，
∴菱形 ABCD 的周长为 8． ．（ 2019?济宁）如图 1，在矩形 ABCD 中， AB ＝8， AD＝ 10， E 是 CD 边上一点，连结形 ABCD 沿 AE 折叠，极点 D 恰巧落在 BC 边上点 F 处，延伸 AE 交 BC 的延伸线于点
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AE，将矩G．
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（ 1）求线段 CE 的长；
（ 2）如图 2，M，N 分别是线段 AG， DG 上的动点（与端点不重合），且∠
DMN ＝∠ DAM ，设
AM ＝ x，DN＝ y．
① 写出 y 对于 x 的函数分析式，并求出
y 的最小值；
② 能否存在这样的点
M，使△ DMN 是等腰三角形？若存在，恳求出 x 的值；若不存在，请说明理
由．
解：（ 1）如图 1 中，
∵四边形 ABCD 是矩形，
∴ AD＝ BC＝ 10， AB＝ CD＝ 8，
∴∠ B＝∠ BCD＝ 90°，
由翻折可知： AD ＝AF ＝ 10． DE＝ EF，设 EC＝ x，则 DE ＝EF ＝8﹣ x．
在 Rt△ABF 中， BF＝
＝ 6， ∴ CF＝ BC﹣ BF＝ 10﹣ 6＝ 4，
2
2 2
在 Rt△EFC 中，则有：（ 8﹣x） ＝ x +4 ， ∴ x＝ 3，
∴ EC＝ 3．
（2）① 如图 2 中，
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∵ AD∥CG， ∴ ∴
＝
，
＝ ，
∴ CG＝6，
∴ BG＝ BC+CG＝16， 在 Rt△ABG 中， AG ＝ 在 Rt△DCG 中， DG ＝
＝ 8 ， ＝ 10，
∵ AD＝ DG＝ 10， ∴∠ DAG＝∠ AGD ，
∵∠ DMG ＝∠ DMN +∠ NMG ＝∠ DAM +∠ ADM ，∠ DMN ＝∠ DAM ， ∴∠ ADM ＝∠ NMG ，
∴△ ADM ∽△ GMN ， ∴＝， ∴
＝
， x+10 ．
∴ y＝
2x ﹣
当 x＝ 4
时， y 有最小值，最小值＝ 2． 3﹣ 1 中，当 MN ＝ MD 时，
② 存在．有两种情况：如图
∵∠ MDN ＝∠ GMD ，∠ DMN ＝∠ DGM ，
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∴△ DMN ∽△ DGM ，
∴
＝ ， ∵ MN＝ DM ，
∴ DG＝GM ＝ 10，
∴ x＝ AM＝ 8 ﹣ 10．
如图 3﹣2 中，当 MN＝DN 时，作 MH⊥DG 于 H． ∵ MN＝ DN ，
∴∠ MDN ＝∠ DMN ，
∵∠ DMN ＝∠ DGM ，
∴∠ MDG ＝∠ MGD ，
∴ MD＝ MG， ∵ BH⊥DG，
∴ DH ＝GH ＝ 5，
由△ GHM ∽△ GBA，可得
＝ ， ∴
＝ ， ∴MG＝
， ∴ x＝ AM＝ 8
﹣
＝
． 综上所述，知足条件的
x 的值为 8
﹣ 10 或
． ．（ 2019?泰安）在矩形 ABCD 中， AE⊥ BD 于点 E，点 P 是边 AD 上一点． 1
BP ABD AE G PF BD F （ 2）若 PE⊥ EC，如图 ② ，求证： AE ?AB＝ DE?AP；
（ 3）在（ 2）的条件下，若 AB＝ 1， BC＝ 2，求 AP 的长．
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AGFP
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（ 1）证明：如图 ① 中，
∵四边形 ABCD 是矩形， ∴∠ BAD＝ 90°，
∵ AE⊥ BD ，
∴∠ AED＝ 90°，
∴∠ BAE+∠ EAD ＝ 90°，∠ EAD +∠ ADE＝ 90°， ∴∠ BAE＝∠ ADE ，
∵∠ AGP＝∠ BAG+∠ ABG ，∠ APD ＝∠ ADE +∠ PBD ，∠∴∠ AGP＝∠ APG，
∴ AP＝ AG，
∵ PA⊥ AB， PF⊥ BD ， BP 均分∠ ABD ， ∴ PA＝ PF，
∴ PF＝ AG，
∵ AE⊥ BD ， PF⊥ BD ，
∴ PF∥ AG，
∴四边形 AGFP 是平行四边形， ∵ PA＝ PF，
∴四边形 AGFP 是菱形． （ 2）证明：如图 ② 中，
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ABG＝∠ PBD ，
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∵ AE⊥ BD ， PE⊥ EC， ∴∠ AED＝∠ PEC＝ 90°， ∴∠ AEP＝∠ DEC，
∵∠ EAD+∠ ADE ＝90°，∠ ADE +∠ CDE＝ 90°， ∴∠ EAP＝∠ EDC，
∴△ AEP∽△ DEC， ∴＝， ∵ AB＝ CD ， ∴ AE?AB＝ DE ?AP；
（ 3）解：∵四边形 ABCD 是矩形， ∴ BC＝ AD ＝ 2，∠ BAD＝ 90°，
∴BD＝
＝ ， ∵ AE⊥ BD ，
∴ S△ ABD＝ ?BD ?AE＝ ?AB?AD， ∴ AE＝， ∴DE＝
＝
， ∵ AE?AB＝ DE ?AP；
∴AP＝
＝ ． ．（ 2019?威海）如图，在正方形 ABCD 中， AB＝ 10cm，E 为对角线 BD 上一动点，连结 AE，点作 EF ⊥ AE，交直线 BC 于点 F． E 点从 B 点出发，沿着 BD 方向以每秒 2cm 的速度运动，当点 E 与点 D 重合时，运动停止．设△
BEF 的面积为 ycm2
， E 点的运动时间为 x 秒． 19 / 40
CE，过 E
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（ 1）求证： CE＝ EF ；
（ 2）求 y 与 x 之间关系的函数表达式，并写出自变量
x 的取值范围；
（ 3）求△ BEF 面积的最大值．
（ 1）证明：如图 1，过 E 作 MN ∥ AB，交 AD 于 M，交 BC 于 N，
∵四边形 ABCD 是正方形，
∴ AD∥ BC，AB⊥AD ，
∴ MN⊥ AD ， MN ⊥BC ，
∴∠ AME＝∠ FNE ＝ 90°＝∠ NFE +∠ FEN，
∵ AE⊥ EF ，
∴∠ AEF＝∠ AEM+∠ FEN ＝ 90°，
∴∠ AEM＝∠ NFE ，
∵∠ DBC＝ 45°，∠ BNE＝90°，
∴ BN＝ EN＝ AM，
∴△ AEM≌△ EFN （ AAS），
∴ AE＝ EF ，
∵四边形 ABCD 是正方形，
∴ AD＝ CD ，∠ ADE ＝∠ CDE ， ∵ DE＝DE，
∴△ ADE≌△ CDE （ SAS），
∴ AE＝ CE＝ EF；
（ 2）解：在 Rt△ BCD 中，由勾股定理得： BD ＝ ＝ 10 ， 20 / 40
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∴ 0≤ x≤ 5 ，
由题意得： BE＝ 2x， ∴ BN＝ EN＝ x，
由（ 1）知： AE＝ EF ＝ EC，
分两种状况：
① 当 0≤x≤
时，如图 1， ∵ AB＝ MN ＝10，
∴ ME＝FN ＝10﹣ x，
∴ BF＝ FN ﹣ BN＝ 10﹣ x﹣
x＝ 10﹣ 2 x，
2
∴ y＝ ② 当
＝ ＜ x≤5
＝﹣ 2x +5 x；
时，如图 2，过 E 作 EN⊥BC 于 N，
∴ EN＝ BN＝ x，
∴ FN＝ CN＝ 10﹣x，
∴ BF＝ BC﹣ 2CN＝10﹣ 2（ 10﹣ x）＝ 2 ∴ y＝
x﹣ 10，
x； ＝
2＝ 2x﹣5
综上， y 与 x 之间关系的函数表达式为：
； （ 3）解： ① 当 0≤ x≤
2
时，如图 1，
2
y＝﹣ 2x +5
x＝﹣ 2（ x﹣
） + ， ∵﹣ 2＜ 0，
∴当 x＝
时， y 有最大值是 ； ② 当 ＜ x≤5 时，如图 2，
2
∴ y＝ 2x﹣ 5 x＝ 2（ x﹣
∵ 2＞ 0， ∴当 x＞
2
） ﹣ ， 时， y 随 x 的增大而增大
∴当 x＝ 5
时， y 有最大值是 50； 50． 综上，△ BEF 面积的最大值是
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2019年全国各地中考数学压轴题汇编：几何综合(山东专版)(解析卷)
13．（ 2019?临沂）如图， AB 是 ⊙O 的直径， C 是 ⊙O 上一点，过点
O 作 OD ⊥ AB，交 BC 的延伸线
于 D，交 AC 于点 E，F 是 DE 的中点，连结 CF．（ 1）求证： CF 是 ⊙O 的切线．
（ 2）若∠ A＝°，求证： AC＝ DC．
（ 1）证明：∵ AB 是⊙ O 的直径， ∴∠ ACB＝∠ ACD＝ 90°，
∵点 F 是 ED 的中点， ∴ CF＝EF＝DF，
∴∠ AEO＝∠ FEC＝∠ FCE ， ∵ OA＝OC，
∴∠ OCA＝∠ OAC， ∵ OD⊥AB，
∴∠ OAC+∠ AEO＝ 90°，
∴∠ OCA+∠ FCE ＝90°，即 OC⊥ FC，
∴CF 与⊙O 相切；
（ 2）解：∵ OD⊥ AB，AC⊥ BD， ∴∠ AOE＝∠ ACD ＝ 90°，
∵∠ AEO＝∠ DEC ，
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2019年全国各地中考数学压轴题汇编：几何综合(山东专版)(解析卷)
∴∠ OAE＝∠ CDE ＝°，
∵ AO＝ BO， ∴ AD＝BD，
∴∠ ADO＝∠ BDO ＝°，
∴∠ ADB＝ 45°，
∴∠ CAD＝∠ ADC ＝ 45°，
∴ AC＝ CD ．
．（ 2019?泰安）如图，四边形
ABCD 是正方形，△ EFC 是等腰直角三角形，点 E 在 AB 上，且∠CEF ＝ 90°， FG ⊥ AD，垂足为点 C． （ 1）试判断 AG 与 FG 能否相等？并给出证明；
（ 2）若点 H 为 CF 的中点， GH 与 DH 垂直吗？若垂直，给出证明；若不垂直，说明原因．
解：（ 1） AG＝ FG ，
原因以下：如图，过点
F 作 FM⊥ AB 交 BA 的延伸线于点 M
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2019年全国各地中考数学压轴题汇编：几何综合(山东专版)(解析卷)
∵四边形 ABCD 是正方形
∴ AB＝ BC，∠ B＝ 90°＝∠ BAD
∵ FM ⊥AB ，∠ MAD ＝ 90°， FG ⊥ AD
∴四边形 AGFM 是矩形
∴ AG＝ MF ， AM ＝ FG，
∵∠ CEF＝ 90°，
∴∠ FEM +∠ BEC＝ 90°，∠ BEC+∠ BCE＝ 90° ∴∠ FEM ＝∠ BCE ，且∠ M ＝∠ B＝ 90°， EF＝ EC
∴△ EFM ≌△ CEB （ AAS）
∴ BE＝ MF ，ME ＝ BC
∴ ME＝AB ＝BC
∴ BE＝ MA ＝MF
∴ AG＝ FG ，
（ 2）DH ⊥ HG
原因以下：如图，延伸
GH交CD于点 N，
∵ FG⊥ AD ，CD ⊥ AD
∴ FG∥ CD
∴ ，且 CH ＝FH ， 24 / 40
2019年全国各地中考数学压轴题汇编：几何综合(山东专版)(解析卷)
∴ GH＝HN ， NC＝ FG
∴ AG＝ FG ＝NC
又∵ AD＝CD ，
∴ GD＝DN ，且 GH＝ HN ∴ DH ⊥GH
15．（ 2019?德州）如图， ∠ BPD ＝ 120°，点 A、C 分别在射线 PB、PD 上，∠PAC＝ 30°，AC＝2
．
（ 1）用尺规在图中作一段劣弧， 使得它在 A、C 两点分别与射线 PB 和 PD 相切．要求：写出作法，并保存作图印迹；
（ 2）依据（ 1）的作法，联合已有条件，请写出已知和求证，并证明；
（ 3）求所得的劣弧与线段 PA、PC 围成的关闭图形的面积．
解：（ 1）如图，
（ 2）已知：如图，∠ BPD ＝ 120°，点 A、 C 分别在射线
PB 、PD 上，∠ PAC＝ 30°， AC＝
， 过 A、 C 分别作 PB、 PD 的垂线，它们订交于
O，以 OA 2 为半径作 ⊙ O， OA⊥ PB，
求证： PB、PC 为 ⊙ O 的切线；
证明：∵∠ BPD＝ 120°， PAC＝ 30°，
∴∠ PCA＝ 30°，
∴ PA＝ PC，
连结 OP，
∵ OA⊥ PA， PC⊥OC，
∴∠ PAO＝∠ PCO＝ 90°，
∵ OP＝ OP，
∴ Rt△PAO≌ Rt△ PCO（ HL ）
∴ OA＝OC，
∴ PB、 PC 为 ⊙O 的切线；
（ 3）∵∠ OAP＝∠ OCP＝ 90°﹣ 30°＝ 60°， ∴△ OAC 为等边三角形，
∴ OA＝ AC＝ 2 ，∠ AOC ＝ 60°， ∵ OP 均分∠ APC，
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2019年全国各地中考数学压轴题汇编：几何综合(山东专版)(解析卷)
∴∠ APO＝ 60°，
∴ AP＝
×2 ＝ 2，∴劣弧 AC 与线段 PA、 PC 围成的关闭图形的面积＝ S 四边形 APCO﹣ S 扇形 AOC
＝ 2× × 2
× 2﹣ ＝ 4
﹣ 2π．
16．（ 2019?临沂）如图，在正方形 ABCD 中， E 是 DC 边上一点，（与 D 、 C 不重合），连结
AE， 将△ ADE 沿 AE 所在的直线折叠获得△ AFE ，延伸 EF 交 BC 于 G，连结 AG，作 GH⊥AG，与 AE 的延伸线交于点 H ，连结 CH．明显 AE 是∠ DAF 的均分线， EA 是∠ DEF 的均分线．认真察看，
请逐个找出图中其余的角均分线（仅限于小于
180°的角均分线），并说明原因．
解：过点 H 作 HN⊥ BM 于 N，
则∠ HNC＝ 90°，
∵四边形 ABCD 为正方形，
∴ AD＝ AB＝ BC，∠ D＝∠ DAB ＝∠ B＝∠ DCB ＝∠ DCM ＝ 90°，
① ∵将△ ADE 沿 AE 所在的直线折叠获得△
AFE ，
∴△ ADE≌△ AFE ，
∴∠ D＝∠ AFE＝∠ AFG＝ 90°， AD ＝AF，∠ DAE ＝∠ FAE，
∴ AF＝ AB，
又∵ AG＝AG，
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2019年全国各地中考数学压轴题汇编：几何综合(山东专版)(解析卷)
∴ Rt△ABG≌ Rt△AFG （ HL ），
∴∠ BAG＝∠ FAG，∠ AGB＝∠ AGF ，
∴ AG 是∠ BAF 的均分线， GA 是∠ BGF 的均分线；
② 由 ① 知，∠ DAE ＝∠ FAE，∠ BAG＝∠ FAG，
又∵∠ BAD ＝ 90°，
∴∠ GAF+∠ EAF＝
× 90°＝ 45°，
即∠ GAH＝ 45°，
∵ GH⊥AG，
∴∠ GHA＝ 90°﹣∠ GAH＝ 45°，
∴△ AGH 为等腰直角三角形，
∴ AG＝ GH，
∵∠ AGB+∠ BAG＝90°，∠ AGB+∠ HGN＝90°，
∴∠ BAG＝∠ NGH ，
又∵∠ B＝∠ HNG ＝ 90°， AG＝ GH，
∴△ ABG≌△ GNH （ AAS），
∴ BG＝ NH ，AB＝ GN，
∴ BC＝ GN，
∵ BC﹣ CG＝GN﹣ CG， ∴ BG＝ CN，
∴ CN＝HN，
∵∠ DCM ＝90°，
∴∠ NCH＝∠ NHC ＝ × 90°＝ 45°，
∴∠ DCH ＝∠ DCM ﹣∠ NCH ＝ 45°，
∴∠ DCH ＝∠ NCH ，
∴ CH 是∠ DCN 的均分线；
③ ∵∠ AGB+∠ HGN ＝ 90°，∠ AGF +∠ EGH ＝90°，
由 ① 知，∠ AGB ＝∠ AGF ，
∴∠ HGN ＝∠ EGH ，
∴ GH 是∠ EGM 的均分线；
综上所述， AG 是∠ BAF 的均分线， GA 是∠ BGF 的均分线，的均分线．
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是∠ DCN 的均分线，是∠ EGM
CH GH 2019年全国各地中考数学压轴题汇编：几何综合(山东专版)(解析卷)
．（ 2019?聊城）如图，△ ABC 内接于 ⊙O， AB 为直径，作于点 F，过点 C 作⊙ O 的切线 CE，交 OF 于点 E．
（ 1）求证： EC＝ ED ；
（ 2）假如 OA＝ 4，EF ＝ 3，求弦 AC 的长．
（ 1）证明：连结 OC， ∵ CE 与 ⊙O 相切，为 C 是 ⊙O 的半径， ∴ OC⊥CE ，
∴∠ OCA+∠ ACE＝90°，
∵ OA＝ OC，
∴∠ A＝∠ OCA，
∴∠ ACE+∠ A＝ 90°，
∵ OD⊥AB ，
∴∠ ODA+∠ A＝ 90°，
∵∠ ODA＝∠ CDE ，
∴∠ CDE+∠ A＝ 90°，
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OD ⊥ AB 交 AC 于点 D ，延伸 BC，OD交
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2019年全国各地中考数学压轴题汇编：几何综合(山东专版)(解析卷)
∴∠ CDE＝∠ ACE，
∴ EC＝ ED ；
（ 2）解：∵ AB 为 ⊙O 的直径， ∴∠ ACB＝ 90°，
在 Rt△DCF 中，∠ DCE +∠ ECF ＝ 90°，∠ DCE＝∠ CDE， ∴∠ CDE+∠ ECF ＝90°，
∵∠ CDE+∠ F＝ 90°， ∴∠ ECF＝∠ F，
∴ EC＝EF，
∵ EF＝ 3，
∴ EC＝DE＝3，
∴ OE＝
＝5， ∴ OD＝OE﹣ DE ＝ 2，
在 Rt△OAD 中， AD ＝
＝2 ， 在 Rt△AOD 和 Rt△ ACB 中， ∵∠ A＝∠ A，∠ ACB＝∠ AOD ，
∴ Rt△AOD ∽ Rt△ ACB，
∴
， ， ． 即
∴AC＝
18．（ 2019?德州）（ 1）如图 1，菱形 AEGH 的极点 E、 H 在菱形 ABCD 的边上，且∠ BAD ＝ 60°，
请直接写出 HD ： GC： EB 的结果（不用写计算过程）
（ 2）将图 1 中的菱形 AEGH 绕点 A 旋转必定角度，如图
2，求 HD ： GC： EB；
（ 3）把图 2 中的菱形都换成矩形，如图
3，且 AD ： AB＝ AH ：AE＝ 1： 2，此时 HD ： GC： EB 的
结果与 （ 2）小题的结果对比有变化吗？假如有变化，
直接写出变化后的结果 （不用写计算过程） ； 若无变化，请说明原因．
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2019年全国各地中考数学压轴题汇编：几何综合(山东专版)(解析卷)
解：（ 1）连结 AG，
∵菱形 AEGH 的极点 E、 H 在菱形 ABCD 的边上，且∠
BAD ＝60°， ∴∠ GAE＝∠ CAB＝ 30°， AE＝ AH ，AB＝ AD，
∴ A， G，C 共线， AB﹣ AE＝ AD ﹣ AH，
∴ HD ＝EB ，
延伸 HG 交 BC 于点 M ，延伸 EG 交 DC 于点 N，连结 MN，交 GC 于点 O，则∴ GC⊥MN ，∠ NGO ＝∠ AGE＝ 30°， ∴
＝ cos30°＝，
∵ GC＝2OG， ∴＝，
∵ HGND 为平行四边形， ∴ HD ＝GN，
∴ HD ：GC：EB＝1： ：1．
（ 2）如图 2，连结 AG， AC，
∵△ ADC 和△ AHG 都是等腰三角形，
∴ AD： AC＝AH： AG＝ 1：
，∠ DAC＝∠ HAG＝ 30°，
∴∠ DAH ＝∠ CAG ，
∴△ DAH ∽△ CAG ，
∴ HD ：GC＝AD ：AC＝1： ， ∵∠ DAB＝∠ HAE＝ 60°， ∴∠ DAH ＝∠ BAE，
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GMCN 也为菱形，
2019年全国各地中考数学压轴题汇编：几何综合(山东专版)(解析卷)
在△ DAH 和△ BAE 中，
∴△ DAH ≌△ BAE（ SAS）
∴ HD ＝EB ，
∴ HD ：GC： EB＝ 1： ： 1．
（ 3）有变化．
如图 3，连结 AG，AC ，
∵ AD： AB＝ AH：AE ＝1： 2，∠ ADC ＝∠ AHG ＝ 90°， ∴△ ADC∽△ AHG ，
∴ AD： AC＝AH： AG＝ 1： ， ∵∠ DAC＝∠ HAG ，
∴∠ DAH ＝∠ CAG ， ∴△ DAH ∽△ CAG ，
∴ HD ：GC＝AD ：AC＝1： ， ∵∠ DAB＝∠ HAE＝ 90°， ∴∠ DAH ＝∠ BAE，
∵ DA： AB＝HA ：AE ＝1： 2， ∴△ ADH ∽△ ABE，
∴ DH ：BE ＝AD： AB＝ 1： 2，
∴ HD ：GC：EB＝1： ：2
．（ 2019?滨州）如图，矩形 ABCD 中，点 E 在边 CD 上，将△F 处，过点 F 作 FG ∥ CD 交 BE 于点 G，连结 CG．
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BCE 沿 BE 折叠，点 C 落在 AD 边上的点
19 2019年全国各地中考数学压轴题汇编：几何综合(山东专版)(解析卷)
（ 1）求证：四边形 CEFG 是菱形；
（ 2）若 AB＝ 6， AD ＝ 10，求四边形 CEFG 的面积．
（ 1）证明：由题意可得， △ BCE≌△ BFE ，
∴∠ BEC＝∠ BEF， FE＝CE ， ∵ FG∥ CE，
∴∠ FGE＝∠ CEB， ∴∠ FGE＝∠ FEG， ∴ FG＝FE，
∴ FG＝ EC，
∴四边形 CEFG 是平行四边形，又∵ CE＝ FE，
∴四边形 CEFG 是菱形；
（ 2）∵矩形 ABCD 中， AB＝6， AD＝ 10， BC＝ BF ，
∴∠ BAF＝ 90°， AD ＝BC＝ BF＝ 10，
∴ AF＝ 8，
∴ DF＝2，
设 EF＝ x，则 CE＝ x， DE＝ 6﹣x，
∵ FDE ＝ 90°，
∴ 22+（6﹣ x） 2＝ x2，
解得， x＝
， ∴ CE＝，
∴四边形 CEFG 的面积是： CE?DF ＝
× 2＝ ． 20．（ 2019?菏泽）如图，△ ABC 和△ ADE 是有公共极点的等腰直角三角形，∠32 / 40
BAC＝∠ DAE ＝ 90°．
2019年全国各地中考数学压轴题汇编：几何综合(山东专版)(解析卷)
（ 1）如图 1，连结 BE， CD， BE 的廷长线交 AC 于点 F，交 CD 于点 P，求证： BP⊥ CD ；
（ 2）如图 2，把△ ADE 绕点 A 顺时针旋转，当点
D 落在 AB 上时，连结
BE， CD，CD 的延伸线
交 BE 于点 P，若 BC ＝6
， AD ＝ 3，求△ PDE 的面积．
解：（ 1）∵△ ABC 和△ ADE 是有公共极点的等腰直角三角形，∠∴ AD＝ AE， AB＝ AC，∠ BAC﹣∠ EAF ＝∠ EAD ﹣∠ EAF ，即∠ BAE＝∠ DAC，
在△ ABE 与△ ADC 中，
， ∴△ ABE≌△ ADC（ SAS），
∴∠ ABE＝∠ ACD，
∵∠ ABE+∠ AFB ＝∠ ABE+∠ CFP ＝90°，
∴∠ CPF＝ 90°，
∴ BP⊥ CD ；
（ 2）在△ ABE 与△ ACD 中，
，
∴△ ABE≌△ ACD（ SAS）， ∴∠ ABE＝∠ ACD， BE＝ CD ， ∵∠ PDB＝∠ ADC ，
∴∠ BPD＝∠ CAB＝ 90°，
∴∠ EPD＝ 90°， BC＝ 6 ， AD＝ 3，求△ PDE 的面积．
∵ BC＝6 ， AD＝ 3， ∴ DE＝3
， AB＝ 6，
∴ BD＝ 6﹣ 3＝ 3，CD ＝
＝3
，
∵△ BDP∽△ CDA ， ∴ ＝ ＝ ，
∴
＝
＝
，
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BAC＝∠ DAE＝ 90°．
2019年全国各地中考数学压轴题汇编：几何综合(山东专版)(解析卷)
∴ PD＝，PB ＝
∴ PE＝3 ﹣ ＝的面积
，
∴△ PDE ＝ ×
× ＝ ． 21．（ 2019?滨州）如图，在△ ABC 中， AB＝ AC，以 AB 为直径的 ⊙ O 分别与 BC，点 D 作 DF⊥ AC，垂足为点 F．
（ 1）求证：直线 DF 是 ⊙O 的切线；
（ 2）求证： BC2＝ 4CF ?AC；
（ 3）若 ⊙ O 的半径为 4，∠ CDF ＝ 15°，求暗影部分的面积．
解：（ 1）以下图，连结
OD ，
∵ AB＝ AC，∴∠ ABC＝∠ C，而 OB＝ OD，∴∠ ODB ＝∠ ABC＝∠ C，
∵ DF ⊥ AC，∴∠ CDF +∠ C＝ 90°，∴∠ CDF +∠ODB ＝ 90°，
∴∠ ODF ＝ 90°，
∴直线 DF 是 ⊙ O 的切线；
（ 2）连结 AD，则 AD ⊥ BC，则 AB＝ AC，
则 DB＝ DC＝，
∵∠ CDF +∠ C＝ 90°，∠ C+∠ DAC ＝90°，∴∠ CDF ＝∠ DCA ，而∠ DFC ＝∠ ADC ＝ 90°，∴△ CFD ∽△ CDA，
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AC 交于点 D，，过
E
2019年全国各地中考数学压轴题汇编：几何综合(山东专版)(解析卷)
22
∴ CD＝CF ?AC，即 BC＝ 4CF?AC；
（ 3）连结 OE，
∵∠ CDF ＝ 15°，∠ C＝ 75°，∴∠ OAE ＝30°＝∠ OEA ，
∴∠ AOE＝ 120°，
S△ OAE＝
AE×OE sin∠ OEA＝ × 2× OE× cos∠ OEA× OEsin∠ OEA＝ 4
× π× 42﹣4
， S 暗影部分 ＝ S 扇形 OAE﹣ S△OAE＝
＝
﹣ 4
．
22．（ 2019?聊城）在菱形 ABCD 中，点 P 是 BC 边上一点，连结接 DE， BF，使得∠ AED＝∠ ABC，∠ ABF ＝∠ BPF．
求证：（ 1）△ ABF ≌△ DAE ；
（ 2）DE ＝ BF+EF．
证明：（ 1）∵四边形 ABCD 是菱形， ∴ AB＝ AD ， AD∥BC ，
∴∠ BPA＝∠ DAE ，
∵∠ ABC＝∠ AED，
∴∠ BAF＝∠ ADE ，
∵∠ ABF＝∠ BPF ，∠ BPA＝∠ DAE，
∴∠ ABF＝∠ DAE ，
∵ AB＝ DA ，
∴△ ABF≌△ DAE （ ASA）；
（ 2）∵△ ABF ≌△ DAE ， ∴ AE＝BF，DE＝AF，
∵ AF＝ AE+EF＝ BF+EF， ∴ DE＝ BF+EF．
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AP，点
E，
是 AP 上的两点，连
F
2019年全国各地中考数学压轴题汇编：几何综合(山东专版)(解析卷)
23．（ 2019?菏泽）如图， BC 是 ⊙ O 的直径， CE 是 ⊙O 的弦，过点 E 作⊙ O 的切线，交 CB 的延伸线于点 G，过点 B 作 BF⊥ GE 于点 F，交 CE 的延伸线于点 A．
（ 1）求证：∠ ABG＝ 2∠C；（ 2）若 GF＝ 3 ， GB＝ 6，求（ 1）证明：连结 OE， ∵ EG 是 ⊙O 的切线， ∴ OE⊥ EG，
∵ BF⊥ GE， ∴ OE∥ AB，
∴∠ A＝∠ OEC，
∵ OE＝OC，
∴∠ OEC＝∠ C， ∴∠ A＝∠ C，
∵∠ ABG＝∠ A+∠ C， ∴∠ ABG＝ 2∠ C；
（ 2）解：∵ BF⊥ GE， ∴∠ BFG＝ 90°，
∵ GF＝3 ， GB＝6，
∴ BF＝
＝3， ∵ BF∥ OE，
∴△ BGF∽△ OGE ，
⊙ O 的半径．36 / 40
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∴ ＝ ， 37 / 40
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∴
＝ ， ∴ OE＝ 6，
∴ ⊙ O 的半径为 6．
24．（ 2019?威海）（ 1）方法选择
如图 ① ，四边形 ABCD 是⊙ O 的内接四边形，连结
AC，BD ，AB＝ BC＝ AC．求证： BD ＝AD+CD．
小颖以为可用截长法证明：在 小军以为可用补短法证明：延伸 请你选择一种方法证明． （ 2）类比研究 【研究 1】
DB 上截取 DM ＝ AD ，连结 AM CD 至点 N，使得 DN＝ AD
如图 ② ，四边形 ABCD 是⊙ O 的内接四边形，连结 AC， BD ， BC 是 ⊙ O 的直径， AB＝ AC．试用
等式表示线段 AD ，BD ， CD 之间的数目关系，井证明你的结论． 【研究 2】
如图 ③ ，四边形 ABCD 是 ⊙ O 的内接四边形， 连结 AC，BD ．若 BC 是⊙ O 的直径， ∠ ABC＝ 30°， 则线段 AD ， BD， CD 之间的等量关系式是 （ 3）拓展猜想
BD＝
CD +2AD ．
如图 ④ ，四边形 ABCD 是 ⊙ O 的内接四边形，连结 AC ，BD．若 BC 是 ⊙ O 的直径， BC：AC：AB
BD ＝ CD+ AD ．
＝ a： b： c，则线段 AD ， BD ，CD 之间的等量关系式是
解：（ 1）方法选择：∵ AB ＝BC ＝AC，
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2019年全国各地中考数学压轴题汇编：几何综合(山东专版)(解析卷)
（ 2）类比研究：如图 ② ， ∵ BC 是 ⊙O 的直径， ∴∠ BAC＝ 90°，
∵ AB＝ AC，
∴∠ ABC＝∠ ACB＝ 45°，
过 A作 AM⊥AD 交 BD 于 M， ∵∠ ADB＝∠ ACB＝ 45°， ∴△ ADM 是等腰直角三角形， ∴ AM＝AD ，∠ AMD ＝ 45°，∴DM＝ AD，
∴∠ AMB＝∠ ADC ＝ 135°， ∵∠ ABM＝∠ ACD ，
∴△ ABM≌△ ACD （ AAS）， ∴ BM＝CD ，
∴ BD＝ BM+DM ＝CD + AD ；
【研究 2】如图 ③ ，∵若 BC 是⊙ O 的直径，∠∴∠ BAC＝ 90°，∠ ACB＝ 60°，
过 A作 AM⊥AD 交 BD 于 M， ∵∠ ADB＝∠ ACB＝ 60°， ∴∠ AMD ＝ 30°，
∴ MD＝ 2AD，
ABC＝ 30°，39 / 40
2019年全国各地中考数学压轴题汇编：几何综合(山东专版)(解析卷)
∵∠ ABD＝∠ ACD ，∠ AMB＝∠ ADC＝ 150°，
∴△ ABM∽△ ACD ，
∴
＝ ， ∴ BM＝ CD ，
∴ BD＝ BM+DM ＝ CD +2AD ；故
答案为： BD ＝ CD+2AD ；
（ 3）拓展猜想： BD ＝ BM+DM ＝ CD + AD ； 原因：如图 ④ ，∵若 BC 是 ⊙ O 的直径，
∴∠ BAC＝ 90°，
过 A作 AM⊥AD 交 BD 于 M，
∴∠ MAD ＝ 90°，
∴∠ BAM＝∠ DAC ，
∴△ ABM∽△ ACD ，
∴
＝ ， ∴ BM＝ CD ，
∵∠ ADB＝∠ ACB，∠ BAC＝∠ NAD ＝ 90°，
∴△ ADM ∽△ ACB，
∴
＝ ＝ ，
∴ DM＝ AD，
∴ BD＝ BM+DM ＝ CD+ AD． 故答案为： BD ＝ CD + AD
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