天圆地方放样方法

1．天圆地方及其放样过程概述

天圆地方又名方圆变径管，被广泛应用于圆断面与矩形断面的风管与设备间的连接。如圆通风管与风机出口，空调机组与风机进口等场合的连接。其放样过程简要如下：

（1）先将上圆均分为若干等分，并将上圆各等分点与矩形角点依次相连，即将其分成若干个小三角形（如图1）。

（2）利用直角三角形定理先求出其在投影面上的长，再利用该值与天圆地方的高求出各连线空间实长。并同时求出圆上任意两个相邻点间的弧长。

（3）用（2）中求得的空间实长与圆上任意两个相邻点间的弧长作展开图（如图2）。

由上述步骤可知传统放样过程的确较为繁琐，当天圆地方为偏心或制作精度要求较高的情形时则更为繁琐。因此，寻找其快捷方式具有一定的现实意义。

2.计算公式的推导

本文以两个方向偏心的天圆地方为例进行推导，以求出天圆地方放样参数的通用公式。假设现需制作一天圆地方，其上圆半径为r，矩形长为a宽为b，其上下端面在长边方向上的偏心矩为e1，在短边方向上的偏心矩e2，天圆地方的高为h，同时结合实际将上圆等分数定为n（n一般为4的倍数，图中取为12）。2.1建立三维坐标

本文通过建立三维坐标将原来所需的两次计算减为经一次计算即可得出结果。先以X轴平行于矩形长边，Y轴平等于矩形短边，Z轴过圆心并平行于天圆地方的高，建立三维直角坐标系。同时根据实际情况将圆周进行n等分，并将各等分点与矩形角点相连（如图1）。则各相关点的坐标分别为：

A（，，0）；B（，，0）；C（，，0）；D（，，0）；E(，0，0)；Fi（rcosiθ，rsiniθ,h）其中i=0，1，„n；θ=2π/n。

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如图所示A、B、C、D为矩形角点，E为AD与X轴的交点，F为圆上等分点。 2.2公式推导：

结合上述各点坐标再利用空间两点间的距离公式可求出各连线在空间实长：AFi=其中i=0，1，„，n/4；

BFi=其中i=n/4，n/4+1，„，n/2； CFi=其中i=n/2，n/2+1，„，n/4； DFi=其中i=3n/4，3n/4+1，„，n； EF0=；

FiFi+1=其中i=0，1，„，n-1。 2.3计算公式优化：

由于圆的等分量n为可变量故要在Excel中逐行编辑公式显然行不通，而对矩形角点A、B、C、D分区域编辑又因其区域分界点不甚明显，且若所编辑的内容过于繁琐既影响运算速度又易出错。故有必要对公式进行优化，以利于对其进行编辑。

表1：j与K1、K2、i关系表： j K1 K2 i

1~n/4+1 1 1 0~n/4 n/4+2~n/2+2 -1 1 n/4~n/2 n/2+3~3n/4+3 -1 -1 n/2~3n/4

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3n/4+4~n+4 1 -1 3n/4~n

将各连线自E0起逆时针进行编号并记为j（j=0，1，„，n+4）如图1。并引入参数K1、K2，使矩形各角点坐标可统一标为（，，0）。显然对于点A有K1=K2=1，对于点B有-K1=K2=1，对于点C有K1=K2=-1，对于点D有K1= -K2=1。则j与K1、K2、i关系如表1所示。则其空间各连线计算公式可简化为：sh[j]=式中j=1,2,„，n+4;：

3.Excel电子表格的制作：

根据需要先建立一Excel电子表格的模板，在具体应用时可根据实际将其再作调整。首先制作出如图3所示的表头。表格中灰底格是计算机自动计算结果显示处。

下面分步介绍自动计算表格的设计过程。 3.1线段编号列（A列）的编辑：

由于线段编号从0至n+4依次递增，故该列单元格中数值为行号减5，所以该列可作如下编辑。先单击单元格A5，然后在编辑栏中输入：=ROW（A5）-5再按ENTER键完成该单元格的编辑。接着将A5选中，然后用鼠标左键点住A5右下脚的小黑方块，向下拖拽至A（n+8）的下端，抬起左键。其中ROW（A5）表示求单元格A5的行号。

3.2线段j对应的圆上等分点编号列（B列）的编辑：

由表1可知：当线段编号j=0,1时对应圆上点i=0；当线段编号j=n/4+2时，对应圆上点I=n/4；当线段编号j=n/2+3时，对应圆上点i=n/2；当线段编号j=3*n/4+4时，对应圆上点i=3*n/4；其余i值均为上一个i值加1。故在B5上可编辑为：

=IF(OR(ROW(B5)=5,ROW(B5)=6),0,IF(A5=I5/4+2,I5/4,IF(A5=I5/2+3,I5/2,IF(A5=3*I5/4+4,3*I5/4,B4+1))))，之后操作同3.1。其中IF（t1，t2，t3）为判断函数，当t1真时取t2，t1为假时取t3。其他函数意义同上。3.3天圆地方参数列（C~H列）及等分数列（I列）的编辑：

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参数r、a、b、e1、e2、h为某一天圆地方的固有属性，而n则为圆周等分数，n的具体取值与天圆地方尺寸大小及制作精度要求有关，一般取为12。其编辑过程如下：先在D5~I5单元格中先按实输入数值，并将D4中编辑为：=D5，编辑完成后单击D6，然后用鼠标左键点住D6右下脚的小黑方块拖拽至I6，之后操作同

3.1。

3.4 K1、K2列的编辑：

由表1可知：当n/4+2<=j<=3*n/4+3时K1=-1，其余K1值为1；同时当j<=n/2+2时K2=1，其余K2值为-1。

故在J5中可编辑为：=IF(A5<=I5/4+1,1,IF(A5<3*I5/4+4,-1,1))。 在K5中可编辑为：=IF(A5由于sh[j]为连线实长，其中当j=0时，sh[0]= EF0= E0 =； 当j>0时，sh[j]=。 则在L3中可编辑为：

=IF(ROW(A5)=5,ROUND(SQRT(POWER(D5/2+F5-C5,2)+H5*H5),0),ROUND(SQRT(POWER(J5*D5/2+F5-C5*COS(B5*2*PI()/I5),2)+POWER(K5*E5/2+G5-C5*SIN(B5*2*PI()/I5),2)+H5*H5),0))。之后操作同3.1。

而圆上任意两点间的弧长为2πr/n，故M5可编辑为：=2*PI（）*C5/I5，之后操作同3.1。 其中函数ROUND（t1，t2）表示将t1值保留t2们小数其后的数值四舍五入；SQRT（t）表示为

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t的正平方根函数，COS（t）、SIN（t）分别表示t的余弦值与正弦值；POWER（t1，t2）表示为求t1的t2次方函数，PI（）为求π值。

4、Excel电子表格的应用

至此已将整个Excel电子表格模板编辑完成，其结果如图4所示。应用时只须修改天圆地方各相关参数与圆上等分数，计算机便会立刻给出各连线实长与圆上任意两点间的圆弧长。其中若n值大于12，则先点击最后一行的行号使该行变黑，然后用鼠标左键点住行号右下脚的小黑方块向下拖拽，拖拽行数与所增加的等分数同。若n值小于12，则只需将多余行选取，然后右击鼠标并选中“删除”项即可。

图4 5.结语：

本文经两个方向偏移的天圆地方为例，对于一个方向偏移或正心的天圆地方则为其特例，只需将e1或e2之一或两者均重设为0即可。对于上下端面不平行的天圆地方则需将表示高的列重新编辑公式。

笔者发现有了自动计算表格后，工作效率明显提高。相信随着社会科技的不断进步，传统的制作工艺必将完全被现代科技所代替，希望本文能起到抛砖引玉的作用。

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