一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知全集𝑈＝{1，2，3，4，5}，集合𝑀＝{1，2}，𝑁＝{3，4}，则𝑈(𝑀∪𝑁)＝( ) A．{5} B．{1，2} C．{3，4} D．{1，2，3，4} 2．设𝑖𝑧＝4＋3𝑖，则𝑧＝( ) A．―3―4𝑖 B．―3＋4𝑖 C．3―4𝑖 D．3＋4𝑖 3．已知命题𝑝：∃𝑥∈𝐑，sin𝑥<1；命题𝑞：∀𝑥∈𝐑，𝑒|𝑥|⩾1，则下列命题中为真命题的是( ) A．𝑝∧𝑞 𝑥B．¬𝑝∧𝑞 𝑥C．𝑝∧¬𝑞 D．¬(𝑝∨𝑞) 4．函数𝑓(𝑥)＝sin3＋cos3的最小正周期和最大值分别是( ) A．3𝜋和2 B．3𝜋和2
C．6𝜋和2 D．6𝜋和2
𝑥＋𝑦⩾4，
5．若𝑥，𝑦满足约束条件𝑥―𝑦⩽2，则𝑧＝3𝑥＋𝑦的最小值为( )
𝑦⩽3，A．18
𝜋5𝜋{B．10 C．6 D．4
6．cos212―cos212＝( ) A．2 11B．3 3C．2 12D．2 37．在区间(0，2)随机取1个数，则取到的数小于2的概率为( ) A．4 3B．3 42C．3 1D．6 18．下列函数中最小值为4的是( )
A．𝑦＝𝑥2＋2𝑥＋4 B．𝑦＝|sin𝑥|＋|sin𝑥| 1―𝑥C．𝑦＝2𝑥＋22𝑥 D．𝑦＝ln𝑥＋ln𝑥 49．设函数𝑓(𝑥)＝1＋𝑥，则下列函数中为奇函数的是( ) A．𝑓(𝑥―1)―1 B．𝑓(𝑥―1)＋1 𝜋C．𝑓(𝑥＋1)―1 𝜋D．𝑓(𝑥＋1)＋1 𝜋10．在正方体𝐴𝐵𝐶𝐷―𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1中，𝑃为𝐵1𝐷1的中点，则直线𝑃𝐵与𝐴𝐷1所成的角为( ) A．2 𝑥2𝜋B．3 C．4 D．6 11．设𝐵是尼圆𝐶：5＋𝑦2＝1的上顶点，点𝑃在𝐶上，则|𝑃𝐵|的最大值为( ) A．2 5B．6 C．5 D．2
12．设𝑎≠0，若𝑥＝𝑎为函数𝑓(𝑥)＝𝑎(𝑥―𝑎)2(𝑥―𝑏)的极大值点，则( ) A．𝑎<𝑏 B．𝑎>𝑏 C．𝑎𝑏<𝑎2 D．𝑎𝑏>𝑎2 1
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．已知向量𝑎＝(2，5)，𝑏＝(𝜆，4)，若a∥b，则𝜆＝________． 𝑦𝑥14．曲线4―5＝1的右焦点到直线𝑥＋2𝑦―8＝0的距离为________． 2215．记△𝐴𝐵𝐶的内角𝐴，𝐵，𝐶的对边分别为𝑎，𝑏，𝑐，面积为3，𝐵＝60∘，𝑎2＋𝑐2＝3𝑎𝑐，则𝑏＝________． 16．以图①为正视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和附视图，组成某个三棱锥的三视图，则所选侧视图和
俯视图的编号依次为_____________(写出符合求的一组答案即可)． 1112图③2图⑤2图①2图②22图④2 三、解答题 17．某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备
各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下： 旧设备 新设备 9.8 10.1 10.3 10.4 10.0 10.1 10.2 10.0 9.9 10.1 9.8 10.3 10.0 10.6 10.1 10.5 10.2 10.4 9.7 10.5 2旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为𝑥和𝑦，样本方差分别记为𝑠21和𝑠2． 2(1)求𝑥，𝑦，𝑠21，𝑠2； (2)判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高(如果𝑦―𝑥⩾2的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高)． 2𝑠21＋𝑠210，则认为新设备生产产品
2
18．如图，四棱锥𝑃―𝐴𝐵𝐶𝐷的底面是矩形，𝑃𝐷⊥底面𝐴𝐵𝐶𝐷，𝑀为𝐵𝐶的中点，且𝑃𝐵⊥𝐴𝑀． (1)证明：平面𝑃𝐴𝑀⊥平面𝑃𝐵𝐷； (2)若𝑃𝐷＝𝐷𝐶＝1，求四棱锥𝑃―𝐴𝐵𝐶𝐷的体积． PDCMAB 𝑛𝑎𝑛319．设{𝑎𝑛}是首项为1的等比数列，数列{𝑏𝑛}满足𝑏𝑛＝
(1)求{𝑎𝑛}和{𝑏𝑛}的通项公式； ．已知𝑎1，3𝑎2，9𝑎3成等差数列． (2)记𝑆𝑛和𝑇𝑛分别为{𝑎𝑛}和{𝑏𝑛}的前𝑛项和．证明：𝑇𝑛<2． 20．已知抛物线C：𝑦2＝2𝑝𝑥(𝑝>0)的焦点𝐹到准线的距离为2． (1)求C的方程； (2)已知О为坐标原点，点P在C上，点Q满足𝑃𝑄＝9𝑄𝐹，求直线OQ斜率的最大值． 21．已知函数𝑓(𝑥)＝𝑥3―𝑥2＋𝑎𝑥＋1． (1)讨论𝑓(𝑥)的单调性； (2)求曲线𝑦＝𝑓(𝑥)过坐标原点的切线与曲线𝑦＝𝑓(𝑥)的公共点的坐标． (二)选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。 22．[选修4－4：坐标系与参数方程]在直角坐标系𝑥Oy中，⊙𝐶的圆心为𝐶(2，1)，半径为1． (1)写出⊙𝐶的一个参数方程； (2)过点F(4，1)作⊙C的两条切线．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求这两条切线的极坐标方程． 23．[选修4－5：不等式选讲]已知函数𝑓(𝑥)＝|𝑥―𝑎|＋|𝑥＋3|． (1)当𝑎＝1时，求不等式𝑓(𝑥)⩾6的解集； (2)若𝑓(𝑥)>―𝑎，求𝑎的取值范围．
𝑆𝑛3
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