2019成都市高三二诊数学理科试题及详细解析

〖解析〗

1、【考点】①集合的表示法；②全集，补集的定义与性质；③交集的定义，性质和运算方法。

【解题思路】根据集合的表示法，运用全集，补集的运算方法求出集合B的补集，再利用交集的定义，性质和运算方法就可得出结果。

【详细解答】U=R，B={x|x-2或x1}，CUB={x|-22、【考点】①双曲线的定义与性质；②双曲线焦距的定义与性质；③双曲线渐近线的定义与求法。

【解题思路】根据双曲线焦距的定义与性质，运用双曲线实半轴a，虚半轴B，半焦距之间的关系先求出b的值，再利用双曲线渐近线的基本求法，结合问题条件就可得出结果。

y22c=4，c=2，a=1，c2=a2+ 【详细解答】双曲线C为：x-2=1（b>0）的焦距为4，

b222 b，b=4-1=3，b=3，双曲线的渐近线方程为：y=3x， D正确，选

D。

3、【考点】①向量坐标表示的定义与性质；②向量数量积坐标运算的基本方法；③向量数量积的几何意义。 【解题思路】根据向量的坐标表示，运用向量数量积坐标运算的基本方法求出向量的数量积，在利用数量积的几何意义就可得出结果。

b=|b|=93=23，【详细解答】a=（3，1），（-3，3），a.b=-3=-23，3+13

a.b=|a|.|b|cos，|b|cos=

a.b23==-1，C正|a|23确，选C。

4、【考点】①不等式的定义与性质；②充分条件，必要条件的定义与性质；③充分条件，必要条件，充分必要条件判断的基本方法。

【解题思路】运用充分条件，必要条件，充分必要条件判断的基本方法，结合不等式的定义与基本性质，通过判断就可得出结果。

1111<，但由<，不能推出a>b>0， 由条件甲可abab以推出条件乙，但由条件乙不能推出条件甲，条件甲是条件乙的充分不必要条件，A正确，选A。

【详细解答】

由a>b>0，可以推出

5、【考点】①茎叶图的定义与性质；②一组数据中位数的定义与求法；③一组数据平均数的定义与求法；④一组数据标准差的定义与求法。

【解题思路】运用茎叶图的定义与性质，根据一组数据中位数的定义和求法分别求出甲，乙的中位数，可判断①的正确或错误；利用一组数据平均数的定义和求法分别求出甲，乙的平均数可判断②的正确或错误；再运用一组数据标准差的定义和求法分别求出甲，乙的标准差可判断③，④的正确或错误，从而得出结论。

【详细解答】甲的中位数=29，乙的中位数=30，29<30，在最近五场比赛中甲得分的

甲的平均数=

中位数低于乙得分的中位数，①错误；平均数=

2528293132=29，乙的

52829303132=30，29<30，在最近五场比赛中甲得分的平均数低于乙得

5(2529)2(2829)2(2929)2(3129)2(3229)2分的平均数，甲标准差=

5(2830)2(2930)2(3030)2(3130)2(3230)2=6，乙的标准差==2，

52<6，在最近五场比赛中甲得分的标准差高于乙得分的标准差，③正确，④错误；

C正确，选C。

6、【考点】①同角三角函数的基本关系及运用；②三角函数差角公式及运用； ③三角函数运算中变角的基本方法。

【解题思路】根据同角三角函数基本关系分别求出cos，cos(-)的值，结合=- (-)得到sin=sin[-(-)]，结合三角函数的差角公式通过运算就可得出结果。

【详细解答】sin=

425510，是锐角，cos=1=， sin(-)=，

55510，都是锐角，-

1310 <(-)<，cos(-)=1=， sin=

101022sin[-(-)]=sincos(-)-cossin(-)=

25310510-=510510522=B正确，选B。 1027、【考点】①异面直线的定义与判定；②直线与直线平行的定义与判定；③直线与直线垂直的定义与判定；④直线与平面垂直的定义与判定；⑤直线与平面平行的定义与判定。 【解题思路】根据直线与直线平行的定义与判定方法；直线与直线垂直的定义与判定方法；直线与平面平行的定义与判定方法；直线与平面垂直的定义与判定方法；结合各选项通过判定就可得出结果。

【详细解答】对A，a 时，a不成立，A错；对B，当a 时，由cb，

B错；能够推出b//，但a//不可能成立，对C，当a 时，若c，由cb，

可以推出b // ， C正确； 选C。

8、【考点】①三角函数图像平移变换的定义与性质；②正弦型函数的定义，图像和性质，③根据随机函数的部分图像求三角函数解析式的基本方法。

【解题思路】运用由三角函数部分图像求三角函数解析式的基本方法，求出函数g(x)的解析式，再根据三角函数图像平移变换的定义与性质求出函数f(x)的解析式。

2T= -（-）=，T=，==2，g (x)=

2326sin (2x+)，点（- ，0）在函数g (x)的图像上，0= sin [2 （- ）+]= sin

66（- +），- +=k， = k+（kZ），||<， =， g

33323【详细解答】

由图知A=1，

(x)= sin (2x+

)，f(x)= g (x+ ) =sin[2 (x-)+]= sin(2x-+)= cos(2x+)，3443233C正确，选C。

9、【考点】①奇函数的定义与性质；②轴对称图形的定义与性质；③函数值的定义与求法。 【解题思路】运用问题条件可得出函数f(x)的图像关于直线x=1对称，从而得到f(f(2-

5)= 2511)= f(-)=-f()，代入解析式通过运算就可得到结果。 22213【详细解答】函数f(x)满足：f(+x)=-f(-x) ，函数 f(x)的图像关于直线x=1对

2255111称，f(-)，函数f(x)是定义在R上的奇函数，  f(-)=-f()  f()=f(2-)=

22222131=-()=-，B正确，选B。

2810、【考点】①圆的定义与性质；②直线与圆相交的定义与性质；③圆的垂径定理及运用；④函数最值的定义与求法。 【解题思路】根据圆的定义与性质，把圆的方程化为标准方程，得出点C的坐标，结合ACB最小时，实际上就是弦|AB|最小，将问题转化为弦|AB|最小的问题，依据圆径定理弦|AB|最小是直线CP垂直直线l，从而求出a的值。

【详细解答】如图，设P（1，2）是圆C内一点，连接CA， y CB，CP，

2圆C化为标准方程为：(x1)+(ya) A 当ACB最小，即|AB|最小 x O P 22=1+a，C（-1，a），

C B 时，直线CP垂直直线l，kCP=

2a2a2a2=-1，4-2a=-2，a=3，B= ，

1(1)22正确，选B。

11、【考点】①加法原理，乘法原理及运用；②排列的定义与性质；③组合的定义与性质；④排列数与组合数的计算公式和计算方法；⑤求解排列，组合综合问题的基本方法。

【解题思路】根据排列，组合的定义与性质，结合排列数，组合数的计算公式，将问题分为几种情况，分别求出各种情况符合问题条件的正整数，再把各种情况的结果相加就可得出结论。

【详细解答】①当4排在最高数位时，所得的正整数要比420789大，若万为数为2，千位数为0，则百位数是7，则十位数只能是9，个位数只能是8，这样的数只有1个；若万为数为2，千位数为0，则百位数只能在8，9之间选一个，剩下的二个数则可以任意排，这样

的数有22=4个；若万位数是2，千位数是7，8，9中选一个，剩下的三个数则可以任意排，这样的数有36=18个；若万位数是7，8，9中选一个，剩下的四个数则可以任意排，

当4排在最高数位时，这样的数有324=72个；比420789大的正整数共有1+4+18+72=95

个；②当最高数位是7，8，9中选一个时，剩下的五个数则可以任意排，这样的数有3120=360个；综上所述用0，2，4，7，8，9组成没有重复数轴的六位数中，比420789大的正整数共有360+95=455（个），C正确，选C。 12、【考点】①直角三角形的定义与性质；②等边三角形的定义与性质；③正弦定理及运用；④三角形面积公式与求法；⑤三角函数最值的定义与求法。

【解题思路】根据直角三角形的定义与性质，结合问题条件可求出BC，A，B，设AD=x，AF=y，CE=z，运用余弦定理得到关于x，y，z的方程组，求解方程组得到DE关于x的式子，依据三角形的面积公式得出DEF的面积关于x的式子，再利用求函数最值的方法就可得到DEF面积的最小值。

【详细解答】如图，设DE=EF=DF=x，EDF= ，在RtABC中，AB=20m，AC=10m，

B=30.,A=60.，BC=103，在RtDCE中，DB= xcos，AD=10-xcos，

DEF是等边三角形，在ADF中，AFD=

x10xcos180.-60.-（120.-）= ，=， A .sin60sin x=1253. SDEF=xsin60 D F 23sincos2=

323754= C E B x=244(2sin3cos)753753=，设f()= 2224sin43sincos3cos443sincoscos443sincoscos2=23 sin2-f(）min=

1777 cos2+=+sin(2-)，222275377+=7，(SDEF)min=,D正确，选D。

72213、【考点】①复数的定义与性质；②复数代数表示式的标准形式；③复数为纯虚数的条件；

④复数运算的法则和基本方法。 【解题思路】根据复数的运算法则和方法对复数进行运算，把运算结果化为复数的代数表示式，运用复数为纯虚数的条件就可求出实数a的值。 【详细解答】

Z=

ai(ai)(1i)(a1)(1a)i(a1)(1a)===+i为纯虚数， 1i(1i)(1i)222a+1=0且1-a 0，a=-1。

14、【考点】①三棱锥的定义与性质；②三棱锥外接球的定义与性质；③求三棱锥外接球半径的基本方法；④球表面积的计算公式与基本方法。 【解题思路】运用求三棱锥外接球半径的基本方法求出三棱锥外接球的半径，根据球表面积

的计算公式就可求出三棱锥外接球的表面积。

【详细解答】如图，取CD的中点E，连接BE，AE ， A 设BCD外接圆的圆心为O1，三棱锥外接球的球心 为O，半径为R，连接AO1，BO，

BC=CD=BD= O 2，BE=BCsin60.=

662，BO1=BE=， B O1 E D 233263， AO1=1=，在RtBOO1中，

333在RtABO1中，AB=1，BO1=BO1==4633322（R），OO1=-R，BO=R，R2=+，R=，S球表=4R2

333233=3。 415、【考点】①新定义的理解与运用；②绝对值的定义与性质；③函数值域的定义与求法。 【解题思路】在理解新定义的基础上，运用新定义并结合问题条件求出x，y的取值范围，注意x2y2的几何意义，根据x，y的取值范围就可求出x2y2的取值范围。 【详细解答】

d（O，C）=|x-0|+|y-0|=1， -1x1，-1y1，①当x=1，y=0

01=1；②当x=y=或y=1，x=0时，(x2y2）max= 11122 时，(xy）=min442 =

2222，当d（O，C）=1时，xy的取值范围是[，1]。 2216、【考点】①抛物线的定义与性质；②直线与抛物线相交的定义与性质；③抛物线切线的定义与性质；；④设而不求，整体代入数学思想的运用；⑤函数在某点的导数的定义与几何意义；⑥函数在某点的导数的基本求法；⑦换元法的基本方法；⑧运用导数求函数最值的基本方法。

【解题思路】根据直线与抛物线相交的定义与性质，得出x1+x2，x1.x2关于参数m的式子， 结合问题条件求出直线l1，l2方程，从而得到P点的坐标，把|BF|,|AB|表示成关于参数m 的式子，再求函数f（m）的最值就可得出结果。

【详细解答】如图，设A（x1，y1），B（x2，y2）， y P(x0，y0)，

F（0，1），直线l过点F，直线l 222的方程为：x=my-m，由 x=my-m，my-（2m+4） A F B x2 =4y，y+m2=0,

y1+y2= P 0 x 2+

4，y1.y2=1，直线l1，l2分别是抛物线C过点A，B的切线， 直线l1，l2的 m22x12x2x1x2方程分别是：l1：y= (x-x1)+，l2：y= (x-x2)+,由

4422x12x12211y= (x-x1)+，x0=（x1+x2）=m（y1+y2-2）=，P（，-1），

4222mm22x2x2x1x2m2(y11)(y21)my1y2(y1y2)1y= (x-x2)+， y0====-1，

44424421m2241m|PF|==，|AB|=m2|m|424(1m2)(22)4=， f（m）= 2mm3221m28m281m2|PF|+=+,设t=，t（1，+）， f（t）=2t+ , 221m|AB|t|m||m|162t316 f（t）=2-3= ,令f（t）=0得t=2，当t（1，2）时，f（t）<0，当3ttt（2，+）时，f（t）>0，函数f（t）在（1，2）上单调递减，在（2，+）上单

调递增，f(t)min= f（2）=2 2+

328=4+2=6，|PF|+的最小值是6.

|AB|2217、【考点】①等比数列的定义与性质；②等差中项的定义与性质；③等比数列前n项和公

式与求法；④等比数列通项公式与求法；⑤对数的定义，性质和运算；⑥错项求和法的基本方法。

【解题思路】（1）运用等差中项的定义与性质，结合等比数列前n和公式等比数列的首项和公比，从而得到等比数列的通项公式；（2）根据（1）的结果，运用对数的定义，性质与运算方法确定数列{bn}的通项公式，运用错项求和的基本方法求出数列{bn}的前n项和Tn的值。

【详细解答】（1）

2等比数列{an} 满足：a2+1为a1，a3的等差中项，S3=14，

q>1，a1=2，an=22n12（a1q+1）=a1+a1q，a1=8，或a1=2，

=2；

na1(1q3)1S3==14， q=， q=2， q=2，

1q2nnnTn=12+222+323+-------+n2n----（2）由（1）知，bn=2.log22=n..2，

①，

2Tn=122+223+324+-------+（n-1）2n+n2n1-------②，①-②得：

-Tn=2+22+23+--------+2n- n2n1=2n1-2- n2n1，Tn=（n-1）2n1+2。 18、【考点】①22列联表的定义与性质；②相关系数的计算公式与求法；③判断两组数据是否相关的基本方法；④函数值的定义与求法；⑤随机事件概率的定义与求法。 【解题思路】（1）运用22列联表，结合公式求出K2的值，根据所求的值利用参数数据得出结论；（2）根据方案甲，乙通过运算确定“A类员工”的人数，再依据随机事件概率的计算公式求出随机事件的概率。 【详细解答】（1）

80(25301510)28011.429> =K=

（2510）（1530）（25+15）（10+30）726.635，有99%的把握认为该企业员工对新个税方案的满意程度与年龄有关系；

（2）①当积分为2分时，方案甲获得的补贴=1000+7002=2400（元），方案乙获得的补贴=3000（元），2400<3000，积分是2分的员工不属于“A类员工”；② 当积分为3分时，方案甲获得的补贴=1000+7003=3100（元），方案乙获得的补贴=3000（元），3100>3000，积分是3分的员工属于“A类员工”；③ 当积分为6分时，方案甲获得的补贴=1000+ 7006=5200（元），方案乙获得的补贴=5600（元），5200<5600，积分是6分的员工不属于“A类员工”；④ 当积分为7分时，方案甲获得的补贴=1000+7007=5900（元），方案乙获得的补贴=5600（元），5900>3000，积分是7分的员工属于“A类员工”；⑤ 当积分为11分时，方案甲获得的补贴=1000+70011=8700（元），方案乙获得的补贴=9000（元），8700<9000，积分是11分的员工不属于“A类员工”；⑥ 当积分为12分时，方案甲获得的补贴=1000+70012=9400（元），方案乙获得的补贴=9000（元），9400>9000，积分是12分的员工属于“A类员工”； 综上所述，该企业8名需要解决实际困难的员 工中属于“A类员工”的有5人，设从8名员工中随机抽取4名，恰好抽到3名“A类员工” 的事件为B，

从8名员工中随机抽取4名的基本事件=C8=

48！=70，从8名员

4！(84)！3工中随机抽取4名恰好有3名“A类员工”的基本事件=C3.C5==310=30，P（B）=的概率为

13！5！

1！(31)！3！(53)！303=，即从8名员工中随机抽取4名，恰好抽到3名“A类员工” 7073。 719、【考点】①等腰梯形的定义与性质；②三棱台的定义与性质；③平面垂直平面的等腰与性质；④直线垂直直线的判断方法；⑤空间直角坐标系的定义与建立方法；⑥空间向量的定义与求法；⑦平面法向量的定义与求法；⑧二面角余弦值的求法。

【解题思路】（1）运用直线垂直直线的判定定理，结合问题条件证明直线垂直直线；（2）建立空间直角坐标系，求出相应点的坐标，从而求出相应向量的坐标表示式，运用求平面法向量的基本方法求出相应平面的法向量，借助公式求出二面角的余弦值。

【详细解答】（1）如图，四边形ABCD是等腰梯形， A E B AB//CD,E，F分别是AB，CD的中点，EFAB, EFCD,  EFCF,EFDF， CFDF=F，CF，DF平面DC F， EF平面CDF,

MC平面CDF，EFMC； D F C （2）平面BEFC平面AEFD，平面BEFC平面A EFD=EF，EFCF, 直线FC，EF，DF两两互相垂直， A Z E 如图以F为原点，FD，FC，FE分别为X，Y，Z B 轴的正方向 建立空间直角坐标系F-xyz，

AB=2，EF=2，CD=4，M（1，0，0），D（2，0，0）， x D M F A（1，0，2），B（0，1，2），MA=（0，0，2）， AB=（-1，1，0），DA=（-1，0，2）,设平面MAB，平面 C y ABD的法向量分别为：n=（x，y，z），m=（x1，y1，z1），

由 nMA， n.MA0+0+2z=0n=（1，1，0），由 mAB，m.AB=-x1

nAB， n.AB -x+y+0=0， mDA， m.DA=-x1

+y1+0=0，m=（2，2，1），设平面MBA与平面ABD所成角为，+0+2z1=0，面PCD所成角为锐角，cos =|

平面BAP与平

n.m220|=||=

|n||m|110.441|

222222|=，二面角M-AB-D的余弦值为。 33320、【考点】①椭圆的定义与性质；②椭圆离心率的定义与性质；③椭圆标准方程的定义与求法；④设而不求，整体代入数学思想运用的基本方法；⑤直线与椭圆相交的定义与性质；⑥已知直线上两点的坐标，求直线斜率的基本方法；⑦求直线方程的基本方法。 【解题思路】（1）运用椭圆的定义与性质，结合椭圆离心率的定义与性质，求出a，b的值，从而得到椭圆的标准方程；（2）运用设而不求，整体代入数学思想，结合问题条件和已知直线上两点求直线斜率的公式把k1，k2表示出来，从而得到关于参数M的方程，求解方程得出m的值，利用求直线方程的基本方法就可求出直线F1M的方程。 【详细解答】（1）

2由题意有：2b=42，a=9,

c12=, b=8, N y a3y2x2 椭圆C的标准方程是：+ =1； M 89 （2）设M（x1，y1），D（x2，y2），N（x0，y0）， A B F O F x 12由（1）知，F1（-1，0），F2（1，0），A（-3，0）， B（3，0），如图，

2直线MF1过点F1（-1，0），直线MF1的方程为：x=my-1,

2由x=my-1, （8m+9）y-16my-64=0，

y1+y2=

16m64yy，.=-， 12228m98m9y2x2 + =1，F1M//F2N, 点D与点N关于原点对称，x0=-x2，y0=-y2，

89N（-x2，-y2），

K1=

y1y2y23y1，K2==，3K1+2K2=0，= x13x23x23x13-

2y2，3y1（x2+3）=-2y2（x1+3），3y1x2+2y2x1+9y1+6y2=0，3y1（my2 x23-1）+2y2(my1-1) +9y1+6y2=0，5my1y2-3y1+2y2+y1+4y2=0，y1=

128m,

8m29y2=-

112m,

8m29y1>0，m>0，y1.y2=-

6128m112m64.=-，m=， 128m298m298m29直线MF1的方程是：x=

6y-1，即：y=26x+26。 1221、【考点】①函数导函数的定义与求法；②运用函数的导函数判定函数单调性的基本方法；③参数分类的原则与方法；④已知关于x的不等式在某区间上恒成立，求参数取值范围的基本方法；⑤运用导数证明不等式的基本方法。

【解题思路】（1）运用导函数的定义与求法求出函数的导函数，由参数的分类法则和方法分别确定导函数在（0，+）的正负，运用导函数与函数的单调性的定理判断函数的单调性，确定不等式成立时，参数a的取值范围；（2）构造函数g(x)，证明函数g(x) 在（0，+）上的最小值大于或等于0，从而证明不等式在在（0，+）上恒成立就可得到结论。

1axa-2= 2，①当a 0时，f（x）>0在（0，+）xxx上恒成立，函数f(x) 在（0，+）上单调递增， f(1)=ln1+a（1-1）=0+0=0， x【详细解答】（1）f（x）=

（0，1）时，f(x)<0与题意不符；②当a>0时，令f（x）=0的x=a，

x（0，a）时，

f（x）<0，x（a，+）时，f（x）>0，函数f(x) 在（0，a）上单调递减，在，

1-1）=lna+1-a, f(x) 0在（0，a1 lna+1-a 0在+）上恒成立，（0，+）上恒成立,设g(x)=lnx-x+1, g(x)= -1

x1x=，令g(x)=0得x=1, x（0，1）时，g(x)>0，x（1，+）时，g(x)<0，x（a，+）上单调递增，f(x)min= f(a)=lna+a（

函数g(x) 在（0，1）上单调递增，在，（1，+）上单调递减，g(1)=ln1+1-1=0， g(x)max=  g(x) 0在（0，+）上恒成立，当a=1时，f(x)min=0， f(x) 0在（0，+）

上恒成立，综上所述，当f(x) 0在（0，+）上恒成立时，实数a的取值集合为{1}；

112+lnx-x-(e-2)x-2，由（1）知，当a=1时，f(x)=lnx+-1 0xx1x2在（0，+）上恒成立，lnx1-在（0，+）上恒成立， h(x) e-x-(e-2)x-1

x（2）设h(x)= e+

x在（0，+）上恒成立，设G（x）=e-x-(e-2)x-1，G（x）=e-2x-e+2，令u（x） =e-2x-e+2，

xx2xu（x）=ex-2，由u（x）=0得x=ln2，, 当x（0，ln2）时，u（x）

<0，当x（ln2，+）时，u（x）>0，函数u（x）在（0，ln2）上单调递减，在（ln2，+）上单调递增，G（x）在（0，ln2）上单调递减，在（ln2，+）上单调递增，G（0）= 1-0-e+2=3-e>0， G（ln2）G（x0）=0，当x（0，x0）时，G（x）>0，当x（x0，ln2）时，G（x）<0，函

数G（x）在（0，x0）上单调递增，在（x0，ln2）上单调递减，当x（1，+）时，

G（x）>0恒成立，函数G（x）在（1，+）上单调递增， G（0）=1-1=0，

对任意的x（0，G（1）=e-1-e+2-1=0，+），G（x）0恒成立，即e-x-(e-2)x-10， 综上所述，ex+

x212-lnx+x2+(e-2)x成立。 x22、【考点】①极坐标系的定义与性质；②参数方程化普通方程的基本方法；③参数方程化极坐标方程的基本方法；④直线与曲线相切的定义与性质。

【解题思路】（1）运用参数方程化普通方程的基本方法，把直线l和曲线C的参数方程化为普通方程，再依据直角坐标方程化极坐标方程的基本方法，把曲线l的直角坐标方程化为极坐标方程；（2）将曲线C直角坐标方程化为极坐标方程，由直线l与曲线C的极坐标方程联立得到方程组，解这方程组就可得出点P的极坐标。 【详细解答】（1）

直线l的参数方程为：x=tcos，曲线C的参数方程为：y=2sin ,

y=tsin, x=4+2cos,

],直线l与曲线C的普通方程分别为：(x4)2+y2=4l:y=xtan,C：（y0）， [0，

直线l的极坐标方程为：l：=；

（2）

由（1）知，曲线C化为极坐标方程为： y =4cos，直线l的极坐标方程为：l：=， P =，直线l与曲线C恰好有一个公共点， 2 213 4 5 =4cos，如图， sin==，=， 0 1 2 3 4 5 6 6 x 426=164=23，点P的极坐标为P（23，

）。 6