人教A版高一数学必修第一册《一元二次函数、方程和不等式》单元练习题卷（共22题）
一、选择题（共10题）
1. 设 𝑎>0，𝑏>0，𝑎+𝑏=2，则 𝑦=𝑎+𝑏 的最小值是 ( )
2. 若 −4<𝑥<1，则
3. 在关于 𝑥 的不等式 𝑥2−(𝑎+1)𝑥+𝑎<0 的解集中至多包含 1 个整数，则 𝑎 的取值范围是 ( )
4. 已知 𝑥∈[0,2]，则 √𝑥(2−𝑥) 的最大值是 ( )
5. 设 𝑎，𝑏 为正数，且 2𝑎+𝑏=1，则 𝑎𝑏 的最大值为 ( )
6. 已知正数 𝑎，𝑏 满足 𝑎𝑏=10，那么 𝑎+𝑏 的最小值等于 ( )
8. 若 𝑥∈𝐑，𝑦∈𝐑，则 ( )
9. 如果 𝑎<0，𝑏>0，那么下列不等式中正确的是
10. 下列说法正确的是 ( )
1
𝑥2−2𝑥+2𝑥−1
1
1
A． 2 B． 1 C． 4 D．
2
1
有 ( )
C．最小值 −2
D．最大值 −2
A．最小值 2 B．最大值 2
A． (−3,5) B． (−2,4) C． [−1,3] D． [−2,4]
A． 8 B． 2 C． 1 D． 0
A． 4 B． 8
C． 4
1
D． 8
1
A．2 B．√10 C．2√10 D．20
7. 若 16−𝑥2≥0，则 ( )
A． 0≤𝑥≤4 C． −4≤𝑥≤4
B． −4≤𝑥≤0 D． 𝑥≤−4 或 𝑥≥4
A． 𝑥2+𝑦2>2𝑥𝑦−1 C． 𝑥2+𝑦2<2𝑥𝑦−1
B． 𝑥2+𝑦2=2𝑥𝑦−1 D． 𝑥2+𝑦2≤2𝑥𝑦−1
A．< 𝑎
𝑏
11
B．√−𝑎<√𝑏
C．𝑎2<𝑏2
D．∣𝑎∣>∣𝑏∣
A．某人月收入 𝑥 元不高于 2000 元可表示为“𝑥<2000”
B．小明的身高为 𝑥，小华的身高为 𝑦，则小明比小华矮可表示为“𝑥>𝑦” C．变量 𝑥 不小于 𝑎 可表示为“𝑥≥𝑎” D．变量 𝑦 不超过 𝑎 可表示为“𝑦≥𝑎”
二、填空题（共6题）
11. 若 0<𝑎<1，则关于 𝑥 的不等式 𝑎𝑥2−1≤𝑥(𝑎−1) 的解集是 ．
12. 如果 𝑎=𝑏，𝑏=𝑐，那么 𝑎 𝑐；如果 𝑎=𝑏，那么 𝑎+𝑐 𝑏+𝑐；如果 𝑎=𝑏，那么
𝑎𝑐 𝑏𝑐．
13. 已知 𝑎>0，𝑏>0，𝑎+2𝑏=8，则当且仅当 𝑎= ，𝑏= 时，𝑎𝑏 有最 值为 ．
14. 作差比较法．
两个实数 𝑎 与 𝑏 之间的大小关系，可以通过它们的差与零相比较来确定，即 𝑎>𝑏 的充要条件是 𝑎−𝑏 0； 𝑎=𝑏 的充要条件是 𝑎−𝑏 0； 𝑎<𝑏 的充要条件是 𝑎−𝑏 0．
15. 二次函数 𝑦=𝑥2−4𝑥+3 在 𝑦<0 时 𝑥 的取值范围是 ．
16. 函数 𝑦=𝑥+𝑥(𝑥>0) 的最小值为 ．
三、解答题（共6题）
17. 转化为不等式组的根据是什么？
18. 对于实数 𝑥，规定：若 𝑛≤𝑥<𝑛+1(𝑛∈𝐍)，则 𝑛=[𝑥]．例如，[3]=[3.1]=[3.5]=[3.9]=
3．解不等式 4[𝑥]2−36[𝑥]+45<0．
19. 举出几个现实生活中与不等式有关的例子．
20. 如何判断一个不等式是一元二次不等式？
21. 设 𝑥∈𝐑，比较 1+𝑥 与 1−𝑥 的大小．
22. 请回答：
2
14
(1) 基本不等式 1：
对任意实数 𝑎 和 𝑏，有 ，当且仅当 𝑎=𝑏 时等号成立． (2) 基本不等式 2：
对任意正数 𝑎，𝑏，有 ，当且仅当 𝑎=𝑏 时等号成立． (3) 两个不等式有什么区别？有什么推广结论？ (4) 几何意义：
我们称
𝑎+𝑏2
为 𝑎，𝑏 的 ，称 √𝑎𝑏 为 𝑎，𝑏 的 ，因而，基本不等式 2 又可叙述为：
两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．
3
答案
一、选择题（共10题） 1. 【答案】A
【解析】由题知， 𝑦
=𝑎+𝑏
=2(𝑎+𝑏)(𝑎+𝑏)
=2(1+1+𝑎+𝑏) ≥2(2+2√𝑎⋅𝑏)=2.
当且仅当 𝑎=𝑏=1 时取等号， 所以 𝑦=+ 的最小值是 2，故选A．
𝑎
𝑏1
1
1
𝑏
𝑎
1
𝑏
𝑎
1
1
1
1
1
【知识点】均值不等式的应用
2. 【答案】D
【知识点】均值不等式的应用
3. 【答案】C
【解析】因为关于 𝑥 的不等式 𝑥2−(𝑎+1)𝑥+𝑎<0 可化为 (𝑥−1)(𝑥−𝑎)<0， 当 𝑎>1 时，不等式的解集为 {𝑥∣ 1<𝑥<𝑎}， 当 𝑎<1 时，不等式的解集为 {𝑥∣ 𝑎<𝑥<1}， 当 𝑎=1 时，不等式的解集为 ∅，
要使得解集中至多包含 1 个整数，则 𝑎=1 或 1<𝑎≤3 或 −1≤𝑎<1， 所以实数 𝑎 的取值范围是 𝑎∈[−1,3]，故选C． 【知识点】二次不等式的解法
4. 【答案】C
【知识点】均值不等式的应用
5. 【答案】D
【知识点】均值不等式的含义
6. 【答案】C
【知识点】均值不等式的应用
7. 【答案】C
【知识点】二次不等式的解法
4
8. 【答案】A
【知识点】不等式的性质
9. 【答案】A
【知识点】不等式的性质
10. 【答案】C
【解析】对于A，𝑥 应满足 𝑥≤2000，故A错误；对于B，𝑥，𝑦 应满足 𝑥<𝑦，故B错误；C 正确；对于D，𝑦 与 𝑎 的关系可表示为“𝑦≤𝑎”，故D错误，选 C． 【知识点】不等式的性质
二、填空题（共6题）
11. 【答案】 {𝑥∣ −≤𝑥≤1}
𝑎1
【解析】原不等式可化为 (𝑎𝑥+1)⋅(𝑥−1)≤0． 方程 (𝑎𝑥+1)(𝑥−1)=0 的两根为 −𝑎，1． 因为 0<𝑎<1，
所以解集为 {𝑥∣ −𝑎≤𝑥≤1}． 【知识点】二次不等式的解法
12. 【答案】 = ； = ； =
【知识点】不等式的性质
13. 【答案】 4 ； 2 ；大； 8
【知识点】均值不等式的应用
14. 【答案】 > ； = ； <
【知识点】不等式的性质
15. 【答案】 {𝑥∣ 1<𝑥<3}
【知识点】二次不等式的解法
16. 【答案】 4
5
1
1
【解析】因为 𝑥>0，
所以 𝑦=𝑥+≥4，当且仅当 𝑥=，即 𝑥=2 时取等号，故函数 𝑦=𝑥+(𝑥>0) 的最小值
𝑥
𝑥
𝑥
4
4
4
为 4．
【知识点】均值不等式的应用
三、解答题（共6题）
17. 【答案】实数的乘法法则：同号得正，异号得负．
【知识点】不等式的性质
18. 【答案】解不等式可得 <[𝑥]<
23
152
，
所以 [𝑥] 的可能值为 2，3，4，5，6，7． 因为 𝑛≤𝑥<𝑛+1(𝑛∈𝐍)，𝑛=[𝑥]， 所以 2≤𝑥<8，即解集为 [2,8)．
【知识点】二次不等式的解法
19. 【答案】略．
【知识点】不等式的性质
20. 【答案】注意两点，首先是否只有一个未知数 𝑥，其次，注意分析二次项系数是否为 0（特别二
次项系数含参数时）．
【知识点】二次不等式的解法
21. 【答案】 1+𝑥−(1−𝑥)=1+𝑥．
①当 𝑥=0 时，
𝑥21+𝑥
1
𝑥2
=0，则
11+𝑥
=1−𝑥；
𝑥2
②当 1+𝑥<0，即 𝑥<−1 时，
1+𝑥
<0，则
11+𝑥
<1−𝑥；
𝑥2
1
③当 1+𝑥>0 且 𝑥≠0，即 −1<𝑥<0 或 𝑥>0 时，1+𝑥>0，则 1+𝑥>1−𝑥． 【知识点】不等式的性质
22. 【答案】
(1) 𝑎2+𝑏2≥2𝑎𝑏
6
(2)
𝑎+𝑏2
≥√𝑎𝑏
(3) 第一个不等式成立的条件是 𝑎，𝑏 为实数，第二个不等式成立的条件是 𝑎，𝑏 为正实数．对于第二个不等式，还可以化为 𝑎𝑏≤((4) 算术平均数；几何平均数 【知识点】均值不等式的含义
𝑎+𝑏22
) 作为积化和的公式．
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