高二数学双曲线重难点解析试题

一.本周教学内容： 双曲线 二.重点、难点： 1.定义：|PF1||PF2|2a2c

0),F2(c,0)间隔之差为定值2a的点的轨迹。

到两点F1(c,x2y2y2x22.HY方程：221或者221〔a0,b0〕

ababx2y23.性质：221

ab〔1〕范围：x(,a][a,)，yR

〔2〕对称：x、y轴为对称轴，原点为对称中心 〔3〕顶点：(a,〔4〕渐近线：

0)

ybx a〔5〕离心率：e4.第二定义：

c(1,) aa2到F(c,0)的间隔与到直线l：xc的间隔之比为定值

ce的点的轨迹为双曲线，ax2y221〔a0,b0，a2b2c2〕。 2ab【典型例题】

[例1]求满足条件的双曲线的HY方程。

〔1〕一条渐近线是：3x2y0，且过点A(8,63)的双曲线方程。

x2y23解：yx双曲线49200x轴y轴

代入A4

x2y21 其渐近线双曲线系

1636x2y21有一共同渐近线且焦距为12的双曲线。 〔2〕求与双曲线54x2y2|5||4|364两解 解：54[例2]P为平面上一点，过P作双曲线只有一个交点的直线可作n条。 解：

① ② ③ 切线 无 / /〔本支〕 0 2 有一交点、交线 2〔平渐〕 2〔平渐〕 1 0 2 PB P在线上 P在渐近线上〔非O点〕 P在原点 ④ PAC x2y2[例3]P为双曲线221上一点〔异于顶点〕，F1PF2，求SF1PF2。

ab解：PF12PF222PF1PF24a2 PF2(1cos)4c24a24b2

相减2PF12b2∴|PF1||PF2|

1cosx2y2[例4]双曲线221的右顶点为A，P为双曲线上一点〔异于顶点〕过A作渐近线的平行线交OP于E、

abF。

〔1〕证|OP|2|OE||OF|

〔2〕双曲线上是否存在一点P，使SAEF解：

ab 4A(a,0),P(x0,y0)

lOP：yy0bxlAE：y(xa) x0ablAF：y(xa)

a四点(5ba,) 222y211，A〔3，2〕，B〔2，0〕，P为双曲线上一点，求|PA||PB|的最小值。[例5]双曲线C：x 32解：e2|PB|2

d(P,l)x2y21的一支上有不同的三点A(x1,y1)，B(x2,6)，C(x3,y3)，它们与F[例6]双曲线C：

1312〔0，5〕的间隔成等差数列。

〔1〕求

y1y3。

〔2〕求证线段AC的中垂线过定点，并求此点。 解：A、B、C到准线间隔成等差数列

a2a2a2)(y3)2(y2) ∴(y1ccc∴

y6xx3131313(x1)y6x

x1x32x1x32∴过定点(0,[例7]双曲线x225) 2y2a2的一条准线与实轴交于D，过D引直线和双曲线交于M、N，又过一焦点F，引一

直线垂直于MN和双曲线交于P、Q，证：|FP||FQ|2|DM||DN|。

解：D(a2,0),F(2a,0)

设MN倾斜角为，∴PQ为

2

分别代入(atcos)2(tsin)2a2，[2atcos()]2t2cos2a2

22即：t∴|21cos22atcosa20，t2cos222atsina20

2FP||FQ|2|DM||DN|

[例8]过双曲线上任一点P的切线与双曲线的渐近线交于A、B，求证：P点为AB中点。

x2y2解：P(x1,y1)为双曲线221上一点

ab过P的切线

x1xy1y21 2abx1xy1y212ab消y 22xy0a2b2即a2b2x22a2b2x1xa4b20

中点横坐标为x1∴中点为P 1.离心率为A.充非必

2是双曲线为等轴双曲线的〔〕

B.必非充

C.充要

D.非充非必

2.以下双曲线中，既有一样的离心率，又有一样渐近线的是〔〕

x2x2y22y1和1 A.339x2y221和x1 C.y332

x2x22y1和y21 B.33x2x2y22y1和1 D.393

x2y21，只有一个公一共点的直线有〔〕 3.过P〔4，4〕且与双曲线169A.1条

B.2条

C.3条

D.4条

4.过双曲线的一个焦点F1且垂直于实轴的弦PQ，而F2为另一个焦点，假设PF2QA.22，那么e〔〕

2

B.

21

C.

2

D.

21

5.双曲线的两条准线，把连结两个焦点的线段分成1:2:1，那么双曲线的离心率为〔〕。

A.

2

B.

3

C.2

D.3

x2y2y2x26.连接双曲线221和221的四个顶点的四边形面积为

abba为S2，那么

S1，连接四个焦点的四边形面积

S1S2的最大值为〔〕

A.2 B.4 C.

1 2 D.

1 47.求证：等轴双曲线上任一点到中心的间隔是它到两焦点的间隔的等比中项。

x2y28.过双曲线221上任一点P作双曲线的两渐近线的平行线，试证它们和两条渐近线所围成的平行

ab四边形的面积为定值。

[参考答案]

1.C 7. 证：P(x0,∴|8. 设P(x0,22y0)|PO|x0y0

2.D 3.D 4.B 5.A

6.C

PO|2|PF1||PF2|

y0)〔不妨设P在右支〕

过P作直线

bbyy0(xx0)交yx于Q

aab2ab∴|OQ|12|(x0y0)|

a2baab22a2|2x0y0|∴S|OQ|d2ba2b×b21ab 2