高三理科数学立体几何复习专题

一、要求：（1）熟练掌握课本中的基本概念、定理。 （2）积累各种常见题型的解题方法：

① 基本概念型题（直接证明、画图形举反例）

② 证明类题：线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直。

③ 计算类题：异面直线所成角、线面角、面面角、点到面的距离、异面 直线间的距离、多面体的体积、球面距离。（各自常用的方法是什么）

（3）会用空间向量的方法去解决上述问题。

二、典型例题讲解

例1. 如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，CC1ACBC，

C1A1B1ACB90，P是AA1的中点，Q是AB的中点.

（1）求证： ABC1CQ

（2）求异面直线PQ与B1C所成角的大小； （3）求直线PQ与面QB1C所成角的正弦； （4）求二面角A1-CQ-B1的平面角的余弦。

例2．如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中， (1)在棱AD上有一点P，当

PCQBA

PA为多少时，使二面角D1-PC-D的大小等于60°？ PD (2)在(1)的条件下，求直线A1B1与平面CD1P所成的角.

例3．如图，将长AA′=33，宽AA1=3的矩形沿长的三等分线处折叠成一个三棱柱，如图所示：

(1) 求平面APQ与底面ABC所成二面角的正切值； (2) 求三棱锥A1—APQ的体积.

例4．如图，矩形ABCD与ADQP所在平面垂直，将矩形ADQP沿PD对折，使得翻折后点Q落在BC上，设AB=1，PA=h，AD=y.

(1)试求y关于h的函数解析式；

(2)当y取最小值时，指出点Q的位置，并求出此时AD与平面PDQ所成的角； (3)在条件(2)下，求三棱锥P—ADQ内切球的半径.

三、巩固练习

1、如图，已知面ABC⊥面BCD，AB⊥BC，BC⊥CD，且AB=BC=CD，设AD与面ABC所成角

为，AB与面ACD所成角为β，则与β的大小关系为

（A）＜β （B）=β （C）＞β （D）无法确定 2、下列各图是正方体或正四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，这四个点中不共面的一．．．

个图是

SPPPSPSSPPSSPQQQQRRSPSRRRRPPPQRRPQQPQPPRPSSQRRQQRQQQQSSSSRRRRSS Q

a，则三棱2 （A） （B） （C） （D）

3、在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，P，Q是对角线A1C上的点，且PQ=

锥P－BDQ的体积为

333333a （B）a （C）a （D）无法确定 3618244、已知球的内接三棱锥的三条侧棱两两垂直，长度分别为3cm，2cm和3cm，则此球的体积为

（A）

（A）

1632123163cm3 （B）cm3 （C）cm3 （D）cm3

33335、如图，在一根长11cm，外圆周长6cm的圆柱形柱体外表面，用一根细铁丝缠绕，组成10个

螺旋，如果铁丝的两端恰好落在圆柱的同一条母线上，则铁丝长度的最小值为

（A） 61cm （B）157cm （C）1021cm （D）1037cm

6、设a、b是两条不同的直线，、是两个不同的平面，则下列四个命题：

① 若ab，a，b，则b//；②若a//, ，则a ； ③若a，，则a//或a；④若ab，a，b，则 其中正确命题的个数为 ( )

A．0 B．1 C．2 D．3

7、正三棱锥S—ABC的侧棱长和底面边长相等，如果E、F分别为SC，AB的中点，那么异

面直线EF与SA所成角为 （ ） A．900 B．600 C．450 D．300 8．右图是正方体的平面展开图，在这个正方体中： ①BM与DE平行； ②CN与BE是异面直线； ③CN与BM成60°角 ④DM与BN垂直

以上四个命题中，正确的是 （ ）

A．①②③ B．②④ C．②③④ D．③④

9．将棱长为1的正方体木块切削成一个体积最大的球，则该球的体积为（ ）

A．

3 2B．

2 3C．

 6D．

4 310．正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是BC的中点，则A1C与DE所成的角的余弦为（ ）

A．

15 15B．

10 15C．

30 6D．

10 10

11．有3个命题

（1）底面是正三角形，其余各个面都是等腰三角形的棱锥是三棱锥； （2）各个侧面都是等腰三角形的四棱锥是正四棱锥；

（3）底面是正三角形，相邻两侧面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥。 其中假命题的个数是 A．0

B．1

C．2

（ ） D．3

12、一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45，腰和上底边均为1的等腰梯形，则这个平面图形的面积是 （ ）

A.

122 B. 22 C. 12 D. 1 22213、在空间四边形ABCD各边上分别取E、F、G、H四点，如果EF和GH能相交于点P，那么 （A）点P必在直线AC上 （B）点P必在直线BD上 （C）点P必在平面ABC内 （D）点P必在平面上ABC外

14、设长方体的三条棱长分别为a，b，c，若长方体所有棱的长度之和为24，一条对角线长度为

5，体积为2，则 （A）

111 abc114112 （B） （C） （D） 41121115、若三棱锥A-BCD的侧面ABC内一动点P到底面BCD的距离与到棱AB的距离相等，则动

点P的轨迹与ABC组成图形可能是：（ ）

A A

P P

B C

B （A） （B）

A A P P C B B C C

（C） （D）

16、已知异面直线a、b成 0角，过空间一点p，与a、b也都成0角的直线，可以作（ ）

A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 17.若a，b，l是两两异面的直线，a与b所成的角是则的取值范围是 A．[

，l与a、l与b所成的角都是， 3

56,6] B．[

,] 32C．[

53,6] D．[

,] 6218、对于平面M与平面N, 有下列条件: ①M、N都垂直于平面Q; ②M、N都平行于平面Q; ③ M内不共线的三点到N的距离相等; ④ l, M内的两条直线, 且l // M, m // N; ⑤ l, m是异面直线,且l // M, m // M; l // N, m // N, 则可判定平面M与平面N平行的条件的个数

A．1

B．2

C．3

D．4

19.如图，直三棱柱ABC－A1B1C1的体积为V，点P、Q分别在侧棱AA1和CC1上，AP=C1Q，则四棱锥B－APQC

的体积为 （A）

VVVV （B） （C） （D） 2345BA1PB1QACBC1CAEFB1A1C1DABC

20.棱长为a的正方体中，连结相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为

a3a3a3a3 （A） （B） （C） （D）

3461221.如图，在斜三棱柱A1B1C1－ABC中，∠BAC=900，BC1⊥AC，则C1在底面ABC上的射影H必在 （A）直线AB上 （B）直线BC上 （C）直线AC上 （D）△ABC内部 22.如图所示，在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为3的正方形，EF∥AB，EF=为2，则该多面体的体积为 （A）

3，EF与面AC的距离2915 （B）5 （C）6 （D） 2223.(天津卷6)如图，在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，

D1B1C1A1DECO是底面ABCD的中心，E、F分别是CC1、AD的 中点。那么异面直线OE和FD1所成的角的余弦值等于

(A)

41015 (B) (C)

555 (D)

23

24.(天津卷10)如图，在长方体ABCD两个平行截面将长方体分成三部分， 其体积分别记为V1若V1A1B1C1D1中，AB6,AD4,AA13，分别过BC、A1D1的

D1F1E1FEB1C1VAEA1DFD1，V3VB1E1BC1F1C。

A1D:V2:V31:4:1，则截面A1EFD1的面积为 10 (B)83 (C)413 (D)16

C (A)4AB

25.北纬45圈上有甲、乙两地，它们分别在东经50与东经140，则甲、乙两地的球面距离是（地球半径为R） A．R

12

B．R

13

C．R

14 D．12R 226.（福建卷16）如图1，将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形，再沿

虚线折起，做成一个无盖的正六棱柱容器。当这个正六棱柱容器的底面边长为 时，其容积最大。

27、已知∠ACB=90º，S为平面ABC外一点，且∠SCA=∠SCB=60º，则直线SC和平面ABC

所成的角为 .

28、点A是二面角-l-内一点，AB⊥于B，AC⊥于C，设AB=3，AC=2，∠BAC=60，则点A到棱l的距离是 . 29.由图(1)有关系

VSPA'B'PA'PB'，则由图(2)有关系PA'B'C' 。 SPABPAPBVPABC B B B' B' C C' DEPP A' (1) A P (2) A' A ABC

30.如图，在四棱锥P－ABCD中，E为CD上的动点，四边形ABCD为 时，体积

VP－AEB恒为定值（写上你认为正确的一个答案即可）．

31.在棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1， E、F分别为BC与A1D1的中点， （1） 求直线A1C与DE所成的角；

（2） 求直线AD与平面B1EDF所成的角；

(3)求面B1EDF 与 面ABCD所成的角。

在三棱锥S—ABC中，△ABC是边长为4的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA=SC=2别为AB、SB的中点.

（Ⅰ）证明：AC⊥SB；

（Ⅱ）求二面角N—CM—B的大小； （Ⅲ）求点B到平面CMN的距离.

3，M、N分

32.如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F。 （1）证明PA//平面EDB； （2）证明PB⊥平面EFD； （3）求二面角C—PB—D的大小。 PEFDC

AB 33．如图，已知直三棱柱ABC－A1B1C1，侧棱长为2，底面△ABC中，∠B=90°，AB=1，BC=3，D是侧棱CC1上一点，且BD与底面所成角为30°. （1）求点D到AB所在直线的距离. （2）求二面角A1－BD－B1的度数.