2017年重庆市中考数学试卷（A卷）
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分） 1．（4分）在实数﹣3，2，0，﹣4中，最大的数是（ ） A．﹣3 B．2
C．0
D．﹣4
2．（4分）下列图形中是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．（4分）计算x6÷x2正确的是（ ） A．3
B．x3 C．x4 D．x8
4．（4分）下列调查中，最适合采用全面调查（普查）方式的是（ ） A．对重庆市初中学生每天阅读时间的调查 B．对端午节期间市场上粽子质量情况的调查 C．对某批次手机的防水功能的调查
D．对某校九年级3班学生肺活量情况的调查 5．（4分）估计
+1的值应在（ ）
A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间 6．（4分）若x=﹣，y=4，则代数式3x+y﹣3的值为（ ） A．﹣6 B．0
C．2
D．6
有意义，x应满足的条件是（ ）
7．（4分）要使分式A．x＞3
B．x=3 C．x＜3 D．x≠3
8．（4分）若△ABC∽△DEF，相似比为3：2，则对应高的比为（ ） A．3：2
B．3：5
C．9：4
D．4：9
9．（4分）如图，矩形ABCD的边AB=1，BE平分∠ABC，交AD于点E，若点E是AD的中点，以点B为圆心，BE长为半径画弧，交BC于点F，则图中阴影部分的面积是（ ）
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A． B． C． D．
10．（4分）下列图形都是由同样大小的菱形按照一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有3个菱形，第②个图形中一共有7个菱形，第③个图形中一共有13个菱形，…，按此规律排列下去，第⑨个图形中菱形的个数为（ ）
A．73 B．81 C．91 D．109
11．（4分）如图，小王在长江边某瞭望台D处，测得江面上的渔船A的俯角为40°，若DE=3米，CE=2米，CE平行于江面AB，迎水坡BC的坡度i=1：0.75，坡长BC=10米，则此时AB的长约为（ ）（参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84）．
A．5.1米 B．6.3米 C．7.1米 D．9.2米 12．（4分）若数a使关于x的分式方程不等式组
+
=4的解为正数，且使关于y的
的解集为y＜﹣2，则符合条件的所有整数a的和为（ ）
A．10 B．12 C．14 D．16
二、填空题（每小题4分，共24分）
13．（4分）“渝新欧”国际铁路联运大通道全长11000千米，成为服务“一带一路”
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的大动脉之一，将数11000用科学记数法表示为 ． 14．（4分）计算：|﹣3|+（﹣1）2= ．
15．（4分）如图，BC是⊙O的直径，点A在圆上，连接AO，AC，∠AOB=64°，则∠ACB= ．
16．（4分）某班体育委员对本班学生一周锻炼时间（单位：小时）进行了统计，绘制了如图所示的折线统计图，则该班这些学生一周锻炼时间的中位数是 小时．
17．（4分）A、B两地之间的路程为2380米，甲、乙两人分别从A、B两地出发，相向而行，已知甲先出发5分钟后，乙才出发，他们两人在A、B之间的C地相遇，相遇后，甲立即返回A地，乙继续向A地前行．甲到达A地时停止行走，乙到达A地时也停止行走．在整个行走过程中，甲、乙两人均保持各自的速度匀速行走，甲、乙两人相距的路程y（米）与甲出发的时间x（分钟）之间的关系如图所示，则乙到达A地时，甲与A地相距的路程是 米．
18．（4分）如图，正方形ABCD中，AD=4，点E是对角线AC上一点，连接DE，
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过点E作EF⊥ED，交AB于点F，连接DF，交AC于点G，将△EFG沿EF翻折，得到△EFM，连接DM，交EF于点N，若点F是AB边的中点，则△EMN的周长是 ．
三、解答题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）
19．（8分）如图，AB∥CD，点E是CD上一点，∠AEC=42°，EF平分∠AED交AB于点F，求∠AFE的度数．
20．（8分）重庆某中学组织七、八、九年级学生参加“直辖20年，点赞新重庆”作文比赛，该校将收到的参赛作文进行分年级统计，绘制了如图1和如图2两幅不完整的统计图，根据图中提供的信息完成以下问题．
（1）扇形统计图中九年级参赛作文篇数对应的圆心角是 度，并补全条形统计图；
（2）经过评审，全校有4篇作文荣获特等奖，其中有一篇来自七年级，学校准备从特等奖作文中任选两篇刊登在校刊上，请利用画树状图或列表的方法求出七
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年级特等奖作文被选登在校刊上的概率．
四、解答题：（本大题4个小题，每小题10分，共40分） 21．（10分）计算： （1）x（x﹣2y）﹣（x+y）2 （2）（
+a﹣2）÷
．
22．（10分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=mx+n（m≠0）的图象与反比例函数y=（k≠0）的图象交于第一、三象限内的A、B两点，与y轴交于点C，过点B作BM⊥x轴，垂足为M，BM=OM，OB=2（1）求该反比例函数和一次函数的解析式； （2）连接MC，求四边形MBOC的面积．
，点A的纵坐标为4．
23．（10分）某地大力发展经济作物，其中果树种植已初具规模，今年受气候、雨水等因素的影响，樱桃较去年有小幅度的减产，而枇杷有所增产．
（1）该地某果农今年收获樱桃和枇杷共400千克，其中枇杷的产量不超过樱桃产量的7倍，求该果农今年收获樱桃至少多少千克？
（2）该果农把今年收获的樱桃、枇杷两种水果的一部分运往市场销售，该果农去年樱桃的市场销售量为100千克，销售均价为30元/千克，今年樱桃的市场销售量比去年减少了m%，销售均价与去年相同；该果农去年枇杷的市场销售量为200千克，销售均价为20元/千克，今年枇杷的市场销售量比去年增加了2m%，但销售均价比去年减少了m%，该果农今年运往市场销售的这部分樱桃和枇杷的销售总金额与他去年樱桃和枇杷的市场销售总金额相同，求m的值．
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24．（10分）在△ABM中，∠ABM=45°，AM⊥BM，垂足为M，点C是BM延长线上一点，连接AC． （1）如图1，若AB=3
，BC=5，求AC的长；
（2）如图2，点D是线段AM上一点，MD=MC，点E是△ABC外一点，EC=AC，连接ED并延长交BC于点F，且点F是线段BC的中点，求证：∠BDF=∠CEF．
五、解答题：（本大题共2个小题，25小题10分，26小题12分，共22分） 25．（10分）对任意一个三位数n，如果n满足各数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“相异数”．将一个“相异数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和与111的商记为F（n）．例如n=123，对调百位与十位上的数字得到213，对调百位与个位上的数字得到321，对调十位与个位上的数字得到132，这三个新三位数的和为213+321+132=666，666÷111=6，所以F（123）=6． （1）计算：F（243），F（617）；
（2）若s，t都是“相异数”，其中s=100x+32，t=150+y（1≤x≤9，1≤y≤9，x，y都是正整数），规定：k=
，当F（s）+F（t）=18时，求k的最大值．
x2﹣
x﹣
与x轴交
26．（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=
于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，对称轴与x轴交于点D，点E（4，n）在抛物线上．
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（1）求直线AE的解析式；
（2）点P为直线CE下方抛物线上的一点，连接PC，PE．当△PCE的面积最大时，连接CD，CB，点K是线段CB的中点，点M是CP上的一点，点N是CD上的一点，求KM+MN+NK的最小值； （3）点G是线段CE的中点，将抛物线y=
x2﹣
x﹣
沿x轴正方向平移
得到新抛物线y′，y′经过点D，y′的顶点为点F．在新抛物线y′的对称轴上，是否存在点Q，使得△FGQ为等腰三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
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2017年重庆市中考数学试卷（A卷）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分） 1．（4分）在实数﹣3，2，0，﹣4中，最大的数是（ ） A．﹣3 B．2
C．0
D．﹣4
【解答】解：∵﹣4＜﹣3＜0＜2， ∴四个实数中，最大的实数是2． 故选：B．
2．（4分）下列图形中是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：A、不是轴对称图形，本选项错误； B、不是轴对称图形，本选项错误； C、是轴对称图形，本选项正确； D、不是轴对称图形，本选项错误． 故选：C．
3．（4分）计算x6÷x2正确的是（ ） A．3
B．x3 C．x4 D．x8
【解答】解：x6÷x2=x6﹣
2=x4． 故选：C．
4．（4分）下列调查中，最适合采用全面调查（普查）方式的是（ A．对重庆市初中学生每天阅读时间的调查 B．对端午节期间市场上粽子质量情况的调查
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）
C．对某批次手机的防水功能的调查
D．对某校九年级3班学生肺活量情况的调查
【解答】解：A、对重庆市初中学生每天阅读时间的调查，调查范围广适合抽样调查，故A错误；
B、对端午节期间市场上粽子质量情况的调查，调查具有破坏性，适合抽样调查，故B错误；
C、对某批次手机的防水功能的调查，调查具有破坏性，适合抽样调查，故C错误；
D、对某校九年级3班学生肺活量情况的调查，人数较少，适合普查，故D正确； 故选：D．
5．（4分）估计
+1的值应在（ ）
A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间 【解答】解：∵3＜∴4＜
+1＜5．
＜4，
故选：B．
6．（4分）若x=﹣，y=4，则代数式3x+y﹣3的值为（ ） A．﹣6 B．0
C．2
D．6
【解答】解：∵x=﹣，y=4，
∴代数式3x+y﹣3=3×（﹣）+4﹣3=0． 故选：B．
7．（4分）要使分式A．x＞3
有意义，x应满足的条件是（ ）
B．x=3 C．x＜3 D．x≠3
有意义，
【解答】解：当x﹣3≠0时，分式即当x≠3时，分式
有意义，
第9页（共30页）
故选：D．
8．（4分）若△ABC∽△DEF，相似比为3：2，则对应高的比为（ ） A．3：2
B．3：5
C．9：4
D．4：9
【解答】解：∵△ABC∽△DEF，相似比为3：2， ∴对应高的比为：3：2． 故选：A．
9．（4分）如图，矩形ABCD的边AB=1，BE平分∠ABC，交AD于点E，若点E是AD的中点，以点B为圆心，BE长为半径画弧，交BC于点F，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：∵矩形ABCD的边AB=1，BE平分∠ABC， ∴∠ABE=∠EBF=45°，AD∥BC， ∴∠AEB=∠CBE=45°， ∴AB=AE=1，BE=
，
∵点E是AD的中点， ∴AE=ED=1，
∴图中阴影部分的面积=S矩形ABCD﹣S△ABE﹣S扇形EBF =1×2﹣×1×1﹣=﹣
．
故选：B．
10．（4分）下列图形都是由同样大小的菱形按照一定规律所组成的，其中第①
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个图形中一共有3个菱形，第②个图形中一共有7个菱形，第③个图形中一共有13个菱形，…，按此规律排列下去，第⑨个图形中菱形的个数为（ ）
A．73 B．81 C．91 D．109
【解答】解：第①个图形中一共有3个菱形，3=12+2； 第②个图形中共有7个菱形，7=22+3； 第③个图形中共有13个菱形，13=32+4； …，
第n个图形中菱形的个数为：n2+n+1； 第⑨个图形中菱形的个数92+9+1=91． 故选：C．
11．（4分）如图，小王在长江边某瞭望台D处，测得江面上的渔船A的俯角为40°，若DE=3米，CE=2米，CE平行于江面AB，迎水坡BC的坡度i=1：0.75，坡长BC=10米，则此时AB的长约为（ ）（参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84）．
A．5.1米 B．6.3米 C．7.1米 D．9.2米
【解答】解：如图，延长DE交AB延长线于点P，作CQ⊥AP于点Q，
第11页（共30页）
∵CE∥AP， ∴DP⊥AP，
∴四边形CEPQ为矩形， ∴CE=PQ=2，CQ=PE， ∵i=
=
=，
∴设CQ=4x、BQ=3x，
由BQ2+CQ2=BC2可得（4x）2+（3x）2=102， 解得：x=2或x=﹣2（舍）， 则CQ=PE=8，BQ=6， ∴DP=DE+PE=11， 在Rt△ADP中，∵AP=
=
≈13.1，
∴AB=AP﹣BQ﹣PQ=13.1﹣6﹣2=5.1， 故选：A．
12．（4分）若数a使关于x的分式方程不等式组
+
=4的解为正数，且使关于y的
的解集为y＜﹣2，则符合条件的所有整数a的和为（ ）
A．10 B．12 C．14 D．16 【解答】解：分式方程∵关于x的分式方程∴
＞0且
≠1，
++
=4的解为x==4的解为正数，
且x≠1，
∴a＜6且a≠2．
第12页（共30页）
，
解不等式①得：y＜﹣2； 解不等式②得：y≤a． ∵关于y的不等式组∴a≥﹣2．
∴﹣2≤a＜6且a≠2． ∵a为整数，
∴a=﹣2、﹣1、0、1、3、4、5， （﹣2）+（﹣1）+0+1+3+4+5=10． 故选：A．
二、填空题（每小题4分，共24分）
13．（4分）“渝新欧”国际铁路联运大通道全长11000千米，成为服务“一带一路”的大动脉之一，将数11000用科学记数法表示为 1.1×104 ． 【解答】解：11000=1.1×104． 故答案为：1.1×104．
14．（4分）计算：|﹣3|+（﹣1）2= 4 ． 【解答】解：|﹣3|+（﹣1）2=4， 故答案为：4．
15．（4分）如图，BC是⊙O的直径，点A在圆上，连接AO，AC，∠AOB=64°，则∠ACB= 32° ．
的解集为y＜﹣2，
第13页（共30页）
【解答】解：∵AO=OC， ∴∠ACB=∠OAC， ∵∠AOB=64°， ∴∠ACB+∠OAC=64°， ∴∠ACB=64°÷2=32°． 故答案为：32°．
16．（4分）某班体育委员对本班学生一周锻炼时间（单位：小时）进行了统计，绘制了如图所示的折线统计图，则该班这些学生一周锻炼时间的中位数是 11 小时．
【解答】解：由统计图可知， 一共有：6+9+10+8+7=40（人），
∴该班这些学生一周锻炼时间的中位数是第20个和21个学生对应的数据的平均数，
∴该班这些学生一周锻炼时间的中位数是11， 故答案为：11．
17．（4分）A、B两地之间的路程为2380米，甲、乙两人分别从A、B两地出发，相向而行，已知甲先出发5分钟后，乙才出发，他们两人在A、B之间的C地相遇，相遇后，甲立即返回A地，乙继续向A地前行．甲到达A地时停止行走，乙到达A地时也停止行走．在整个行走过程中，甲、乙两人均保持各自的速度匀速行走，甲、乙两人相距的路程y（米）与甲出发的时间x（分钟）之间的关系如图所示，则乙到达A地时，甲与A地相距的路程是 180 米．
第14页（共30页）
【解答】解：由题意可得，
甲的速度为：（2380﹣2080）÷5=60米/分，
乙的速度为：（2080﹣910）÷（14﹣5）﹣60=70米/分， 则乙从B到A地用的时间为：2380÷70=34分钟， 他们相遇的时间为：2080÷（60+70）=16分钟， ∴甲从开始到停止用的时间为：（16+5）×2=42分钟，
∴乙到达A地时，甲与A地相距的路程是：60×（42﹣34﹣5）=60×3=180米， 故答案为：180．
18．（4分）如图，正方形ABCD中，AD=4，点E是对角线AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥ED，交AB于点F，连接DF，交AC于点G，将△EFG沿EF翻折，得到△EFM，连接DM，交EF于点N，若点F是AB边的中点，则△EMN的周长是
．
【解答】解：解法一：如图1，过E作PQ⊥DC，交DC于P，交AB于Q，连接BE， ∵DC∥AB， ∴PQ⊥AB，
∵四边形ABCD是正方形，
第15页（共30页）
∴∠ACD=45°，
∴△PEC是等腰直角三角形， ∴PE=PC，
设PC=x，则PE=x，PD=4﹣x，EQ=4﹣x， ∴PD=EQ，
∵∠DPE=∠EQF=90°，∠PED=∠EFQ， ∴△DPE≌△EQF， ∴DE=EF， ∵DE⊥EF，
∴△DEF是等腰直角三角形， 易证明△DEC≌△BEC， ∴DE=BE， ∴EF=BE， ∵EQ⊥FB， ∴FQ=BQ=BF，
∵AB=4，F是AB的中点， ∴BF=2， ∴FQ=BQ=PE=1， ∴CE=
，PD=4﹣1=3，
Rt△DAF中，DF==2
，DE=EF=
，
如图2，∵DC∥AB， ∴△DGC∽△FGA， ∴
==2，
∴CG=2AG，DG=2FG， ∴FG=×=， ∵AC=
=4
，
第16页（共30页）
∴CG=×∴EG=
﹣
==
， ，
连接GM、GN，交EF于H， ∵∠GFE=45°，
∴△GHF是等腰直角三角形， ∴GH=FH=∴EH=EF﹣FH=
=﹣，
=
， ，
由折叠得：GM⊥EF，MH=GH=∴∠EHM=∠DEF=90°， ∴DE∥HM， ∴△DEN∽△MNH， ∴∴
=， =3，
∴EN=3NH， ∵EN+NH═EH=∴EN=
，
﹣
==
，
=
，
，
∴NH=EH﹣EN=Rt△GNH中，GN=
由折叠得：MN=GN，EM=EG， ∴△EMN的周长=EN+MN+EM=
+
+
=
；
解法二：如图3，过G作GK⊥AD于K，作GR⊥AB于R， ∵AC平分∠DAB， ∴GK=GR，
第17页（共30页）
∴====2，
∵==2，
∴同理，
，
=
=3，
其它解法同解法一，
可得：∴△EMN的周长=EN+MN+EM=
+
+
=
；
解法三：如图4，过E作EP⊥AP，EQ⊥AD， ∵AC是对角线， ∴EP=EQ，
易证△DQE和△FPE全等， ∴DE=EF，DQ=FP，且AP=EP， 设EP=x，则DQ=4﹣x=FP=x﹣2， 解得x=3，所以PF=1， ∴AE=∵DC∥AB， ∴△DGC∽△FGA， ∴同解法一得：CG=×∴EG=AG=AC=
﹣
=，
，
=
，
=3
，
过G作GH⊥AB，过M作MK⊥AB，过M作ML⊥AD， 则易证△GHF≌△FKM全等， ∴GH=FK=，HF=MK=，
第18页（共30页）
∵ML=AK=AF+FK=2+=即DL=LM， ∴∠LDM=45°
，DL=AD﹣MK=4﹣=，
∴DM在正方形对角线DB上， 过N作NI⊥AB，则NI=IB， 设NI=y， ∵NI∥EP ∴∴
，
解得y=1.5， 所以FI=2﹣y=0.5， ∴I为FP的中点， ∴N是EF的中点， ∴EN=0.5EF=
，
∵△BIN是等腰直角三角形，且BI=NI=1.5， ∴BN=
，BK=AB﹣AK=4﹣
=，BM=
+
+
，MN=BN﹣BM==
；
﹣
=
，
∴△EMN的周长=EN+MN+EM=
故答案为：．
第19页（共30页）
三、解答题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）
19．（8分）如图，AB∥CD，点E是CD上一点，∠AEC=42°，EF平分∠AED交AB于点F，求∠AFE的度数．
【解答】解：∵∠AEC=42°， ∴∠AED=180°﹣∠AEC=138°， ∵EF平分∠AED， ∴∠DEF=∠AED=69°，
第20页（共30页）
又∵AB∥CD， ∴∠AFE=∠DEF=69°．
20．（8分）重庆某中学组织七、八、九年级学生参加“直辖20年，点赞新重庆”作文比赛，该校将收到的参赛作文进行分年级统计，绘制了如图1和如图2两幅不完整的统计图，根据图中提供的信息完成以下问题．
（1）扇形统计图中九年级参赛作文篇数对应的圆心角是 126 度，并补全条形统计图；
（2）经过评审，全校有4篇作文荣获特等奖，其中有一篇来自七年级，学校准备从特等奖作文中任选两篇刊登在校刊上，请利用画树状图或列表的方法求出七年级特等奖作文被选登在校刊上的概率． 【解答】解：（1）20÷20%=100， 九年级参赛作文篇数对应的圆心角=360°×故答案为：126； 100﹣20﹣35=45，
补全条形统计图如图所示：
（2）假设4篇荣获特等奖的作文分别为A、B、C、D， 其中A代表七年级获奖的特等奖作文．
4选2只有6种可能，AB，AC，AD，BC，BD，CD，七年级特等奖作文被选登在校刊上的结果有3种可能，
∴P（七年级特等奖作文被选登在校刊上）==．
第21页（共30页）
=126°；
四、解答题：（本大题4个小题，每小题10分，共40分） 21．（10分）计算： （1）x（x﹣2y）﹣（x+y）2 （2）（
+a﹣2）÷
．
【解答】解：（1）x（x﹣2y）﹣（x+y）2， =x2﹣2xy﹣x2﹣2xy﹣y2， =﹣4xy﹣y2； （2）（=[==
22．（10分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=mx+n（m≠0）的图象与反比例函数y=（k≠0）的图象交于第一、三象限内的A、B两点，与y轴交于点C，过点B作BM⊥x轴，垂足为M，BM=OM，OB=2（1）求该反比例函数和一次函数的解析式； （2）连接MC，求四边形MBOC的面积．
，点A的纵坐标为4．
． +
， +a﹣2）÷
]
． ，
第22页（共30页）
【解答】解：（1）由题意可得， BM=OM，OB=2，
∴BM=OM=2，
∴点B的坐标为（﹣2，﹣2）， 设反比例函数的解析式为y=， 则﹣2=
，得k=4，
∴反比例函数的解析式为y=， ∵点A的纵坐标是4， ∴4=，得x=1，
∴点A的坐标为（1，4），
∵一次函数y=mx+n（m≠0）的图象过点A（1，4）、点B（﹣2，﹣∴
，得
，
即一次函数的解析式为y=2x+2；
（2）∵y=2x+2与y轴交与点C， ∴点C的坐标为（0，2），
∵点B（﹣2，﹣2），点M（﹣2，0），点O（0，0）， ∴OM=2，OC=2，MB=2， ∴四边形MBOC的面积是：==4．
第23页（共30页）
2），
23．（10分）某地大力发展经济作物，其中果树种植已初具规模，今年受气候、雨水等因素的影响，樱桃较去年有小幅度的减产，而枇杷有所增产．
（1）该地某果农今年收获樱桃和枇杷共400千克，其中枇杷的产量不超过樱桃产量的7倍，求该果农今年收获樱桃至少多少千克？
（2）该果农把今年收获的樱桃、枇杷两种水果的一部分运往市场销售，该果农去年樱桃的市场销售量为100千克，销售均价为30元/千克，今年樱桃的市场销售量比去年减少了m%，销售均价与去年相同；该果农去年枇杷的市场销售量为200千克，销售均价为20元/千克，今年枇杷的市场销售量比去年增加了2m%，但销售均价比去年减少了m%，该果农今年运往市场销售的这部分樱桃和枇杷的销售总金额与他去年樱桃和枇杷的市场销售总金额相同，求m的值． 【解答】解：（1）设该果农今年收获樱桃x千克， 根据题意得：400﹣x≤7x， 解得：x≥50，
答：该果农今年收获樱桃至少50千克；
（2）由题意可得：
100（1﹣m%）×30+200×（1+2m%）×20（1﹣m%）=100×30+200×20， 令m%=y，原方程可化为：3000（1﹣y）+4000（1+2y）（1﹣y）=7000， 整理可得：8y2﹣y=0 解得：y1=0，y2=0.125 ∴m1=0（舍去），m2=12.5 ∴m2=12.5，
答：m的值为12.5．
24．（10分）在△ABM中，∠ABM=45°，AM⊥BM，垂足为M，点C是BM延长线上一点，连接AC． （1）如图1，若AB=3
，BC=5，求AC的长；
（2）如图2，点D是线段AM上一点，MD=MC，点E是△ABC外一点，EC=AC，连接ED并延长交BC于点F，且点F是线段BC的中点，求证：∠BDF=∠CEF．
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【解答】解：（1）∵∠ABM=45°，AM⊥BM， ∴AM=BM=ABcos45°=3
×
=3，
则CM=BC﹣BM=5﹣3=2， ∴AC=
==；
（2）延长EF到点G，使得FG=EF，连接BG．
由DM=MC，∠BMD=∠AMC，BM=AM， ∴△BMD≌△AMC（SAS）， ∴AC=BD， 又CE=AC， 因此BD=CE，
由BF=FC，∠BFG=∠EFC，FG=FE， ∴△BFG≌△CFE， 故BG=CE，∠G=∠E，
第25页（共30页）
所以BD=CE=BG， 因此∠BDG=∠G=∠E．
五、解答题：（本大题共2个小题，25小题10分，26小题12分，共22分） 25．（10分）对任意一个三位数n，如果n满足各数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“相异数”．将一个“相异数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和与111的商记为F（n）．例如n=123，对调百位与十位上的数字得到213，对调百位与个位上的数字得到321，对调十位与个位上的数字得到132，这三个新三位数的和为213+321+132=666，666÷111=6，所以F（123）=6． （1）计算：F（243），F（617）；
（2）若s，t都是“相异数”，其中s=100x+32，t=150+y（1≤x≤9，1≤y≤9，x，y都是正整数），规定：k=
，当F（s）+F（t）=18时，求k的最大值．
【解答】解：（1）F（243）=（423+342+234）÷111=9； F（617）=（167+716+671）÷111=14．
（2）∵s，t都是“相异数”，s=100x+32，t=150+y，
∴F（s）=（302+10x+230+x+100x+23）÷111=x+5，F（t）=（510+y+100y+51+105+10y）÷111=y+6．
∵F（t）+F（s）=18， ∴x+5+y+6=x+y+11=18， ∴x+y=7．
∵1≤x≤9，1≤y≤9，且x，y都是正整数， ∴
或
或
或
或
或
．
∵s是“相异数”， ∴x≠2，x≠3． ∵t是“相异数”， ∴y≠1，y≠5． ∴
或
或
，
第26页（共30页）
∴∴
或或
或或
，
，
∴k的最大值为．
26．（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=
x2﹣
x﹣
与x轴交
于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，对称轴与x轴交于点D，点E（4，n）在抛物线上．
（1）求直线AE的解析式；
（2）点P为直线CE下方抛物线上的一点，连接PC，PE．当△PCE的面积最大时，连接CD，CB，点K是线段CB的中点，点M是CP上的一点，点N是CD上的一点，求KM+MN+NK的最小值； （3）点G是线段CE的中点，将抛物线y=
x2﹣
x﹣
沿x轴正方向平移
得到新抛物线y′，y′经过点D，y′的顶点为点F．在新抛物线y′的对称轴上，是否存在点Q，使得△FGQ为等腰三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）∵y=∴y=
（x+1）（x﹣3）．
x2﹣
x﹣
，
∴A（﹣1，0），B（3，0）． 当x=4时，y=
．
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∴E（4，）．
，
设直线AE的解析式为y=kx+b，将点A和点E的坐标代入得：解得：k=
，b=
．
x+
．
∴直线AE的解析式为y=
（2）设直线CE的解析式为y=mx﹣解得：m=
．
x﹣
．
，将点E的坐标代入得：4m﹣=，
∴直线CE的解析式为y=
过点P作PF∥y轴，交CE与点F．
设点P的坐标为（x，则FP=（
x﹣
x2﹣
x2﹣x2+
x﹣），则点F（x，x﹣
）=
x2+x2+
x﹣x． x．
），
）﹣（
∴△EPC的面积=×（x）×4=﹣
∴当x=2时，△EPC的面积最大． ∴P（2，﹣
）．
如图2所示：作点K关于CD和CP的对称点G、H，连接G、H交CD和CP与N、M．
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∵K是CB的中点， ∴k（，﹣∴tan∠KCP=∵OD=1，OC=∴tan∠OCD=
）． ． ， ．
∴∠OCD=∠KCP=30°． ∴∠KCD=30°．
∵k是BC的中点，∠OCB=60°， ∴OC=CK．
∴点O与点K关于CD对称． ∴点G与点O重合． ∴点G（0，0）．
∵点H与点K关于CP对称， ∴点H的坐标为（，﹣
）．
∴KM+MN+NK=MH+MN+GN．
当点O、N、M、H在条直线上时，KM+MN+NK有最小值，最小值=GH． ∴GH=
=3．
∴KM+MN+NK的最小值为3．
（3）如图3所示：
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∵y′经过点D，y′的顶点为点F， ∴点F（3，﹣
）．
∵点G为CE的中点， ∴G（2，∴FG=
）．
=
．
），Q′（3，对称，
）．
∴当FG=FQ时，点Q（3，当GF=GQ时，点F与点Q″关于y=∴点Q″（3，2
）．
当QG=QF时，设点Q1的坐标为（3，a）． 由两点间的距离公式可知：a+∴点Q1的坐标为（3，﹣
）．
）或′（3，
）或（3，2
）
=
，解得：a=﹣
．
综上所述，点Q的坐标为（3，或（3，﹣
）．
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