七年级数学竞赛培优(含解析)专题19 最值问题

阅读与思考

在实际生活与生产中，人们总想节省时间或费用，而取得最好的效果或最高效益，反映在数学问题上，就是求某个量的和、差、积、商的最大值和最小值，这类问题被称之为最值问题，在现阶段，解这类问题的相关知识与基本方法有：

1、 通过枚举选取. 2、 利用完全平方式性质. 3、 运用不等式（组）逼近求解. 4、 借用几何中的不等量性质、定理等.

解答这类问题应当包括两个方面，一方面要说明不可能比某个值更大（或更小），另一方面要举例说明可以达到这个值，前者需要详细说明，后者需要构造一个合适的例子.

例题与求解

【例1】 若c为正整数，且abc，bcd，dab，则（ab）（bc）（cd）（da）的最小值是 .

（北京市竞赛试题）

解题思路：条件中关于C的信息量最多，应突出C的作用，把a，b，d及待求式用c的代数式表示.

【例2】 已知实数a，b满足ab1，则aabb的最小值是（ ） A.  B.0 C.1 D.

2244189 8 ( 全国初中数学竞赛试题)

1

解题思路：对aabb进行变形，利用完全平方公式的性质进行解题.

【例3】 如果正整数x1,x2,x3,x4,x5满足x1x2x3x4x5=x1x2x3x4x5，求x5的最大值. 解题思路：不妨设

44x1x2x3x4x5，由题中条件可

知

11111=1.结合题意进行分析.

x2x3x4x5x1x3x4x5x1x2x4x5x1x2x3x5x1x2x3x4

【例4】 已知x,y,z都为非负数，满足xyz1，x2y3z4，记w3x2yz，求w的最大值与最小值.

（四川省竞赛试题）

解题思路：解题的关键是用含一个字母的代数式表示w.

【例5】 某工程车从仓库上水泥电线杆运送到离仓库恰为1000米的公路边栽立，要求沿公路的一边向前每隔100米栽立电线杆一根，已知工程车每次之多只能运送电线杆4根，要求完成

2

运送18根的任务，并返回仓库，若工程车每行驶1千米耗油m升（在这里耗油量的多少只考虑与行驶的路程有关，其他因素不计）.每升汽油n元，求完成此项任务最低的耗油费用. （湖北省竞赛试题）

解题思路：要使耗油费用最低，应当使运送次数尽可能少，最少需运送5次，而5次又有不同运送方法，求出每种运送方法的行驶路程，比较得出最低的耗油费用.

【例6】 直角三角形的两条直角边长分别为5和12，斜边长为13，P是三角形内或边界上的一点，P到三边的距离分别为d1，d2，d3，求d1+d2+d3的最大值和最小值，并求当d1+d2+d3取最大值和最小值时，P点的位置.

（“创新杯”邀请赛试题）

解题思路：连接P点与三角形各顶点，利用三角形的面积公式来解.

3

能力训练

A 级

2221.社a，b，c满足abc9，那么代数式(ab)(bc)(ca)的最大值是 . 222 （全国初中数学联赛试题）

2.在满足x2y3,x0,y0的条件下，2xy能达到的最大值是 .

（“希望杯”邀请赛试

题）

3.已知锐角三角形ABC的三个内角A，B，C满足A＞B＞C.用表示A-B，B-C，以及90-A中的最小值，则的最大值是 .

（全国初中数学联赛

试题）

4.已知有理数a，b，c满足a＞b＞c，且a+b+c=0，.那么

c的取值范围是 . a （数学夏令营竞赛试题）

5.在式子x1x2x3x4中，代入不同的x值，得到对应的值，在这些对应的值中，最小的值是（ ）.

A.1 B.2 C.3 D.4

6.若a，b，c，d是整数，b是正整数，且满足bcd，dca，bac，那么abcd的最大值是（ ）.

A.-1 B.-5 C.0 D.1

4

(全国初中数学联赛试题)

7.已知xya,zy10,则代数式xyzxyyzxz的最小值是（ ）. A.75 B.80 C.100 D.105

(江苏省竞赛试题)

8.已知x，y，z均为非负数，且满足xyz=30， 3xyz50，又设M5x4y2Z，则M的最小值与最大值分别为（ ）.

A.110，120 B.120，130 C.130，140 D.140，150

9.已知非负实数x，y，z满足值

（“希望杯”邀请赛试题）

10.某童装厂现有甲种布料38米，乙钟布料26米，现计划用这两种布料生产L，M两种型号的童装共50套，已知做一套L型号的童装需用甲种布料0.5米，乙种布料1米，可获利45元；做一套M型号的童装需用甲种布料0.9米，乙种布料0.2米，可获利30元，试问该厂生产的这批童装，当L型号的童装为多少套是，能使该厂获得利润最大？最大利润为多少？

（江西省无锡市中考试题）

222x12yz3，记w3x4y5z.求w的最大值和最小234 5

专题19 最值问题

例1 24 提示：ac,b2c,d3c，原式24c3．

44例2 B 提示：aabbab222ab229ab12a2b2ab2ab．

4831121219因为2abab1，所以ab，从而ab，故0ab

2244441622111999因此02ab，即0a4abb4．

8488

例3 设x1x2x3x4x5，则

121x2x3x4x51x1x3x4x51x1x2x4x51x1x2x3x51x1x2x3x41x4x51x4x51x4x51x51x4=3x4x5x4x5于是得

到x4x5x4x53．即x41x514．

若x41，则x1x2x3x41，与题设等式为4x5x5矛盾；若x41，则x514，即x55，当x55时，容易找到满足条件的数组(1，1，1，2，5)，所以x5的最大值是5． 例4 由xyz1x2y3z4，得x5z2y34z，由x5z20y34z025得

25z34，则

3x2yz35z2234zz8z，当z大值6．

时，有最小值

165；当z34时，有最

例5 提示：显然运送次数越少，所行驶的路程越短，所需邮费越少，因此，18根电线杆运送5次行驶路程较短，这5次有两种运送方法：（1）四次个4根，一次2根；（2）三次各4根，二次各3根．

（1）考虑先送2根，后送4根；先送4根，后送2根． ①先送2根，再送4根，二次共走行驶：

10001002110040025200米；

②先送4根，再送2根，二次共行驶：

6

10003002130020025600米；

（2）两次各送3根时，所行路程为

10002002120030025400米.

故先送2根所行驶路程最短，最短总行程为：

100010021100400215004002

19004002230040019000米故所用最少油费为19000mn100019mn元

例6 如图所示，在△ABC中，∠C=90°，BC=5，AB=13.点P 到BC，CA，AB的距离分别为d1,d2,d3，连接PA，PB，

PC，由三角形的面积公式知：

11115d112d213d3512. 2222即 5d112d213d360.

显然有5d1d2d35d112d213d313d1d2d3. 故

60d1d2d312. 13d3取最大值时， 当d2d30时，有d1d2d312，即d1d2P与A重合；当d1d20时，有d1d2d3

A级

7

60，即d1d2d3取最小值时，P与C重合. 131.27 原式=3abc2.6

222abc227

32390A2ABBC3.15° 提示： 66270ABC69015 64. 2c1c 提示：bac,acb，∴2ac,2，又把bac代入a2ac1c1.故2. a2a2bc中，得acc，∴

5.D 6.B 7.A 8.B 9.设

x12yz3k，则x2k1,y3k2,z4k3. 2342k1012∴x,y,z均为非负实数. ∴3k20，解得：k.

234k+30故3x4y5z32k143k254k314k26. ∴121142614k261426，即1935， 2331. 3所以的最小值是19，最大值是35

10.20套. 1800元.提示：设生产L型号的童装套数为x，则生产M型号的童装为50x套，所得利润S45x3050x15x1500.

0.5x0.950x38由 x0.250x26得17.5x20，x18,19,20.

11.最小表面积的打包方式为2×3.最小表面积为17952mm，图略.

8

2 B级 1.27 当b2,a25时，ab的值最大. 2.102 提示：mn19n98,19n980. 3.1157 提示：a5b8b64b,c,d. 85254.B，D，E 93.62百元

5.13800元 提示：设由甲库调运x吨粮食到B市，总运费为y元，则

y5x6600x6800x9600x2x138000x6006.C 提示：

abcd

abcdabcdabcdabcdMabcd. ababcdcd故1M2.

7.B 提示：设SAODx，则SBOC8.（1）a1a2 m2363636132x25. .故S四边形ABCD13xxxxa200222m20122m.

a2002a12a22a1a2a2002201222.

当a1a2a20021或1时，m取最大值2003001.当a1,a2,,a2002中恰有1001个1，

1001个1时，m取最小值1001.

（2）因为大于2002的最小完全平方数为452025，且a1a22a2002必为偶数，所以

a1a2a200246或46；即a1,a2,,a2002中恰有1024个1，978个1或1024个1，

978个1时，m取得最小值

1462200257. 2,a20062a200524a20054，以上各式相加，得

a20052005.由已知

9

9.由条件得：a120,a22a124a14,4a1a2

a200542005a200620，故a1a2a1,a2,,a2005都是偶数，因此a1a2a20052004.另一方面，当

a1a3a20050，a2a4a20042时，符合条件，且使上式等号成立，故所求的

最小值是2004.

10.仓库地址应选在C处，假定仓库另选一地O，设ABc,BCa,CAb,AOx,

BOy，COz（单位：千米），又假定A厂产量为2m，B厂产量为3m，C厂产量为5m，（单位：

吨）.仓库在O处的总运费可表示为2mx3my5mz；仓库在C处的

总运费可表示为2mb＋3ma．

由于x＋z≥b，y＋z≥a，因此2mx＋2mz≥2mb，3my＋3mz≥3ma，两式相加得2mx＋3my＋5mz≥2mb＋3ma，当且仅当O与C重合时等号成立，所以公用仓库选在C处总运费最省．

11．设巡逻车行到途中B处用了x天，从B到最远处用y天，则有2[3(x＋y)＋2x]＝14×5，即5x＋3y＝35．又由题意知，x＞0，y＞0，且14×5－(5＋2)x≤14×3，即x≥4，从而问题的本质

5x3y35,即是在约束条件x4， 下，求y的最大值，显然y＝5，这样200×(4＋5)＝1800千米，即

y0为其他三辆车可行进的最远距离．

10