抛物线及其性质知识点大全

抛物线及其性质知识点大全

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抛物线及其性质

1．抛物线定义：平面内到一定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹称为抛物线． 2．抛物线四种标准方程的几何性质：

图形 参数p表示焦点到准线的距离，p越大，开口越阔. 右 左 上 下 x22py(p0) 参数p几何意义 开口方向 标 准方 程 焦 点位 置 焦 点坐 标 准 线方 程 范 围 y22px(p0) y22px(p0) x22py(p0) X正 X负 Y正 Y负 p(,0) 2px 2x0,yR X轴 p,0) 2px 2x0,yR (X轴 p(0,) 2py 2y0,xR Y轴 （0,0） p(0,) 2py 2y0,xR Y轴 对 称轴 顶 点坐 标 离心率 通 径 焦半径A(x1,y1) e1 2p 焦点弦长AB p 2(x1x2)p AFx1p 2(x1x2)p AFx1p 2(y1y2)p AFy1p 2(y1y2)p AFy1焦点弦长AB的补充以AB为直径的圆必与准线l相切 若AB的倾斜角为，AB2p 2sinA(x1,y1) B(x2,y2) 若AB的倾斜角为，则AB2p 2cosp2x1x2 y1y2p2 411AFBFAB2 AFBFAF•BFAF•BFp3．抛物线y22px(p0)的几何性质：

(1)范围：因为p>0，由方程可知x≥0，所以抛物线在y轴的右侧， 当x的值增大时，|y|也增大，说明抛物线向右上方和右下方无限延伸．

(2)对称性：对称轴要看一次项，符号决定开口方向．

(3)顶点（0，0），离心率：e1，焦点F(pp,0)，准线x，焦准距p． 22(4) 焦点弦：抛物线y22px(p0)的焦点弦AB，A(x1,y1),B(x2,y2),则

|AB|x1x2p．

弦长|AB|=x1+x2+p,当x1=x2时，通径最短为2p。

p4．焦点弦的相关性质：焦点弦AB，A(x1,y1),B(x2,y2)，焦点F(,0)

2(1) 若AB是抛物线y22px(p0)的焦点弦（过焦点的弦），且A(x1,y1)，B(x2,y2)，则：

p2x1x2，y1y2p2。

4(2) 若AB是抛物线y22px(p0)的焦点弦，且直线AB的倾斜角为α，则≠0）。

AB2Psin2（α

11AFBFAB2 AFBFAF•BFAF•BFp(4) 焦点弦中通径最短长为2p。通径：过焦点垂直于焦点所在的轴的焦点弦叫做通径．

(3) 已知直线AB是过抛物线y22px(p0)焦点F ,

(5) 两个相切：○1以抛物线焦点弦为直径的圆与准线相切.○2过抛物线焦点弦的两端点向准线作垂线，以两垂足为直径端点的圆与焦点弦相切。 5．弦长公式：A(x1,y1),B(x2,y2)是抛物线上两点，则

AB(x1x2)2(y1y2)21k2|x1x2|1

6.直线与抛物线的位置关系 直线

，抛物线

，

1|y1y2| 2k ，消y得：

（1）当k=0时，直线l与抛物线的对称轴平行，有一个交点； （2）当k≠0时，

Δ＞0，直线l与抛物线相交，两个不同交点； Δ=0， 直线l与抛物线相切，一个切点； Δ＜0，直线l与抛物线相离，无公共点。

（3）若直线与抛物线只有一个公共点,则直线与抛物线必相切吗（不一定）

7.关于直线与抛物线的位置关系问题常用处理方法 直线l：ykxb 抛物线

① 联立方程法：

，(p0)

ykxbk2x22(kbp)xb20 2y2px设交点坐标为A(x1,y1),B(x2,y2)，则有0,以及x1x2,x1x2，还可进一步求出

y1y2kx1bkx2bk(x1x2)2b，y1y2(kx1b)(kx2b)k2x1x2kb(x1x2)b2

在涉及弦长，中点，对称，面积等问题时，常用此法，比如 a. 相交弦AB的弦长

AB1k2x1x21k2(x1x2)24x1x21k2 a或 AB11122yy1(yy)4yy 1k12121222kkab. 中点M(x0,y0), x0② 点差法：

x1x2yy2， y01 22设交点坐标为A(x1,y1)，B(x2,y2)，代入抛物线方程，得

22y12px1 y22px2

将两式相减，可得

(y1y2)(y1y2)2p(x1x2)

y1y22px1x2y1y2

2p y1y2a. 在涉及斜率问题时，kABb. 在涉及中点轨迹问题时，设线段AB的中点为M(x0,y0)，

y1y22p2pp， x1x2y1y22y0y0 即kABp， y0同理，对于抛物线x22py(p0)，若直线l与抛物线相交于A、B两点，点M(x0,y0)是弦AB的中点，则有kABx1x22x0x0 2p2pp（注意能用这个公式的条件：1）直线与抛物线有两个不同的交点，2）直线的斜率存

在，且不等于零）

【经典例题】

（1）抛物线——二次曲线的和谐线

椭圆与双曲线都有两种定义方法，可抛物线只有一种：到一个定点和一条定直线的距离相等的所有点的集合.其离心率e=1，这使它既与椭圆、双曲线相依相伴，又鼎立在圆锥曲线之中.由于这个美好的1，既使它享尽和谐之美，又生出多少华丽的篇章.

【例1】P为抛物线y22px上任一点，F为焦点，则以PF为直径的圆与y轴（ ）

A.相交 B.相切 C.相离 D.位置由P确定

p【解析】如图，抛物线的焦点为F,0，准线是

2YHQNPM2l:xp.作PH⊥l于H，交y轴于Q，那么2PFPH， 且QHOFOF(p,0)Xp.作MN⊥y轴于N则MN是梯形PQOF的 pl:x=-2y2=2px2111中位线，MNOFPQPHPF.故以

222PF为直径的圆与y轴相切，选B.

【评注】相似的问题对于椭圆和双曲线来说，其结论则 分别是相离或相交的.

（2）焦点弦——常考常新的亮点弦

有关抛物线的试题，许多都与它的焦点弦有关.理解并掌握这个焦点弦的性质，对破解这些试题是大有帮助的.

【例2】 过抛物线y22pxp0的焦点F作直线交抛物线于Ax1,y1,Bx2,y2两点，求证：

（1）ABx1x2p （2）

112 AFBFp【证明】（1）如图设抛物线的准线为l，作

pAA1lA1,BB1l于B1，则AFAA1x1，

2pBFBB1x2.两式相加即得：

2YA1A(x,y)11XABx1x2p （2）当AB⊥x轴时，有

AFBFp，112成立； AFBFpFB1B(x,y)22lp当AB与x轴不垂直时，设焦点弦AB的方程为：ykx.代入抛物线方程：

2p22p222k0kx2px.化简得：kxpk2x42221

k2∵方程（1）之二根为x1，x2，∴x1x2.

4x1x2p111111pp2 AFBFAA1BB1xpxpx1x2x1x2122224x1x2px1x2p2. 22ppppx1x2ppx1x22424112成立. AFBFp故不论弦AB与x轴是否垂直，恒有

（3）切线——抛物线与函数有缘

有关抛物线的许多试题，又与它的切线有关.理解并掌握抛物线的切线方程，是解题者不可或缺的基本功.

【例3】证明：过抛物线y22px上一点M（x0，y0）的切线方程是：y0y=p（x+x0）

y【证明】对方程y22px两边取导数：2yy2p，p.切线的斜率 ykyxx0pp2.由点斜式方程：yy0xx0y0ypxpx0y0y0y01

2y02px0，代入（）即得：1 y0y=p（x+x0）

（4）定点与定值——抛物线埋在深处的宝藏

抛物线中存在许多不不易发现，却容易为人疏忽的定点和定值.掌握它们，在解题中常会有意想不到的收获.

例如：1.一动圆的圆心在抛物线y28x上，且动圆恒与直线x20相切，则此动圆必过定点 （ ）

A.4,0B.2,0C.0,2D.0,2

显然.本题是例1的翻版，该圆必过抛物线的焦点，选B. 2.抛物线y22px的通径长为2p；

3.设抛物线y22px过焦点的弦两端分别为Ax1,y1,Bx2,y2，那么：y1y2p2 以下再举一例

【例4】设抛物线y22px的焦点弦AB在其准线上的射影是A1B1，证明：以A1B1为直径的圆必过一定点

【分析】假定这条焦点弦就是抛物线的通径，那么A1B1=AB=2p，而A1B1与AB的距离为p，可知该圆必过抛物线的焦点.由此我们猜想：一切这样的圆都过抛物线的焦点.以下我们对AB的一般情形给于证明.

【证明】如图设焦点两端分别为Ax1,y1,Bx2,y2， 那么：y1y2p2CA1CB1y1y2p2.

设抛物线的准线交x轴于C，那么CFp.

A1Y1AA1FB1中CFCA1CB1.故A1FB190.

2MFXC这就说明：以A1B1为直径的圆必过该抛物线的焦点.

B 1B● 通法 特法 妙法

（1）解析法——为对称问题解困排难

解析几何是用代数的方法去研究几何，所以它能解决纯几何方法不易解决的几何问题（如对称问题等）.

【例5】（10.四川文科卷.10题）已知抛物线 y=-x2+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点 YA、B，则|AB|等于（ ）

.4 C2 2

【分析】直线AB必与直线x+y=0垂直，且线段 AB的中点必在直线x+y=0上，因得解法如下.

【解析】∵点A、B关于直线x+y=0对称，∴设直线AB的方

MAOBXlÿx+y=0yxm程为：yxm. 由x2xm302yx3设方程（1）之两根为x1，x2，则x1x21. 设AB的中点为M（x0，y0），则x01

x1x21111.代入x+y=0：y0=.故有M,. 22222从而myx1.直线AB的方程为：yx1.方程（1）成为：x2x20.解得：

x2,1，从而y1,2，故得：A（-2，-1），B（1，2）.AB32，选C.

（2）几何法——为解析法添彩扬威

虽然解析法使几何学得到长足的发展，但伴之而来的却是难以避免的繁杂计算，这又使得许多考生对解析几何习题望而生畏.针对这种现状，人们研究出多种使计算量大幅度减少的优秀方法，其中最有成效的就是几何法.

【例6】（11.全国1卷.11题）抛物线y24x的焦点为F，准线为l，经过F且斜率为3的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A，AK⊥l，垂足为

K，则△AKF的面积（ ）

KYAA．4 B．33 C．43 D．8

【解析】如图直线AF的斜率为3时∠AFX=60°. △AFK为正三角形.设准线l交x轴于M，则FMp2, 且∠KFM=60°，∴KF4,SAKF32443.选C. 460°MOF(1,0)L:x=-1X=2pxY2【评注】（1）平面几何知识：边长为a的正三角形的 面积用公式S32a计算. 4 （2）本题如果用解析法，需先列方程组求点A的坐标，，再计算正三角形的边长和面积.虽不是很难，但决没有如上的几何法简单.

（3）定义法——追本求真的简单一着

许多解析几何习题咋看起来很难.但如果返朴归真，用最原始的定义去做，反而特别简单.

【例7】（07.湖北卷.7题）双曲线

x2y2C1:221(a0，b0)的左准线为l，左焦点和右焦点分别为F1和F2；抛物线

abC2的线为l，焦点为F2；C1与C2的一个交点为M，则

F1F2MF1MF1MF2等于（ ）

11 B．1 C． D．

22【分析】 这道题如果用解析法去做，计算会特别繁杂，而平面几何知识又一时用不上，那么就从最原始的定义方面去寻找出路吧. 如图，我们先做必要的准备工作：设双曲线的半 A．1

焦距c，离心率为e，作 MHl于H，令

yMF1r1,MF2r2.∵点M在抛物线上， MF1MF1r1MHMF2r2,故e，

MHMF2r2F1(-c,0)Hr2OM(x,y)r1r2xF2(c,0)a2l:x=-c 这就是说：

|MF1|的实质是离心率e. |MF2|其次，

|F1F2|与离心率e有什么关系注意到： |MF1|F1F22ce2aer1r21e1e1. MF1r1r1r1e 这样，最后的答案就自然浮出水面了：由于

|F1F2||MF1|e1e1.∴选 A.. |MF1||MF2|（4）三角法——本身也是一种解析

三角学蕴藏着丰富的解题资源.利用三角手段，可以比较容易地将异名异角的三角函数转化为同名同角的三角函数，然后根据各种三角关系实施“九九归一”——达到解题目的.

因此，在解析几何解题中，恰当地引入三角资源，常可以摆脱困境，简化计算.

A【例8】（09.重庆文科.21题）如图，倾斜角为a的线经过抛物线y28x的焦点F，且与抛物线交于A、B两点。

（Ⅰ）求抛物线的焦点F的坐标及准线l的方程； （Ⅱ）若a为锐角，作线段AB的垂直平分线m交 x轴于点P，证明|FP|-|FP|cos2a为定值，并求此定值。

【解析】（Ⅰ）焦点F（2，0），准线l;x2. （Ⅱ）直线AB：ytanx2直

M1.

2

y2x代入（1），整理得：y2tan8y16tan088y1y2设方程（2）之二根为y1，y2，则tan.

y1y216y1y244coty0设AB中点为Mx0,y0,则 2tan2x0coty024cot2AB的垂直平分线方程是：y4cotcotx4cot22. 令y=0，则x4cot26，有P4cot26，0

故FPOPOF4cot2624cot214cos2

于是|FP|-|FP|cos2a=4csc21cos24csc22sin28，故为定值.

（5）消去法——合理减负的常用方法.

避免解析几何中的繁杂运算，是革新、创新的永恒课题.其中最值得推荐的优秀方法之一便是设而不求，它类似兵法上所说的“不战而屈人之兵”.

【例9】 是否存在同时满足下列两条件的直线l：（1）l与抛物线y28x有两个不同的交点A和B；（2）线段AB被直线l1：x+5y-5=0垂直平分.若不存在，说明理由，若存在，求出直线l的方程.

【解析】假定在抛物线y28x上存在这样的两点Ax1，y1，Bx2，y2.则有：

y128x1y1y28

yyyy8xxk2121212ABy8xx1x2y1y222815 ∵线段AB被直线l1：x+5y-5=0垂直平分，且kl1，kAB5，即5y1y28y1y2.

5设线段AB的中点为Mx0，y0，则y0y1y24.代入x+5y-5=0得x=1.于是： 254AB中点为M1，.故存在符合题设条件的直线，其方程为：

5 y45x1，即：25x5y210 5

（6）探索法——奔向数学方法的高深层次

有一些解析几何习题，初看起来好似“树高荫深，叫樵夫难以下手”.这时就得冷静分析，探索规律，不断地猜想——证明——再猜想——再证明.终于发现“无限风光在险峰”.

【例10】（10.安徽卷.14题）如图，抛物线y=-x2+1与x轴的正半轴交于点A，将线段OA的n等分点从左至右依次记为P1,P2,…,Pn-1,过这些分点分别作x轴的垂线，与抛物线的交点依次为Q1，Q2，…，Qn-1，从而得到n-1个直角三角形△Q1OP1, △Q2P1P2,…, △Qn-1Pn-1Pn-1,当n→∞时，这些三角形的面积之和的极限为 .

1 【解析】∵OA1，图中每个直角三角形的底边长均为

nk2k20.代入yx1：y12. 设OA上第k个分点为Pk，nn第k个三角形的面积为：ak11k12. 2nn21222n11 Sn1n122nnn14n1.212n故这些三角形的面积之和的极限Slim

nn14n112n21111lim14 12nnn3