湖南2013届高三第一次联考

湖南2013届高三第一次联考

数学（文）试题

由 长郡中学；衡阳八中；永州四中；岳阳县一中；湘潭县一中；湘西州民中；石门一中； 澧县一中；郴州一中；益阳市一中；桃源县一中；株洲市二中 联合命题

炎德文化审校、制作

总分：150分 时量：120分钟

一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，

请将所选答案填在答题卡中对应位置． 1．已知集合A{x|2xx20},B{x|x1},R为实数集，则(ðRB)A= A．[O，1] C．（一∞，0] 2．i是虚数单位，复数 A．2

3．若函数f(x)cosx A．最小正周期为

2

B．（0，1] D．以上都不对

2i的虚部为 1iB．－2

C．1

D．－1

1(xR)，则f(x)是 2B．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为2的偶函数

的奇函数 2 C．最小正周期为的偶函数

4．若Sn是等差数列{an}的前n项和，且S8－S4=12，则S12的值为 A．22

B．36

C．44

D．64

xy10,(a为常数)，所表示的平面区域的面积等于2，则a的值为 5．在平面直角坐标系中，若不等式组x10,axy10, A．3

B．2

C．1

D．－5

|AB|= 6．已知平面上不共线的四点O,A，B,C，若OA4OB3OC0，则|BC| A．3

B．4

C．5

D．6

7．不等式“||x1|1是”是“1og2x1”成立的 A．充分不必要条件 C．充要条件

B．必要不充分条件

D．既不充分也不必要条件

x2y238．在区间[1，5]和[2，4]上分别取一个数，记为a，b，则方程221表示焦点在x轴上且离心率小于

ab2的椭圆的概率为 A．

1 2B．

15 32C．

17 32D．

31 329．在R上定义运算：xy=x（l－y）．若对任意x>2，不等式（x－a）x≤a+2都成立，则实数a的取值范

围是

A．[一1， 7] B．（一∞，3] C．（一∞，7] D．（一∞，－1]U[7，+∞） 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．

x3cos,(为参数）10．直角坐标系xOy中，圆C的参数方程是，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建

y1sin,立坐标系，则圆心C的极坐标是 。

11．运行如图所示的程序框图，若输入n=4，则输出S的值为 ．

12．观察下列不等式：

①

1111111；②2；③3；„ 2262612 则第5个不等式为 。

13．一个几何体的三视图如图所示，则该几何 体的体积是 。

14．已知函数yf(x)是定义在R上的奇函数，且当

x(,0)时不等式，f(x)xf'(x)0恒成立，若

1a30.3f(30.3),b(1og3)f(1og3),c1og3f911og3

9 则a，b，c的大小关系（用“>”连接）是 。

15．设M是△ABC内一点，AB·AC23,BAC30，定义f(M)(m,n,p), 其中m,n,p分别是△MBC，

a22114△MAC，△MAB的面积，若f(M)(,x,y),a则的取值范围是 。

a2xy三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

16．（本小题满分12分） 在△ABC中，a，b,c分别是角A，B,C的对边，C= 2A ,cos A=

（1）求cos B，cos C的值；

3． 427 （2）若BA·BC，求边AC的长．

2 17．（本小题满分12分）

某种零件按质量标准分为1，2，3，4，5五个等级，现从批该零件中随机抽取20个，对其等级进行统计分析，

得到频率分布表如下：

等级 频率

1 0.05 2 m 3 0.15 4 0.35 5 n （1）在抽取的20个零件中，等级为5的恰有2个，求m，n的值；

（2）在（1）的条件下，从等级为3和5的所有零件中，任意抽取2个，求抽取的2个零件等级不相同的概

率．

18．（本小题满分12分）

如图，已知三棱锥P—ABC的侧面PAB是等边三角形，

D是AB的中点，PC= BC=AC=2，PB=22．

（1）求证：AB⊥平面PCD； （2）求点C到平面PAB的距离. 19．（本小题满分13分）

某产品在不做广告宣传且每千克获利a元的前提下，可卖出b千克．若做广告宣传，广告费为n千元时比广

告费为（n一1）千元时多卖出

b千克(nN*)． n2 （1）当广告费分别为1千元和2千元时，用b表示销售量s； （2）试写出销售量s与n的函数关系式；

（3）当a=50，b=200时厂家应生产多少千克这种产品，做几千元广告，才能获利最大？ 20．（本小题满分13分）

x2y2 已知椭圆C:221(ab0)的右焦点与抛物线C2:y24x的焦点F重合，椭圆C1与抛物线C2在第

ab一象限的交点为P，| PF|= （1）求椭圆Cl的方程；

5 3 （2）若过点A（－1，0）的直线与椭圆C1相交于M、N两点，求使FMFNFR成立的动点R的轨迹方程；

22 （3）若点R满足条件（2），点T是圆(x1)y1上的动点，求 |RT|的最大值，

21．（本小题满分13分） 已知函数f(x)

1(xa)21nx(a为常数）． 2121aa恒成立，求a的取值范围． 22（1）若函数在x=1处的切线斜率为2，求该切线的方程； （2）当x∈（1，3）时，f(x)x