一．选择题（共8小题）
1．下列图案中，（ ）是轴对称图形．
A． B． C． D．
2．下列四个算式中运算正确的是（ ） A．102×103＝106 C．（﹣a）4÷（﹣a）2＝a2
B．（a2）3＝a5 D．20+21＝﹣1
﹣
3．我国南方地区冬至的传统习俗是吃汤圆，其寓意团团圆圆冬至这一天，小红家煮了30个汤圆，其中有12个黑芝麻馅的，14个枣泥馅的，4个豆沙馅的，煮完之后的汤圆看起来都一样，小红盛了1个汤圆，下列各种描述正确的是（ ） A．她吃到黑芝麻馅汤圆和枣泥馅汤圆可能性一样大 B．她吃到枣泥馅汤圆比豆沙馅汤圆的可能性大很多 C．她不可能吃到豆沙馅汤圆 D．她一定能吃到枣泥馅汤圆
4．如图，在横线本上面了两条平行线AB∥CD，则下列等式一定成立的是（ ）
A．∠3＝2∠1
B．∠3＝∠2+90°
C．∠2+∠1＝90°
D．∠3+∠1＝180°
5．芯片是手机、电脑等高科技产品最核心的部件，更小的芯片意味着更高的性能．目前我国芯片的量产工艺已达到14纳米，已知14纳米为0.000000014米，则0.000000014科学记数法表示为（ ） A．1.4×108
﹣
B．1.4×109
﹣
C．1.4×10
﹣10
D．14×109
﹣
6．已知等腰三角形的周长为17cm，一边长为4cm，则它的腰长为（ ） A．4cm
B．6.5cm
C．6.5cm或9cm
D．4cm或6.5cm
7．如图1，一辆汽车从点M外进入路况良好的立交桥，图2反映了它在进入桥区行驶过程中速度（千米/时）与行驶路程（米）之间的关系，根据图2，这辆车的行车路线最有可能是（ ）
A． B．
C． D．
8．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝45°．若AD平分∠BAC交BC于D，BE⊥AC于E，且交A
于O，连接OC．则下列说法中正确的是（ ）
①AD⊥BC；②OC平分BE；③OE＝CE；④△ACD≌△BCE；⑤△OCE的周长＝AC的长度
A．①②③
B．②④⑤
C．①③⑤
D．①③④⑤
二．填空题（共8小题）
9．随机投掷一枚质地均匀的股子，朝上的点是3的概率是 ．
10．如图，分割边长10cm的正方形，制作一副七巧板，图2是用记成的“小房子”，其中
阴影部分的面积为 cm2．
11．山上的一段观光索道如图所示，索道支撑架均为相平行（AM∥CN），且每两个支撑架之间的索道均是直的，若∠MAB＝60°，∠NCB＝40°，则∠ABC＝ °．
12．根据下面的研究弹簧长度与所挂物体重量关系的实验表格，不挂物体时，弹簧原长 cm；当所挂物体重量为3.5kg时，弹簧比原来伸长 cm． 所挂物体重量x（kg） 弹簧长度y（cm）
1 10
3 14
4 16
5 18
13．如图，在△ABC与△ADE中，点E在BC上，AC＝AE，且EA平分∠CED，请你添加1个条件使△ABC≌△ADE，你添加的条件是： ．
14．如图1，把一个边长为（a+b）的大正方形切成4个全等的长方形和1个小正方形，大正方形的面积是49，中间小正方形的面积为l6．图2中两个正方形的边长分别为a、b，则阴影部分的面积为 ．
15．如图，等边△ABC中，BD⊥AC于D，AD＝3.5cm．点P、Q分别为AB、AD上的两个定点且BP＝AQ＝2cm，着在BD上有一动点E使PE+QE最短，则PE+QE的最小值为 cm．
16．如图，当n＝2时，图中有2个黑色三角形：当n＝3时，图中有6个黑色三角形：当n＝4时，图中有12个黑色三角形；……，则按照上述规律，第n个图中，黑色三角形的个数为 ．
三．解答题（共8小题）
17．（用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹）
如图，车站O位于两条公路OA，OB的交汇处，在公路OB上还有一个车站C，现要在两条公路之间修一个中转站P，使它到两条公路的距离相等，且到两个车站的距离也相等．请你在图中作出点P的位置．
18．计算与化简
（1）（﹣2x）3•x6÷（﹣3x3）2 （2）5m（m﹣n）﹣（5m+n）（m﹣n） （3）利用简便方法计算：20202﹣2019×2021
（4）先化简，再求值：[（a+b）2﹣（a﹣b）（a+b）]÷（2b），其中a＝﹣，b＝﹣1． 19．已知：如图，AB∥CD，∠B＝∠D．点EF分别在AB、CD上．连接AC，分别交DE、BF于G、H． 求证：∠1+∠2＝180° 证明：∵AB∥CD， ∴∠B＝ ． 又∵∠B＝∠D，
∴ ＝ ．（等量代换） ∴ ∥ ． ∴∠l+∠2＝180°．
20．小华与爸爸用一个如图所示的五等分、可以自由转动的转盘来玩游戏；将转盘随机转一次，指针指向的数字如果是奇数．爸爸获胜，如果是偶数，则小华获胜（指针指到线上则重转）
（1）转完转盘后指针指向数字2的概率是多少？ （2）这个游戏公平吗？请你说明理由．
21．小明想知道一堵墙上点A的高度（AO⊥OD），但又没有直接测量的工具，于是设计了
下面的方案，请你先补全方案，再说明理由．
第一步：找一根长度大于OA的直杆，使直杆靠在墙上，且顶端与点A重合，记下直杆与地面的夹角∠ABO；
第二步：使直杆顶端竖直缓慢下滑，直到∠ ＝∠ ．标记此时直杆的底端点D；
第三步：测量 的长度，即为点A的高度． 说明理由：
22．小亮计划在某外卖网站点如下表所示的菜品．已知每份订单的配送费为3元，商家为了促销，对每份订单的总价（不含配送费）提供满、减优惠：满30元减12元；满60元减30元；满100元减45元．
菜品 水煮牛肉（小） 醋溜土豆丝（小） 豉汁排骨（小） 手撕包菜（小）
米饭
单价（含包装费）
30元 12元 30元 12元 3元
数量 1 1 1 1 2
（1）如果小亮用一个订单，来完成对表中所有菜品的购买，他这一单的总费用是 元．
（2）在购买表中所有菜品时，小亮点餐的总费用可以因为采取适当的下订单方式，而减少吗？如果可以，请写出总费用最低的下单方式，并计算最低的总费用；如果不可以，请说明理由．
23．图书馆与学校相距600m，明明从学校出发步行去图书馆，亮亮从图书馆骑车去学校两人同时出发，匀速相向而行，他们与学校的距离S（m）与时间t（s）的图象如图所示：
根据图象回答：
（1）明明步行的速度为 m/s；亮亮骑车的速度为 m/s． （2）分別写出明明、亮亮与学校的距离S1、S2与时间t的关系式． （3）通过计算求出a的值．
24．已知：如图，等边△ABC中，D、E分别在BC、AC边上运动，且始终保持BD＝CE，点D、E始终不与等边△ABC的顶点重合．连接AD、BE，AD、BE交于点F． （1）写出在运动过程中始终全等的三角形，井选择其中一组证明；
（2）运动过程中，∠BFD的度数是否会改变？如果改变，请说明理由；如果不变，求出∠BFD的度数，再说明理由．
（3）直接写出运动过程中，AE、AB、BD三条线段长度之间的等量关系．
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．下列图案中，（ ）是轴对称图形．
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形的概念求解．
【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项错误； B、不是轴对称图形，故本选项错误； C、不是轴对称图形，故本选项错误； D、是轴对称图形，故本选项正确． 故选：D．
2．下列四个算式中运算正确的是（ ） A．102×103＝106 C．（﹣a）4÷（﹣a）2＝a2
B．（a2）3＝a5 D．20+21＝﹣1
﹣
【分析】直接利用幂的乘方运算法则以及同底数幂的乘除运算法则分别化简得出答案． 【解答】解：A、102×103＝105，故此选项错误； B、（a2）3＝a6，故此选项错误； C、（﹣a）4÷（﹣a）2＝a2，正确； D、20+21＝1+＝，故此选项错误；
﹣
故选：C．
3．我国南方地区冬至的传统习俗是吃汤圆，其寓意团团圆圆冬至这一天，小红家煮了30个汤圆，其中有12个黑芝麻馅的，14个枣泥馅的，4个豆沙馅的，煮完之后的汤圆看起来都一样，小红盛了1个汤圆，下列各种描述正确的是（ ） A．她吃到黑芝麻馅汤圆和枣泥馅汤圆可能性一样大 B．她吃到枣泥馅汤圆比豆沙馅汤圆的可能性大很多 C．她不可能吃到豆沙馅汤圆 D．她一定能吃到枣泥馅汤圆
【分析】通过计算盛了1个汤圆，盛到各种馅的概率，比较概率的大小得出结论．
【解答】解：盛了1个汤圆盛到黑芝麻的概率为的概率为
，
，盛到枣泥的概率为，盛到豆沙
∴她吃到枣泥馅汤圆比豆沙馅汤圆的可能性大很多， 故选：B．
4．如图，在横线本上面了两条平行线AB∥CD，则下列等式一定成立的是（ ）
A．∠3＝2∠1
B．∠3＝∠2+90°
C．∠2+∠1＝90°
D．∠3+∠1＝180°
【分析】利用AB∥CD得到∠1＝∠4，利用横线都平行得到∠2＝∠4，∠3＝∠5，则∠1＝∠2，从而得到∠1+∠3＝180°，∠2+∠3＝180°，然后对各选项进行判断． 【解答】解：如图，∵AB∥CD， ∴∠1＝∠4， ∵横线都平行， ∴∠2＝∠4，∠3＝∠5， ∴∠1＝∠2， 而∠4+∠5＝180°，
∴∠1+∠3＝180°，∠2+∠3＝180°． 故选：D．
5．芯片是手机、电脑等高科技产品最核心的部件，更小的芯片意味着更高的性能．目前我国芯片的量产工艺已达到14纳米，已知14纳米为0.000000014米，则0.000000014科学
记数法表示为（ ） A．1.4×108
﹣
B．1.4×109
﹣
C．1.4×10
﹣10
D．14×109
﹣﹣
【分析】绝对值小于1的负数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.000000014＝1.4×108．
﹣
故选：A．
6．已知等腰三角形的周长为17cm，一边长为4cm，则它的腰长为（ ） A．4cm
B．6.5cm
C．6.5cm或9cm
D．4cm或6.5cm
【分析】分两种情况讨论：当4cm为腰长时，当4cm为底边时，分别判断是否符合三角形三边关系即可．
【解答】解：①若4cm是腰长，则底边长为：20﹣4﹣4＝12（cm）， ∵4+4＜12，不能组成三角形，舍去； ②若4cm是底边长，则腰长为：则腰长为6.5cm． 故选：B．
7．如图1，一辆汽车从点M外进入路况良好的立交桥，图2反映了它在进入桥区行驶过程中速度（千米/时）与行驶路程（米）之间的关系，根据图2，这辆车的行车路线最有可能是（ ）
＝6.5（cm）．
A． B．
C． D．
【分析】由图2可得，行车速度在途中迅速减小并稳定了100多米然后又迅速提升，说明应该是进行一次性的拐弯，再对4个选项进行排除选择． 【解答】解：A．行车路线为直线，则速度一直不变，排除； B．进入辅路后向右转弯，速度减小应该不大，排除；
C．向前行驶然后拐了两次弯再掉头行驶，中间速度应该有两次变大变小的波动呢，排除； D．向前行驶拐了个较大的弯再进入直路行驶，满足图2的速度变化情况． 故选：D．
8．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝45°．若AD平分∠BAC交BC于D，BE⊥AC于E，且交A
于O，连接OC．则下列说法中正确的是（ ）
①AD⊥BC；②OC平分BE；③OE＝CE；④△ACD≌△BCE；⑤△OCE的周长＝AC的长度
A．①②③
B．②④⑤
C．①③⑤
D．①③④⑤
【分析】①正确．利用等腰三角形的三线合一即可证明． ②错误．证明OB＝OC＞OE即可判断． ③正确．证明∠ECO＝∠OBA＝45°即可． ④错误．缺少全等的条件．
⑤正确．只要证明BE＝AE，OB＝OC，EO＝EC即可判断． 【解答】解：∵AB＝AC，AD平分∠BAC， ∴AD⊥BC，BD＝CD，故①正确，
∴OB＝OC， ∵OC＞OE，
∴OB＞OE，故②错误，
∵∠ABC＝∠ACB，∠OBC＝∠OCB， ∴∠ABE＝∠ACO＝45°， ∵BE⊥AC， ∴∠CEO＝90°， ∴∠ECO＝∠EOC＝45°， ∴OE＝CE，故③正确， ∵∠AEB＝90°，∠ABE＝45°， ∴AE＝EB，
∵△OEC的周长＝OC+OE+EC＝OE+OB+EC＝EB+EC＝AE+EC＝AC，故⑤正确， 无法判断△ACD≌△BCE，故④错误， 故选：C．
二．填空题（共8小题）
9．随机投掷一枚质地均匀的股子，朝上的点是3的概率是
．
【分析】列举出所有等可能出现的结果数，进而求出朝上点数为3的概率．
【解答】解：随机投掷一枚质地均匀的股子，朝上的点可能为1，2，3，4，5，6，共六种，且每一种发生的可能性相同，因此朝上的点数是3的概率为， 故答案为：．
10．如图，分割边长10cm的正方形，制作一副七巧板，图2是用记成的“小房子”，其中阴影部分的面积为 50 cm2．
【分析】根据图示，可得阴影部分的面积等于边长为10cm的正方形的面积的一半． 【解答】解：由题意，得10×10÷2＝50（cm2）．
故答案为：50．
11．山上的一段观光索道如图所示，索道支撑架均为相平行（AM∥CN），且每两个支撑架之间的索道均是直的，若∠MAB＝60°，∠NCB＝40°，则∠ABC＝ 100 °．
【分析】如图，利用平行线的性质得到∠ABE＝∠MAB＝60°，∠CBE＝∠NCB＝40°，然后计算∠ABE+∠CBE即可． 【解答】解：如图，延长DB 至点E， ∵AM∥BD，
∴∠ABE＝∠MAB＝60°， ∵CN∥BD，
∴∠CBE＝∠NCB＝40°，
∴∠ABC＝∠ABE+∠CBE＝60°+40°＝100°． 故答案为100．
12．根据下面的研究弹簧长度与所挂物体重量关系的实验表格，不挂物体时，弹簧原长 8 cm；当所挂物体重量为3.5kg时，弹簧比原来伸长 7 cm． 所挂物体重量x（kg） 弹簧长度y（cm）
1 10
3 14
4 16
5 18
【分析】估计y与x的之间的关系是一次函数关系，用待定系数法求出函数关系式，再验证表格中其它各组数据是否满足求出的关系式，若都满足就确定是一次函数关系，确定关系式，再依据关系式求出当x＝0时y的值，和x＝3.5时y﹣8的值即可． 【解答】解：设y与x之间的关系可能是一次函数关系，设关系式为y＝kx+b，
把（1，10），（3，14）代入得：
，解得：k＝2，b＝8，
∴y与x之间的关系式为y＝2x+8，
经验证：（4，16），（5，18）也满足上述关系， 因此y与x的函数关系式就是y＝2x+8，
当x＝0时，y＝8，即不挂物体时弹簧的原长为8cm． 当x＝3.5时，y＝2×3.5+8＝15， 15﹣8＝7cm， 故答案为：8，7．
13．如图，在△ABC与△ADE中，点E在BC上，AC＝AE，且EA平分∠CED，请你添加1个条件使△ABC≌△ADE，你添加的条件是： ∠B＝∠D ．
【分析】根据角平分线的定义、等腰三角形的性质得到∠AED＝∠C，利用AAS定理证明△ABC≌△ADE．
【解答】解：添加∠B＝∠D或BC＝DE或∠BAC＝∠DAE或∠BAD＝∠EAC（答案不唯一），
∵EA平分∠CED， ∴∠AED＝∠AEC， ∵AC＝AE， ∴∠C＝∠AEC， ∴∠AED＝∠C， 当∠B＝∠D时， 在△ABC和△ADE中，
，
∴△ABC≌△ADE（AAS），
故答案为：∠B＝∠D．
14．如图1，把一个边长为（a+b）的大正方形切成4个全等的长方形和1个小正方形，大正方形的面积是49，中间小正方形的面积为l6．图2中两个正方形的边长分别为a、b，则阴影部分的面积为 28 ．
【分析】直接利用已知结合正方形的性质得出a+b，a﹣b的值，进而得出答案． 【解答】解：∵大正方形的面积是49，中间小正方形的面积为l6， ∴（a+b）2＝49，（a﹣b）2＝16， ∴a+b＝7，a﹣b＝4，
∴阴影部分的面积为：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝28． 故答案为：28．
15．如图，等边△ABC中，BD⊥AC于D，AD＝3.5cm．点P、Q分别为AB、AD上的两个定点且BP＝AQ＝2cm，着在BD上有一动点E使PE+QE最短，则PE+QE的最小值为 5 cm．
【分析】作点Q关于BD的对称点Q′，连接PQ′交BD于E，连接QE，此时PE+EQ的值最小．最小值PE+PQ＝PE+EQ′＝PQ′， 【解答】解：如图，∵△ABC是等边三角形， ∴BA＝BC， ∵BD⊥AC， ∴AD＝DC＝3.5cm，
作点Q关于BD的对称点Q′，连接PQ′交BD于E，连接QE，此时PE+EQ的值最小．最
小值PE+PQ＝PE+EQ′＝PQ′， ∵AQ＝2cm，AD＝DC＝3.5cm， ∴QD＝DQ′＝1.5（cm）， ∴CQ′＝BP＝2（cm）， ∴AP＝AQ′＝5（cm）， ∵∠A＝60°，
∴△APQ′是等边三角形， ∴PQ′＝PA＝5（cm）， ∴PE+QE的最小值为5cm． 故答案为5．
16．如图，当n＝2时，图中有2个黑色三角形：当n＝3时，图中有6个黑色三角形：当n＝4时，图中有12个黑色三角形；……，则按照上述规律，第n个图中，黑色三角形的个数为 （n2﹣n） ．
【分析】由已知图形得出每个图形中黑色三角形的个数是序数与前一个整数的乘积，据此可得．
【解答】解：∵当n＝2时，黑色三角形的个数2＝1×2， 当n＝3时，黑色三角形的个数6＝2×3， 当n＝4时，黑色三角形的个数12＝3×4， ……
∴第n个图中，黑色三角形的个数为n（n﹣1）＝n2﹣n， 故答案为：（n2﹣n）．
三．解答题（共8小题）
17．（用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹）
如图，车站O位于两条公路OA，OB的交汇处，在公路OB上还有一个车站C，现要在两条公路之间修一个中转站P，使它到两条公路的距离相等，且到两个车站的距离也相等．请你在图中作出点P的位置．
【分析】直接利用角平分线的作法以及线段垂直平分线的作法得出答案． 【解答】解：如图所示：点P即为所求．
18．计算与化简
（1）（﹣2x）3•x6÷（﹣3x3）2 （2）5m（m﹣n）﹣（5m+n）（m﹣n） （3）利用简便方法计算：20202﹣2019×2021
（4）先化简，再求值：[（a+b）2﹣（a﹣b）（a+b）]÷（2b），其中a＝﹣，b＝﹣1． 【分析】（1）原式利用幂的乘方与积的乘方运算法则计算，合并即可得到结果； （2）原式利用单项式乘以多项式，以及多项式乘以多项式法则计算，去括号合并即可得到结果；
（3）原式变形后，利用平方差公式计算即可求出值；
（4）原式中括号中利用完全平方公式，平方差公式化简，再利用多项式除以单项式法则计算得到最简结果，把a与b的值代入计算即可求出值．
【解答】解：（1）原式＝﹣8x3•x6÷9x6＝﹣x3； （2）原式＝5m2﹣5mn﹣5m2+4mn+n2＝﹣mn+n2；
（3）原式＝20202﹣（2020﹣1）×（2020+1）＝20202﹣20202+1＝1； （4）原式＝（a2+2ab+b2﹣a2+b2）÷2b＝（2ab+2b2）÷2b＝a+b， 当a＝﹣，b＝﹣1时，原式＝﹣．
19．已知：如图，AB∥CD，∠B＝∠D．点EF分别在AB、CD上．连接AC，分别交DE、BF于G、H． 求证：∠1+∠2＝180° 证明：∵AB∥CD，
∴∠B＝ ∠BFC ． 两直线平行，内错角相等 又∵∠B＝∠D，
∴ ∠D ＝ ∠DFC ．（等量代换）
∴ DE ∥ BF ． 同位角相等，两直线平行 ∴∠l+∠2＝180°． 两直线平行，同旁内角互补
【分析】根据平行线的判定和性质定理即可得到结论． 【解答】证明：∵AB∥CD，
∴∠B＝∠BFC．（两直线平行，内错角相等） 又∵∠B＝∠D，
∴∠D＝∠DFC．（等量代换）
∴ED∥BF．（同位角相等，两直线平行）
∴∠l+∠2＝180°．（两直线平行，同旁内角互补）．
故答案为：∠BFC，∠BFC，两直线平行，内错角相等，∠D，ED，BF，同位角相等，两直线平行，两直线平行，同旁内角互补
20．小华与爸爸用一个如图所示的五等分、可以自由转动的转盘来玩游戏；将转盘随机转一次，指针指向的数字如果是奇数．爸爸获胜，如果是偶数，则小华获胜（指针指到线上则重转）
（1）转完转盘后指针指向数字2的概率是多少？ （2）这个游戏公平吗？请你说明理由．
【分析】（1）列举出所有可能出现的结果，进而求出指针指向数字为2的概率， （2）分别求出爸爸获胜和小华获胜的概率，通过比较得出结论．
【解答】解：（1）将转盘随机转一次，指针指向的数字所有可能的结果有1，2，3，4，5，共五种，且每种出现可能性相等， 因此指向数字2的概率为：P＝，
答：转完转盘后指针指向数字2的概率是．
（2）爸爸获胜的概率为：P＝，小华获胜的概率为：P＝， ∵≠， ∴不公平．
21．小明想知道一堵墙上点A的高度（AO⊥OD），但又没有直接测量的工具，于是设计了下面的方案，请你先补全方案，再说明理由．
第一步：找一根长度大于OA的直杆，使直杆靠在墙上，且顶端与点A重合，记下直杆与地面的夹角∠ABO；
第二步：使直杆顶端竖直缓慢下滑，直到∠ OCD ＝∠ ABO ．标记此时直杆的底端点D；
第三步：测量 OD 的长度，即为点A的高度． 说明理由：
【分析】根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【解答】解：OCD，ABO，OD； 理由：在△AOB与△DOC中，∴△AOB≌△DOC（AAS）， ∴OA＝OD．
故答案为：OCD，ABO，OD．
22．小亮计划在某外卖网站点如下表所示的菜品．已知每份订单的配送费为3元，商家为了促销，对每份订单的总价（不含配送费）提供满、减优惠：满30元减12元；满60元减30元；满100元减45元．
菜品 水煮牛肉（小） 醋溜土豆丝（小） 豉汁排骨（小） 手撕包菜（小）
米饭
单价（含包装费）
30元 12元 30元 12元 3元
数量 1 1 1 1 2
，
（1）如果小亮用一个订单，来完成对表中所有菜品的购买，他这一单的总费用是 63 元．
（2）在购买表中所有菜品时，小亮点餐的总费用可以因为采取适当的下订单方式，而减少吗？如果可以，请写出总费用最低的下单方式，并计算最低的总费用；如果不可以，请说明理由．
【分析】首先要弄懂题意，根据优惠方案，确定费用，即可求解．
【解答】解：（1）一个订单的总费用＝（30+12+30+12+6）﹣30+3＝63（元），
故答案为：63；
（2）水煮牛肉一单，其余一单，此时，费用最低， 费用为：（30﹣12+3）+（12+30+12+6﹣30+3）＝54．
23．图书馆与学校相距600m，明明从学校出发步行去图书馆，亮亮从图书馆骑车去学校两人同时出发，匀速相向而行，他们与学校的距离S（m）与时间t（s）的图象如图所示： 根据图象回答：
（1）明明步行的速度为 2 m/s；亮亮骑车的速度为 3 m/s． （2）分別写出明明、亮亮与学校的距离S1、S2与时间t的关系式． （3）通过计算求出a的值．
【分析】（1）根据图象可知学校和图书馆之间的距离为600米，亮亮用200秒骑车从图书馆到学校，而明明用300秒从到图书馆，于是可求出二人的速度， （2）用待定系数法分别求出函数关系式即可， （3）当S1＝S2时，求出t的值就是a的值．
【解答】解：（1）由图象可知：学校和图书馆之间的距离为600米，亮亮用200秒骑车从图书馆到学校，而明明用300秒从到图书馆，
因此亮亮速度为：600÷200＝3米/秒，明明的速度为600÷300＝2米/秒， 故答案为：2，3．
（2）设明明的S1与t的关系式为S1＝k1t，把（300，600）代入得：k1＝2 ∴S1＝2t，
设亮亮的S2与t的关系式为S2＝k2t+b，把（0，600）（200，0）代入得：
，解得：k2＝﹣3，b＝600，
∴S2＝﹣3t+600，
答：明明、亮亮与学校的距离S1、S2与时间t的关系式分别为S1＝2t，S2＝﹣3t+600．
（3）当S1＝S2时，即2t＝﹣3t+600，解得t＝120，即a＝120s． 答：a的值为120秒．
24．已知：如图，等边△ABC中，D、E分别在BC、AC边上运动，且始终保持BD＝CE，点D、E始终不与等边△ABC的顶点重合．连接AD、BE，AD、BE交于点F． （1）写出在运动过程中始终全等的三角形，井选择其中一组证明；
（2）运动过程中，∠BFD的度数是否会改变？如果改变，请说明理由；如果不变，求出∠BFD的度数，再说明理由．
（3）直接写出运动过程中，AE、AB、BD三条线段长度之间的等量关系．
【分析】（1）由等边三角形的性质得出AB＝BC＝AC，∠ABC＝BCA＝BAC＝60°，由BD＝CE，得出CD＝AE，由SAS即可证得△ACD≌BAE；由SAS即可证得△ABD≌△BCE； （2）由△ABD≌△BCE得出∠BAD＝∠CBE，由三角形内角和定理得出∠AFB+∠BAD+∠ABF＝180°，推出∠AFB+∠CBE+∠ABF＝180°，由∠CBE+∠ABF＝∠ABC＝60°，则∠AFB＝120°，即可得出∠BFD＝60°不变；
（3）由AB＝BC＝AC，BD＝CE，CD＝AE，即可得出结果． 【解答】解：（1）△ACD≌BAE，△ABD≌△BCE；理由如下： ∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC，∠ABC＝BCA＝BAC＝60°， ∵BD＝CE， ∴CD＝AE， 在△ACD和BAE中，∴△ACD≌BAE（SAS）； 在△ABD和△BCE中，∴△ABD≌△BCE（SAS）；
（2）∠BFD的度数不变；理由如下：
， ，
∵△ABD≌△BCE， ∴∠BAD＝∠CBE，
∵∠AFB+∠BAD+∠ABF＝180°， ∴∠AFB+∠CBE+∠ABF＝180°， ∵∠CBE+∠ABF＝∠ABC＝60°， ∴∠AFB＝120°， ∵∠BFD+∠AFB＝180°， ∴∠BFD＝60° ∴∠BFD的度数不变；
（3）∵AB＝BC＝AC，BD＝CE，CD＝AE， ∴AE+BD＝AE+CE＝AC＝AB， ∴AE+BD＝AB．
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