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自主招生数学习题选编极坐标系

2022-02-23 来源:好走旅游网
自主招生数学习题选编极坐标系

1、在极坐标系中,极点到直线sin()1的距离为 .

6答案:1

2、(复旦2009选拔)设a0,极坐标方程a(1cos),0,所表示的曲线的大致图像是( ) A 提示:描点验证(心脏线)。 答案:B

3、若曲线C的极坐标方程是2cos2,给定两个点M(0,0)和N(2,),则有 ( )

(A)MC但NC(B)MC且NC(C)MC但NC(D)MC且NC 提示:M(0,0)M(0,),N(2,)N(2,0)。

2答案:D

4、求53sin5cos的圆心坐标,0,2.

B C D 5532);极坐标(5,) 答案:直角坐标(,2235、ABC中,ABa,顶点C在AB上方移动,且A2C,建立适当的极坐标系,求顶点C的轨迹方程.

解一:以A为极点,射线AB为极轴建立极坐标系,设C(,)(0由正弦定理,

2), 3 C 3a2a(12cos), a3sinsin()sin2222即a(12cos)(0)。

3sin解二:以B为极点,BA的反向延长线为极轴建立极坐标系, 设C(,)(0), 由正弦定理,

A a B 2a32acos, a23sinsinsin333sin∴2acos3(0)。

答案:以A为极点,射线AB为极轴建立极坐标系,

a(12cos)(02). 3以B为极点,BA的反向延长线为极轴建立极坐标系,

2acos3(0).

6、设a2b20,R,讨论方程abc0所表示的曲线形状.

c,方程表示一条等速螺线. acc②当a0,b0时,,方程表示一条过极点且极角为的直线.

bbc③当a0,b0时,.

ac若c0,方程表示极点;若c0,方程表示以极点为圆心、半径为||的圆.

a答案:①当ab0时,7、已知半径为2的定圆C外一定点A,且|AC|4,在圆上任取一点P,以AP为一边逆时针作等边三角形APQ,当P在圆上运动时,求点Q的轨迹方程。

分析:如图所示,以A为极点,射线AC为极轴建立极坐标系, 则圆C的极坐标方程为

A P C ba Q 41624cos,

即28cos120。

设Q(,),则P(,),将其代入上述方程,得

2 x 328cos()120,即为点Q的轨迹方程。

3答案:以A为极点,射线AC为极轴建立极坐标系,28cos()120.

3x2y2OB互相垂直,求OAB面积的最大值与最小值. 8、已知椭圆221的两条半径OA、ab分析:以原点为极点,x轴为极轴建立极坐标系, 将xcos,ysin代入椭圆方程, 得

y B A O x 2cos2a222sin2b21,

a2b2即2。

bcos2a2sin2设A(1,),B(2,2),则

SOAB11a2b2 1222(b2cos2a2sin2)(b2sin2a2cos2)a2b24b4bccsin2|max42242,

当sin20时,SOABa2b24b44b2c2a2b2ab; 2a2b2当sin21时,SOAB|min。 224224ab4b4bcc答案:SOAB|maxa2b24b44b2c2ab; 2a2b2SOAB|min2 24224ab4b4bcc

a2b2

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