文科数学
（湖南卷）
参考公式(1)柱体体积公式,其中为底面面积，为高． (2）球的体积公式，其中为球的半径．
一、选择题:本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
1．设全集U=M∪N=﹛1,2,3,4，5﹜,M∩CuN=﹛2，4﹜，则N= A．{1,2,3} B． {1，3，5｝ C． {1,4,5} D． {2,3，4｝ 2．若，为虚数单位,且则 A．， B．
3 C． D．
3．“”是“” 的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C． 充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 2 4．设图1是某几何体的三视图，则该几何体的体积为
3 A． B．
正视图 侧视图 C． D．
5．通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表:
爱好 不爱好 总计 由 算得， 附表： k 0。050 3。841 0。010 6。635 0.001 10.828 男 40 20 60 女 20 30 50 总计 60 50 俯视图 110 图1 参照附表，得到的正确结论是
A．有99％以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关” B．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关” C．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为 “爱好该项运动与性别有关” D．在犯错误的概率不超过0.1％的前提下，认为 “爱好该项运动与性别无关” 6．设双曲线的渐近线方程为，则a的值为 A．4 B．3 C．2 D．1 7．曲线在点M（,0)处的切线的斜路为 A． B． C． D． 8．已知函数，若有，则b的取值范围为 A． B． C． D．
二、填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分,共35分，把答案填在答题卡．．．
中对应题号后的横线上。
（一）选做题（请考生在9、10两题中任选一题作答,如果全做，则按前一题记分） 9．在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(为参数）。在极坐标系（与直角坐标系xOy
取相同的长度单位,且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，曲线C2的方程为，则C1与C2的交点个数为 10．已知某试验范围为［10,90]，若用分数法进行4次优选试验,则第二次试点可以是 (二）必做题（11~16题)
11．若执行如图2所示的框图，输入，则输出的数等于
12．已知f（x)为奇函数,g（x）=f（x）+9，g（-2）=3，则f（2）=_________．
13．设向量a，b满足｜a|=2，b=（2，1)，且a与b的方向相反,则a的坐标为________． 14．设在约束条件下，目标函数的最大值为4,则的值为 ． 15．已知圆直线
（1）圆的圆心到直线的距离为 ．
(2）圆上任意一点到直线的距离小于2的概率为 ． 16．给定,设函数满足：对于任意大于的正整数，
（1）设，则其中一个函数在处的函数值为 ； （2）设，且当时,，则不同的函数的个数为 。
三、解答题:本大题共6小题,共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）
在△ABC中,角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足c sinA=acosC． （I）求角C的大小；
（II)求sinA-cos（B+）的最大值,并求取得最大值时角A、B的大小。 18．(本小题满分12分)
某河流上的一座水力发电站，每年六月份的发电量Y（单位：万千瓦时）与该河上游在六月份是我降雨量X（单位：毫米）有关，据统计，当X=70时，Y=460；X每增加10，Y增加5．已知近20年X的值为：140， 110, 160， 70, 200, 160, 140， 160, 220， 200， 110, 160, 160， 200, 140， 110， 160, 220, 140， 160. （Ⅰ）完成如下的频率分布表
近20年六月份降雨量频率分布表
降雨量 频率 70 110 140 160 200 220 (Ⅱ)假定今年六月份的降雨量与近20年六月份降雨量的分布规律相同，并将频率是为概
率，求今年六月份该水力发电站的发电量低于490（万千瓦时）或超过530（万千瓦时)的概率．
19．(本小题满分12分)
如图3，在圆锥中，已知的直径 的中点．
(Ⅰ）证明：平面；
（Ⅱ）求直线 和平面所成角的正弦值。 20．(本小题满分13分）
某企业在第1年初购买一台价值为120万元的设备，的价值在使用过程中逐年减少．从第2年到第6年，每年初的价值比上年初减少10万元；从第7年开始，每年初的价值为上年初的75％．
(Ⅰ）求第年初的价值的表达式；
（Ⅱ）设，若大于80万元，则继续使用，否则须在第年初对更新,证明：须在第9年初
对更新．
21．（本小题满分13分)
已知平面内一动点到点的距离与点到轴的距离的差等于1． （Ⅰ）求动点的轨迹的方程；
（Ⅱ）过点作两条斜率存在且互相垂直的直线，设与轨迹相交于点，与轨迹相交于点,
求的最小值.
22．（本小题满分13分）
设函数.
(Ⅰ）讨论函数的单调性。
(Ⅱ）若有两个极值点，记过点的直线斜率为.问:是否存在,使得？若存在，求出的值；若
不存在，请说明理由.
2011年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷)
数学试题卷(文史类）参考答案
一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）
1、（2011•湖南)设全集U=M∪N=﹛1,2，3，4，5﹜，M∩CuN=﹛2，4﹜，则N=（ )
A、｛1，2，3} C、{1，4,5}
B、｛1,3，5｝
D、{2，3,4｝
考点：交、并、补集的混合运算.
分析：利用集合间的故选，画出两个集合的韦恩图,结合韦恩图求出集合N． 解答：解：∵全集U=M∪N=﹛1,2，3，4，5﹜，M∩CuN=﹛2，4﹜， ∴集合M,N对应的韦恩图为 所以N={1，3，5} 故选B
点评：本题考查在研究集合间的关系时，韦恩图是常借用的工具．考查数形结合的数学思想方法．
2、(2011•湖南)若a，b∈R,i为虚数单位，且(a+i）i=b+i则( )
A、a=1，b=1
B、a=﹣1，b=1
D、a=﹣1，b=﹣1
C、a=1，b=﹣1
考点：复数相等的充要条件。 专题:计算题。
分析：根据所给的关于复数的等式，整理出等式左边的复数乘法运算，根据复数相等的充要条件，即实部和虚部分别相等，得到a,b的值．
解答：解：∵(a+i)i=b+i， ∴ai﹣1=b+i, ∴a=1，b=﹣1, 故选C．
点评：本题考查复数的乘法运算，考查复数相等的条件，是一个基础题,这种题目一般出现在试卷的前几个题目中．
3、(2011•湖南）“x＞1\"是“|x｜＞1”的（ )
A、充分不必要条件 C、充分必要条件
B、必要不充分条件
D、既不充分又不必要条件
考点：充要条件。
分析：解绝对值不等式，进而判断“x＞1”⇒“|x|＞1\"与“|x｜＞1”⇒“x＞1”的真假,再根据充要条件的定义即可得到答案． 解答：解：当“x＞1”时,“|x|＞1”成立 即“x＞1”⇒“｜x|＞1”为真命题
而当“|x｜＞1\"时，x＜﹣1或x＞1，即“x＞1\"不一定成立 即“｜x｜＞1”⇒“x＞1”为假命题 ∴“x＞1”是“|x|＞1”的充分不必要条件 故选A
点评：本题考查的知识点是充要条件，其中根据绝对值的定义，判断“x＞1”⇒“|x|＞1”与“｜x｜＞1”⇒“x＞1”的真假，是解答本题的关键． 4、（2011•湖南)设如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为( )
A、9π+42
B、36π+18 C、
D、
考点：由三视图求面积、体积。 专题:计算题。
分析：由三视图可知，下面是一个底面边长是3的正方形且高是2的一个四棱柱，上面是一个球，球的直径是3,该几何体的体积是两个体积之和，分别做出两个几何体的体积相加． 解答：解：由三视图可知，几何体是一个简单的组合体，下面是一个底面边长是3的正方形且高是2的一个四棱柱，上面是一个球，球的直径是3，该几何体的体积是两个体积之和, 四棱柱的体积3×3×2=18, 球的体积是，
∴几何体的体积是18+， 故选D．
点评：本题考查由三视图求面积和体积，考查球体的体积公式，考查四棱柱的体积公式，本题解题的关键是由三视图看出几何图形，是一个基础题．
5、（2011•湖南)通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表： 爱好 不爱好 总计 由算得， 附表： p（k2≥k) k 0.050 3。841 0.010 6。635 0.001 10。828 男 40 20 60 女 20 30 50 总计 60 50 110 参照附表，得到的正确结论是( )
A、有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关” B、有99％以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”
C、在犯错误的概率不超过0。1％的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关\" D、在犯错误的概率不超过0。1％的前提下，认为“爱好该项运动与性别五关”
考点：独立性检验的应用. 专题：计算题。
分析：根据条件中所给的观测值，同题目中节选的观测值表进行检验，得到观测值对应的结果，得到结论有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”． 解答：解：由题意知本题所给的观测值， ∵7.8＞6。635，
∴这个结论有0。01=1％的机会说错,
即有99％以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关” 故选A．
点评：本题考查独立性检验的应用，考查对于观测值表的认识，这种题目一般运算量比较大,主要要考查运算能力，本题有所创新，只要我们看出观测值对应的意义就可以,是一个基础题．
6、（2011•湖南)设双曲线的渐近线方程为3x±2y=0，则a的值为( )
A、4 C、2
B、3 D、1
考点：双曲线的简单性质. 专题:计算题。
分析：先求出双曲线的渐近线方程，再求a的值． 解答：解:的渐近线为y=， ∵y=与3x±2y=0重合， ∴a=2． 故选C．
点评：本题考查双曲线的性质和应用，解题时要注意公式的灵活运用． 7、(2011•湖南)曲线在点M(，0)处的切线的斜率为( )
A、 C、
B、 D、
考点：利用导数研究曲线上某点切线方程。 专题：计算题.
分析:先求出导函数，然后根据导数的几何意义求出函数f(x）在x=处的导数，从而求出切线的斜率． 解答：解：∵ ∴y’= =
y'｜x==｜x== 故选B．
点评：本题主要考查了导数的几何意义，以及导数的计算,同时考查了计算能力，属于基础题．
8、(2011•湖南）已知函数f(x)=ex﹣1,g(x）=﹣x2+4x﹣3，若有f（a)=g（b）,则b的取值范围为( )
A、
B、(2﹣，2+］
D、(1，3)
C、［1，3]
考点：函数的零点与方程根的关系.
专题：计算题。
分析：利用f（a）=g(b）,整理等式，利用指数函数的性质建立不等式求解即可． 解答：解：∵f（a）=g（b）, ∴ea﹣1=﹣b2+4b﹣3 ∴﹣b2+4b﹣2=ea＞0
即b2﹣4b+2＜0，求得2﹣＜b＜2+ 故选B
点评：本题主要考查了函数的零点与方程根的关系． 二、填空题(共8小题，每小题5分，满分35分)
9、(2011•湖南)在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为（α为参数）在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，曲线C2的方程为p(cosθ﹣sinθ)+1=0，则C1与C2的交点个数为 2 ． 考点:简单曲线的极坐标方程；直线的参数方程；椭圆的参数方程. 专题:计算题。
分析：先根据同角三角函数的关系消去参数α可求出曲线C1的普通方程，然后利用极坐标公式ρ2=x2+y2，x=ρcosθ,y=ρsinθ进行化简即可求出曲线C2普通方程,最后利用直角坐标方程判断C1与C2的交点个数即可．
解答:解：由曲线C2的方程为p（cosθ﹣sinθ)+1=0，∴x﹣y+1=0．即y=x+1； 将曲线C1的参数方程化为普通方程为． ∴消去y整理得:7x2+8x﹣8=0． △＞0,∴此方程有两个不同的实根， 故C1与C2的交点个数为2． 故答案为2．
点评：本题主要考查椭圆的参数方程、简单曲线的极坐标方程，求直线与椭圆的交点个数,考查运算求解能力及转化的思想，属于基础题．
10、(2011•湖南）【选做】已知某试验范围为［10，90]，若用分数法进行4次优选试验，则第二次试点可以是 40或60（只写出其中一个也正确) ． 考点：分数法的最优性。
分析：由题知试验范围为[10，90]，区间长度为80,故可把该区间等分成8段，利用分数法选取试点进行计算．
解答：解：由已知试验范围为[10,90］，可得区间长度为80，将其等分8段， 利用分数法选取试点：x1=10+×（90﹣10）=60,x2=10+90﹣60=40, 由对称性可知，第二次试点可以是40或60． 故答案为：40或60．
点评：本题考查的是分数法的简单应用．一般地，用分数法安排试点时,可以分两种情况考虑:（1)可能的试点总数正好是某一个(Fn﹣1)．(2)所有可能的试点总数大于某一（Fn﹣1)，而小于(Fn+1﹣1)．
11、(2011•湖南）若执行如图所示的框图,输入x1=1，x2=2，x3=4，x4=8则输出的数等于． 考点：循环结构。 专题：计算题；阅读型。
分析:先根据流程图分析出该算法的功能，然后求出所求即可． 解答:解：该算法的功能是求出四个数的平均数 故输出的数== 故答案为：
点评：根据流程图计算运行结果是算法这一模块的重要题型,处理的步骤一般为：分析流程图，从流程图中即要分析出计算的类型,又要分析出参与计算的数据建立数学模型,根据第一步分析的结果,选择恰当的数学模型解模．
12、(2011•湖南）已知f（x）为奇函数,g（x)=f(x）+9，g(﹣2)=3,则f(2)= 6 ． 考点：函数奇偶性的性质。 专题:计算题。
分析：将等式中的x用2代替；利用奇函数的定义及g(﹣2）=3，求出f（2)的值． 解答：解：∵g（﹣2)=f(﹣2）+9 ∵f（x）为奇函数 ∴f(﹣2)=﹣f(2) ∴g（﹣2)=﹣f(2）+9 ∵g（﹣2）=3 所以f（2)=6 故答案为6
点评：本题考查奇函数的定义:对于定义域中的任意x都有f（﹣x）=﹣f(x）
13、（2011•湖南)设向量，满足||=2，=（2，1），且与的方向相反，则的坐标为 (﹣4，﹣2） ．
考点:平面向量共线(平行）的坐标表示;平面向量数量积的坐标表示、模、夹角。 专题：计算题。
分析:要求向量的坐标，我们可以高设出向量的坐标，然后根据与的方向相反，及|｜=2，我们构造方程，解方程得到向量的坐标． 解答：解:设=(x，y） ∵与的方向相反， 故=λ=(2λ,λ）（λ＜0) 又∵｜｜=2, 则x2+y2=20 ∴5λ2=20 解得λ=﹣2 则设=（﹣4,﹣2) 故答案为(﹣4，﹣2）
点评：本题考察的知识点是平面向量共线(平行)的坐标表示，平面向量模的计算，其中根据与的方向相反，给出向量的横坐标与纵坐标之间的关系是解答本题的关键．
14、（2011•湖南)设m＞1，在约束条件下，目标函数z=x+5y的最大值为4，则m的值为 3 ． 考点：简单线性规划的应用。 专题：计算题；数形结合。
分析：根据m＞1，我们可以判断直线y=mx的倾斜角位于区间(，)上，由此我们不难判断出满足约束条件的平面区域的形状，再根据目标函数Z=X+5y在直线y=mx与直线x+y=1交点处取得最大值，由此构造出关于m的方程，解方程即可求出m 的取值范围． 解答：解：满足约束条件的平面区域如下图所示： 当x=，y=时，
目标函数z=x+5y取最大值为4，即； 解得m=3 故答案为3
点评：本题考查的知识点是简单线性规划的应用,其中判断出目标函数Z=X+my在点取得最大值，并由此构造出关于m的方程是解答本题的关键． 15、(2011•湖南）已知圆C：x2+y2=12，直线l:4x+3y=25． (1)圆C的圆心到直线l的距离为 5 ；
（2)圆C上任意一点A到直线l的距离小于2的概率为． 考点：点到直线的距离公式；几何概型；直线与圆的位置关系. 专题：计算题。
分析：（1)根据所给的圆的标准方程，看出圆心，根据点到直线的距离公式，代入有关数据做出点到直线的距离．
(2）本题是一个几何概型，试验发生包含的事件是从这个圆上随机的取一个点，对应的圆上整个圆周的弧长，根据题意做出符合条件的弧长对应的圆心角是60°，根据几何概型概率公式得到结果．
解答：解：（1)由题意知圆x2+y2=12的圆心是(0,0)， 圆心到直线的距离是d==5， (2）由题意知本题是一个几何概型，
试验发生包含的事件是从这个圆上随机的取一个点,对应的圆上整个圆周的弧长， 满足条件的事件是到直线l的距离小于2,过圆心做一条直线交直线l与一点, 根据上一问可知圆心到直线的距离是5，
在这条垂直于直线l的半径上找到圆心的距离为3的点做半径的垂线，
根据弦心距，半径，弦长之间组成的直角三角形得到符合条件的弧长对应的圆心角是60° 根据几何概型的概率公式得到P== 故答案为：5；
点评：本题考查点到直线的距离，考查直线与圆的位置关系,考查几何概型的概率公式，本题是一个基础题，运算量不大．
16、（2011•湖南）给定k∈N，设函数f：N*→N满足：对于任意大于k的正整数n：f(n)=n﹣k
(1)设k=1,则其中一个函数f(x）在n=1处的函数值为 a（a为正整数） ； (2）设k=4，且当n≤4时，2≤f（n）≤3，则不同的函数f的个数为 16 ． 考点：函数的概念及其构成要素;分步乘法计数原理。 专题：计算题;探究型。
分析：题中隐含了对于小于或等于K的正整数n，其函数值也应该是一个正整数，但是对应法则由题意而定
(1）n=k=1，题中给出的条件“大于k的正整数n\"不适合，但函数值必须是一个正整数,故f（1)的值是一个常数（正整数）；
＊
＊
(2)k=4,且n≤4,与条件“大于k的正整数n\"不适合，故f（n)的值在2、3中任选其一，再由乘法原理可得不同函数的个数． 解答：解:(1)∵n=1,k=1且f（1)为正整数 ∴f(1)=a（a为正整数）
即f(x）在n=1处的函数值为 a(a为正整数） (2)∵n≤4，k=4f(n）为正整数且2≤f(n)≤3
∴f(1）=2或3 且 f(2）=2或3 且 f（3)=2或3 且f（4)=2或3 根据分步计数原理，可得共24=16个不同的函数 故答案为(1)a(a为正整数） （2）16
点评：本题题意有点含蓄，发现题中的隐含条件,是解决本题的关键,掌握映射与函数的概念是本题的难点．
三、解答题(共6小题，满分75分）
17、(2011•湖南)在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a，b，c，且满足csinA=acosC． (1)求角C的大小；
(2）求sinA﹣cos （B+)的最大值，并求取得最大值时角A、B的大小． 考点：三角函数的恒等变换及化简求值。 专题：计算题。
分析：（1)利用正弦定理化简csinA=acosC．求出tanC=1,得到C=． (2)B=﹣A，化简sinA﹣cos （B+）=2sin(A+）．因为0＜A＜,推出 求出2sin（A+)取得最大值2．得到A=，B= 解答：解:（1）由正弦定理得 sinCsinA=sinAcosC， 因为0＜A＜π,所以sinA＞0．从而sinC=cosC， 又cosC≠0，所以tanC=1，C=． (2）有(1）知，B=﹣A,于是 =sinA+cosA =2sin（A+)． 因为0＜A＜，所以 从而当A+,即A=时 2sin（A+)取得最大值2．
综上所述，cos (B+）的最大值为2，此时A=，B=
点评:本题是中档题，考查三角形的有关知识，正弦定理的应用，三角函数的最值，常考题型．
18、（2011•湖南）某河流上的一座水力发电站，每年六月份的发电量Y(单位：万千瓦时）与该河上游在六月份的降雨量X(单位：毫米）有关,据统计,当X=70时,Y=460；X每增加10,Y增加5．已知近20年X的值为：140，110，160，70,200,160，140，160,220,200，110，160,160，200，140，110，160,220，140，160． (Ⅰ）完成如下的频率分布表 近20年六月份降雨量频率分布表 降雨量 频率 70 110 140 160 200 220 (Ⅱ）假定今年六月份的降雨量与近20年六月份降雨量的分布规律相同，并将频率是为概率，求今年六月份该水力发电站的发电量低于490（万千瓦时）或超过530（万千瓦时）的概率． 考点:频率分布表；互斥事件的概率加法公式. 专题：应用题；综合题.
分析:(I)从所给的数据中数出降雨量为各个值时对应的频数，求出频率，完成频率分布图． (II）将发电量转化为降雨量,利用频率分布表，求出发电量低于490（万千瓦时)或超过530(万千瓦时)的概率．
解答:解：（I）在所给数据中，降雨量为110毫米的有3个，为160毫米的有7个，为200毫米的有3个，
故近20年六月份降雨量频率分布表为 （II)P(“发电量低于490万千瓦时“） =P（Y＜490或Y＞530)=P（X＜130或＞210) =P(X=70)+P（X=110)+P（X=220）=
故今年六月份该水利发电站的发电量低于490(万千瓦时)或超过530（万千瓦时)的概率为: 点评：本题考查频率公式：频率=；考查将问题等价转化的能力．
19、(2011•湖南）如图，在圆锥PO中，已知PO=，⊙OD的直径AB=2，点C在上，且∠CAB=30°，D为AC的中点． (Ⅰ）证明：AC⊥平面POD；
(Ⅱ)求直线OC和平面PAC所成角的正弦值． 考点:直线与平面垂直的判定;二面角的平面角及求法。 专题：计算题；证明题。
分析：（I）由已知易得AC⊥OD，AC⊥PO，根据直线与平面垂直的判定定理可证 (II)由（I)可证面POD⊥平面PAC，由平面垂直的性质考虑在平面POD中过O作OH⊥PD于H，则OH⊥平面PAC,∠OCH是直线OC和平面PAC所成的角，在Rt△OHC中，求解即可
解答:解(I）因为OA=OC,D是AC的中点,所以AC⊥OD 又PO⊥底面⊙O，AC⊂底面⊙O
所以AC⊥PO，而OD，PO是平面内的两条相交直线 所以AC⊥平面POD
(II）由(I)知，AC⊥平面POD，又AC⊂平面PAC 所以平面POD⊥平面PAC
在平面POD中，过O作OH⊥PD于H，则OH⊥平面PAC
连接CH，则CH是OC在平面上的射影，所以∠OCH是直线OC和平面PAC所成的角 在Rt△ODA中,OD=OA．sin30°= 在Rt△POD中，OH= 在Rt△OHC中，
故直线OC和平面PAC所成的角的正弦值为
点评：本题主要考查了直线与平面垂直的判定定理的应用，空间直线与平面所成角的求解，考查了运算推理的能力及空间想象的能力
20、(2011•湖南）某企业在第1年初购买一台价值为120万元的设备M，M的价值在使用过程中逐年减少．从第2年到第6年，每年初M的价值比上年初减少10万元；从第7年开始，每年初M的价值为上年初的75％． （Ⅰ)求第n年初M的价值an的表达式；
(Ⅱ）设，若An大于80万元，则M继续使用，否则须在第n年初对M更新．证明:须在第9年初对M更新．
考点:分段函数的应用;数列与函数的综合。 专题：综合题。
分析：（I)通过对n的分段讨论，得到一个等差数列和一个等比数列，利用等差数列的通项
公式及等比数列的通项公式求出第n年初M的价值an的表达式;
（II）利用等差数列、等比数列的前n项和公式求出An，判断出其两段的单调性,求出两段的最小值，与80比较，判断出须在第9年初对M更新．
解答:解:(I）当n＜6时,数列{an｝是首项为120,公差为﹣10的等差数列 an=120﹣10(n﹣1）=130﹣10n
当n≥6时，数列｛an}是以a6为首项，公比为的等比数列，又a6=70 所以
因此，第n年初，M的价值an的表达式为
（II）设Sn表示数列{an}的前n项和，由等差、等比数列的求和公式得 当1≤n≤6时，Sn=120n﹣5n（n﹣1）,An=120﹣5（n﹣1)=125﹣5n 当n≥7时，由于S6=570故 Sn=S6+（a7+a8+…+an）== 因为{an｝是递减数列, 所以｛An｝是递减数列， 又
所以须在第9年初对M更新．
点评：本题考查等差数列的通项公式，前n项和公式、考查等比数列的通项公式及前n项和公式、考查分段函数的问题要分到研究．
21、(2011•湖南)已知平面内一动点P到点F(1，0）的距离与点P到y轴的距离的差等于1． （Ⅰ）求动点P的轨迹C的方程;
(Ⅱ）过点F作两条斜率存在且互相垂直的直线l1，l2，设l1与轨迹C相交于点A,B，l2与轨迹C相交于点D，E，求的最小值．
考点:直线与圆锥曲线的综合问题;向量在几何中的应用；抛物线的定义. 专题:计算题；综合题；压轴题；分类讨论；函数思想;方程思想。
分析：(Ⅰ）设动点P的坐标为(x，y)，根据两点间距离公式和点到直线的距离公式，列方程,并化解即可求得动点P的轨迹C的方程；
(Ⅱ)设出直线l1的方程，理想直线和抛物线的方程,消去y，得到关于x的一元二次方程,利用韦达定理，求出两根之和和两根之积,同理可求出直线l2的方程与抛物线的交点坐标，代入利用基本不等式求最值，即可求得其的最小值． 解答：解：(Ⅰ）设动点P的坐标为（x,y)，由题意得，
化简得y2=2x+2｜x｜．
当x≥0时,y2=4x；当x＜0时，y=0,
所以动点P的轨迹C的方程为y2=4(x≥0）和y=0(x＜0)．
（Ⅱ）由题意知，直线l1的斜率存在且不为零，设为k，则l1的的方程为y=k（x﹣1)． 由，得k2x2﹣（2k2+4)x+k2=0．
设A，B的坐标分别为（x1,y1),（x2，y2），则x1+x2=2+，x1x2=1． ∵l1⊥l2，∴直线l2的斜率为﹣．
设D（x3,y3)，E（x4，y4)，则同理可得x3+x4=2+4k2，x3x4=1． 故==
==(x1+1）（x2+1)+（x3+1）(x4+1) =x1x2+（x1+x2）+1+x3x4+x3+x4+1
1+2++1+1+2+4k2+1=8+4(k2+）≥8+4×2=16， 当且仅当k2=,即k=±1时，的最小值为16．
点评：此题是个难题．考查代入法求抛物线的方程，以及直线与抛物线的位置关系，同时也考查了学生观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力． 22、（2011•湖南）设函数． (Ⅰ)讨论函数f(x)的单调性．
(Ⅱ)若f（x)有两个极值点x1，x2，记过点A(x1，f(x1）)，B（x2,f(x2）)的直线斜率为k．问：是否存在a，使得k=2﹣a？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由． 考点:利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件. 专题：计算题;综合题；压轴题；分类讨论。
分析:(Ⅰ)求导,令导数等于零，解方程，跟据f′（x)f（x）随x的变化情况即可求出函数的单调区间;
(Ⅱ）假设存在a，使得k=2﹣a,根据(I)利用韦达定理求出直线斜率为k,根据(I)函数的单调性,推出矛盾,即可解决问题．
解答：解:（I)f(x)定义域为(0，+∞）， f′（x）=1+，
令g（x）=x2﹣ax+1,△=a2﹣4，
①当﹣2≤a≤2时，△≤0,f′(x）≥0,故f(x）在（0，+∞)上单调递增，
②当a＜﹣2时，△＞0，g(x)=0的两根都小于零，在(0,+∞)上，f′(x)＞0,故f（x）在（0,+
∞)上单调递增，
③当a＞2时，△＞0，g(x)=0的两根为x1=,x2=，
当0＜x＜x1时,f′(x）＞0;当x1＜x＜x2时，f′（x）＜0；当x＞x2时，f′（x)＞0; 故f（x)分别在(0,x1），(x2，+∞)上单调递增，在（x1，x2)上单调递减． （Ⅱ)由（I）知，a＞2．
因为f(x1）﹣f（x2）=(x1﹣x2)+﹣a(lnx1﹣lnx2)， 所以k==1+﹣a， 又由(I）知，x1x2=1．于是 k=2﹣a,
若存在a,使得k=2﹣a，则=1,即lnx1﹣lnx2=x1﹣x2， 亦即(＊)
再由（I）知，，函数在（0，+∞)上单调递增， 而x2＞1,
所以＞1﹣1﹣2ln1=0，这与(*)式矛盾， 故不存在a，使得k=2﹣a．
点评：此题是个难题．考查利用导数研究函数的单调性和极值问题，对方程f’（x）=0有无实根，有实根时，根是否在定义域内和根大小进行讨论,体现了分类讨论的思想方法，其中问题（II）是一个开放性问题，考查了同学们观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力．
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