八年级数学勾股定理练习题及答案

八年级数学勾股定理练

习题及答案

TTA standardization office【TTA 5AB- TTAK 08- TTA 2C】

勾股

练习题

定理

温故而知新： 1.勾股定理 直角三角形两条直角边a,b的平方和等于斜边c的平方，即a2+b2=c2. 2.勾股定理的验证 勾股定理的证明方法很多，据说已有400余种，其证明的内涵极其丰富.常用的证法是面积割补法，如图所示. 3.直角三角形的性质 两锐角互余（角的关系）、勾股定理（边的关系），30°角所对的直角边等于斜边的一半（边角关系），这些性质在求线段的长度、证明线段倍分关系、证明线段平方关系等方面有广泛的应用. 例1 （2013·安顺）如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢,小鸟至少飞行（ ） 米 米 米 米 解析：小鸟飞行的最短路线如图所示为线段AB；过点A向10米高的树作垂线，垂足为C，则易知AC=8米，BC=10-4=6（米）；根据勾股定理可得 AB=AC2BC2=8262=10（米）. 答案：B 小结：在解决实际问题时，往往根据题意把实际问题转化为数学问题，构造直角三角形利用勾股定理来解决.有时根据需要巧设未知数，借助勾股定理列方程求解，常可使问题简便. 例2 （2013·衢州）如图，将一个有45°角的三角板的直角顶点放在一张宽为3cm的矩形纸带边沿上，另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30°角，则三角板最大边的长为（ ） cm cm

2 cm 2 cm 解析：如图所示在图中标上字母，过点A作AD⊥BD， 垂足为D，则AD=3 cm； 因为∠ABD=30°，所以AB=2AD=6 cm； 又△ABC是等腰直角三角形，故BC=AB=6 cm，根据勾股定理可得AC=AB2BC2=6262=62（cm） 答案：D 小结：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，45°的直角三角形中，斜边是直角边的2倍. 例3 如图所示，公园里有一块形如四边形ABCD的草地，测得BC=CD=10米，∠B=∠C=120°，∠A=45°.求出这块草地的面积. 解析：连结BD，作CE⊥BD,交BD于E点， 构造含特殊锐角（30°或45°）的直角三角形求解. 答案：解：连结BD，作CE⊥BD,交BD于E点. ∵DC=BC，∴△BCD是等腰三角形. ∵∠BCD=120°, ∴∠BCE=60°. 1又BC=10m, 则EC=BC=5m，∴BE=BC2EC2=53m，BD=2BE=103m, ∴2SBDC11=EC·BD=×5×103=253（m2）. 22又∠DBA=∠CBA-∠CBE=90°，∠A=45°，∴△DBA是等腰直角三角形. ∴SDAB11=BD·AB=×103×103=150（m2）. 22BDC∴这块草地的面积S=S+SDAB=（150+253）m2. 小结：对于本题中这类图形，适当添加辅助线，将图形切割为基本图形，再进行相关计算. 举一反三： 1.(2013·黔西南)一直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边的长为（ ） B. 7 C. 5 或7

解析：分长为4的边为直角边和斜边两种情况考虑. 2.如图，△ABC和△DCE都是边长为4的等边三角形，点B、C、E在同一条直线上，连接BD，则BD的长为（ ） A.3 B.23 C.33 D.43 解析：由题意易知∠BDE=90°，在Rt△BDE中，DE=4，BE=8，根据勾股定理可得BD=BE2DE2=8242=43. 6.（2013·湘西）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，若AC=6，BC=8，CD=3. （1）求DE的长； （2）求△ADB的面积. 解析：（1）根据角平分线的性质可知DE=CD=3； 11（2）BD=BC-CD=5，S△ADB=BD·AC=×5×6=15. 22例4 勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系，其中蕴含着丰富的科学知识和人文价值.图是一棵由正方形和含30°角的直角三角形按一定规律长成的勾股树，树主干自下而上第一个正方形和第一个直角三角形的面积之和为S1，第二个正方形和第二个直角三角形的面积之和为S2，…，第n个正方形和第n个直角三角形的面积之和为Sn，设第一个正方形的边长为1.请解答下列问题： （1）S1=_______； 解析：根据正方形的面积公式求出面积，再根据直角三角形三条边的关系运用勾股定理求出三角形的直角边，求出S1. 答案：解：∵第一个正方形的边长为1，∴正方形的面积为1， 又∵直角三角形一个角为30°， 311∴三角形的一条直角边为，另一条直角边就是12， 2223331∴三角形的面积为×÷2=，∴S1=1+. 28822（2）通过探究，用含n的代数式表示S，则Sn=________.

解析: 利用正方形与三角形面积扩大与缩小的规律推导出公式． 答案：解：∵第二个正方形的边长为3积的， 433，它的面积就是，也就是第一个正方形面24同理，第二个三角形的面积也是第一个三角形的面积的∴S2=（1+S3=（1+Sn=（1+33）×，依此类推， 843， 433333）××，即S3=（1+）× ()2， 8844433）×()n1（n为整数）． 84小结：（1）勾股定理反映直角三角形三边关系即a2+b2=c2，同时也反映了以直角三角形三边为正方形的面积关系，是勾股定理的另一种表现形式；（2）从简单到复杂，从特殊到一般是探究规律型问题的一般方法. 举一反三： 4.(2013·莆田)如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A，B，C，D的面积分别为2,5,1,2，则最大的正方形E的面积是__________. 解析：S3=S1+S2=SA+SB+SC+SD=2+5+1+2=10. 例5 如图，△ABC中，已知∠BAC=45°，AD⊥BC于点D，BD=2，DC=3，求AD的长.小萍灵活运用轴对称知识，将图形进行翻折变换，巧妙地解答了此题.请按照小萍的思路，探究并解答下列问题： 分别以AB，AC为对称轴，画出△ABD、△ACD的轴对称图形，D点的对称点分别为E，F，延长EB，FC相交于G点，可得四边形AEGF为正方形.设AD=x,利用勾股定理，建立关于x的方程模型，求出x的值. 解析：由四边形AEGF为正方形及对称性质得EG=GF=AE=AD=x， BD=BE=2，CD=CF=3. BG=x-2，CG=x-3，BC=BD+CD=5，在Rt△BGC中利用勾股定理列方程求解.

答案：解:∵AD=x,则AE=EG=GF=x. ∵BD=2,DC=3,∴BE=2,CF=3. ∴BG=x-2，CG=x-3. 在Rt△BGC中，BG 2+CG 2=BC 2， ∴（x-2）2+（x-3）2=5 2,化简得x 2-5x-6=0, 即（x+1）(x-6)=0，可得x+1=0 或x-6=0. ∵x+1＞0,∴x=6,∴AD=x=6. 小结：（1）对折不改变图形的大小及形状，也就是说折叠前后的图形全等，并且成轴对称，其中折痕所在的直线即为对称轴；（2）利用方程的方法求解平面图形，是方程的一种简单应用，有时候也让我们的解题更为便捷. 3.如图是一张直角三角形的纸片，两直角边AC=6 cm， BC=8 cm，现将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕 为DE，则DE的长为（ ） cm 15 cm cm 4解析：由折叠性质知AD=BD，设BD=x cm，则CD=（8-x）cm， 在Rt△ACD中，AC 2+CD 2=AD 2，∴62+(8-x) 2=x2,解得x=25；（下一步） 4在Rt△ABC中，AB=AC2BC2=6282=10（cm）,∴ AE=BE=5cm, 1525∴DE=BD2BE2=52=（cm）. 44例6 请阅读下列材料： 问题：如图甲，一圆柱的底面半径为5 dm，BC是底面直径，高AB为5 dm，求一只蚂蚁从A点出发沿圆柱表面爬行到点C的最短路线.小明设计了两条路线； 路线1：侧面展开图中的线路AC，如图乙所示. 设路线1的长度为l1，则l12=AC2=AB2+BC2=52+(5π)2=25+25π2. 路线2：高AB+底面直径BC，如图甲所示： 设路线2的长度为l2，则l22=(AB+BC)2=(5+10)2=225. ∵l12-l22=25+25π2-225=25π2-200=25（π2-8）＞0.

2

∴l12＞l22,∴l1＞l2.所以选择路线2较短. （1）小明对上述结论有些疑惑，于是他把条件改成：“圆柱的底面半径为1 dm，高AB为5 dm”继续按前面的路线进行计算.请你帮小明完成下面的计算: 路线1：l12=AC2=______ _____________； 路线2：l22=（AB+BC）2=______.∵l12_____l22，∴l1____l2（填“＞”或“＜”）， 所以应选择路线_______（填“1”或“2”）较短. （2）请你帮小明继续研究：在一般情况下，当圆柱的底面半径为r,高为h时，应如何选择上面的两条路线才能使蚂蚁从点A出发沿圆柱表面爬行到C点的路线最短. 答案：（1）AB2+BC2=52+π2；（5+2）2=49；＜；＜；1 解：（2）路线1：l12=AC2=AB2+BC2=h2+(πr)2=h2+π2r2. 路线2：l22=(AB+BC)2=(h+2r)2. ∴l12-l22=(h2+π2r2)-(h+2r)2 =π2r2-4hr-4r2. 当l12-l22＞0时, π2r2-4hr-4r2＞0,即［(π2-4)r-4h］·r＞0. 又r＞0, ∴(π2-4)r-4h＞0. 解得r＞4h. 24当l12-l22＜0时，π2r2-4hr-4r2＜0,即(π2-4)r-4h］·r＜0. 又r＞0, ∴(π2-4)r-4h＜0.∴r＜所以当r＞当0＜r＜4h, 244h时，l12＞l22，选择路线2. 244h22ll时，＜，选择路线1. 1224小结：在这道题中，勾股定理和以前学过的不等式，以及圆柱体的一些相关知识联系到了一起，对我们的综合能力要求较高. 举一反三： 5.（2013·东营）如图，圆柱形容器中，高为 m，底面周长为1 m，在容器内壁离容器底部 m的点B处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿 m与蚊子相对的点A处，则壁虎捕捉蚊子的最短距离为___________m（容器厚度忽略不计）． 解析：将圆柱侧面展开如图所示，作点A关于CD的对称

点A′,连接A′B，则A′B的长即为所求最短距离； 过点B作BE⊥AC于E， 则BE=，A′E=，根据勾股定理得 A′B=A'E2BE2=1.220.52=（m）.