人教版初中八年级数学勾股定理解答题练习含答案

15. 如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵𝐴𝐶=90∘，𝐴𝐷是𝐵𝐶边上的高．

(1)求证： ∠𝐷𝐴𝐶=∠𝐴𝐵𝐶；

(2)如图②， △𝐴𝐵𝐶的角平分线𝐶𝐹交𝐴𝐷于点𝐸．求证： ∠𝐴𝐹𝐸=∠𝐴𝐸𝐹；

(3)在(2)的条件下，∠𝐵𝐴𝐷的平分线分别与𝐶𝐹，𝐵𝐶相交于点𝐻、点𝐺，如图③，若𝐴𝐻=6，𝐶𝐻=8，𝐶𝐺=10，求𝐴𝐷的长．

【答案】解：(1)∵∠𝐵𝐴𝐶=90∘，∴∠𝐴𝐵𝐶+∠𝐴𝐶𝐵=90∘，∵𝐴𝐷是𝐵𝐶边上的高，∴𝐴𝐷⊥𝐵𝐶，∴∠𝐴𝐷𝐶=90∘，

∴∠𝐷𝐴𝐶+∠𝐴𝐶𝐵=90∘，∴∠𝐷𝐴𝐶=∠𝐴𝐵𝐶．

(2)∵𝐶𝐹是△𝐴𝐵𝐶的角平分线，∴∠𝐴𝐶𝐹=∠𝐵𝐶𝐹，∵∠𝐵𝐴𝐶=∠𝐴𝐷𝐶=90∘，∴∠𝐴𝐹𝐸+∠𝐴𝐶𝐹=∠𝐶𝐸𝐷+∠𝐵𝐶𝐹=90∘， ∴∠𝐴𝐹𝐸=∠𝐶𝐸𝐷，

又∵∠𝐴𝐸𝐹=∠𝐶𝐸𝐷，∴∠𝐴𝐹𝐸=∠𝐴𝐸𝐹．

(3)由(1)(2)得：∠𝐴𝐹𝐸+∠𝐴𝐶𝐹=90∘，∠𝐷𝐴𝐶=∠𝐴𝐵𝐶，∵∠𝐷𝐴𝐶+∠𝐴𝐶𝐵=∠𝐴𝐵𝐶+∠𝐵𝐴𝐷=90∘，∴∠𝐴𝐶𝐵=∠𝐵𝐴𝐷， ∵𝐶𝐹平分∠𝐴𝐶𝐵，𝐴𝐺平分∠𝐵𝐴𝐷，∴∠𝐹𝐴𝐻=∠𝐴𝐶𝐹，∴∠𝐴𝐹𝐸+∠𝐹𝐴𝐻=90∘，∴∠𝐴𝐻𝐹=90∘，∴𝐶𝐻⊥𝐴𝐺，

∴𝐴𝐶=√𝐴𝐻2+𝐶𝐻2=√62+82=10，

∵𝐶𝐺=10，∴𝐴𝐶=𝐶𝐺，∵𝐶𝐻⊥𝐴𝐺，∴𝐺𝐻=𝐴𝐻=6，∴𝐴𝐺=2𝐴𝐻=12， ∵△𝐴𝐶𝐺的面积=2𝐶𝐺×𝐴𝐷=2𝐴𝐺×𝐶𝐻，∴𝐴𝐷=

1

1

𝐴𝐺×𝐶𝐻𝐶𝐺

=

12×810

=9.6．

16.我们在探索乘法公式时，设置由图形面积的不同表示方法验证了乘法公式．我国著名的数学家赵爽，早在公元3世纪，就把一个矩形分成四个全等的直角三角形，用四个全等的直角三角形拼成了一个大的正方形（如图①），这个图形称为赵爽弦图，验证了一个非常重要的结论：在直角三角形中两直角边𝑎，𝑏与斜边𝑐满足关系式𝑎2+𝑏2=𝑐2，称为勾股定理．

(1)爱动脑筋的小明把这四个全等的直角三角形拼成了另一个大的正方形（如图②），也能验证这个结论，请你帮助小明完成验证的过程．

(2)如下图，在每个小正方形边长为1的方格纸中， △𝐴𝐵𝐶的顶点都在方格纸格点上．请在图中画出△𝐴𝐵𝐶的高𝐵𝐷，利用上面的结论，求高𝐵𝐷的长．

【答案】(1)证明：由图②得，2𝑎𝑏×4+𝑐2=(𝑎+𝑏)2整理得，2𝑎𝑏+𝑐2=𝑎2+𝑏2+2𝑎𝑏即𝑎2+𝑏2=𝑐2.

(2)解：△𝐴𝐵𝐶的高𝐵𝐷如图所示.

1

由图可得：𝐴𝐶=√32+42=5，𝐴𝐵=3，𝐴𝐵边上的高为3， ∵ 𝑆△𝐴𝐵𝐶=𝐴𝐶⋅𝐵𝐷=𝐴𝐵×3，∴ 𝐵𝐷=

2

2

1

1

3𝐴𝐵𝐴𝐶

=

3×35

=.

5

9

17. 如图，一架云梯长25𝑚，斜靠在一面墙上，梯子靠墙的一端距地面24𝑚．

(1)这个梯子底端离墙有多少米？

(2)如果梯子的顶端下滑了4𝑚，那么梯子的底部在水平方向也滑动了4𝑚吗？为什么？ 【答案】解：(1)由题意得此时𝑎=24𝑚，𝑐=25𝑚，根据𝑎2+𝑏2=𝑐2，∴ 可求𝑏=7𝑚. (2)不是．设滑动后梯子的底端到墙的距离为𝑥𝑚，得方程，𝑥2+(24−4)2=252，解得𝑥=15，

所以梯子向后滑动了15−7=8𝑚．

综合得：如果梯子的顶端下滑了4𝑚，那么梯子的底部在水平方向不是滑4𝑚．