呼兰区高中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

呼兰区高中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学 班级__________ 姓名__________ 分数__________

一、选择题

1． 函数f(x)x24x5在区间0,m上的最大值为5，最小值为1，则m的取值范围是（ ） A．[2,) B．2,4 C．(,2] D．0,2 2． 如图，四面体OABC的三条棱OA，OB，OC两两垂直，OA=OB=2，OC=3，D为四面体OABC外一点．给出下列命题．

①不存在点D，使四面体ABCD有三个面是直角三角形 ②不存在点D，使四面体ABCD是正三棱锥 ③存在点D，使CD与AB垂直并且相等

④存在无数个点D，使点O在四面体ABCD的外接球面上 其中真命题的序号是（ ）

A．①② B．②③ C．③ 等于（ ）

D．③④

3． 在等比数列{an}中，a1an82，a3an281，且数列{an}的前n项和Sn121，则此数列的项数nA．4 B．5 C．6 D．7

【命题意图】本题考查等比数列的性质及其通项公式，对逻辑推理能力、运算能力及分类讨论思想的理解有一定要求，难度中等. 4． 已知集合

表示的平面区域为Ω，若在区域Ω内任取一点P（x，y），则点P

22

的坐标满足不等式x+y≤2的概率为（ ）

A．

B． C． D．

5． 已知g(x)(ax取值范围是（ ）

bb2a)ex(a0)，若存在x0(1,)，使得g(x0)g'(x0)0，则的 xaA．(1,) B．(1,0) C. (2,) D．(2,0) 6． 使得（3x2+

n+

）（n∈N）的展开式中含有常数项的最小的n=（ ）

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精选高中模拟试卷

A．3

B．5 C．6 D．10

所对应的点在（ ）

7． 已知i为虚数单位，则复数

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

8． 已知集合Axyln(12x)，Bxx2x，全集UAB，则CUAB（ ）

（A） ,0 （ B ） ,1 （C） ,0,1 （D） 9． 下列图象中，不能作为函数y=f（x）的图象的是（ ）

12121,0 2A． B．C．

D．

10．执行如图所示的程序框图，如果输入的t＝10，则输出的i＝（ ）

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A．4 C．6

11．已知向量=（2，1），

B．5 D．7 =10，|+|=

，则||=（ ）

A． B． C．5 D．25

12．已知x,y,z均为正实数，且2xlog2x，2ylog2y，2zlog2z，则（ ）

A．xyz B．zxy C．zyz D．yxz

二、填空题

13．分别在区间[0,1]、[1,e]上任意选取一个实数a、b，则随机事件“alnb”的概率为_________. 14．如图是函数y=f（x）的导函数y=f′（x）的图象，对此图象，有如下结论： ①在区间（﹣2，1）内f（x）是增函数； ②在区间（1，3）内f（x）是减函数； ③在x=2时，f（x）取得极大值； ④在x=3时，f（x）取得极小值． 其中正确的是 ．

15．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线A1B与AC所成的角是 °．

16．设f（x）是定义在R上且周期为2的函数，在区间[﹣1，1]上，f（x）=其中a，

b∈R．若=，则a+3b的值为 ．

17．如图是甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩（单位：环）的茎叶图，则成绩较为稳定（方差较小）的运动员是 ．

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18．函数f（x）=ax+4的图象恒过定点P，则P点坐标是 ．

三、解答题

19．已知抛物线C：x2=2y的焦点为F．

（Ⅰ）设抛物线上任一点P（m，n）．求证：以P为切点与抛物线相切的方程是mx=y+n；

（Ⅱ）若过动点M（x0，0）（x0≠0）的直线l与抛物线C相切，试判断直线MF与直线l的位置关系，并予以证明．

20．若{an}的前n项和为Sn，点（n，Sn）均在函数y=（1）求数列{an}的通项公式； （2）设

21．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=1，AA1=2，E为BB1中点． （Ⅰ）证明：AC⊥D1E；

（Ⅱ）求DE与平面AD1E所成角的正弦值；

（Ⅲ）在棱AD上是否存在一点P，使得BP∥平面AD1E？若存在，求DP的长；若不存在，说明理由．

，Tn是数列{bn}的前n项和，求：使得

对所有n∈N都成立的最大正整数m．

*

的图象上．

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22．在极坐标系下，已知圆O：ρ=cosθ+sinθ和直线l：（1）求圆O和直线l的直角坐标方程；

（2）当θ∈（0，π）时，求直线l与圆O公共点的极坐标．

23．如图，A地到火车站共有两条路径

．

和，据统计，通过两条路径所用的时间互不影响，所

用时间落在个时间段内的频率如下表：

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现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站。

（1）为了尽最大可能在各自允许的时间内赶到火车站，甲和乙应如何选择各自的路径？ （2）用X表示甲、乙两人中在允许的时间内能赶到火车站的人数，针对（1）的选择方案，求X的分布列和数学期望 。

24．设命题p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＞0；命题q：实数x满足x2﹣5x+6≤0 （1）若a=1，且q∧p为真，求实数x的取值范围； （2）若p是q必要不充分条件，求实数a的取值范围．

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呼兰区高中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）

一、选择题

1． 【答案】B 【解析】

试题分析：画出函数图象如下图所示，要取得最小值为，由图可知m需从开始，要取得最大值为，由图可知m的右端点为，故m的取值范围是2,4.

考点：二次函数图象与性质． 2． 【答案】D

【解析】

【分析】对于①可构造四棱锥CABD与四面体OABC一样进行判定；对于②，使AB=AD=BD，此时存在点D，使四面体ABCD是正三棱锥；对于③取CD=AB，AD=BD，此时CD垂直面ABD，即存在点D，使CD与AB垂直并且相等，对于④先找到四面体OABC的内接球的球心P，使半径为r，只需PD=r，可判定④的真假．

【解答】解：∵四面体OABC的三条棱OA，OB，OC两两垂直，OA=OB=2，OC=3， ∴AC=BC=，AB=

当四棱锥CABD与四面体OABC一样时，即取CD=3，AD=BD=2 此时点D，使四面体ABCD有三个面是直角三角形，故①不正确

使AB=AD=BD，此时存在点D，使四面体ABCD是正三棱锥，故②不正确；

取CD=AB，AD=BD，此时CD垂直面ABD，即存在点D，使CD与AB垂直并且相等，故③正确； 先找到四面体OABC的内接球的球心P，使半径为r，只需PD=r即可 ∴存在无数个点D，使点O在四面体ABCD的外接球面上，故④正确 故选D 3． 【答案】B

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4． 【答案】D

【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图， 则对应的区域为△AOB， 由

，解得

，即B（4，﹣4），

由，解得，即A（，），

直线2x+y﹣4=0与x轴的交点坐标为（2，0）， 则△OAB的面积S=

=

，

，

22

点P的坐标满足不等式x+y≤2区域面积S=

22

则由几何概型的概率公式得点P的坐标满足不等式x+y≤2的概率为

=，

故选：D

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【点评】本题考查的知识点是几何概型，二元一次不等式（组）与平面区域，求出满足条件A的基本事件对 应的“几何度量”N（A），再求出总的基本事件对应的“几何度量”N，最后根据几何概型的概率公式进行求解．

5． 【答案】A 【解析】

考

点：1、函数零点问题；2、利用导数研究函数的单调性及求函数的最小值.

【方法点晴】本题主要考查函数零点问题、利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的最值，属于难题．利用导数研究函数fx的单调性进一步求函数最值的步骤：①确定函数fx的定义域；②对fx求导；③

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令fx0，解不等式得的范围就是递增区间；令fx0，解不等式得的范围就是递减区间；④根据单调性求函数fx的极值及最值（若只有一个极值点则极值即是最值,闭区间上还要注意比较端点处函数值的大小）.

6． 【答案】B

2

【解析】解：（3x+﹣5r，

）（n∈N）的展开式的通项公式为Tr+1=

n

+•（3x2）n﹣r•2r•x﹣3r=•x2n

令2n﹣5r=0，则有n=故选：B．

，

故展开式中含有常数项的最小的n为5，

【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．

7． 【答案】A 【解析】解：故选：A．

8． 【答案】C

【解析】

=

=1+i，其对应的点为（1，1），

11A,,B0,1,AB0,,U,1,故选C．

229． 【答案】B

【解析】解：根据函数的定义可知，对应定义域内的任意变量x只能有唯一的y与x对应，选项B中，当x＞0时，有两个不同的y和x对应，所以不满足y值的唯一性． 所以B不能作为函数图象． 故选B．

【点评】本题主要考查函数图象的识别，利用函数的定义是解决本题的关键，注意函数的三个条件：非空数集，定义域内x的任意性，x对应y值的唯一性．

10．【答案】

【解析】解析：选B.程序运行次序为 第一次t＝5，i＝2；

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第二次t＝16，i＝3； 第三次t＝8，i＝4；

第四次t＝4，i＝5，故输出的i＝5. 11．【答案】C

【解析】解：∵|+|=

2

∴（+）=

2

，||==50，

+

2

+2

得||=5 故选C．

【点评】本题考查平面向量数量积运算和性质，根据所给的向量表示出要求模的向量，用求模长的公式写出关于变量的方程，解方程即可，解题过程中注意对于变量的应用．

12．【答案】A 【解析】

考

点：对数函数，指数函数性质．

二、填空题

13．【答案】

e1 eaa【解析】解析： 由alnb得be，如图所有实数对(a,b)表示的区域的面积为e，满足条件“be”的实数对(a,b)表示的区域为图中阴影部分，其面积为

edae|a01a10e1，∴随机事件“alnb”的概率为

e1． e14．【答案】 ③ ．

【解析】解：由 y=f'（x）的图象可知，

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x∈（﹣3，﹣），f'（x）＜0，函数为减函数；

所以，①在区间（﹣2，1）内f（x）是增函数；不正确； ②在区间（1，3）内f（x）是减函数；不正确； x=2时，y=f'（x）=0，且在x=2的两侧导数值先正后负， ③在x=2时，f（x）取得极大值； 而，x=3附近，导函数值为正，

所以，④在x=3时，f（x）取得极小值．不正确． 故答案为③．

【点评】本题考察了函数的单调性，导数的应用，是一道基础题．

15．【答案】 60° °．

【解析】解：连结BC1、A1C1，

∵在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，A1A平行且等于C1C， ∴四边形AA1C1C为平行四边形，可得A1C1∥AC，

因此∠BA1C1（或其补角）是异面直线A1B与AC所成的角， 设正方体的棱长为a，则△A1B1C中A1B=BC1=C1A1=∴△A1B1C是等边三角形，可得∠BA1C1=60°， 即异面直线A1B与AC所成的角等于60°． 故答案为：60°．

a，

【点评】本题在正方体中求异面直线所成角和直线与平面所成角的大小，着重考查了正方体的性质、空间角的定义及其求法等知识，属于中档题．

16．【答案】 ﹣10 ．

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【解析】解：∵f（x）是定义在R上且周期为2的函数，f（x）=，

∴f（）=f（﹣）=1﹣a，f（）=∴1﹣a=

①

；又=，

又f（﹣1）=f（1）， ∴2a+b=0，②

由①②解得a=2，b=﹣4； ∴a+3b=﹣10． 故答案为：﹣10．

17．【答案】 甲 ．

【解析】解：【解法一】甲的平均数是方差是

=（87+89+90+91+93）=90，

= [（87﹣90）2+（89﹣90）2+（90﹣90）2+（91﹣90）2+（93﹣90）2]=4；

=（78+88+89+96+99）=90，

乙的平均数是方差是∵

＜

= [（78﹣90）2+（88﹣90）2+（89﹣90）2+（96﹣90）2+（99﹣90）2]=53.2； ，∴成绩较为稳定的是甲．

【解法二】根据茎叶图中的数据知，

甲的5个数据分布在87～93之间，分布相对集中些，方差小些； 乙的5个数据分布在78～99之间，分布相对分散些，方差大些； 所以甲的成绩相对稳定些． 故答案为：甲．

【点评】本题考查了平均数与方差的计算与应用问题，是基础题目．

18．【答案】 （0，5） ．

【解析】解：∵y=ax的图象恒过定点（0，1），

而f（x）=ax+4的图象是把y=ax的图象向上平移4个单位得到的， ∴函数f（x）=ax+4的图象恒过定点P（0，5）， 故答案为：（0，5）．

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【点评】本题考查指数函数的性质，考查了函数图象的平移变换，是基础题．

三、解答题

19．【答案】

22

【解析】证明：（Ⅰ）由抛物线C：x=2y得，y=x，则y′=x，

∴在点P（m，n）切线的斜率k=m，

2

∴切线方程是y﹣n=m（x﹣m），即y﹣n=mx﹣m，

又点P（m，n）是抛物线上一点，

2

∴m=2n，

∴切线方程是mx﹣2n=y﹣n，即mx=y+n … （Ⅱ）直线MF与直线l位置关系是垂直．

由（Ⅰ）得，设切点为P（m，n），则切线l方程为mx=y+n， ∴切线l的斜率k=m，点M（，0）， 又点F（0，）， 此时，kMF=

=== …

∴k•kMF=m×（）=﹣1，

∴直线MF⊥直线l …

【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，导数的几何意义，直线垂直的条件等，属于中档题．

20．【答案】

2

【解析】解：（1）由题意知：Sn=n﹣n，

当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=3n﹣2， 当n=1时，a1=1，适合上式， 则an=3n﹣2； bn=（2）根据题意得：﹣

=1﹣

，

=

=

﹣

Tn=b1+b2+…+bn=1﹣+﹣+…+，

*

∴{Tn}在n∈N上是增函数，∴（Tn）min=T1=，

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要使Tn＞对所有n∈N都成立，只需

*

＜，即m＜15，

则最大的正整数m为14．

21．【答案】

【解析】（Ⅰ）证明：连接BD

∵ABCD﹣A1B1C1D1是长方体，∴D1D⊥平面ABCD， 又AC⊂平面ABCD，∴D1D⊥AC…1分 在长方形ABCD中，AB=BC，∴BD⊥AC…2分 又BD∩D1D=D，∴AC⊥平面BB1D1D，…3分 而D1E⊂平面BB1D1D，∴AC⊥D1E…4分

（Ⅱ）解：如图建立空间直角坐标系Dxyz，则A（1，0，0），D1（0，0，2），E（1，1，1），B（1，1，0），∴

设平面AD1E的法向量为令z=1，则∴

∴DE与平面AD1E所成角的正弦值为

…9分 ，则

…7分

…8分

，即

…5分

（Ⅲ）解：假设在棱AD上存在一点P，使得BP∥平面AD1E． 设P的坐标为（t，0，0）（0≤t≤1），则∵BP∥平面AD1E ∴

，即

，

，…12分

∴2（t﹣1）+1=0，解得

∴在棱AD上存在一点P，使得BP∥平面AD1E，此时DP的长．…13分．

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22．【答案】

2

【解析】解：（1）圆O：ρ=cosθ+sinθ，即ρ=ρcosθ+ρsinθ， 2222

故圆O 的直角坐标方程为：x+y=x+y，即x+y﹣x﹣y=0．

直线l：

为：y﹣x=1，即x﹣y+1=0． （2）由（0，1），

故直线l 与圆O 公共点的一个极坐标为

，即ρsinθ﹣ρcosθ=1，则直线的直角坐标方程

，可得 ，直线l与圆O公共点的直角坐标为

．

【点评】本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，直线和圆的位置关系，属于基础题．

23．【答案】

【解析】（1）Ai表示事件“甲选择路径Li时，40分钟内赶到火车站”，Bi表示事件“乙选择路径Li时，50分钟内赶到火车站”，i=1,2，用频率估计相应的概率可得

P（A1）=0。1+0。2+0。3=0。6，P（A2）=0。1+0。4=0。5，

P（A1） ＞P（A2）, P（B2） ＞P（B1）,

甲应选择Li 乙应选择L2。

P（B1）=0。1+0。2+0。3+0。2=0。8，P（B2）=0。1+0。4+0。4=0。9，

（2）A,B分别表示针对（Ⅰ）的选择方案，甲、乙在各自允许的时间内赶到火车站，由（Ⅰ）知

,又由题意知，A,B独立，

24．【答案】

22

【解析】解：（1）p：实数x满足x﹣4ax+3a＜0，其中a＞0 ⇔（x﹣3a）（x﹣a）＜0，∵a＞0为，所以a＜x＜3a； 当a=1时，p：1＜x＜3； 故x的取值范围是[2，3）

2

命题q：实数x满足x﹣5x+6≤0⇔2≤x≤3；若p∧q为真，则p真且q真，∴2≤x＜3；

（2）p是q的必要不充分条件，即由p得不到q，而由q能得到p；

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∴（a，3a）⊃[2，3]⇔，1＜a＜2

∴实数a的取值范围是（1，2）． 件的概念．属于基础题．

【点评】考查解一元二次不等式，p∧q的真假和p，q真假的关系，以及充分条件、必要条件、必要不充分条

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