小教101班数学思维方法题库
一、选择题：
1、以下说法正确的是：（ ） 见课本P.97~98 A． 专注与灵感是创造性思维的主要标志。
B． 发散性思维与收敛性思维结合是创造性思维的基本图式。 C． 积极的创造是创造性思维的重要环节。 D．
创见性与新颖性是创造性思维的重要特点。
答案：B
2、下列关于数学概念之间的关系的说法中错误的是（ ） A最小的质数与最小的正偶数这两个概念是同一关系 B平行四边形与长方形这两个概念是从属关系 C等腰梯形与直角梯形这两个概念是矛盾关系 D等腰三角形与直角三角形这两个概念是交叉关系 答案：C。（分值：3分）
解释：C选项的说法是错误的，等腰梯形与直角梯形的外延互相排斥，尽管它们都包含于梯形的概念之中，它们是对立关系而不是矛盾关系。A选项正确，最小的质数和最小的正偶数均为2，这两个概念的外延相同，为同一关系；B选项正确，平行四边形包含长方形，长方形属于平行四边形的一种，二者为从属关系；D选项正确，等腰直角三角形就是等腰三角形和直角三角形这两个概念的重合，二者为交叉关系。
,.
3、分析法与综合法的区别在于
A.分析法、综合法——已知到未知 B. 分析法——已知到未知、综合法——未知到已知
C.分析法、综合法——未知到已知 D. 分析法——未知到已知、综合法——已知到未知
答案：D
4、选择题:在△ABC中,求cosA+ cosB+ cosC的最大值( )
A.3 B. 2 C. 1.5 D. 1
参考答案:
解题思路（直觉思维）：可以从三角形内角和与三角函数值的角度直觉的猜得，即A=B=C=60°时可取得最大值1.5。
4x-4 x≤ 1
5、f (x)={ 求与g(x)=log2X的交点数量 （ ） x^2-4x +3 x>1
A. 1 B.2 C. 3 D.4 答案是C
,.
6、一个多边形的内角和为720°，这是一个（ ）边形。（3分）
A. 四 B.五 C.六 D.七 答案：B
C7、在指导学生运用观察与实验的方法学习数学时，应注重数学自身的结构，鼓励学生的_________，增强学生对数学的兴趣与信心，学会运用数学_________。 A.大胆试错和归纳类比，解决实际问题 B. 大胆试错和归纳类比，解决经典例题
C.个体体验和个体理解，解决实际问题D. 个体体验和个体理解，解决经典例题
8、请问算式√7−4√3的解为（）
A.2—√3 B.2+√3 C. √3—2 D.4—√3
解：A。
思路：显然根号下的式子无法直接计算，但观察发现它可以分解成完全
平方式。事实上，根号下只有完全平方式才能进行下一步计算。于是有：7—4√3=2—22√3+（√3）=(2−√3)2,又由于2>√3,所以答案为A.2—√3。、
2
2
9、若三角形内切圆半径为r，三边长为 a, b, c,则三角形的面积S=( )。 ------3分
A、r(a+b+c) B、3/2r(a+b+c) C、1/2r(a+b+c) D、r(a+b)
,.
答案：C 解题思路：
SABCSAOBSBOCSAOC1111arbrcrr(abc) 222210、第二次数学危机出现的标志是（ ）
A．无理数的出现 B. 无限问题的出现 C. 费马猜想 D. 微积分的创立 答案：D
11、以下说法正确的是（ ）
A 描述性数学模型又称为解释性数学模型 B “哥尼斯堡七桥问题”是一个确定性数学模型 C 描述性数学模型是从一般到特殊
π
D 公式V= r3h是计算圆锥体积的解释性数学模型
3答案： B
12、已知a，b是两个不相等的正数，求证：
2
a+b2
>√ab。作为通常证明，我们可
以从（√a+√b）>0开始，然后到处结果。这样的证明过程我们称它为： A.形式化 B.非形式化 C.演绎化 D.非演绎化 答案：B 非形式化
答案解析：本题考察的是学生关于课本《数学思维方法》中第九章第二章节的知识，题目改编于297页例2，排除C、D无关选项。书中详细介绍了“形式化”
,.
的证明方法，而在开头、和小结指出中小学更应侧重的知识是非形式化数学方法指导。所以排除再排除A选项，得到正确答案B。
评分标准：有且只有一个答案为B 非形式化，其余答案均为错误。
出题目标：虽然数学是形式化的，数学的方法也是一种形式化的方法。但是，中小学数学应当适合学生的特点教学目标的要求，不过分追求数学的形式化，通过这道题，考核学生对例题的数学思维理解，加深未来小学准教师对数学方法教授时形式化与非形式化区别。
13、已知，平面上n条直线最多把平面分割成F（n）=（n2+n+2）/2个平面块。请用类比推理的方法，猜想用n个平面分割空间所得的块数的表达式。（ ） A N=（an2+bn+c）/3 B N=（an3+bn2+cn+d）/2 C N=（an3+bn2+cn）/3 D N=（an3+bn2+cn+d）/3
14.直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将△ABC如图那样折叠，使点A 与点B 重合，折痕为DE ，则tan∠CBD的值是（ ） A．
6
8
B 第1题
D
A
C
E
24 7 B．
7 3
C．
7 24 D．
13
,.
答案：C
解析：由tan∠A=CB/CA=6/8=DE/DA=DE/5得出：DE=15/4 cos
∠
A=CA/BA=8/10=DA/AE=5/AE
得
出
：
AE=25/4=BE
，
CE=AC-AE=8-25/4=7/4
∴tan∠CBE=CE/CB=(7/4)÷6=7/24
（x11)2(x21)2的最小15、设x1、x2是方程x22kxk60的两个实根，则
值是
A.49 B.8 C.18 D.不存在 4思路分析本例只有一个答案正确，设了3个陷阱，很容易上当。 利用一元二次方程根与系数的关系易得：x1x22k,x1x2k6
∴
(x11)2(x21)2x12x11x22x2122
3494k)2 （44494，常受选择答案（A）的诱惑，盲从附和。这正是思维
有的学生一看到
缺乏反思性的体现。如果能以反思性的态度考察各个选择答案的来源和它们之间
,.
的区别，就能从中选出正确答案。
而原方程有两个实根，∴4K24(K6)022（x1)(x1)K312当时，的最小值是8； 22（x1)(x1)12当K2时，的最小值是18。
K2或K3
这时就可以作出正确选择，只有（B）正确。
此题是形式化系统内的运算操作常犯的错误。只注重形式化规则而忽略它特定的讨论范畴、真实状况时就可能导致错误。
16、下列不是思维的特征的是：（C）
A.方向性 B. 概括性 C.发展性 D.间接性
17、按照思维的应用，可以把数学思维分成四个方面，一下错误的是： A.哲学 B.特殊方法论 C.数学某分支 D.初等数学
18、对于全体实数x ,使|x-2| + |x-4| + |x-7| + |x-9| + |x-9| + |x-15| + |x-21|≥m恒成立，m的最大值为（ ）。
A．28 B. 30 C. 32 D.36 解题思路：可采用主次渐进的方法利用特殊值加以实验，观察结果，排除不合适的选择值即可求解。如取x=2,4,7,9,15,21,求不等式左边的值，得 当x=2时，不等式左边=46 当x=4时，不等式左边=38 当x=7 时，不等式左边=32 当x=9 时，不等式左边=32
,.
当x=15时, 不等式左边=44 当x=21时, 不等式左边=68
上述不等式值最小为32，至此只要考虑是否有x的值，使不等式左边小于3=2就可以了。重点要检验x=7,9附近的值，但可初定确定正确答案应是C。
19.一个和尚敲2下钟,用了两秒,问用同样的速度敲4下钟需要多少秒?（ ） A.4秒 B.5秒 C.6秒 D.8秒 答案是C.6秒。
敲2下钟，其间隔是（2-1）次，用时时长2秒；敲4下钟，间隔为（4-1）次，用时时长（4-1）×2=6（秒）。
20、根据思维的形态不同，可以将思维分为若干个表现形态，以下不属于该分类形式的是（）
A．动作思维 B.具象思维 C.形象思维 D.抽象思维 答案：B （根据思维的形态不同，可以将思维分为动作思维、形象思维和抽象思维。）
21、请问数学实验教学模式一般包括以下哪几个主要环节且顺序是什么？ （1）创设情境 （2）验证与数学化 （3）讨论与交流 （4）假设与猜想 （5）活动与实验 （6）归纳与猜想
A、（4）—（1）—（5）—（3）—（2） B、（1）—（5）—（3）—（6）
,.
—（2）
C、（4）—（1）—（3）—（5）—（2） D、（1）—（3）—（5）—（6）—（2）
答案为B，详见书本P334-335。
22、下列哪一种是含有参数的关系映射反演方法（ D ）（3分）
A．换元法 B．坐标法 C．函数法 D．待定系数法 1. 选择题
23、以下不属于从数学化归法利用数学工具的方式来划分都是：（ C ） A. 参数变换法 B. 分解与组合 C. 计算式法 D. 映射法
24、若关于x 的一元二次方程 2a+2x-5=0的两根中有且仅有一根在0与1之间（不含0和1），则 a的取值范围是（ ）(4分) A．a<3 B． a>3 C．a<-3 D． a>-3 解析: 根据题意肯定有两不同根,则4-4a*(-5)=4+20a>0,得a>-1/5 有且仅有一根在0与1之间（不含0和1）设f（x）=ax2+2x-5， 则f（0）*f（1）<0,即-5*（a-3）<0,得a>3 最终取交集a>3,即选B
25、（ ）数学中的非逻辑思维主要有___________、直觉思维、灵感思维、数
,.
学想象等。
A.形象思维 B.抽象思维 C.数学判断 D.数学推理 答案：A
分数：答对得5分，答错得0分
26、中华名族真正接受西方数学是在什么时候？ （第十一章第一节） （A）
A.鸦片战争之后 B.八国联军侵华之后 C.抗日战争时期 D.改革开
放时期
27、设X∈R,y＝2－cos2x＋
的最大值为（D ）
4sin2x
9
17
A、 B、2 C、1 D、无最大值
4
28．在数学建模时，我们常会用到测试分析法，即当我们对研究对象机理不清楚时，就把研究对象视为黑箱系统，以此来分析并建立模型。在一个黑箱系统中，第一次输入的为1，输出为1，第二次输入为2，输出为5，第三次输入为3，
,.
输出为10，则我们可得出的假设模型是（ ）
2
A．an=2n-1 B．an=n C. an=n +1 D. an=2n+1
答案：C
29、抛硬币，抛一次出现数字的几率是1/2，那么抛第5次时，出现数字的几率是多少？
A 1/3 B1/2 C1/4 D 1/5
30、已知，平面上n条直线最多把平面分割成F（n）=（n2+n+2）/2个平面块。请用类比推理的方法，猜想用n个平面分割空间所得的块数的表达式。（ ） A N=（an2+bn+c）/3 B N=（an3+bn2+cn+d）/2 C N=（an3+bn2+cn）/3 D N=（an3+bn2+cn+d）/3
31、在中国古代数学中，刘徽的割圆术运用了（ ）的思想方法获得了圆的面积。
A化归 B变形 C逐次渐进 D数学建模 答案：C
32、综合法可用如下框图表示：（ C ）
,.
A：
B： C：
D：
,.
二、大题目
1、简答题：（8分，共四点，每答对一点2分）
数学创造性思维的培养应注重那几个方面的问题？ 见课本P.103~104 答案：第一，在培养创造性因素方面，教师要设法引导学生的数学兴趣，并且积
极提出问题来参与数学的教学活动。
第二，在数学知识和方法的储备方面，使学生根据自己的理解主动地掌握
数学的知识和方法。
第三，在数学思维方式方面，由于逻辑思维是数学知识和理论的主要表现
形式，因此应当格外注重非逻辑思维的培养。
第四，在具体创新思维的方面，由于创造性思维方法已经有很多成熟的广
泛运用的方法，所以在数学教学中应当有意识地学习或运用它们，使之与数学的某些具体的问题相结合。
2．简答题：求证：对任意自然数n均有2n+2>n2。 答案：（分值：15分） 当n=1时，命题显然成立。
( 2分 )
设2k+2>k2成立，只要证明2k+1+2>(k+1)2即可。
（2分）
∵2k+1+2－(k+1)2=2(2k+2)－k2－2k－3,
,.
（3分）
代入2k+2> k2，得到2k+1+2－(k+1)2> k2－2k－3=(k－1)2－4，
（4分）
只要证明(k－1)2－4≥0即可，
（1分）
（1分）
再从n=2,3分别验证，当n=2时，22+2>22，命题成立；当n=3时，23+2>32，命题成立；因此当n为任意自然数时均有2n+2>n2。
（2分）
（其他合理解法可酌情给分）
3.简答题（10分） 对于任意自然数n>1，现的思维方法。
解：假设结论成立，可以得到
>
根据二项式定理有 =
=1+++…+
=1+2++…+
。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。2分
（分析法）。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。2分
+ ++…+
. n,并指出在解题过程中体
所以+ ++…+=
,.
所以>=
。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。2分
= =
即>与（综合法）
即+ ++…+ . n,。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。2分
（说出分析法、综合法各1分）
,.
4.试用数学解题的一般程序论述下题: (共10分)
已知长方体的长,宽和高,求它的对角线长度。
参考答案与评分标准:（合理即可给分） 一、
弄清楚问题：(共4分)
知
量
是
这
个
长
方
体
的
对
角
线
长
度
1) 未
-------------------------------------(1分) 2) 已
知
数
据
是
此
长
方
体
的
长
、
宽
和
高
-------------------------------------(1分)
3) 引入适当的符号ｘ表示未知量，a、b、c分别表示长,宽和高
-------------------------(1分)
4) 联系a、b、c和ｘ的条件是 ｘ是长为a，宽为b，高为c的长方体的对角线长度----------------------------------(1分)
二、
分析和制定解题步骤：(共2分)
1) 具有相似未知量的一道已经会解答的题：求一个直角三角形的一条边。
------------------(1分)
2) 为了能应用这道题的解法，应该引入某个辅助元素：引入一个直角三角
形（图中阴影强调）未知量是这个三角形的斜边，可以用勾股定理把它计算出来。其中一条直角边是给定的，就是c；另外一条直角边又是另一个直角三角形（直角边分别为a和b的三角形）的斜边，设这斜边为y。---------------(1分)
三、
完成解题计划并检验：(共2分)
,.
1) 引入另一个未知量y后，由勾股定理可得：
---------------(1分)
2)
因为x是正数，所以x=√四、
-----------(1分)
解题后研究：任意写出两个方面即可(共2分)，以下四个仅供参考： 1. 题目中a，b，c是轮换对称的，得到的对角线表达式对a，b，c来
说也是轮换对称的。假如a，b，c位置互换，表达式保持不变。 2. 这个题目和一道平面几何题相似：求一个两边a，b都给定的长方形
的对角线。假如原题中的高c不断缩短，直至消失，那么得到的就是长方形对角线公式。
3. 如果长方形的三个量a，b，c都等比例增长，那么对角线也将以相
同的比例增长。
4. 在别的题目中运用原题得到的结果。
例如：给定长方体的长，宽和高，求长方体中心到一个顶点的距离。 解答：所求距离就是刚计算过的对角线的一半。
5、简答题
用数学归纳法证明
111111 （5分） 1234(2n1)2nn1n2nn
,.
答案：证明：（1）当n1时，左边111，右边，等式成立．（1分） 1222（2）假设当nk时，等式成立，即
111111.则当nk1时， 1234(2k1)2kk1k22k1111 1234(2k1)2k(2k1)(2k2)1111 k1k22k(2k1)(2k2)111111 k2k32k2k12k2k111111 k2k32k2k12k21111 （4分）
(k1)1(k1)2(k1)k(k1)(k1)即当nk1时，等式成立．
根据（1）、（2）可知，对一切nN，等式成立．
6、证明：圆周角是同弧所对的圆心角之半。（7分） P书
7、把右图中的花瓶剪2刀，再拼成一个正方形。并根据此说明观察与实验在具体数学学习和解题中的作用。（得不出剪法，可结合其他具体例子进行说明）（10分） 参考答案：剪法见下图。
,.
→ → →
具体说明言之成理且符合题意即可，没有固定的标准答案。 评分细则：1、未写，只写一个 “解”字或 “答”字，记0分；
2、有答题，但答案与题目完全不符，如抄歌词、默古诗等，看书写
情况给予适当辛苦分，记1—3分；
3、例举非题目例子展开答题，表述较完整合理，视情况记3—6分； 4、以题目例子展开答题且表述完整合理或结合其他例子表述且有说服力，视情况记6—9分，剪法正确可加1—2分；
5、完全依照题目答题，剪法正确且说明完整合理，有信服力，记10分。
8、论述题
以五年级应用题“人民小学食堂运来400千克大米，已经吃了五分之二，
,.
还剩多少千克？”为例分析数学解题的一般程序。
答：（一）弄清楚问题：
问题为求剩余的大米千克数。
（二）分析和制定解题步骤： 本题可采用综合法来解题： 大米总量为400千克 ↘
已经吃了五分之二 已经吃了的大米数量 ↘ ↗
↗ 大米总量为 400 千克 剩余的大米数量 - （三） 完成解题计划并检验 400×2/5=160(千克) 400—160=240（千克） （四）解题后的研究：
题中的隐含条件是已经吃了的大米数量，引出混合式：400－400×
2/5=240(千克)
评分标准：1、只解出该应用题，得3分；
2、解出应用题，并能简略写出四个一般程序得6分 3、解出应用题，写出四个一般程序，并能做出合理分析得
,.
10分。
9、教学设计
请你设计一个“三角形面积公式”的教学片断并加以解释说明，要求从数学思想方法的角度进行分析设计。 ——10分
参考答案：
师：我们已经学过长方形、正方形、平行四边形的面积计算方法，那么如何求三角形的面积呢？这就是我们本节课所要解决的数学问题。 师：大家还记得平行四边形的面积公式我们是如何求得的？ 生1：用剪拼的方法把平行四边形变成一个长方形。 师：在剪拼的过程中，什么变了，什么没有变？ 生2：图的形状变了，但是面积的大小没有变。
师：那么，我们能不能用同样的方法来求三角形的面积呢？每个同学用你们事先准备好的材料想办法求出三角形的面积，如果你觉得有困难，可以和同桌商量。 ……
通过动手操作，有的同学用剪拼的方法把三角形转化成长方形来求它的面积；有的同学用两个完全相同的三角形拼成一个平行四边形后来求出三角形的面积。教师让学生介绍各种不同的方法。 师：你认为三角形的面积该如何计算？
根据刚才的展示，学生分别讲述“底×高÷2“的理由。
,.
…… ——6分
说明：三角形的面积学生不会求，但通过拼凑的方法把三角形转化为平行四边形的一半，而平行四边形面积学生是会求的，再通过三角形和转化成的平行四边形一半的关系比较得到求三角形面积的一般方法。整个过程渗透的是化归思想中的分割法。
这里的化归对象是三角形；化归目标是平行四边形；化归途径是分割，拼凑。 ——4分
10、简答题：
简述数学创造性思维在培养时应注意的方面。
答案：1.在培养创造性因素方面，教师要设法引起学生的数学兴趣，并且积极提
出问题来参与数学的教学活动；
2.在数学知识和方法的储备方面，使学生根据自己的理解主动地掌握数学
的知识和方法；
3.在数学思维方式方面，由于逻辑思维是数学知识和理论的主要表现形式，
因此应当格外注重非逻辑思维的培养；
4.在具体创新思维的方面，由于创造性思维方法已经有很多成熟的广泛运
用的方法，所以在数学教学中应当有意识的学习或运用它们，使之与数学某些具体的问题相结合。
评分标准：该题总分8分，每条2分。
,.
11、简答题
简述描述性数学模型和解释性数学模型的区别（从定义来讲），并分别简单举一个例子。（12分） 答案：
描述性数学模型是从特殊到一般，（2分）
即用数学语言描述具体的客观事物及状态的量化关系，得到一个具体的抽象的数学结构。（2分）
例如，哥尼斯堡七桥问题、布丰的投针实验、y=kx(k是非零常数)是具有正比例关系的事物的描述性数学模型等（2分） 解释性数学模型是从一般到特殊，（2分）
即对抽象的公理化系统给出直观解释或直观形式下的一种逻辑证明。（2分） 例如，庞加莱给出的非欧几何的数学模型，即庞加莱模型。（2分）
12、简答题：从数学方法论的角度分析数学的形式化特征，不难发现形式化是数学方法的表现形式，这种表现形式含有哪三层意义？ 答案：一、数学的形式都是有特定的符号来表现的
二、数学的形式化符号语言是数学思维的表现形式 三、数学教育应当重视形式化
答案解析：本题考察的是学生关于课本《数学思维方法》中第九章第二章节的知识，题目考察范围为292页数学的形式化方法的意义，排除C、D无关选项。书中详细介绍了“形式化”的证明方法，而在开头、和小结指出中小学更应侧重的知识是非形式化数学方法指导。所以排除再排除A选项，得到正确答案B。
,.
评分标准：
1.分别完整答出三点意义，给以满分；
2分别答出三句的关键词句“特定符号……表现”、“符号语言……表现形式”、“数学教育”扣除1-2分；
3.答出知识点不完整，按所答知识点与相应所属意义联系性，酌情给分，不超过5分；
4.学生答案与正确答案完全无关，给予0分。
出题目标：考察学生对数学的形式化方法的意义的理解，结合书上的文本重点知识，加强学生理论知识
13、求证 lg5×lg25+lg5×lg4+lg2×lg25+lg2×lg4=2
解：（lg2+lg5）（lg25+lg4）=2
又由于lg2+lg5=lg10=1，lg25+lg4=lg100=2，于是问题得到解决。
14、解答题
利用一元二次方程ax2+bx+c=0（a不等于0）的根的判别问题进行类比，求解方程x2-4xy+5y2+2x-8y+5=0的实数解x和y。
解题思路：
若按y整理原方程，则有
,.
5y2-4（x+2）y+（x2+2x+5）=0 （3）
类比ax2+bx+c=0（a不等于0），则y有实数解的充要条件是△≥0 （3） 整理化解后得（x-3）2≤0 （2） 将x=3带入原方程 可得y=2 （2）
15、简答题（10分）在△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，若∠C=90°，如图（1），根据勾股定理，则a²+b²=c²,若△ABC不是直角三角形，如图（2）和图（3），请你类比勾股定理，试猜想a²+b²与c²的关系，并证明你的结论。
答案及评分标准：
解：若△ABC是锐角三角形，则有a²+b²＞c²；………………………………2分 若△ABC是钝角三角形，∠C为钝角，则有a²+b²＞c²；.……………………2分 证明：当△ABC是锐角三角形时，
过点A作AD⊥CB，垂足为D， ……………………………………………………1分
,.
设CD为x，则有DB=a-x
根据勾股定理得 b²-x²=c²-（a-x）² 即 b²-x²=c²-a²+2ax-x² ∴a²+b²=c²+2ax ∵a＞0，x＞0 ∴2ax＞0
∴a²+b²＞c²；………………………………………………………………2分
证明：当△ABC是钝角三角形时，
过点B作BD⊥AC，交AC的延长线于点D，……………………………………1分 设CD为x，则有DB²=a²-x²
根据勾股定理得 （b+x）²+a²-x²=c² 即 b²+2ab+x²+a²-x²=c² ∴a²+b²+2ab=c² ∵b＞0，x＞0 ∴2bx＞0
∴a²+b²＜c².………………………………………………………………2分
,.
注释：此道题目，考生若能完整写出正确答案即可得4分，证明过程各占3分； 若有其他证明方法，只要合理，即可酌情给分。
16、论述题：
12个球一个天平，现知道只有一个和其它的重量不同，问怎样称才能用三次就找到那个球。（注意此题并未说明那个球的重量是轻是重）
给分原则（若此题20分）：此题考查的是学生逻辑推理的严密性和逐次渐进法的使用，需要学生细心面对及考虑问题具有全面性。①只答出对球编号给2分；②在①的基础上，懂得分步称量，即使不是用三步称出来的，也给一半分。③漏掉其中一两个步骤，则给15分④其他酌情给分。
【解答】12个时可以找出那个是重还是轻，13个时只能找出是哪个球，轻重不知。
把球编为①②③④⑤⑥⑦⑧⑨⑩⑾⑿。（13个时编号为⒀） 第一次称：先把①②③④与⑤⑥⑦⑧放天平两边， ㈠如相等，说明特别球在剩下4个球中。 把①⑨与⑩⑾作第二次称量，
⒈如相等，说明⑿特别，把①与⑿作第三次称量即可判断是⑿是重还是轻 ⒉如①⑨＜⑩⑾说明要么是⑩⑾中有一个重的，要么⑨是轻的。 把⑩与⑾作第三次称量，如相等说明⑨轻，不等可找出谁是重球。 ⒊如①⑨＞⑩⑾说明要么是⑩⑾中有一个轻的，要么⑨是重的。
,.
把⑩与⑾作第三次称量，如相等说明⑨重，不等可找出谁是轻球。 ㈡如左边＜右边，说明左边有轻的或右边有重的 把①②⑤与③④⑥做第二次称量
⒈如相等，说明⑦⑧中有一个重，把①与⑦作第三次称量即可判断是⑦与⑧中谁是重球 ⒉如①②⑤＜③④⑥说明要么是①②中有一个轻的，要么⑥是
重的。把①与②作第三次称量，如相等说明⑥重，不等可找出谁是轻球。 ⒊如①②⑤＞③④⑥说明要么是⑤是重的，要么③④中有一个是轻的。 把③与④作第三次称量，如相等说明⑤重，不等可找出谁是轻球。 ㈢如左边＞右边，参照㈡相反进行。
17、解答题：
分别用恒等变形以及同解变形解方程
x4x52x-
43
18、简答题：
运用具体例子说明递推法的逐次渐近的作用。 解答：
举例：在数列{an}中a1=1,an+1=
,求an………………………(举例5分)
an+11
,.
a1=1 1
a2=
21
a3=
3 . . . an=
n
将a1代入an+1= 中，得到
an+1 an+1=
= 11+n1+ n1
1
1
1
用递推法解数学问题时，先尝试找到解题方法的某种规律或法则，然后利用这种规律和法则逐渐推到下去，直到得到正确答案。…………………………………….(作用3分)
19. 一个邮递员投送信件的街道如图14-1，图上数字表示各段街道的千米数．他从邮局出发，要走遍各街道，最后回到邮局．问走什么样的路线最合理，全程要走多少千米？
,.
分析：最合理的路线就是选择最短路线．图中有很多路线，到底走哪一条路线最短呢？自然是能不重复走遍所有街道，最后回到邮局．因此这个问题就变成能否一笔画出这个图形，最后回到起点的“一笔画”问题．所谓一笔画，就是从图形上的某点出发，笔不离开纸，而且每条线都只画一次不准重复。我们把一个图形中与偶数条线相连接的点叫做偶点，把与奇数条线相连接的点叫做奇点．图141中A、B、G、I都是偶点，其余的点均为奇点。
根据一笔画原理，可以判定出图141不是一笔画图形，因为这个图形奇点的个数超过两个。显然这个图形不能一笔画出，但我们可以将这个图形转化成一笔画图形。此题要求邮递员从邮局出发，最后回到邮局。按一笔画的原理，只有图形中的点全部是偶点时，才能从起点出发，最后又回到起点。图141中共有10个奇点，显然邮递员要不重复走遍所有的街道是不可能的。为使邮递员从邮局出发，最后仍回到邮局，必须使10个奇点都变为偶点，这就需要在每两个奇点之间添加一条线，使全部的奇点变为偶点。在实际问题中，就是邮递员在哪些街道上要重复走，由于各段街道的路程不同，究竟邮递员在哪些街道重复走，能使投邮路线最合理。当然必是重复走的路程最短，总路程才能最短。要达到这一点，连线时必须做到以下两点： （1）连线不能出现重迭；
（2）在每一个首尾相接的封闭图上，连线的长度总和不能超过总封闭图的长的一半。
,.
按照上面两点，这个题最佳连线如图142所示虚线．
解：根据图142，将10个奇点全变为偶点，且相应的投递路线为：
B（邮局）→N→A→I→H→J→F→G→H→J→K→E→F→E→D→L→K→L→M→N→M→C→D→C→B．
这条路线最合理（走法不唯一），全程长为：
（1+0.5+2+1+0.5）×4+2×6+1×2=34（千米）
评分标准:1.解答思路清晰,有条理，答案正确，给满分;
2.只有答案，没有分析过程，或者分析过程不完整，思路混乱，酌情给分。
20、简答题：
数学创造性思维的培养应注重哪几个方面的问题？ 答案：
数学创造性思维的培养应注重四个方面的问题：
第一，在培养创造性因素方面，教师要设法引起学生的兴趣，并且积极
提出问题来参与数学的教学活动。
第二，在数学知识和方法的储备方面，使学生根据自己的理解主动地掌
握数学的知识和方法。
,.
第三，在数学思维方式方面，由于逻辑思维是数学知识和理论的主要表
现形式，因此应当格外注重非逻辑思维的培养。
第四，在具体创新思维的方面，由于创造性思维方法已经有很多成熟的
广泛运用的方法，所以在数学教学中应当有意识地学习或运用它们，使之与数学某些具体的问题相结合。
21、已知集合A=(x,y)x,y为实数，B=已知向量a=（1,2），b=（1,0），c=（3,4）。若为实数，（(ab)∥c），则= A.
11 B. C.1 D.2 42解：(1+)/3=2/4
1=
2设b>0，数列an}满足a1=b,an（1） 求数列an
nban1(n≥2)
an1n1的通项公式；
（2） 证明：对于一切正整数n，2anbn1+1
,.
22、论述题：
结合具体小学数学实验案例说明数学实验中的数学思维方法。（15分）
（1）举例：（5分）
上小学数学《分类》课程时，将一个玩具包，一个文具包、一个服装鞋帽包和一大堆物品放在讲桌上，让学生把这些物品分成上面的三类，放在包里。学生
,.
争着上台分类，有的是先把玩具找出来，再找文具，最后找服装鞋帽；有的是顺着一个一个地分……学生在整理房间的模拟活动中体会到了分类的含义和方法，能按给定的标准进行分类和整理，学会了怎样整理房间。（举例非常合理且与数学实验有关，语言简洁给5分，举例较合理给3分，不合理且与数学实验无关不给分，其他可酌情给分）
（2）数学实验与数学思维的关系：（5分）
从数学实验方法的层面分析，数学实验主要用于：（1）发现和总结数学规律；（2）验证和检验数学问题；（3）应用和解决数学建模问题。在这一过程中，前两项主要是掌握数学的思想、方法和规律，最后一项是和数学建模问题结合到了一起。由此可以认为，（4）数学实验方法既是一个认识、熟悉和理解数学内在思维方式的过程，（5）又是一个与数学建模相同的运用数学思维的过程。 （答出横线处的5个要点，给5分，每个要点1分）
（3）例子与理论知识的联系：（5分）
就像前面的例子，学生在分类实验中通过动手实验对于分类这一知识点有了更直观的认识，学生更好的接受了这一知识点，掌握了这一数学规律，同时在这一过程中也养成了验证与检验数学问题的数学思维，有效的促进了学生数学问题解决能力的养成，更好的培养了学生的数学情感。 （例子与理论知识有紧密联系给5分，否则可酌情扣分。）
,.
23、简答题：用RMI方法试证三角形ABC的三条高线共点（要求写出解题思路）（12分）
解：解题思路：
（1） 利用坐标法将几何问题映射为代数问题。（2分）
以BC为x轴，以BC边上的高AD为y轴建立坐标系。（1分）不失一般性，A、B、C三点的坐标分别为A（0，a），B（b，0），C（c，0），依解析几何知识得到三角形ABC三条边所在直线的斜率分别为：kBC=0，kCA=—a/c，kBA=—a/b。（1分）
（2） 三条高所在直线的方程分别是： AD：x=0（1分）
BE：cx—ay—bc=0（1分） CF：bx—ay—bc=0（1分） 解方程组，显然三个方程有公共解： x=0，y=—bc/a。（2分）
（3） 由代数结论可获得几何解释，即三角形ABC三条高共点。（2分）
,.
yA（0，a)FEC（c，0）（1分）BD(0，0） 24、论述题：
化归法的核心思想是什么？并举出小学解决数学问题中的一个问题加以简单说明？
答：化归法的核心思想是指对问题的转换，一个问题的处理或者一个具体数学问题的解决都可以有不同的方法，恰到好处地运用化归的原理把问题给予适当的处理，就是掌握了化归法的核心思想。比如说：小学数学问题中，求圆的面积公式？直接解决是很困难的，在教学中老师可以引导学生，把求圆的面积公式转化为学生已熟悉或已解决的长方形的面积公式，沿着这样的一个思维方向，就会把一个具体问题转为了一个可以解决或容易解决的数学形式。
（评分标准：核心思想的大致意思对，且举得例子符合该思想，并加以恰当的分析，就可以满分了。）
25、已知函数f(x)=ax^2+(b-8)x-a-ab,当x∈(-3,2)时,f(x)＞0,当x∈(－∞,-3)∪(2,＋∞)时,,f(x)＜0.(15分)
,.
(1)求f(x)在[0,1]上的值域(7分) (2)若ax^2+bx+c≤0的解集为R,求实数c的取值范围.(8分)
解析：由题设可知：-3，2为函数f(x)=ax^2+(b-8)x-a-ab的两个零点， 即x=-3，x=2是一元二次方程：ax^2+(b-8)x-a-ab=0的两根， 所以 -3+2=-(b-8)/a ， -3*2=(-a-ab)/a， 解得：a=-3， b=5。
-----------------------------------------------------(3分) 函数f(x)=-3x^2-3x+18。
(1)， f(x)=-3x^2-3x+18=-3(x+1/2)^2+75/4，
函数f(x)在(-无穷，-1/2)上单调递增，在(-1/2，+无穷)单调递减， 且f(0)=18，f(1)=12。
所以 f(x)在[0,1]上的值域为：[12，18]；-------------------------------(4分) (2) ，由 -3x^2+5x+c<=0，得：
c<=3x^2-5x=3(x-5/6)^2-25/12-----------------------------------(5分) 不等式的解集为R，则：c<=-25/12。 故 实数c的取值范围为： c<=-25/12。-------------------------------(3分)
26、论述题：
一项工程，由甲队单独做12天可以完成，甲队做了3天另有任务撤了，余下的
,.
工程由乙队做15天完成，乙队单独完成这项工程需要多少天？ 针对此题，学生给出以下两种解法： 解法一：1÷[(1-1/12×3）÷15]
=20(天）
解法二：15÷ (1-1/12×3）
=20(天）
请针对以上解法分别说出他们的解题思路。 标准答案：
思路一：（针对解法一）
从工程问题（1分）来考虑，根据“工作量=工作效率×工作时间”（2分），把工程看做“1”（1分），先求出乙队的工作效率[(1-1/12×3）÷15]（2分），进而就可以求出乙队单独完成的时间（1分）。
思路二：（针对解法二）
从分数应用题的角度（2分）来考虑，乙队工作效率不变（1分），工作时间与工作量成正比（1分），因为乙队15天完成了全工程的(1-1/12×3）（1分），花去的时间是完成全工程所需时间的（1-1/12×3）（2分），所以可以求出乙队单独完成工程所需的时间（1分）。
评分标准：
此题满分15分，其中思路一7分，思路二8分。
思路一：答出“工程问题”得1分，答出“工作量=工作效率×工作时间”得2
,.
分，根据解法一进行具体解释，解释得全面完整得4分，否则酌情给分。 思路二：答出“分数应用题的角度”得2分，答出与“乙队工作效率不变，工作时间与工作量成正比”相近意思的内容得2分，根据解法二进行具体解释，解释得全面完整得4分，否则酌情给分。
27、论述题：
假设某小店规定，三个空的啤酒瓶可以换一瓶啤酒，那么某人家里亲戚聚会一次性买了18瓶酒，那么这次聚会亲人们一共能喝多少酒？请具体论述你的思路。 解：18瓶酒喝了18瓶，18个瓶子换6瓶酒，6个瓶子换2瓶酒，剩下2个瓶子，问小店的人借1个瓶子，3个瓶子换1瓶酒，喝完之后归还瓶子。所以一共有18+6+2+1=27瓶酒
π
28、已知α≠kπ＋，β≠kπ(k∈Z)，且
2
(3tan α＋cot β)3＋tan3α＋4tan α＋cot β＝0， 证明：4tan α＋cot β＝0.
解：证明：由已知条件(3tan α＋cot β)3＋tan3α＋4tan α＋cot β＝0得 (3tan α＋cot β)3＋(3tan α＋cot β)＝(－tan3α)＋(－tan α) ① 设函数f(x)＝x3＋x，易知f(x)在R上为单调增函数． ①式可视为f(3tan α＋cot β)＝f(－tan α)， 则有3tan α＋cot β＝－tan α， 所以4tan α＋cot β＝0.
29．现有一小学数学题：一群学生住若干间宿舍，每间住4人，剩19人无房
,.
住；每间住6人，有一间宿舍住不满，求可能有多少间宿舍和多少名学生？（运用模型构造的思维方法）
答案： 解：设有x间宿舍………………………………………………1分
则有（4x+19）名学生……………………………………1分 因为每间住6人，一间没住满，则 4x+19<6x 4x+19>6（x-1）
解不等式，得9.5＜x＜12.5 因为x为自然数，则x=10，11，12
当x=10时，4x+19=59，当x=11时，4x+19=63，当x=12
时，4x+19=67
因此有三种可能，第一种，有10间宿舍，59名学生；第二种，有11间宿舍，63名学生；第三种，有12间宿舍，67名学生。……………………………………2分
30．在小学二年级阶段的数学课堂中，如何教授学生a=3，即用字母表示数的方法以完成学生从算术到代数的思维转变并激发学生的学习兴趣。请设计一个3分钟左右的引入阶段教学片段。
评分标准：教学设计思路清晰，得3分；教学设计思路清晰流畅且能较自然地完成代数知识的引入，得7分；教学设计思路清晰流畅且能较自然地完成代数知
,.
识的引入，，并且教学设计形式新颖，能激发学生数学学习兴趣，得10分）
31、试举例说明递归法的逐次渐进的作用。
参考答案：递归法是在解决数学问题时，把未知对象排成一个序列，先求出第一个未知对象的结果，再利用这一结果求出第二个未知对象。由此继续下去，利用前面未知对象来求得后一未知对象，逐次渐进地获得问题的解答。
例如解方程组：
a﹢2 = 2a +3 ⑴ a + 3b = 5 + 2a ⑵ 3a + b + c = a +2 ⑶
由（1）可求得a ，把a 的值代入（2）后，所得到的方程是关于a 的一次方程，可以解得 b. 再把 a、b的值代入（3），所得的是关于b的一次方程，就可以解得c.这样子是按a、b、c 的顺序先求出a 的值，然后一步步地利用前面的结果来求出后一未知数的值，直到把全部未知数都求出来。
32、解析题
蔬菜公司的运进一批南瓜和辣椒，南瓜比辣椒多560千克，南瓜50框，每框40千克；辣
,.
椒40框，每框多少千克？分析法框架图表示：
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