大学物理相对论复习资料

基本内容

一、 狭义相对论的基本原理

1. 迈克耳逊实验

迈克耳逊莫雷实验的目的是测定地球相对以太的速度，实验结果：地球相对以太的速度为零，当时的物理理论不能解释该实验结果。

2. 爱因斯坦狭义相对论的基本假设

相对性原理：物理学定律在所有的惯性系中形势都是相同的，即一切惯性系都是等价的。

光速不变原理：在所有的惯性系中，真空中（自由空间）光速具有相同的量值c。

二、 狭义相对论时空观

1. 洛仑兹变换

一个事件在惯性系S中的时空坐标为(x, y, z, t)，在沿x轴以速度v匀速运动的另一惯性系S'中的时空坐标为(x,y,z,t)（tt0时刻两惯性系原点重合且相应轴重合），则该事件的时空坐标的变换关系称为洛仑兹变换：

v2v2x'(xvt)12x(x'vt')12ccy'yyy' 或z'zzz'22vvvvt'(t2x)t(t'2x')1212cccc2. 同时是相对的

两个事件在一个惯性系中同时同地发生，在一切惯性系中该两事件必同时同地发生；两个事件在一个惯性系中不同地点同时发生，在其它惯性系中该两事件不一定同时发生。

3. 时钟变慢（时间变缓）

在一个惯性系中同一地点先后发生的两事件，在该惯性系静止的时钟测得

104

的时间间隔为固有时间τ0，在另一相对该惯性系以速度v匀速运动的时钟测得

的时间间隔为t，两者的关系为t004. 尺缩短（长度收缩）

v212 。

c观测者与尺相对静止时测得尺长称固有长度L0，观测者沿尺长方向以速度

v匀速运动时测得尺长为L，两者关系为LL0v212，观察者垂直于尺长方

c向以速度v匀速运动时测得尺长为L，LL0。

5. 狭义相对论时空观与经典时空观的比较 当v经典时空c时在x≯ct的时空范围内洛仑兹变换转化为伽利略变换，

观是上述条件下狭义相对论时空观的极限。

6. 时空相对性的概念

在相对论中两事件的同时性、时间间隔、空间间隔都依赖于参照系的选择，从这个意义上说这些概念或物理量是相对的。即这些量的量值依赖于参照系（观

察者），依赖于观察者的相对运动。比如说物体长度是多少，必须说明是相对于哪个参照系（或坐标系）。若物体与参照系相对静止，则长度为固有长度；若参照系与物体有相对运动，则长度缩短。

7. 洛仑兹变换与时间间隔、长度和同时性

洛仑兹变换是相对论中一事件在不同参照系中时空坐标的变换关系。反映狭义相对论时空观的同时的相对性、钟慢和尺缩效应，必然涉及两个事件，是反映时空坐标变换关系的典型特例。这类问题可以用相应的公式计算，当然也可以用洛仑兹变换来讨论。应用对应的公式计算之前应对所用公式是否适用于所讨论的问题做出准确的判断。 三、 狭义相对论动力学基础

1. 动量守恒、能量守恒定律是自然界的普遍规律 动量定理Fdtdp，动能定理FdsdEk在狭义相对论动力学中也仍然成立。而动量、动能、动量

105

能量关系、牛顿第二定律在狭义相对论力学与经典力学有不同的表示形式，但是经典力学中的表示式是相对论力学表示式在v<2. 质量和动量

动量仍可写成质量乘以速度矢量pmv，但物体质量随运动速度改变

mm0对的。

v212，m0是物体静止时的质量称静止质量。在相对论中质量是相

c3. 动能和质能关系

Ekmc2m0c2

Emc2 —→ 物体的能量， E0m0c2—→ 物体的静止能量

22224. 动量能量关系：pcE0E

5. 相对论动力学方程（动量定理）为：F只有当（1）vdpd(mv)dmmav dtdtdt（2）Fv两种情况下，Fma的形式仍成立。前c，

v2者Fm0a，后者Fma且a。

R以m0表示静止质量，m表示运动质量（mm0v212）

c 动量 动力学方程 动能 动量能量关系

d(m0v)12 Ekm0v p2m0Ek dt2d(mv)1222E2E0相对论力学 pmv F Ekmcm0c p dtc经典力学 pm0v F 106

思考题

1、经典相对性原理与狭义相对论的相对性原理有何不同？

答：经典相对性原理是指对不同的惯性系，牛顿定律和其他力学定律的形式都是相同的。狭义相对论的相对性原理指出：在一切惯性系中，所有物理定律都是相同的，即相对性原理不仅适用于力学现象，而且适用于一切物理现象。也就是说，不仅在力学范围内所有惯性系等价，而且对于一切物理现象，所有的惯性系都是等价的。

2、洛仑兹变换和伽利略变换有何不同？

答：伽利略变换是经典力学中同一事件的时空坐标在不同惯性系中的变换关系，反映绝对时空观；洛仑兹变换是狭义相对论中同一事件时空坐标在不同惯性系中的变换关系，反映相对论的时空观；在低速情况下，洛仑兹变换回到伽利略变换。

3、在相对论中，时间间隔、长度、质量和同时性等这些概念或物理量是相对的，如何理解？

答：某一物理量是相对的是指这一物理量与参照系的选择有关，与观察者有关，决定于与观察者的相对运动。说某一具有相对性的物理量的量值时，必须指明相对于哪一个参照系，否则是没有意义的。例如：同时性的相对性是指，两个事件在某一参照系来看是同时的，在另一参照系不一定是同时发生的，同时性依赖于参照系的选择。

4、为什么光速不变原理中强调真空中光速？

答：光的传播速度只在真空中才是常数c，其量值不依赖于参照系的选择；在其他介质中，光的传播速度依赖于介质的性质，不同介质中光的速度可以不同，在各向异性介质中沿不同方向传播的速度可以不同。

5、爱因斯坦想“追光”。当16岁的爱因斯坦在瑞士阿劳州立中学上学时，就曾设想过以光的速度c随同光线运动时光的电磁场该是怎么样呢？那是一个在空间振荡而停滞不前的电磁场，还是与静止在地球上的观察者所看到的一样？他为此沉思了10年。现在要问，假设能造出光子火箭，在以光速c飞行的飞船上测定的光速该是多少？

答：在以光速运动的飞船上的观察者看到的电磁场与地球上的观察者所观察的一样，测得的光速仍然是c，按照洛仑兹速度变换也是c。

6、如果光速数值趋于无限大，洛仑兹变换和狭义相对论的结论将有何变化？

107

答：当光速c，洛仑兹变换将趋于伽利略变换，从而长度收缩和时间延缓效应将消失，物体质量也不随速度变化。

7、在S参照系观察到一个静止的圆盘。若S是另一个惯性参照系，则在S系内是否也观察到一个圆盘？

答：若S，S两参照系没有相对运动，或相对运动的方向与盘所在平面垂直，则在S参照系内仍然看到是一个圆盘，且大小不变；若S，S沿圆盘所在平面某一个方向运动，则在S系中观察到椭圆盘，这是因为盘相对S系运动，沿运动方向尺度缩短，而其他方向不变。

8、说明尺缩问题中长度是如何测量的？

答：在与物体相对静止的参照系，长度为物体两端坐标的差值；在相对于物体运动的参照系中长度由同一时刻对物体两端的坐标进行测量得到的。尺缩效应是一种运动学效应。

9、如何理解相对论中时间的膨胀？

答：在一个惯性系S中同一地点先后发生的两个事件的时间间隔为固有时间0，在另一个相对上述参照系运动的参照系S中测得的两个事件的时间间隔比0长。

在S系中固定的时钟相对于事件静止，在S中固定的时钟相对于事件运动，>0，故运动的时钟延缓，或说运动的时间膨胀。

10、有两个固有长度相等的杆分别置于做相对运动的二惯性系K和K中，而且两杆分别沿x、x轴放置，处于静止。从K系观察，哪根棒较长？从K观察的结果又如何？他们的观察结果是否相同？如果不相同，究竟谁正确？

答：从K系观察，置于自身惯性系（K系）的棒比放于K系的棒长。同样，从K系观察，置于K系的棒比放于K系的棒长。

处于两个惯性系的二观察者所得的观察结果尽管不同，但都是正确的，与狭义相对论中长度收缩效应相符合。

11、作相对运动的两个观察者，在什么情况下，对两个不同事件“同时”的看法是一样的？在某参照系中事件A比事件B早发生，是否可能存在另一个参照系，在那里事件B却比A早发生？这样的两个事件A、B之间会有因果关系吗？

答：两个事件在一个参考系中发生于同一地点、同一时刻，在另一参考系一定是同时的。在不同地点同时发生的两个事件，在另一惯性参考系中不一定同时发生。

存在因果关系的两个事件，在任何惯性参考系中绝不可能时序反转。只有

108

无因果关系的两个事件，相距足够远，即远到在两个事件发生的时间间隔内，用光信号也无法取得联系的两地发生的事才有可能时序反转。

12、 “在相对论中，质点的动能亦可写作

1mv2，只是其中2mm0v212”这是否正确？

c

1m0c2答：以上表述不正确。因为在狭义相对论中，质点的动能定义为

Ek1v212c13、在狭义相对论中，有没有以光速运动的粒子？这种粒子的动量和能量的关系如何？

答：在狭义相对论中，有以光速运动的例子，它就是构成光的光量子，简称光子。光子的速度V=c，按照狭义相对论中粒子的质-速关系

mm0v212光子的静质量只能为零。其静能量E00。因为狭义相对论

c2222中粒子的能量和动量的关系为EE0pc。所以光子能量和动量的关系为

Ecp。

109

典型例题

1．5360

在惯性系K中，有两个事件同时发生在 x轴上相距1000 m的两点，而在另一惯性系K′（沿x轴方向相对于Ｋ系运动）中测得这两个事件发生的地点相距2000 m．求在K＇系中测得这两个事件的时间间隔．

,t1)，解： 设一个事件的时空坐标在K系中为(x1,t1)，在K′系中为(x1,t2)．根据洛仑另一个事件的时空坐标在K系中为(x2,t2)，在K′系中为(x2兹变换公式:

xxvt1(v/c)x2vt22 ，ttvx/c21(v/c)2

1(v/c)x2x1x1在K系，两事件同时发生，t1 = t2，则 x2

21(v/c)1x1) 2分 所以 1(v/c)2(x2x1)/(x22 解得 v3c/2． 2分

t1vx1/c2t2vx2/c2在K′系上述两事件不同时发生 t1，t2 2分

221(v/c)1(v/c)可得 x21(v/c)2 ，x1x1vt12 2分

t2由此得 t1v(x2x1)/c21(v/c)2=5.77×106 s 2分

－

2．4373

- 静止的子的平均寿命约为0 =2×106 s．今在8 km的高空，由于介子的衰变产生一个速度为v = 0.998 c (c为真空中光速)的子，试论证此子有无可能到达地面．

解：考虑相对论效应，以地球为参照系，子的平均寿命：

01(v/c)231.6106 s 2分

则子的平均飞行距离： Lv9.46 km． 子的飞行距离大于距地面的高度，有可能到达地面． 3分

110

3.

静长为的l0细棒，固定在惯性系S中的xy面上与x轴成角，S系相对于另一惯性系S沿公共轴xx以匀速v运动，求S系测得的棒长及其与x轴的夹角。

l0cos L解：棒静止在S系，其x,y分量分别为：Lxyl0sin

S系观测该棒，x方向的长度收缩，而y方向的长度不变，即

LxLx1l02v212cos ，LyLyl0sin

cv212cos2 cv212)

c所以棒长为 LLLl02x2y棒与轴夹角为

arctanLyLxarctan(tany y l0v θ oO 4．

00

XX 0 静止的介子衰变为两个介子，介子的静能为498MeV，介子的静能为135MeV，求每个介子的动量和速度。

00

111

解：依能量守恒和动量守恒可知，两个介子有相等的能量，并以等值反向的动量分开。

由题得每个介子的总能量为 E222由 E(pc)E0

00

1498249MeV 2得 p2E2E0c24921352209MeVMeV

cc19或表示为 p1.1110Kgms1

ppc2209c2==≈0.839c 依照 pmv，得 v=mmc2249c或表为 v2.5210ms

5．

氢原子的同位素氘(1D)和氚(1T)在高温条件下能发生聚变反应，产生氦原

4子核(2He)和一个中子(0n)，并释放大量能量，其反应方程为： 1D1T

41 2He0n

1612323已知氘核的质量为2.0135u，氚核质量为3.0155u，氦核和中子的质量分别为4.0015u和1.00865u，求上述聚变反应释放出的能量（u为原子质量单位，

1u1.66061027Kg）.

解：反应前的总质量为 2.01353.01555.029u反应后的总质量为 4.00151.00875.0102u反应后的总质量减少了，其质量亏损为

112

Δm(5.0295.0102)u0.0188u3.121029Kg

反应后粒子总动能增加了，其相应的释放能量为

Emc23.121029(3108)22.811012J

2.8110127eV1.7510eV191.610

由上式计算可知，如果一个物体系统质量发生变化，能量也就有相应的变化；反之，能量发生了变化，质量也就相应地发生变化。

113

习 题

一．选择题 1．8015

有下列几种说法： (1) 所有惯性系对物理基本规律都是等价的． (2) 在真空中，光的速度与光的频率、光源的运动状态无关．

(3) 在任何惯性系中，光在真空中沿任何方向的传播速率都相同．

若问其中哪些说法是正确的, 答案是 (A) 只有(1)、(2)是正确的． (B) 只有(1)、(3)是正确的． (C) 只有(2)、(3)是正确的． (D) 三种说法都是正确的． ［ ］ 2．4351

宇宙飞船相对于地面以速度v作匀速直线飞行，某一时刻飞船头部的宇航员向飞船尾部发出一个光讯号，经过t(飞船上的钟)时间后，被尾部的接收器收

到，则由此可知飞船的固有长度为 (c表示真空中光速) (A) c·t (B) v·t

(C)

ct1(v/c)2(D) ct1(v/c) ［ ］

23． 4716

有一直尺固定在K′系中，它与Ox′轴的夹角′＝45°，如果K′系以匀速度沿Ox方向相对于K系运动，K系中观察者测得该尺与Ox轴的夹角

(A) 大于45°． (B) 小于45°． (C) 等于45°．

(D) 当K′系沿Ox正方向运动时大于45°，而当K′系沿Ox负方向运动时小于45°． ［ ］ 4．4356

一宇航员要到离地球为5光年的星球去旅行．如果宇航员希望把这路程缩短为3光年，则他所乘的火箭相对于地球的速度应是：(c表示真空中光速) (A) v = (1/2) c． (B) v = (3/5) c．

(C) v = (4/5) c． (D) v = (9/10) c． [ ] 5．5355

边长为a的正方形薄板静止于惯性系K的Oxy平面内，且两边分别与x，y轴平行．今有惯性系K＇以 0.8c（c为真空中光速）的速度相对于K系沿x轴

114

作匀速直线运动，则从K＇系测得薄板的面积为 (A) 0.6a2． (B) 0.8 a2． (C) a2． (D) a2／0.6 ． ［ ］ 6．4164

在狭义相对论中，下列说法中哪些是正确的？ (1) 一切运动物体相对于观察者的速度都不能大于真空中的光速． (2) 质量、长度、时间的测量结果都是随物体与观察者的相对运动状态而改变的．

(3) 在一惯性系中发生于同一时刻，不同地点的两个事件在其他一切惯性系中也是同时发生的．

(4)惯性系中的观察者观察一个与他作匀速相对运动的时钟时，会看到这时钟比与他相对静止的相同的时钟走得慢些． (A) (1)，(3)，(4)． (B) (1)，(2)，(4)．

(C) (1)，(2)，(3)． (D) (2)，(3)，(4)． ［ ］ 7．4352

一火箭的固有长度为L，相对于地面作匀速直线运动的速度为v 1，火箭上有一个人从火箭的后端向火箭前端上的一个靶子发射一颗相对于火箭的速度为v 2的子弹．在火箭上测得子弹从射出到击中靶的时间间隔是：(c表示真空中光速) (A)

LL ． (B) ．

v1v2v2LL(C) ． (D) ． ［ ］

2v2v1v11(v1/c)8．4174

某核电站年发电量为 100亿度，它等于36×1015 J的能量，如果这是由核材料的全部静止能转化产生的，则需要消耗的核材料的质量为 (A) 0.4 kg． (B) 0.8 kg．

(C) (1/12)×107 kg． (D) 12×107 kg． ［ ］ 9．4359

(1)对某观察者来说，发生在某惯性系中同一地点、同一时刻的两个事件，对于相对该惯性系作匀速直线运动的其它惯性系中的观察者来说，它们是否同时发生？

(2)在某惯性系中发生于同一时刻、不同地点的两个事件，它们在其它惯性系中是否同时发生？

115

关于上述两个问题的正确答案是：

(A) (1)同时，(2)不同时． (B) (1)不同时，(2)同时． (C) (1)同时，(2)同时． (D) (1)不同时，(2)不同时． ［ ］ 10．4725

把一个静止质量为m0的粒子，由静止加速到v = 0.6c (c为真空中光速）需作的功等于 (A) 0.18m0c2． (B) 0.25 m0c2．

(C) 0.36m0c2． (D) 1.25 m0c2． ［ ］

11．4173

设某微观粒子的总能量是它的静止能量的K倍，则其运动速度的大小为(以c表示真空中的光速) (A)

cc ． (B) 1K2． K1Kcc(C) (D) ［ ］ K21．K(K2) ．

KK112．4177

根据相对论力学，动能为0.25 MeV的电子，其运动速度约等于 (A) 0.1c (B) 0.5 c

(C) 0.75 c (D) 0.85 c ［ ］ (c表示真空中的光速，电子的静能m0c2 = 0.51 MeV)

选择题答案: 1（D），2(A)，3（A），4（C），5(A)，6(B)，7（B），8(A)，9(A)，

10(B)，11（C），12(C)

二．填空题 1．4163

狭义相对论的两条基本原理中，相对性原理说的是_________________ __________________________________________________________； 光速不变 原理说的是_________________________________________________________． 一切彼此相对作匀速直线运动的惯性系对于物理学定律都是等价的 2分 一切惯性系中，真空中的光速都是相等的 2分 2．5616

一列高速火车以速度u驶过车站时，固定在站台上的两只机械手在车厢上同时划出两个痕迹，静止在站台上的观察者同时测出两痕迹之间的距离为1 m，

116

则车厢上的观察者应测出这两个痕迹之间的距离为

11(uc)2 m 3分

3．4363

牛郎星距离地球约16光年，宇宙飞船若以2.91×108m﹒s-1的匀速度飞行，将用约 年的时间(宇宙飞船上的钟指示的时间)抵达牛郎星．

4 3分 4．4167

子是一种基本粒子，在相对于子静止的坐标系中测得其寿命为0 ＝2×

-106 s．如果子相对于地球的速度为v0.988c (c为真空中光速)，则在地球坐

标系中测出的子的寿命＝____________________．

1.29105s 3分

5．4734

匀质细棒静止时的质量为m0，长度为l0，当它沿棒长方向作高速的匀速直线运动时，测得它的长为l，那么，该棒的运动速度v =__________________，该棒所具有的动能EK =__________________．

c1(ll0)2 2分

m0c2(l0l1) 3分

6．4729

质子在加速器中被加速，当其动能为静止能量的3倍时，其质量为静止质量的________倍．

4

3分

7．4240

-一电子以0.99 c的速率运动(电子静止质量为9.11×1031 kg，则电子的总能量是__________J，电子的经典力学的动能与相对论动能之比是_____________．

5.8×1013

--

2分

8.04×102 3分

117

8．5361

某加速器将电子加速到能量E = 2×106 eV时，该电子的动能EK

=_____________________eV． （电子的静止质量me = 9.11×1031 kg, 1 eV =1.60×1019 J）

1.49×106 3分 三．计算题

1．5359

观测者甲和乙分别静止于两个惯性参照系K和K′中，甲测得在同一地点发生的两个事件的时间间隔为4 s，而乙测得这两个事件的时间间隔为5 s，求： (1) K′相对于K的运动速度． (2) 乙测得这两个事件发生地点的距离．

解：设K＇相对于K运动的速度为v沿x (x)轴方向，则根据洛仑兹变换公式，有 t--

tvx/c21(v/c)1(v/c)22 , xxvt1(v/c)1(v/c)2

 (1) t1t1vx1/c2 , t2t2vx2/c22 2分

t1因两个事件在K系中同一点发生，x2 = x1，则t2t1)]解得 v[1(t2t1)/(t221/2t2t11(v/c)2 2分

c=(3/5)c =1.8×108 m/s 2分

x1vt1x2vt2 (2) x1, x2 2分

221(v/c)1(v/c)x2由题 x1 = x2 ，则 x1v(t2t1)1(v/c)23c(t2t1)9×108 m 2分 42．4719

半人马星座星是距离太阳系最近的恒星，它距离地球S = 4.3×1016 m．设有一宇宙飞船自地球飞到半人马星座星，若宇宙飞船相对于地球的速度为v = 0.999 c，按地球上的时钟计算要用多少年时间？如以飞船上的时钟计算，所需时间又为多少年？

118

解：以地球上的时钟计算： tS4.5 （年） 2分 vv2以飞船上的时钟计算： tt120.20 （年） 3分

c3．4364

一艘宇宙飞船的船身固有长度为L0 =90 m，相对于地面以v0.8 c (c为真空中光速)的匀速度在地面观测站的上空飞过．

(1) 观测站测得飞船的船身通过观测站的时间间隔是多少？ (2) 宇航员测得船身通过观测站的时间间隔是多少？

则 t1 = L/v =2.25×107 s 3分

-(2) 宇航员测得飞船船身的长度为L0，则 t2 = L0/v =3.75×107 2分 4．4357

在O参考系中，有一个静止的正方形，其面积为 100 cm2．观测者O＇以 0.8c的匀速度沿正方形的对角线运动．求O＇所测得的该图形的面积． 解：令O系中测得正方形边长为a，沿对角线取x轴正方向(如图)，则边长在坐标轴上投影的大小为 ax-

解：(1) 观测站测得飞船船身的长度为 ：LL01(v/c)254 m

yx11 2a，ay2a a22Oa面积可表示为： S2ayax 2分

在以速度v相对于O系沿x正方向运动的O＇系中 axax1(v/c) =0.6×

2

12a 2 ayay12a 22在O＇系中测得的图形为菱形，其面积亦可表示为

2 3分  S2ayax0.6a60 cm

5．4491

假定在实验室中测得静止在实验室中的+子(不稳定的粒子)的寿命为 2.2--×106 s，而当它相对于实验室运动时实验室中测得它的寿命为1.63×105 s．试问：这两个测量结果符合相对论的什么结论？+子相对于实验室的速度是真空

119

中光速c的多少倍？

解：它符合相对论的时间膨胀(或运动时钟变慢)的结论 2分 设+子相对于实验室的速度为v

- +子的固有寿命0 =2.2×106 s

- +子相对实验室作匀速运动时的寿命 =1.63×105 s 按时间膨胀公式：0/1(v/c)2移项整理得： v(c/)

220c1(0/)2 = 0.99c 3分

6．4735

-已知子的静止能量为 105.7 MeV，平均寿命为 2.2×108 s．试求动能为 150 MeV的子的速度v是多少？平均寿命是多少？

22解：据相对论动能公式 EKmcm0c

得 EKm0c2(解得

11(v/c)21) 即

11(v/c)21EK1.419 m0c2 v = 0.91c 3分

01(v/c)25.31108 s 2分

平均寿命为

7．5230

要使电子的速度从v1 =1.2×108 m/s增加到v2 =2.4×108 m/s必须对它作多少功？ (电子静止质量me ＝9.11×10-31 kg)

解：根据功能原理，要作的功 WE

22根据相对论能量公式 Em2cm1c 2分

21/2根据相对论质量公式 m2m0/[1(v2/c)]

m1m0/[1(v1/c)2]1/2 1分

∴ Wm0c2(1v2212c12v112c) =4.72?0-14 J=2.95?05 eV 2分

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