积分上限函数的应用研究

维普资讯 http://www.cqvip.com 积分上限函数的应用研究　徐虎　（泸州广播电视大学）　摘要给出积分上限函数在证明微积分中值定理，举例说明积分等式与不等式和重积分中的应用　关键词积分上限函数应用　Ｆ（　）＝　积分上限函数Ｆ（　）＝Ｃ，（ｒ）ｄｆ是一元函数微分学的基本慨念，　它是导出牛顿一莱布尼兹公式的基础，其理论和实践意义众所周知。　因为Ｆ（　）具有比，（　）更优良的分析性质。所以将定积分ｒ，（　）ｄ　的　上限没为变数　，为讨论一些定积分问题提供了一个新的思路。现举　例说明积分上限函数的一些应用。　１　积分上限函数证明中值定理　例１微分中值定理…：若函数ｆ（ｘ）在闭区间【ａ，ｂ】连续，在开区　间（口，６）内可导，则在开区问（ｎ，ｂ）内至少存在一点ｃ（ａ＜ｆ＜ｂ），使　ｆ（ｂ）一ｆ（ａ）＝ｆ（ｆ）（６一口）。　证明：把ｆ换成ｔ，则ｆ（ｂ）一ｆ（ａ）＝ｆ（ｒ）（６一ａ），　即【ｆ（ｂ）一，（口）】一ｆ（ｒ）（６一ａ）＝０，Ｖ　∈【ａ・ｂ】，　将上式两边取积分有ｌ【ｆ（ｂ）一ｆ（ａ）一ｆ（ｒ）（６一ａ）ｌｄｔ＝０　即【／’（６）一，（口）】（　—ａ）一【ｆ（ｘ）一，（口）●】（　—ａ）：０，　●　　令Ｆ（ｘ）：【ｆ（ｂ）一ｆ（ａ）ｌ（ｘ—ａ）一【，（　）一ｆ（八　ａ），　ｌ（ｘ—ａ），显然Ｆ（ｂ）　＝Ｆ（口）：ｏ，且Ｆ（ｘ）在【口，ｂ】内连续，在（口，＋　ｂ）内可导．由罗尔定理，）　　则至少存在一点ｃ（ａ＜ｆ＜６）．使Ｆ。（　）＝０．而Ｆ。（　）：Ｉｆ（ｂ）一ｆ（ａ）ｌ—　ｆ（　）（６一ａ）．故ｆ（ｂ）一ｆ（ａ）＝ｆ（ｆ）（６一ａ）（ａ＜ｆ＜ｂ）　．　例２积分中值定理　。：若函数，（　）在闭区问【卜　口，ｂ】连续，则在　【口，ｂ】内至少存在一点ｃ，使得．１．ｆ（ｘ）ｄｘ＝ｆ（ｃ）（ｂ一Ⅱ）。　证明：设Ｆ（　）＝ｌ‘ｆ（ｔ）ｄｔ，由于，（，　）在【　口，口　ｂ】连续，则Ｆ（　）在　【口，ｂ】上连续，由拉格朗日中值定理，则至少存在一点ＣＥ（㈨　口，６），　使Ｉ　ｆ（ｔ）ｄｔ—Ｉ　ｆ（ｔ）ｄｔ＝，（ｆ）（６一ｎ），即Ｉ“　　ｆ（㈤　．ｔ　）ｄｔ＝，（ｆ）（６一ｎ）　其实若ｃ在端点取得，也必在（口，６）内部取得　２积分上限函数证明等式　例３没函数ｆ（ｘ）在闭区问【ａ．ｂ】连续，求证　ｌｉ　ｍＬｒ【，（　＋，１）一ｆ（ｘ）ｌｄｘ　，（６）一，（口）　『ＪＪＩ｜证明：没辅助函数Ｆ（　）＝ｆａ＇ｆ（ｔ）ｄｔ，ｘ∈【口，６】．则，（　）在【口，６】　上可导，且，’（　）２，（　），左边＝ｌ　ｉ　ｍ／Ｉ￣　［Ｖ（ｂ＋＾）一Ｆ（口＋＾）一Ｆ（　＋Ｆ（口）】　＾　：ｌｉｍ＿Ｆ（ｂ＋ｈ）－Ｆ（ｂ）一！ｉ哩　±　：Ｆ。（６）一Ｆ。（口）：ｆｉｂ）一，（口）　例４没函数，（　）是连续函数，证明　ｘ３ｆ（Ｘ２）出：　（　）ｄｘ　迁明：设Ｆ（ａ）＝　，（　）ｄｘ一　ｘｆ（　）ｄｘ，由积分上限函数的　定理及复合函数求导法则有，。（口）－＿＿ａ　３，（口　）一　Ｉ口　，（ｄ　），２口，因　Ｆ（口）＝０．所以Ｆ（Ⅱ）＝ｆ．又Ｆｆ０）：０．即Ｆ（Ⅱ）：０．故等式得证。　３积分上限函数证明不等式　对于含有定积分的不等式的证明，可以把一常数变为参数从而构　造一个积分上限函数作为辅助函数．再利用增减性来证明。　例５设函数，（　）在【口，６】上，。（　）＞０，且，”（　）＞０，求证　，（　，—　一一，（６）一，（ｎ）　。　　证明：设辅助函数Ｆ（　）：　“一口）【，（　）＋，（口）】一ｒ，（，）ｄ，・ｘ∈【口．　由于Ｆ‘（　一　，‘（小　厂（小　（　，‘（　（一），‘（啦０　（　ａ，ｆ‘（　）＞０），又Ｆ‘（口）：０，故Ｆ’（　）＞０，又Ｆ（Ⅱ）＝０，　于是Ｆ（　）＞０，ｘ∈（口，６）即　（ｘ－ａ）【，（　）＋，（口）】＞ｆ￣ｆ（ｔ）ｄｔ，取　＝ｂ，变形即得证。　例６没函数，（　）在【口，６】可微．ｆ　（　）非减．则　ｒ　）ｄｘ　【　）＋　）】　汪明：没Ｆ（　）：Ｃ，（ｆ）ｄｔ一羔　，（ａ）＋，（　）】　∈【口，６】．因，（　）　在【ｎ，ｂ】可微，则Ｆ（ｘ）在【ａ，ｂ】可微　Ｆ。（加　）一　卅　）】－　（　，（ａ）】－　，（　）　由拉格朗日中值定理至少存在一点ｆ∈（口．　）．使，（　）一，（口）＝　ｆ’（ｆ）（ｘ－ａ），于是Ｆ。（　）＝兰　Ｉｆ’（ｃ）一ｆ。（　）】。又，’（　）非减，　则ｆ‘（ｆ）　ｆ。（Ｊ），即Ｆ　（　）　０，故Ｆ（　）非增，于是有Ｆ（６）≤Ｆ（ａ）　＝０，即ｒ　）出　Ｉｆ（卅　４积分上限函数计算重积分　例７没函数ｆ（ｘ）在【口，ｂ】连续．则　ｒ出　，（　），（ｙ）　＝　ｒ，（　）出】　。　证明：左＝ｒｄＨ，（　）ｆ￣ｆ（ｙ）ｄｙｌｄｘ＝ｒ（　，（ｙ）　ｙｄ（Ｃ，（ｆ　）　．【　，（ｙ）　ｒ，（ｒ）ｄｆ】：　＝ｒ【（一，（　）　，（ｆ）ｄｔ］ｄｘ＝ｒ，（　ＸＩ：ｆ（ｒ）ｄｔ）ｄｘ　＝ｒ（ｒ，（，）ｄｆ）ｄ（ｒ，（ｒ）ｄｆ）　＝　【Ｃ，（，）ｄｆ】　ｆ：：　【ｒ，（ｒ）　】　在《数学分析》教材中，多处出现没立辅助函数的推理．是学　习中的难点之一　练习题中也涉及若干抽象函数的定积分问题，若能　变动其上限作为积分上限函数．运用一些分析或初等方法，从而使问　顾　刃而解　参考文献　ＩＩｌ刘玉琏《数学分析》（第２版）（上）东北师范大学数学系ＩＭ１，　高等教育出版社，１９９４，１０　Ｉ２ｌ刘玉琏《数学分析》（第２版）（下）东北师范大学数学系【Ｍｌ＿　高等教育出版社，１９９４．１０　作者简介徐虎（１９６４－），泸州广播电视大学讲师，从事数学分析　教学　（收稿日期：２ｎ０８・０２・２２）