上海市2017青浦区初三数学一模试卷(含答案)

数学试卷

2017.1

（完成时间：100分钟 满分：150分 ）

考生注意：

1．本试卷含三个大题，共25题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿

纸、本试卷上答题一律无效．

2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主

要步骤．

一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1.在下列各数中，属于无理数的是（B） （A）4； （B）6；

12（C）

2．已知a>b，下列关系式中一定正确的是（D）

22；3（D）327．

（A）a2b2； （B）2a<2b； （C）a2b2； （D）a<b． 3．一次函数ykx1（常数k0）的图像一定不经过的象限是（A） （A）第一象限；

（B）第二象限；

（C）第三象限；

（D）第四象限．

4.抛物线y2x24与y轴的交点坐标是（C）

（A）（0，2）； （B）（0，2）；

（C）（0，4）；

（D）（0，4）．

5．顺次联结矩形（非正方形）四边的中点，所得到的图形一定是（A） （A）菱形；

（B）矩形；

（C）正方形；

（D）等腰梯形．

AOD6．如图1，在梯形ABCD中，AD//BC，对角线AC与BD相交于点O，

如果SACD:SABC1:2，那么SAOD:SBOC是（B） （A）1:3；

（B）1:4；

（C）1:5；

（D）1:6．

BC图1

二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7． 函数 y 

x的定义域是 x1 ． x158． 方程3x12的根是 x．

39． 如果关于x的一元二次方程x22xm0有实数根，那么m的取值范围是 m1．

10.从点数为1、2、3的三张扑克牌中随机摸出两张牌，摸到的两张牌的点数之积为素数的概率是

2 ． 311.将抛物线yx24x向下平移3个单位，所得抛物线的表达式是

yx24x3．

1

12.如果点A（2，y1）和点B（2，y2）是抛物线y(x3)2上的两点，那么

y1< （填“>”、“=”、“<”）y2．

13.如果一个多边形的内角和是外角和的2倍，那么这个多边形的边数是 六 ． 14.点G是△ABC的重心，GD//AB，交边BC于点D，如果BC=6，那么CD 的长是 4 ．1．设BAa，BCb．那么15.已知在△ABC中，点D在边AC上，且AD∶DC2∶BD= 12ab33．（用向量a、b的式子表示）

16.如图2，在△ABC中，∠C=90°，AC=3， BC=2，边AB的垂直平分线交AC边于点D，交AB边于点E，联结DB，那么tan∠DBC的值是

512．

17.如图3，在平行四边形ABCD中，点E在边AD上，联结CE并延长，交对角线BD于点F，交BA

．的延长线于点G，如果DE=2AE，那么CF∶EF∶EG= 6:4: 518．如图4，已知△ABC，将△ABC绕点A顺时针旋转，使点C落在边AB上的点E处，点B落在点D处，联结BD，如果∠DAC=∠DBA，那么

BD的值是 ABGAEFBC图3

51 ． 2DCDCAEBA图4

B图2

三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19．（本题满分10分）

2a2a21计算：． (a1)2a1a2a1解：原式=

2a1a1a1． 12a1a1a12a1． a1a1a1=． a1==1．

20.（本题满分10分）

x4xy4y4，① 解方程组： ② xy10.222

解：由①得x2y2或x2y2． 原方程可化为x2y2，x2y2，xy1.xy1.4x，x10，23解得原方程的解是y11；y1.2321．（本题满分10分，第（1）小题6分，第（2）小题4分）

 的图像与正比例函数ykx(k0)已知：如图5，在平面直角坐标系xOy中，反比例函数 y的图像相交于横坐标为2的点A，平移直线OA， 使它经过点B（3，0），与y轴交于点C．

（1）求平移后直线的表达式；（2）求∠OBC的余切值．

8xyAOx解：（1）∵横坐标为2的点A在y8的图像上，∴A（2，4）．x图5 ∵A（2，4）在ykxk0的图像上，∴y2x．设直线BC的函数解析式为yk1xbk10， ，∴y2x6． 由题意得，k12，∵B（3，0）

（2）∵y2x6与y轴交于点C，∴C（0，6），∴OC=6． ∴cotOBC22．（本题满分10分）

某校兴趣小组想测量一座大楼AB的高度．如图6，大楼前有一段斜坡BC，已知BC的长为12米，它的坡度i=1:3．在离C点40米的D处，用测角仪测得大楼顶端A的仰角为37°，测角仪DE的高为1.5米，求大楼AB的高度约为多少米？（结果精确到0.1米）

（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，31.73．） AOB31． OC62BEDC图6

3

解：延长AB交直线DC于点F，过点E作EH⊥AF，垂足为点H．

由题意，得AF⊥DC，HF = ED=1.5，EH=DF，∠AEH=37°，DC=40． ∵i=1:3，在Rt△BCF中，设BF =k，则CF =3k，BC =2k． ∵BC=12，∴k=6，∴BF=6，CF=63． ∵DF= DC +CF，∴DF=4063． 在Rt△AEH中， ∵tanAEHAH，∴AHtan37406337.8．EH∵BH =BF -FH，∴BH =6 -1.5=4.5． ∵AB =AH -HB，∴AB =37.8 -4.5=33.3． 答：大楼AB的高度约为33.3米．

23．（本题满分12分，每小题各6分）

已知：如图7，在四边形ABCD中，AB//CD，对角线AC、BD交于点E，点F在边AB上，联结CF

A交线段BE于点G，CG2GEGD．

（1）求证：∠ACF=∠ABD；

（2）联结EF，求证：EFCGEGCB．

FEGB图7

DC证明：（1）∵CGGEGD，∴

2CGGD．GECG又∵∠CGD=∠EGC，∴△GCD∽△GEC． ∴∠GDC=∠GCE．

∵AB∥CD，∴∠ABD=∠BDC． ∴∠ACF=∠ABD．

（2）∵∠ABD=∠ACF，∠BGF=∠CGE，∴△BGF∽△CGE． ∴

FGEG．BGCG4

又∵∠FGE=∠BGC，∴△FGE∽△BGC． ∴

FEEG． BCCG∴FECGEGCB．

24．（本题满分12分，第（1）小题3分，第（2）小题5分，第（3）小题4分）

已知：如图8，在平面直角坐标系xOy中，抛物线yax24ax1与x轴的正半轴交于点A和点B，与y轴交于点C，且OB=3OC，点P是第一象限内的点，联结BC，△PBC是以BC为斜边的等腰直角三角形．

（1）求这个抛物线的表达式； （2）求点P的坐标；

（3）点Q在x轴上，若以Q、O、P为顶点的三角形与以点C、A、B为顶点的三角形相似，求点Q

的坐标．

yPCOABx 图8 解：（1）∵抛物线yax4ax1，∴点C的坐标为（0，1）．

∵OB=3OC，∴点B的坐标为（3，0）． ∴9a12a10，∴ a21241． ∴yxx1．

333（2）过点P作PM⊥y轴，PN⊥x轴，垂足分别为点M、N．

∵∠MPC=90°-∠CPN，∠NPB=90°-∠CPN，∴∠MPC=∠NPB．∵PC=PB，∴△PMC≌△PNB，∴PM=PN．

设点P（a，a）．∵PCPB，∴aa1a3a．

222222解得a2． ∴ P（2，2）．

（3）∵该抛物线对称轴为x=2， B（3，0），∴A（1，0）．

∵ P（2，2），A（1，0）， B（3，0），C（0，1），

5

∴ PO=22，AC=22，AB=2．

∵∠CAB =135°，∠POB =45°，∴当△OPQ与△ABC相似时，点Q在点O左侧． （i）当

222ACOP时，∴，∴OQ=4，∴Q（-4，0）．2OQABOQ（ii）当

ACOQ2OQ时，∴，∴OQ=2，∴Q（-2，0）．ABOP222 综上所述，点Q的坐标为（-4，0）或（-2，0）．

25．（本题满分14分，第（1）小题3分，第（2）小题5分，第（3）小题6分）

已知：如图9，在菱形ABCD中，AB=5，联结BD， sin  ABD  ．点P是射线BC上的一个动点(点P不与点B重合)，联结AP，与对角线BD相交于点E，联结EC． （1）求证：AECE；

（2）当点P在线段BC上时，设BP=x，△PEC的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；

（3）当点P在线段BC的延长线上时，若△PEC是直角三角形，求线段BP的长．

55ADADEBP图9

CB备用图

C解：（1）∵四边形ABCD是菱形，

∴BA=BC，∠ABD＝∠CBD． 又∵BE=BE，∴△ABE≌△CBE． ∴AE＝CE．

（2）联结AC，交BD于点O，过点A作AH⊥BC，过点E作EF⊥BC，

垂足分别为点H、F．

∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD．

∵AB=5，sinABD∵

5，∴AO=OC5，BO=OD25． 51ACBDBCAH，∴AH=4，BH=3． 2AEADAEEPADBP∵AD∥BC，∴，∴， EPBPEPBP6

∴

AP5xEPxEPx，∴AP5x． ∵EF∥AH，∴EFPEAHAP， ∴EF4x5x．

114x10x2x2∴y2PCEF25x5x5x0x5．

（3）因为点P在线段BC的延长线上，所以∠EPC不可能为直角．

（i）当∠ECP=90°时，

∵△ABE≌△CBE，∴∠BAE=∠BCE=90°，

∵cosABPABBHBPAB， ∴5BP3255，∴BP=3．

（ii）当∠CEP=90°时，

∵△ABE≌△CBE，∴∠ AEB=∠CEB=45°，∴AOOE5，∴ED5，BE35．∵AD∥BP，∴

ADDEBPBE，∴

5BP535，∴BP=15．综上所述，当△EPC是直角三角形时，线段BP的长为

253或15．7