高三数学 复数多选题专项训练知识点及练习题含答案

一、复数多选题

131．已知复数i，其中i是虚数单位，则下列结论正确的是（ ）

22A．1 C．31

B．2的虚部为D．

3 21在复平面内对应的点在第四象限

答案：AB 【分析】

求得、的虚部、、对应点所在的象限，由此判断正确选项. 【详解】

依题意，所以A选项正确； ，虚部为，所以B选项正确； ，所以C选项错误；

，对应点为，在第三象限，故D选项错误. 故选

解析：AB 【分析】

求得、2的虚部、3、【详解】

12对应点所在的象限，由此判断正确选项.

13依题意1，所以A选项正确； 22131331332iii，虚部为，所以B选项正确； 222424222313131321，所以C选项错误； 22i22i222221313ii11132222i，对应点为222211331313iii22222222132,2，在第三象限，故D选项错误. 故选：AB

【点睛】

本小题主要考查复数的概念和运算，考查复数对应点所在象限，属于基础题. 2．已知复数z，下列结论正确的是（ ） A．“zz0”是“z为纯虚数”的充分不必要条件 B．“zz0”是“z为纯虚数”的必要不充分条件 C．“zz”是“z为实数”的充要条件 D．“zzR”是“z为实数”的充分不必要条件

答案：BC 【分析】

设，可得出，利用复数的运算、复数的概念结合充分条件、必要条件的定义进行判断，从而可得出结论. 【详解】 设，则，

则，若，则，，若，则不为纯虚数， 所以，“”是“为纯虚数”必要不充分

解析：BC 【分析】

设zabia,bR，可得出zabi，利用复数的运算、复数的概念结合充分条件、必要条件的定义进行判断，从而可得出结论. 【详解】

设zabia,bR，则zabi，

则zz2a，若zz0，则a0，bR，若b0，则z不为纯虚数， 所以，“zz0”是“z为纯虚数”必要不充分条件；

若zz，即abiabi，可得b0，则z为实数，“zz”是“z为实数”的充要条件；

zza2b2R，z为虚数或实数，“zzR”是“z为实数”的必要不充分条

件. 故选：BC. 【点睛】

本题考查充分条件、必要条件的判断，同时也考查了共轭复数、复数的基本概念的应用，考查推理能力，属于基础题.

3．对任意z1，z2，zC，下列结论成立的是（ ） A．当m，nN*时，有zmznzmn

20，则z10且z20 B．当z1，z2C时，若z12z2C．互为共轭复数的两个复数的模相等，且|z|2|z|2zz

D．z1z2的充要条件是z1z2

答案：AC 【分析】

根据复数乘法的运算律和复数的模及共轭复数的概念可判断出答案A和C正确；C中可取，进行判断；D中的必要不充分条件是. 【详解】

解：由复数乘法的运算律知，A正确； 取，；，满足，但且不

解析：AC 【分析】

根据复数乘法的运算律和复数的模及共轭复数的概念可判断出答案A和C正确；C中可取

z11，z2i进行判断；D中z1z2的必要不充分条件是z1z2.

【详解】

解：由复数乘法的运算律知，A正确；

20，但z10且z20不成立，B错误； 取z11，；z2i，满足z12z2由复数的模及共轭复数的概念知结论成立，C正确； 由z1z2能推出z1z2，但|z1||z2|推不出z1z2， z2的必要不充分条件是z1z2，D错误.

因此z1故选：AC 【点睛】

本题主要考查复数乘法的运算律和复数的基本知识以及共轭复数的概念，属于基础题. 4．复数z2i，i是虚数单位，则下列结论正确的是（ ） 1iB．z的共轭复数为

A．|z|5 C．z的实部与虚部之和为2

31i 22D．z在复平面内的对应点位于第一象限

答案：CD 【分析】

根据复数的四则运算，整理复数，再逐一分析选项，即得. 【详解】

由题得，复数，可得，则A不正确；的共轭复数为，则B不正确；的实部与虚部之和为，则C正确；在复平面内的对应点为，位于第一

解析：CD 【分析】

根据复数的四则运算，整理复数z，再逐一分析选项，即得. 【详解】

由题得，复数z2i(2i)(1i)13i13i，可得1i(1i)(1i)1i222131310，则A不正确；z的共轭复数为i，则B不正确；z的实|z|()2()2222221313部与虚部之和为2，则C正确；z在复平面内的对应点为(,)，位于第一象限，

2222则D正确.综上，正确结论是CD. 故选：CD 【点睛】

本题考查复数的定义，共轭复数以及复数的模，考查知识点全面. 5．对于复数zabi(a,bR)，下列结论错误的是（ ）. ．．A．若a0，则abi为纯虚数 C．若b0，则abi为实数

B．若abi32i，则a3,b2 D．纯虚数z的共轭复数是z

答案：AB 【分析】

由复数的代数形式的运算，逐个选项验证可得． 【详解】 解：因为

当且时复数为纯虚数，此时，故A错误，D正确； 当时，复数为实数，故C正确； 对于B：，则即，故B错误； 故错误的有AB

解析：AB 【分析】

由复数的代数形式的运算，逐个选项验证可得． 【详解】

解：因为zabi(a,bR)

当a0且b≠0时复数为纯虚数，此时zbiz，故A错误，D正确； 当b0时，复数为实数，故C正确；

a3a3对于B：abi32i，则即，故B错误；

b2b2故错误的有AB； 故选：AB 【点睛】

本题考查复数的代数形式及几何意义，属于基础题．

6．已知复数za3i在复平面内对应的点位于第二象限，且z2 则下列结论正确的

是（ ）． A．z38

C．z的共轭复数为13i

B．z的虚部为3 D．z24

答案：AB 【分析】

利用复数的模长运算及在复平面内对应的点位于第二象限求出 ，再验算每个选项得解. 【详解】 解：，且，

复数在复平面内对应的点位于第二象限 选项A:

选项B: 的虚部是 选项C:

解析：AB 【分析】

利用复数z2的模长运算及za3i在复平面内对应的点位于第二象限求出a ，再验算每个选项得解. 【详解】 解：

za3i，且z2a2(3)24，a=1

复数za3i在复平面内对应的点位于第二象限a1 选项A: (13i)3(1)3+3(1)23i+3(1)(3i)2(3i)38 选项B: z13i的虚部是3

选项C: z13i的共轭复数为z13i

选项D: (13i)2(1)2+2(1)3i+(3i)2223i 故选：AB． 【点睛】

本题考查复数的四则运算及共轭复数，考查运算求解能力. 求解与复数概念相关问题的技巧:

复数的分类、复数的相等、复数的模及共轭复数的概念都与复数的实部、虚部有关，所以解答与复数相关概念有关的问题时，需把所给复数化为代数形式，即a+bi(a，bR)的形式，再根据题意求解．

7．设复数z满足z12i,i为虚数单位,则下列命题正确的是( ) A．|z|5 C．z的共轭复数为12i

B．复数z在复平面内对应的点在第四象限 D．复数z在复平面内对应的点在直线

y2x上

答案：AC 【分析】

根据复数的模、复数对应点的坐标、共轭复数等知识，选出正确选项. 【详解】

,A正确;复数z在复平面内对应的点的坐标为,在第三象限,B不正确;z的共轭复数为,C正确;复数z在复平面内对

解析：AC 【分析】

根据复数的模、复数对应点的坐标、共轭复数等知识，选出正确选项. 【详解】

|z|(1)2(2)25,A正确;复数z在复平面内对应的点的坐标为(1,2),在第三象

限,B不正确;z的共轭复数为12i,C正确;复数z在复平面内对应的点(1,2)不在直线

y2x上,D不正确.

故选:AC 【点睛】

本小题主要考查复数的有关知识，属于基础题.

8．已知复数z的共轭复数为z，且zi1i，则下列结论正确的是（ ） A．z15 B．z虚部为i

C．z202021010

D．z2zz

答案：ACD 【分析】

先利用题目条件可求得，再根据复数的模的计算公式，以及复数的有关概念和复数的四则运算法则即可判断各选项的真假． 【详解】

由可得，，所以，虚部为； 因为，所以，． 故选：ACD． 【

解析：ACD 【分析】

先利用题目条件可求得z，再根据复数的模的计算公式，以及复数的有关概念和复数的四则运算法则即可判断各选项的真假． 【详解】

由zi1i可得，z1i21i，所以z12i2215，z虚部为i1；

因为z22i,z422，所以z2020z4故选：ACD． 【点睛】

50521010，z2z2i1i1iz．

本题主要考查复数的有关概念的理解和运用，复数的模的计算公式的应用，复数的四则运算法则的应用，考查学生的数学运算能力，属于基础题． 9．i是虚数单位，下列说法中正确的有（ ） A．若复数z满足zz0，则z0

B．若复数z1，z2满足z1z2z1z2，则z1z20 C．若复数zaai(aR)，则z可能是纯虚数

D．若复数z满足z234i，则z对应的点在第一象限或第三象限

答案：AD 【分析】

A选项，设出复数，根据共轭复数的相关计算，即可求出结果； B选项，举出反例，根据复数模的计算公式，即可判断出结果； C选项，根据纯虚数的定义，可判断出结果； D选项，设出复数，根据题

解析：AD 【分析】

A选项，设出复数，根据共轭复数的相关计算，即可求出结果； B选项，举出反例，根据复数模的计算公式，即可判断出结果； C选项，根据纯虚数的定义，可判断出结果；

D选项，设出复数，根据题中条件，求出复数，由几何意义，即可判断出结果. 【详解】

A选项，设zabia,bR，则其共轭复数为zabia,bR， 则zza2b20，所以ab0，即z0；A正确；

B选项，若z11，z2i，满足z1z2z1z2，但z1z2i不为0；B错； C选项，若复数zaai(aR)表示纯虚数，需要实部为0，即a0，但此时复数

z0表示实数，故C错；

D选项，设zabia,bR，则z2abia22abib234i，

2a2b23a2a2所以，解得或，则z2i或z2i，

b1b12ab4所以其对应的点分别为2,1或2,1，所以对应点的在第一象限或第三象限；D正确. 故选：AD.

10．已知复数z满足（1﹣i）z＝2i，则下列关于复数z的结论正确的是（ ）

A．|z|2 B．复数z的共轭复数为z＝﹣1﹣i C．复平面内表示复数z的点位于第二象限 D．复数z是方程x2+2x+2＝0的一个根

答案：ABCD 【分析】

利用复数的除法运算求出，再根据复数的模长公式求出，可知正确；根据共轭复数的概念求出，可知正确；根据复数的几何意义可知正确；将代入方程成立，可知正确. 【详解】 因为（1﹣i）z＝

解析：ABCD 【分析】

利用复数的除法运算求出z1i，再根据复数的模长公式求出|z|，可知A正确；根据共轭复数的概念求出z，可知B正确；根据复数的几何意义可知C正确；将z代入方程成立，可知D正确. 【详解】

因为（1﹣i）z＝2i，所以z2i(1i)22i2i1i，所以(1i)(1i)21i|z|112，故A正确；

所以z1i，故B正确；

由z1i知，复数z对应的点为(1,1)，它在第二象限，故C正确； 因为(1i)2(1i)22i22i20，所以D正确. 故选：ABCD. 【点睛】

本题考查了复数的除法运算，考查了复数的模长公式，考查了复数的几何意义，属于基础题.

11．下列说法正确的是（ ） A．若z2，则zz4

B．若复数z1，z2满足z1z2z1z2，则z1z20 C．若复数z的平方是纯虚数，则复数z的实部和虛部相等

D．“a1”是“复数za1a1iaR是虚数”的必要不充分条件

22答案：AD 【分析】

由求得判断A；设出，，证明在满足时，不一定有判断B；举例说明C错误；由

充分必要条件的判定说明D正确. 【详解】

若，则，故A正确； 设， 由，可得

则，而不一定为0，故B错误； 当时

解析：AD 【分析】

由z求得zz判断A；设出z1，z2，证明在满足z1z2z1z2时，不一定有z1z20判断B；举例说明C错误；由充分必要条件的判定说明D正确. 【详解】

若z2，则zzz4，故A正确；

设z1a1bi1a1,b1R，z2a2b2ia2,b2R 由z1z2z1z2，可得

2z1z2a1a2b1b2z1z2a1a2b1b2

则a1a2b1b20，而

222222z1z2a1bi1a2b2ia1a2bb12a1b2ib1a2i2a1a2a1b2ib1a2i不一定为0，故

B错误；

当z1i时z22i为纯虚数，其实部和虚部不相等，故C错误； 若复数za1a1iaR是虚数，则a210，即a1

2所以“a1”是“复数za1a1iaR是虚数”的必要不充分条件，故D正确；

2故选：AD 【点睛】

本题考查的是复数的相关知识，考查了学生对基础知识的掌握情况，属于中档题. 12．已知复数z满足z2724i，在复平面内，复数z对应的点可能在（ ） A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限

答案：BD 【分析】

先设复数，根据题中条件，由复数的乘法运算，以及复数相等的充要条件求出，即可确定对应的点所在的象限. 【详解】 设复数，

则， 所以， 则，解得或，

因此或，所以对应的点为或， 因此复

解析：BD 【分析】

先设复数zabia,bR，根据题中条件，由复数的乘法运算，以及复数相等的充要条件求出z，即可确定对应的点所在的象限. 【详解】

设复数zabia,bR， 则z2a22abib2724i， 所以z2a22abib2724i，

a2b27a3a3则，解得或，

b4b42ab24因此z34i或z34i，所以对应的点为3,4或3,4， 因此复数z对应的点可能在第二或第四象限. 故选：BD. 【点睛】

本题主要考查判定复数对应的点所在的象限，熟记复数的运算法则，以及复数相等的条件即可，属于基础题型.

13．若复数z满足z2i34i（i为虚数单位），则下列结论正确的有（ ） A．z的虚部为3 C．z的共轭复数为23i

B．z13 D．z是第三象限的点

答案：BC 【分析】

利用复数的除法求出复数，利用复数的概念与几何意义可判断各选项的正误. 【详解】

，，所以，复数的虚部为，，共轭复数为，复数在复平面对应的点在第四象限. 故选：BD. 【点睛】 本题考

解析：BC 【分析】

利用复数的除法求出复数z，利用复数的概念与几何意义可判断各选项的正误.

【详解】

34i23i2，所以，复数z的虚部为3，z13，i共轭复数为23i，复数z在复平面对应的点在第四象限. 故选：BD. 【点睛】

z2i34i，z本题考查复数的四则运算、虚部、模、共轭复数以及几何意义，考查计算能力，属于基础题.

14．已知复数z012i（i为虚数单位）在复平面内对应的点为P0，复数z满足

|z1||zi|，下列结论正确的是（ ）

A．P0点的坐标为(1,2) 虚轴对称

C．复数z对应的点Z在一条直线上

D．P0与z对应的点Z间的距离的最小值为B．复数z0的共轭复数对应的点与点P0关于

2 2答案：ACD 【分析】

根据复数对应的坐标，判断A选项的正确性.根据互为共轭复数的两个复数坐标的对称关系，判断B选项的正确性.设出，利用，结合复数模的运算进行化简，由此判断出点的轨迹，由此判读C选项的正确

解析：ACD 【分析】

根据复数对应的坐标，判断A选项的正确性.根据互为共轭复数的两个复数坐标的对称关系，判断B选项的正确性.设出z，利用|z1||zi|，结合复数模的运算进行化简，由此判断出Z点的轨迹，由此判读C选项的正确性.结合C选项的分析，由点到直线的距离公式判断D选项的正确性. 【详解】

复数z012i在复平面内对应的点为P0(1,2)，A正确； 复数z0的共轭复数对应的点与点P0关于实轴对称，B错误；

设zxyi(x,yR)，代入|z1||zi|，得|(x1)yix(y1)i|，即

(x1)2y2x2(y1)2，整理得，yx；即Z点在直线yx上，C正确；

易知点P0到直线yx的垂线段的长度即为P0、Z之间距离的最小值，结合点到直线的距离公式可知，最小值为故选：ACD

1222，故D正确. 2【点睛】

本小题主要考查复数对应的坐标，考查共轭复数，考查复数模的运算，属于基础题. 15．下面是关于复数zA．|z|2的四个命题，其中真命题是（ ） 1iC．z的共轭复数为1i D．z的虚部为1

2 B．z22i

答案：ABCD 【分析】

先根据复数的除法运算计算出，再依次判断各选项. 【详解】 ，

，故A正确；，故B正确；的共轭复数为，故C正确；的虚部为，故D正确； 故选：ABCD. 【点睛】

本题考查复数的除法

解析：ABCD 【分析】

先根据复数的除法运算计算出z，再依次判断各选项. 【详解】

zz21i21i， 1i1i1i112，故A正确；z21i2i，故B正确；z的共轭复数

222为1i，故C正确；z的虚部为1，故D正确； 故选：ABCD. 【点睛】

本题考查复数的除法运算，以及对复数概念的理解，属于基础题. 16．已知复数z满足z2z0，则z可能为（ ）. A．0

B．2

C．2i

D．2i+1

2答案：AC 【分析】

令，代入原式，解出的值，结合选项得出答案． 【详解】 令，代入， 得，

解得，或，或， 所以，或，或. 故选：AC

【点睛】

本题考查复数的运算，考查学生计算能力，属于基础题．

解析：AC 【分析】

令zabia,bR，代入原式，解出a,b的值，结合选项得出答案． 【详解】

令zabia,bR，代入z2z0，

2得a2b22a2b22abi0，

a0a0a0解得，或，或，

b0b2b2所以z0，或z2i，或z2i. 故选：AC 【点睛】

本题考查复数的运算，考查学生计算能力，属于基础题． 17．已知复数Z在复平面上对应的向量OZ(1,2),则（ ） A．z=-1+2i

B．|z|=5

C．z12i

D．zz5

答案：AD 【分析】

因为复数Z在复平面上对应的向量，得到复数，再逐项判断. 【详解】

因为复数Z在复平面上对应的向量， 所以，，|z|=，， 故选：AD

解析：AD 【分析】

因为复数Z在复平面上对应的向量OZ(1,2)，得到复数z12i，再逐项判断. 【详解】

因为复数Z在复平面上对应的向量OZ(1,2)， 所以z12i，z12i，|z|=5，zz5， 故选：AD

18．下面四个命题，其中错误的命题是（ ） A．0比i大 复数

C．xyi1i的充要条件为xy1

D．任何纯虚数的平方都是负实数 B．两个复数当且仅当其和为实数时互为共轭

答案：ABC

【分析】

根据虚数不能比大小可判断A选项的正误；利用特殊值法可判断B选项的正误；利用特殊值法可判断C选项的正误；利用复数的运算可判断D选项的正误. 【详解】

对于A选项，由于虚数不能比大小，

解析：ABC 【分析】

根据虚数不能比大小可判断A选项的正误；利用特殊值法可判断B选项的正误；利用特殊值法可判断C选项的正误；利用复数的运算可判断D选项的正误. 【详解】

对于A选项，由于虚数不能比大小，A选项错误；

对于B选项，1i2i3，但1i与2i不互为共轭复数，B选项错误； 对于C选项，由于xyi1i，且x、y不一定是实数，若取xi，yi，则

xyi1i，

C选项错误；

对于D选项，任取纯虚数aia0,aR，则aia20，D选项正确.

2故选：ABC. 【点睛】

本题考查复数相关命题真假的判断，涉及共轭复数的概念、复数相等以及复数的计算，属于基础题.

19．已知i为虚数单位，则下列选项中正确的是（ ） A．复数z34i的模z5

B．若复数z34i，则z（即复数z的共轭复数）在复平面内对应的点在第四象限 C．若复数m3m4m2m24i是纯虚数，则m1或m4 D．对任意的复数z，都有z2220

答案：AB 【分析】

求解复数的模判断；由共轭复数的概念判断；由实部为0且虚部不为0求得值判断；举例说明错误． 【详解】

解：对于，复数的模，故正确；

对于，若复数，则，在复平面内对应的点的坐标为，在第四

解析：AB 【分析】

求解复数的模判断A；由共轭复数的概念判断B；由实部为0且虚部不为0求得m值判断

C；举例说明D错误． 【详解】

解：对于A，复数z34i的模|z|32425，故A正确；

对于B，若复数z34i，则z34i，在复平面内对应的点的坐标为(3,4)，在第四象限，故B正确；

对于C，若复数(m23m4)(m22m24)i是纯虚数，

m23m40则2，解得m1，故C错误； m2m240对于D，当z故选：AB． 【点睛】

本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，考查复数模的求法，属于基础题．

20．已知i为虚数单位，下列说法正确的是( ) A．若x,yR，且xyi1i，则xy1 B．任意两个虚数都不能比较大小

20，则z1z20 C．若复数z1，z2满足z12z2i时，z210，故D错误．

D．i的平方等于1

答案：AB 【分析】

利用复数相等可选A，利用虚数不能比较大小可选B，利用特值法可判断C错误，利用复数的运算性质可判断D错误． 【详解】

对于选项A，∵，且，根据复数相等的性质，则，故正确； 对于选项B，

解析：AB 【分析】

利用复数相等可选A，利用虚数不能比较大小可选B，利用特值法可判断C错误，利用复数的运算性质可判断D错误． 【详解】

对于选项A，∵x,yR，且xyi1i，根据复数相等的性质，则xy1，故正确；

对于选项B，∵虚数不能比较大小，故正确；

20，则z1z20，故不正确； 对于选项C，∵若复数z1=i，z2=1满足z12z2对于选项D，∵复数i=1，故不正确； 故选：AB．

2【点睛】

本题考查复数的相关概念，涉及复数的概念、复数相等、复数计算等知识，属于基础题. 21．已知复数z满足zz2iz3ai，aR，则实数a的值可能是（ ） A．1

B．4

C．0

D．5

答案：ABC 【分析】

设，从而有，利用消元法得到关于的一元二次方程，利用判别式大于等于0，从而求得a的范围，即可得答案. 【详解】 设，∴， ∴，

∴，解得：， ∴实数的值可能是. 故选：ABC. 【点

解析：ABC 【分析】

22设zxyi，从而有xy2i(xyi)3ai，利用消元法得到关于y的一元二次方

程，利用判别式大于等于0，从而求得a的范围，即可得答案. 【详解】

22设zxyi，∴xy2i(xyi)3ai，

x2y22y3,a22y2y30， ∴42xa,a2∴44(3)0，解得：4a4，

4∴实数a的值可能是1,4,0.

故选：ABC. 【点睛】

本题考查复数的四则运算、模的运算，考查函数与方程思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力.

22．已知i为虚数单位,下列命题中正确的是( ) A．若x,yC,则xyi1i的充要条件是xy1 B．(a21)i(aR)是纯虚数

20,则z1z20 C．若z12z2D．当m4时,复数lg(m22m7)(m25m6)i是纯虚数

答案：BD

【分析】

选项A：取,满足方程，所以错误；选项B：,恒成立，所以正确；选项C：取,,，所以错误；选项D：代入 ，验证结果是纯虚数，所以正确. 【详解】 取,,则,

但不满足,故A错误； ,恒成

解析：BD 【分析】

选项A：取xi,yi满足方程，所以错误；选项B：aR,a210恒成立，所以

20，所以错误；选项D：m4代入 正确；选项C：取z1i,z21,z12z2lg(m22m7)(m25m6)i，验证结果是纯虚数，所以正确.

【详解】

取xi,yi,则xyi1i, 但不满足xy1,故A错误；

aR,a210恒成立,所以(a21)i是纯虚数,

故B正确；

20,但z1z20不成立,故C错误; 取z1i,z21,则z12z2m4时，复数1g(m22m7)(m25m6)i=42i是纯虚数,

故D正确. 故选:BD. 【点睛】

本题考查复数有关概念的辨析，特别要注意复数的实部和虚部都是实数，解题时要合理取特殊值，属于中档题.