第十九讲* 平面几何中的几个著名定理
几何学起源于土地测量，几千年来，人们对几何学进行了深入的研究，现已发展成为一门具有严密的逻辑体系的数学分支．人们从少量的公理出发，经过演绎推理得到不少结论，这些结论一般就称为定理．平面几何中有不少定理，除了教科书中所阐述的一些定理外，还有许多著名的定理，以这些定理为基础，可以推出不少几何事实，得到完美的结论，以至巧妙而简捷地解决不少问题．而这些定理的证明本身，给我们许多有价值的数学思想方法，对开阔眼界、活跃思维都颇为有益．有些定理的证明方法及其引伸出的结论体现了数学的美，使人们感到对这些定理的理解也可以看作是一种享受．下面我们来介绍一些著名的定理．
1．梅内劳斯定理
亚历山大里亚的梅内劳斯(Menelaus，约公元100年，他和斯巴达的Menelaus是两个人)曾著《球面论》，着重讨论球面三角形的几何性质．以他的名子命名的“梅内劳斯定理”现载在初等几何和射影几何的书中，是证明点共线的重要定理．
定理 一直线与△ABC的三边AB，BC，CA或延长线分别相交于X，Y，Z，则
证 过A，B，C分别作直线XZY的垂线，设垂足分别为Q，P，S，见图3－98．由△AXQ∽△BXP得
同理
将这三式相乘，得
说明 (1)如果直线与△ABC的边都不相交，而相交在延长线上，同样可证得上述结论，但一定要有交点，且交点不在顶点上，否则定理的结论中的分母出现零，分子也出现零，这时定理的结论应改为
AX×BY×CZ=XB×YC×ZA，
仍然成立．
(2)梅内劳斯定理的逆定理也成立，即“在△ABC的边AB和AC上分别取点X，Z，在
BC的延长线上取点Y，如果
那么X，Y，Z共线”．梅内劳斯定理的逆定理常被用来证明三点共线．
例1 已知△ABC的内角∠B和∠C的平分线分别为BE和CF，∠A的外角平分线与BC的延长线相交于D，求证：D，E，F共线．
证如图3－99有
相乘后得
由梅内劳斯定理的逆定理得F，D，E共线．
例2(戴沙格定理) 在△ABC和△A′B′C′中，若AA′，BB′，CC′相交于一点S，则AB与A′B′，BC与B′C′，AC与A′C′的交点F，D，E共线．
证 如图3－100，直线FA′B′截△SAB，由梅内劳斯定理有
同理，直线EC′A′和DC′B′分别截△SAC和△SBC，得
将这三式相乘得
所以D，E，F共线．
2．塞瓦定理
意大利数学家塞瓦(G．Ceva)在1678年发表了下面的十分有用的定理，它是证明共点线的重要定理．
定理 在△ABC内任取一点P，直线AP，BP，CP分别与边BC，CA，AB相交于D，E，F，则
证 如图3－101，过B，C分别作直线AP的垂线，设垂足为H和K，则
由于△BHD∽△CKD，所以
同理可证
将这三式相乘得
说明 (1)如果P点在△ABC外，同样可证得上述结论，但P点不能在直线AB，BC，CA上，否则，定理的结论中的分母出现零，分子也出现零，这时，定理的结论应改为
BD×CE×AF=DC×EA×FB，
仍然成立．
(2)塞瓦定理的逆定理也成立，即“在△ABC的边BC，CA，AB上分别取点D，E，F，如果
那么直线AD，BE，CF相交于同一点．”
证 如图3－102，设AD和BE相交于P，作直线CP，交直线AB于F′，由塞瓦定理得
所以 F′B=FB，
即F′与F重合，所以AD，BE，CF相交于同一点．
塞瓦定理的逆定理常被用来证明三线共点．
例3 求证：三角形的三条中线、三条内角平分线和三条高所在的直线分别相交于同一点．
证 (1)如果D，E，F分别是△ABC的边BC，CA，AB的中点，则
由塞瓦定理的逆定理得中线AD，BE，CF共点．
(2)如果D，E，F分别是△ABC的内角平分线AD，BE，CF与边BC，CA，AB的交点，则
由塞瓦定理的逆定理得角平分线AD，BE，CF共点．
(3)设D，E，F分别是△ABC的高AD，BE，CF的垂足．
(i)当△ABC是锐角三角形时(如图3－103)，D，E，F分别在BC，CA，AB上，有
BD=ccosB，DC=bcosC，CE=acosc，
EA=ccosA，AF=bcosA，FB=acosB，
所以
由塞瓦定理的逆定理得高AD，BE，CF共点．
(ii)当△ABC是钝角三角形时，有
BD=ccosB，DC=bcosC，CE=acosC，
EA=ccos(180°-A)=-ccosA，
AF=bcos(180°-A)=-bcosA,
FB=acosB，
所以
由塞瓦定理的逆定理，得高AD，BE，CF共点．
(iii)当△ABC是直角三角形时，高AD，BE，CF都经过直角顶点，所以它们共点．
例4 在三角形ABC的边上向外作正方形，A1，B1，C1是正方形的边BC，CA，AB
的对边的中点，证明：直线AA1，BB1，CC1相交于一点．
证 如图3－104．设直线AA1，BB1，CC1与边BC，CA，AB的交点分别为A2，B2，C2，那么BA2：A2C等于从点B和C到边AA1的垂线的长度之比，即
其中∠θ=∠CBA1=∠BCA1．同理
将上述三式相乘得
根据塞瓦定理的逆定理，得AA1，BB1，CC1共点．
3．斯台沃特定理
定理 △ABC的边BC上任取一点D，若BD=u，DC=v，AD=t，则
证 过A作AE⊥BC，E为垂足(如图3－105)，设DE=x，则有
AE2=b2-(v-x)2=c2-(u+x)2=t2-x2，
(若E在BC的延长线上，则v-x换成x-v．)于是得
消去x得
(u+v)2=b2u+c2v-uv(u+v)，
这就是中线长公式．
(2)当AD是△ABC的内角平分线时，由三角形的内角平分线的性质
设a+b+c=2p，得
这就是内角平分线长公式．
(3)当AD是△ABC的高时，
AD2=b2-u2=c2-v2．
再由u+v=a，解得
所以
若设AD=ha，则
这就是三角形的高线长公式．当D在BC的延长线上时，用-v代替v，同样可得高线长线公式．
这就是三角形的面积公式．
伦公式
例5 如图3－106．在△ABC中，c＞b，AD是△ABC的角平分线，E在BC上，BE=CD．求证：
AE2-AD2=(c-b)2．
证 为方便起见，设BD=u，DC=v，则BE=v，EC=u．由斯台沃特定理得
所以
因为AD是角平分线，所以
于是
4．托勒密定理
托勒密(Ptolemy，约公元85～165年)是古代天文学的集大成者．一般几何教科书中的“托勒密定理”(圆内接四边形的对边积之和等于对角线之积)，实出自依巴谷(Hipparchus)之手，托勒密只是从他的书中摘出。从这个定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理实质上是关于共圆性的基本性质．
定理 如果四边形内接于圆，那么它的两对对边的乘积之和等于它的对角线的乘积．
证 设四边形ABCD有外接圆O，AC和BD相交于P，∠CPD=α(图3－107)．若四边形ABCD的四边都相等，则四边形ABCD为圆内接菱形，即正方形，结论显然成立．若四边不全相等，不失一般性，设
∥BD，于是△ABD≌△
EDB，从而AD=BE．
又
而 S四边形ABCD=S四边形BCDE，
所以
即
(AD×BC+AB×CD)sin∠EBC=AC×BD×sinα．
由于
∠α=∠DAC+∠ADB=∠DBC+∠EBD=∠EBC，
所以
AD×BC+AB×CD=AC×BD．
说明 (1)托勒密定理可以作如下推广：“在凸四边形ABCD中，
AB×CD+AD×BC≥AC×BD．
当且仅当四边形ABCD是圆内接四边形时，等号成立．”
由此可知，托勒密定理的逆定理也成立．
(2)托勒密定理的证明方法很多，这里采用的是面积证法．还可采用相似三角形或余弦定理证明，请读者自行完成．
例6 如图3－108．过A的圆截平行四边形ABCD的边和对角线分别于P，Q，R，求证：
AP×AB+AQ×AD=AR×AC．
证 连结PQ，PR，QR．在圆内接四边形APRQ中，由托勒密定理得
AP×QR+AQ×PR=AR×PQ．
又因为∠1=∠2，∠3=∠4，所以△PQR∽△CAB，于是
设上面的比值为k，并考虑到BC=AD，有
QR=k·AB，PR=k·AD，PQ=k·CA，于是可推得
AP×AB+AQ×AD=AR×AC．
例7 如图3－109．等边△ABC内接于△XYZ，A在YZ上，B在ZX上，C在XY上，证明：
证 对四边形ABXC运用托勒密定理，得
AX·BC≤BX·AC+XC·AB，
所以
AX≤BX+XC．
同样地
BY≤CY+YA，CZ≤AZ+ZB．
将上述三式相加就得所要证明的不等式．
等号成立的充分必要条件是X，Y，Z在△ABC的外接圆上，但∠ZBX，∠XCY，∠YAZ都等于π，因此等号成立只能是X，Y，Z分别与C，A，B重合的情况．
平面几何中的著名定理，除了上述所介绍的梅内劳斯定理、塞瓦定理、斯台沃特定理、托勒密定理外，还有斯泰纳-莱默斯定理、西姆松定理、蝴蝶定理、莫莱定理等等．这里，限于篇幅，因此不作讨论．
练习十九
1．已知△ABC的内角∠B和∠C的平分线分别为BE和CF，∠A的外角平分线与BC的延长线相交于D．求证：D，E，F共线．
2．过△ABC的三个顶点A，B，C分别作△ABC的外接圆的切线，分别和BC，CA，AB的延长线交于D，E，F．求证：D，E，F三点共线．
3．在△ABC的边BC上任取一点D，设∠ADB和∠ADC的角平分线分别交AB，AC于F和E．求证：AD，BE，CF相交于同一点．
4．在梯形ABCD中，AB∥DC，AD⊥BD，DC=3，BC=7，DA=8，求AB，BD和AC的长．
PA(PA+PC)=PB(PB+PD)．
6．设P是等边三角形ABC所在平面上的任意一点，那么根据P落
PC+PA=PB或PC+PA＞PB．
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