一、选择题（本题共有12小题，每小题3分，共36分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的）
1．（3分）方程2=3的解为（ ） A．=3 B．=0 C．1=0，2=﹣3 D．1=0，2=3 2．（3分）下面左侧几何体的左视图是（ ）
A． B． C． D．
3．（3分）如果=2，则的值是（ ）
A．3 B．﹣3 C． D．
4．（3分）已知不透明的袋中只装有黑、白两种球，这些球除颜色外都相同，其中白球有20个，黑球有n个，随机地从袋中摸出一个球，记录下颜色后，放回袋子中并摇匀，再从中摸出
一个球，经过如此大量重复试验，发现摸出白球的频率稳定在0.4附近，则n的值约为（ ）
A．20 B．30 C．40 D．50
5．（3分）关于的一元二次方程a2+3﹣2=0有两个不相等的实数根，则a的值可以是（ ） A．0 B．﹣1 C．﹣2 D．﹣3
6．（3分）中国“一带一路”战略给沿线国家和地区带很大的经济效益，沿线某地区居民2016年人均年收入300美元，预计2018年人均年收入将达到950美元，设2016年到2018年该地区居民人均年收入平均增长率为，可列方程为（ ） A．300（1+%）2=950
B．300（1+2）=950 C．300（1+2）=950 D．300（1+）2=950
7．（3分）今年，某公司推出一款的新手机深受消费者推崇，但价格不菲．为此，某电子商城推出分期付款购买新手机的活动，一部售价为9688元的新手机，前期付款2000元，后期每个月分别付相同的数额，则每个月的付款额y（元）与付款月数（为正整数）之间的函数关系式是（ ）
A．y=+2000 B．y=﹣2000 C．y= D．y=
8．（3分）如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE=BD，连接AE，如果∠ADB=38°，则∠E的值是（ ）
A．19° B．18° C．20° D．21°
9．（3分）下列说法正确的是（ ）
A．二次函数y=（+1）2﹣3的顶点坐标是（1，3）
B．将二次函数y=2的图象向上平移2个单位，得到二次函数y=（+2）2的图象 C．菱形的对角线互相垂直且相等
D．平面内，两条平行线间的距离处处相等
10．（3分）如图，一路灯B距地面高BA=7m，身高1.4m的小红从路灯下的点D出发，沿A→H
的方向行走至点G，若AD=6m，DG=4m，则小红在点G处的影长相对于点D处的影长变化是（ ）
A．变长1m B．变长1.2m C．变长1.5m D．变长1.8m
11．（3分）一次函数y=a+c的图象如图所示，则二次函数y=a2++c的图象可能大致是（ ）
A． B． C． D．
12．（3分）如图，点P是边长为的正方形ABCD的对角线BD上的动点，过点P分别作PE⊥
BC于点E，PF⊥DC于点F，连接AP并延长，交射线BC于点H，交射线DC于点M，连接EF交AH于点G，当点P在BD上运动时（不包括B、D两点），以下结论中：①MF=MC；②AH⊥EF；③AP2=PM•PH；④EF的最小值是
．其中正确结论是（ ）
A．①③
B．②③ C．②③④ D．②④
二、填空题（本题共有4小题，每小题3分，共12分）
13．（3分）有三张外观完全相同的卡片，在卡片的正面分别标上数字﹣1，0，﹣2，将正面朝下放在桌面上．现随机翻开一张卡片，则卡片上的数字为负数的概率为 ． 14．（3分）二次函数y=﹣（﹣1）（+2）的对称轴方程是 ．
15．（3分）如图，点A在曲线y=（＞0）上，过点A作AB⊥轴，垂足为B，OA的垂直平分线交OB、OA于点C、D，当AB=1时，△ABC的周长为 ．
16．（3分）如图，正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点E是OB上一点，且OB=3OE，连接AE，过点D作DG⊥AE于点F，交AB边于点G，连接GE，若AD=6
，则GE的长是 ．
三、解答题（本大题共7小题，共52分） 17．（5分）计算：（﹣1）2018﹣（）﹣1+2×（
）0+
．
18．（5分）2﹣8+12=0．
19．（8分）在不透明的布袋中装有1个红球，2个白球，它们除颜色外其余完全相同． （1）从袋中任意摸出两个球，试用树状图或表格列出所有等可能的结果，并求摸出的球恰好是两个白球的概率；
（2）若在布袋中再添加a个白球，充分搅匀，从中摸出一个球，使摸到红球的概率为，试求a的值．
20．（8分）如图，△ABC中，∠ACB的平分线交AB于点D，作CD的垂直平分线，分别交AC、DC、BC于点E、G、F，连接DE、DF． （1）求证：四边形DFCE是菱形；
（2）若∠ABC=60，∠ACB=45°，BD=2，试求BF的长．
21．（8分）今年深圳“读书月”期间，某书店将每本成本为30元的一批图书，以40元的单价出售时，每天的销售量是300本．已知在每本涨价幅度不超过10元的情况下，若每本涨价1元，则每天就会少售出10本，设每本书上涨了元．请解答以下问题： （1）填空：每天可售出书 本（用含的代数式表示）；
（2）若书店想通过售出这批图书每天获得3750元的利润，应涨价多少元？
22．（8分）如图1，在平面直角坐标系中，▱OABC的一个顶点与坐标原点重合，OA边落在轴上，且OA=4，OC=2
，∠COA=45°．反比例函数y=（＞0，＞0）的图象经过点C，与AB交于点
D，连接AC，CD．
（1）试求反比例函数的解析式； （2）求证：CD平分∠ACB；
（3）如图2，连接OD，在反比例的函数图象上是否存在一点P，使得S△POC=S△COD？如果存在，请直接写出点P的坐标．如果不存在，请说明理由．
23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=a2+b+c（a＜0）与轴交于A（﹣2，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C，且OC=2OA． （1）试求抛物线的解析式；
（2）直线y=+1（＞0）与y轴交于点D，与抛物线交于点P，与直线BC交于点M，记m=试求m的最大值及此时点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，点Q是轴上的一个动点，点N是坐标平面内的一点，是否存在这样的点Q、N，使得以P、D、Q、N四点组成的四边形是矩形？如果存在，请求出点N的坐标；如果不存在，请说明理由．
，
广东省深圳市宝安区九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共有12小题，每小题3分，共36分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的）
1．（3分）方程2=3的解为（ ） A．=3 B．=0 C．1=0，2=﹣3 D．1=0，2=3 【解答】解：∵2﹣3=0， ∴（﹣3）=0， 则=0或﹣3=0， 解得：=0或=3， 故选：D．
2．（3分）下面左侧几何体的左视图是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：从左面看，是一个长方形． 故选C．
3．（3分）如果=2，则
的值是（ ）
A．3 B．﹣3 C． D． 【解答】解：∵=2， ∴a=2b， ∴
=
=3．
故选A．
4．（3分）已知不透明的袋中只装有黑、白两种球，这些球除颜色外都相同，其中白球有20个，黑球有n个，随机地从袋中摸出一个球，记录下颜色后，放回袋子中并摇匀，再从中摸出
一个球，经过如此大量重复试验，发现摸出白球的频率稳定在0.4附近，则n的值约为（ ）
A．20 B．30 C．40 D．50 【解答】解：根据题意得解得：n=30， 故选：B．
5．（3分）关于的一元二次方程a2+3﹣2=0有两个不相等的实数根，则a的值可以是（ ） A．0 B．﹣1 C．﹣2 D．﹣3 【解答】解：
∵关于的一元二次方程a2+3﹣2=0有两个不相等的实数根， ∴△＞0且a≠0，即32﹣4a×（﹣2）＞0且a≠0， 解得a＞﹣1且a≠0， 故选B．
6．（3分）中国“一带一路”战略给沿线国家和地区带很大的经济效益，沿线某地区居民2016年人均年收入300美元，预计2018年人均年收入将达到950美元，设2016年到2018年该地区居民人均年收入平均增长率为，可列方程为（ ） A．300（1+%）2=950
B．300（1+2）=950 C．300（1+2）=950 D．300（1+）2=950
=0.4，
【解答】解：设2016年到2018年该地区居民年人均收入平均增长率为， 那么根据题意得2018年年收入为：300（1+）2， 列出方程为：300（1+）2=950． 故选：D．
7．（3分）今年，某公司推出一款的新手机深受消费者推崇，但价格不菲．为此，某电子商城推出分期付款购买新手机的活动，一部售价为9688元的新手机，前期付款2000元，后期每个月分别付相同的数额，则每个月的付款额y（元）与付款月数（为正整数）之间的函数关系式
是（ ） A．y=
+2000 B．y=
﹣2000 C．y=
=
．
D．y=
【解答】解：由题意可得：y=故选：C．
8．（3分）如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE=BD，连接AE，如果∠ADB=38°，则∠E的值是（ ）
A．19° B．18° C．20° D．21°
【解答】解：连接AC，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BE，AC=BD，且∠ADB=∠CAD=60°， ∴∠E=∠DAE， 又∵BD=CE， ∴CE=CA， ∴∠E=∠CAE，
∵∠CAD=∠CAE+∠DAE， ∴∠E+∠E=38°，即∠E=19°． 故选A
9．（3分）下列说法正确的是（ ）
A．二次函数y=（+1）2﹣3的顶点坐标是（1，3）
B．将二次函数y=2的图象向上平移2个单位，得到二次函数y=（+2）2的图象 C．菱形的对角线互相垂直且相等
D．平面内，两条平行线间的距离处处相等
【解答】解：A、二次函数y=（+1）2﹣3的顶点坐标是（﹣1，﹣3），错误； B、将二次函数y=2的图象向上平移2个单位，得到二次函数y=2+2的图象，错误； C、菱形的对角线互相垂直且平分，错误；
D、平面内，两条平行线间的距离处处相等，正确； 故选D
10．（3分）如图，一路灯B距地面高BA=7m，身高1.4m的小红从路灯下的点D出发，沿A→H
的方向行走至点G，若AD=6m，DG=4m，则小红在点G处的影长相对于点D处的影长变化是（
A．变长1m B．变长1.2m C．变长1.5m D．变长1.8m
【解答】解：由CD∥AB∥FG可得△CDE∽△ABE、△HFG∽△HAB， ∴
=
、
=
，即
=
、
=
，
解得：DE=1.5、HG=2.5， ∵HG﹣DE=2.5﹣1.5=1， ∴影长边长1m． 故选：A．
11．（3分）一次函数y=a+c的图象如图所示，则二次函数y=a2++c的图象可能大致是（
A． B． C． D．
）
）
【解答】解：∵一次函数y=a+c的图象经过一三四象限， ∴a＞0，c＜0，
故二次函数y=a2++c的图象开口向上，对称轴在y轴左边，交y轴于负半轴， 故选：C．
12．（3分）如图，点P是边长为
的正方形ABCD的对角线BD上的动点，过点P分别作PE⊥
BC于点E，PF⊥DC于点F，连接AP并延长，交射线BC于点H，交射线DC于点M，连接EF交AH于点G，当点P在BD上运动时（不包括B、D两点），以下结论中：①MF=MC；②AH⊥EF；③AP2=PM•PH；④EF的最小值是
．其中正确结论是（ ）
A．①③ B．②③ C．②③④ D．②④
【解答】解：①错误．因为当点P与BD中点重合时，CM=0，显然FM≠CM； ②正确．连接PC交EF于O．根据对称性可知∠DAP=∠DCP， ∵四边形PECF是矩形， ∴OF=OC， ∴∠OCF=∠OFC， ∴∠OFC=∠DAP， ∵∠DAP+∠AMD=90°， ∴∠GFM+∠AMD=90°， ∴∠FGM=90°， ∴AH⊥EF．
③正确．∵AD∥BH， ∴∠DAP=∠H， ∵∠DAP=∠PCM， ∴∠PCM=∠H， ∵∠CPM=∠HPC，
∴△CPM∽△HPC， ∴
=
，
∴PC2=PM•PH，
根据对称性可知：PA=PC， ∴PA2=PM•PH．
④正错误．∵四边形PECF是矩形， ∴EF=PC，
∴当CP⊥BD时，PC的值最小，此时A、P、C共线， ∵AC=2，
∴PC的最小值为1， ∴EF的最小值为1； 故选B．
二、填空题（本题共有4小题，每小题3分，共12分）
13．（3分）有三张外观完全相同的卡片，在卡片的正面分别标上数字﹣1，0，﹣2，将正面朝下放在桌面上．现随机翻开一张卡片，则卡片上的数字为负数的概率为
．
【解答】解：∵共有3张卡片，卡片的正面分别标上数字﹣1，0，﹣2，卡片上的数字为负数的有2张，
∴卡片上的数字为负数的概率为； 故答案为：．
14．（3分）二次函数y=﹣（﹣1）（+2）的对称轴方程是 =﹣ ． 【解答】解：y=﹣（﹣1）（+2） =﹣（2+﹣2）
=﹣（+）2+，
∴二次函数y=﹣（﹣1）（+2）的对称轴为=﹣， 故答案为：=﹣．
15．（3分）如图，点A在曲线y=（＞0）上，过点A作AB⊥轴，垂足为B，OA的垂直平分线交OB、OA于点C、D，当AB=1时，△ABC的周长为 4 ．
【解答】解：∵点A在曲线y=（＞0）上，AB⊥轴，AB=1， ∴AB×OB=3， ∴OB=3，
∵CD垂直平分AO， ∴OC=AC，
∴△ABC的周长=AB+BC+AC=1+BC+OC=1+OB=1+3=4， 故答案为：4．
16．（3分）如图，正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点E是OB上一点，且OB=3OE，连接AE，过点D作DG⊥AE于点F，交AB边于点G，连接GE，若AD=6
，则GE的长是
．
【解答】解：作EH⊥AB于H．
∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=AD=6
，
∴OA=OB=6， ∵OB=3OE， ∴OE=2，EB=4， ∵∠EBH=∠BEH=45°， ∴EH=BH=2
，
，
∴AH=AB﹣BH=4
∵∠ADG+∠DAF=90°，∠DAF+∠EAH=90°， ∴∠ADG=∠EAH，∵∠DAG=∠AHE， ∴△DAG∽△AHE， ∴∴∴AG=3
==，
， ，
，
=
．
∴GH=AH﹣AG=
在Rt△EGH中，EG=故答案为
．
三、解答题（本大题共7小题，共52分） 17．（5分）计算：（﹣1）2018﹣（）﹣1+2×（【解答】解：原式=1﹣3+2+3=3
18．（5分）2﹣8+12=0．
．
）0+．
【解答】解：2﹣8+12=0， 分解因式得（﹣6）（﹣2）=0， ∴﹣6=0，﹣2=0， 解方程得：1=6，2=2， ∴方程的解是1=6，2=2．
19．（8分）在不透明的布袋中装有1个红球，2个白球，它们除颜色外其余完全相同． （1）从袋中任意摸出两个球，试用树状图或表格列出所有等可能的结果，并求摸出的球恰好是两个白球的概率；
（2）若在布袋中再添加a个白球，充分搅匀，从中摸出一个球，使摸到红球的概率为，试求a的值．
【解答】解：（1）画树状图得：
∵共有6种等可能的结果，随机从袋中摸出两个球都是白色的有2种情况， ∴随机从袋中摸出两个球，都是白色的概率是： =．
（2）根据题意，得：解得：a=5，
=，
经检验a=5是原方程的根， 故a=5．
20．（8分）如图，△ABC中，∠ACB的平分线交AB于点D，作CD的垂直平分线，分别交AC、DC、BC于点E、G、F，连接DE、DF． （1）求证：四边形DFCE是菱形；
（2）若∠ABC=60，∠ACB=45°，BD=2，试求BF的长．
【解答】（1）证明：∵EF是DC的垂直平分线， ∴DE=EC，DF=CF，∠EGC=∠FGC=90°， ∵CD平分∠ACB， ∴∠ECG=∠FCG， ∵CG=CF，
∴△CGE≌△FCG（ASA）， ∴GE=GF，
∴四边形DFCE是平行四边形， ∵DE=CE，
∴四边形DFCE是菱形；
（2）解：过D作DH⊥BC于H，则∠DHF=∠DHB=90°， ∵∠ABC=60°， ∴∠BDH=30°， ∴BH=BD=1， 在Rt△DHB中，DH==
，
∵四边形DFCE是菱形， ∴DF∥AC，
∴∠DFB=∠ACB=45°， ∴△DHF是等腰直角三角形， ∴DH=FH=
，
∴BF=BH+FH=1+
．
21．（8分）今年深圳“读书月”期间，某书店将每本成本为30元的一批图书，以40元的单
价出售时，每天的销售量是300本．已知在每本涨价幅度不超过10元的情况下，若每本涨价1元，则每天就会少售出10本，设每本书上涨了元．请解答以下问题： （1）填空：每天可售出书 300﹣10 本（用含的代数式表示）；
（2）若书店想通过售出这批图书每天获得3750元的利润，应涨价多少元？ 【解答】解：（1）∵每本书上涨了元， ∴每天可售出书（300﹣10）本． 故答案为：300﹣10．
（2）设每本书上涨了元（≤10），
根据题意得：（40﹣30+）（300﹣10）=3750， 整理，得：2﹣20+75=0，
解得：1=5，2=15（不合题意，舍去）．
答：若书店想每天获得3750元的利润，每本书应涨价5元．
22．（8分）如图1，在平面直角坐标系中，▱OABC的一个顶点与坐标原点重合，OA边落在轴上，且OA=4，OC=2
，∠COA=45°．反比例函数y=（＞0，＞0）的图象经过点C，与AB交于点
D，连接AC，CD．
（1）试求反比例函数的解析式； （2）求证：CD平分∠ACB；
（3）如图2，连接OD，在反比例的函数图象上是否存在一点P，使得S△POC=S△COD？如果存在，请直接写出点P的坐标．如果不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）如图1，过点C作CE⊥轴于E， ∴∠CEO=90°， ∵∠COA=45°， ∴∠OCE=45°，
∵OC=2，
∴OE=CE=2， ∴C（2，2），
∵点C在反比例函数图象上， ∴=2×2=4，
∴反比例函数解析式为y=，
（2）如图2，过点D作DG⊥轴于G，交BC于F， ∵CB∥轴， ∴GF⊥CB， ∵OA=4，
由（1）知，OC=CE=2， ∴AE=EC=2，
∴∠ECA=45°，∠OCA=90°， ∵OC∥AB，
∴∠BAC=∠OCA=90°， ∴AD⊥AC，
∵A（4，0），AB∥OC，
∴直线AB的解析式为y=﹣4①， ∵反比例函数解析式为y=②， 联立①②解得，∴D（2
+2，2
﹣2），
或
（舍），
∴AG=DG=2∴AD=
﹣2，
，
，
DG=4﹣2
∴DF=2﹣（2∴AD=DF，
﹣2）=4﹣2
∵AD⊥AC，DF⊥CB，
∴点D是∠ACB的角平分线上， 即：CD平分∠ACB；
（3）存在，∵点C（2，2）， ∴直线OC的解析式为y=，OC=2∵D（2∴CD=2
+2，2﹣2
﹣2），
，
Ⅰ、如图3，当点P在点C右侧时，即：点P的横坐标大于2， ∵S△POC=S△COD， ∴设CD的中点为M， ∴M（
+2，
），
过点M作MP∥OC交双曲线于P， ∴直线PM的解析式为y=﹣2③， ∵反比例函数解析式为y=④， 联立③④解得，
或
∴P（
+1，
（舍）， ﹣1）；
Ⅱ、当点P'在点C左侧时，即：点P'的横坐标大于0而小于2， 设点M关于OC的对称点为M'，M'（m，n）， ∴∴m=2﹣∴M'（2﹣
=2，，n=4﹣，4﹣
=2， ， ），
∵P'M'∥OC，
∴直线P'M'的解析式为y=+2⑤， 联立④⑤解得，∴P'（
﹣1，
或
+1）．
﹣1，
+1）或P（
+1，
﹣1）．
（舍），
即：点P的坐标为（
23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=a2+b+c（a＜0）与轴交于A（﹣2，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C，且OC=2OA． （1）试求抛物线的解析式；
（2）直线y=+1（＞0）与y轴交于点D，与抛物线交于点P，与直线BC交于点M，记m=试求m的最大值及此时点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，点Q是轴上的一个动点，点N是坐标平面内的一点，是否存在这样的点Q、N，使得以P、D、Q、N四点组成的四边形是矩形？如果存在，请求出点N的坐标；如果不存在，请说明理由．
，
【解答】解：（1）因为抛物线y=a2+b+c经过A（﹣2，0）、B（4，0）两点， 所以可以假设y=a（+2）（﹣4）， ∵OC=2OA，OA=2，
∴C（0，4），代入抛物线的解析式得到a=﹣， ∴y=﹣（+2）（﹣4）或y=﹣
2
++4或y=﹣（﹣1）2+．
（2）如图1中，作PE⊥轴于E，交BC于F．
∵CD∥PE， ∴△CMD∽△FMP， ∴m=
=
，
∵直线y=+1（＞0）与y轴交于点D，则D（0，1）， ∵BC的解析式为y=﹣+4，
设P（n，﹣n2+n+4），则F（n，﹣n+4）， ∴PF=﹣n2+n+4﹣（﹣n+4）=﹣（n﹣2）2+2，
∴m==﹣（n﹣2）2+，
∵﹣＜0，
∴当n=2时，m有最大值，最大值为，此时P（2，4）．
（3）存在这样的点Q、N，使得以P、D、Q、N四点组成的四边形是矩形． ①当DP是矩形的边时，有两种情形， a、如图2﹣1中，四边形DQNP是矩形时，
有（2）可知P（2，4），代入y=+1中，得到=，
∴直线DP的解析式为y=+1，可得D（0，1），E（﹣，0）， 由△DOE∽△QOD可得∴OD2=OE•OQ， ∴1=•OQ， ∴OQ=， ∴Q（，0）．
根据矩形的性质，将点P向右平移个单位，向下平移1个单位得到点N， ∴N（2+，4﹣1），即N（，3）
b、如图2﹣2中，四边形PDNQ是矩形时，
=
，
∵直线PD的解析式为y=+1，PQ⊥PD， ∴直线PQ的解析式为y=﹣+∴Q（8，0），
根据矩形的性质可知，将点D向右平移6个单位，向下平移4个单位得到点N， ∴N（0+6，1﹣4），即N（6，﹣3）．
②当DP是对角线时，设Q（，0），则QD2=2+1，QP2=（﹣2）2+42，PD2=13， ∵Q是直角顶点， ∴QD2+QP2=PD2，
∴2+1+（﹣2）2+16=13，
整理得2﹣2+4=0，方程无解，此种情形不存在，
综上所述，满足条件的点N坐标为（，3）或（6，﹣3）．
，
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