试题数：21，总分：150
1.（填空题，4
3𝑛
分） 𝑙𝑖𝑚 3𝑛+2𝑛 =___ ．
𝑛→∞
2.（填空题，4分）若集合A={x|-1＜x＜3}，B={1，2，3，4}，则A∩B=___ ． 3.（填空题，4分）已知复数z满足z•（1-i）=1+i（i为虚数单位），则|z|=___ ． 4.（填空题，4分）若sinα= 3 ，则cos（π-2α）=___ ． 5.（填空题，4分）抛物线y2=-4x的准线方程是___ ．
6.（填空题，4分）已知函数f（x）图象与函数g（x）=2x的图象关于y=x对称，则f（3）=___ ．
7.（填空题，5分）从包含学生甲的1200名学生中随机抽取一个容量为80的样本，则学生甲被抽到的概率___ ．
8.（填空题，5分）在（x2+ 𝑥 ）6的二项展开式中，常数项等于___ ．
9.（填空题，5分）在△ABC中，角A，B，C对的边分别为a，b，c，且 |√3𝑏+2𝑐
𝑐𝑜𝑠𝐵则角A=___ ．
10.（填空题，5分）从以下七个函数：y=x，y= 𝑥 ，y=x2，y=2x，y=log2x，y=sinx，y=cosx中选取两个函数记为f（x）和g（x），构成函数F（x）=f（x）+g（x），若F（x）的图象如图所示，则F（x）=___ ．
⃗⃗ |=| 𝑐11.（填空题，5分）已知向量| 𝑎⃗ |=| 𝑏⃗ |=1，若 ⃗⃗ = 1 ，且 𝑐⃗⃗ ，则x+y的最大值为___ ． 𝑎⃗ • 𝑏⃗ =x 𝑎⃗ +y 𝑏212.（填空题，5分）对于定义域为D的函数f（x），若存在x1，x2∈D且x1≠x2，使得f（x12）=f（x22）=2f（x1+x2），则称函数f（x）具有性质M，若函数g（x）=|log2x-1|，具x∈（0，a]有性质M，则实数a的最小值为___ ．
13.（单选题，5分）已知两条直线l1，l2的方程为l1：ax+y-1=0和l2：x-2y+1=0，则a=2是“直线l1⊥l2”的（ ） A.充分不必要条件
1
21
2𝑎| =0，
1
B.必要不充分条件 C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
14.（单选题，5分）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，下列四个结论中错误的是（ ）
A.直线B1C与直线AC所成的角为60° B.直线B1C与平面AD1C所成的角为60° C.直线B1C与直线AD1所成的角为90° D.直线B1C与直线AB所成的角为90°
15.（单选题，5分）设x＞0，y＞0，若2x+ 𝑦 =1，则 𝑥 的（ ） A.最小值为8 B.最大值为8 C.最小值为2 D.最大值为2
16.（单选题，5分）记Sn为数列{an}的前n项和，已知点（n，an）在直线y=10-2x上，若有且只有两个正整数n满足Sn≥k，则实数k的取值范围是（ ） A.（8，14] B.（14，18] C.（18，20] D.（18， 4 ]
17.（问答题，14分）如图1，在三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AB⊥AC，AB=AC=1，AA1=2，且AA1⊥平面ABC，过A1，C1，B三点作平面截此三棱柱，截得一个三棱锥和一个四棱锥（如图2）．
（1）求异面直线BC1与AA1所成角的大小（结果用反三角函数表示）； （2）求四棱锥B-ACC1A1的体积和表面积．
18.（问答题，14分）已知函数f（x）= √3 sinxcosx+cos2x+1．
（1）求f（x）的最小正周期和值域；
81
1
𝑦
（2）若对任意x∈R，f2（x）-k•f（x）-2≤0的恒成立，求实数k的取值范围．
19.（问答题，14分）某网店有3（万件）商品，计划在元旦旺季售出商品x（万件），经市场调查测算，花费t（万元）进行促销后，商品的剩余量3-x与促销费t之间的关系为3-x=
𝑘
（其中𝑡+1
k为常数），如果不搞促销活动，只能售出1（万件）商品．
（1）要使促销后商品的剩余量不大于0.1（万件），促销费t至少为多少（万元）？ （2）已知商品的进价为32（元/件），另有固定成本3（万元），定义每件售出商品的平均成本为32+ （元），若将商品售价定为：“每件售出商品平均成本的1.5倍“与“每件售出商品平均促销费的一半”之和，则当促销费t为多少（万元）时，该网店售出商品的总利润最大？此时商品的剩余量为多少？
3𝑥
20.（问答题，16分）已知椭圆Γ：
𝑥2𝑎2
+
𝑦2
=1（a＞b＞0）的右焦点坐标为（2，0），且长轴𝑏2
长为短轴长的 √2 倍，直线l交Γ椭圆于不同的两点M和N， （1）求椭圆Γ的方程；
（2）若直线l经过点P（0，4），且△OMN的面积为2 √2 ，求直线l的方程；
（3）若直线l的方程为y=kx+t（k≠0），点M关于x轴的对称点为M′，直线MN，M′N分别与x轴相交于P、Q两点，求证：|OP|•|OQ|为定值．
21.（问答题，18分）对于由m个正整数构成的有限集M={a1，a2，a3，…，am}，记P（M）=a1+a2+…+am，特别规定P（∅）=0，若集合M满足：对任意的正整数k≤P（M），都存在
集合M的两个子集A、B，使得k=P（A）-P（B）成立，则称集合M为“满集”． （1）分别判断集合M1={1，2}与M2={1，4}是否为“满集”，请说明理由；
（2）若a1，a2，…，am由小到大能排列成公差为d（d∈N*）的等差数列，求证：集合M为“满集”的必要条件是a1=1，d=1或2；
（3）若a1，a2，…，am由小到大能排列成首项为1，公比为2的等比数列，求证：集合M是“满集”．
2020-2021学年上海市松江区高三（上）期末数学试卷（一模）
参考答案与试题解析
试题数：21，总分：150
1.（填空题，4
3𝑛
分） 𝑙𝑖𝑚 3𝑛+2𝑛 =___ ．
𝑛→∞
【正确答案】：[1]1
【解析】：利用数列极限的运算法则化简求解即可．
【解答】：解： 𝑙𝑖𝑚 故答案为：1．
【点评】：本题考查数列极限的运算法则的应用，是基础题．
2.（填空题，4分）若集合A={x|-1＜x＜3}，B={1，2，3，4}，则A∩B=___ ． 【正确答案】：[1]{1，2} 【解析】：进行交集的运算即可．
【解答】：解：∵A={x|-1＜x＜3}，B={1，2，3，4}， ∴A∩B={1，2}． 故答案为：{1，2}．
【点评】：本题考查了描述法、列举法的定义，交集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题．
3.（填空题，4分）已知复数z满足z•（1-i）=1+i（i为虚数单位），则|z|=___ ． 【正确答案】：[1]1
【解析】：把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解．
【解答】：解：由z•（1-i）=1+i， 得
(1+𝑖)21+𝑖
z= 1−𝑖 = (1−𝑖)(1+𝑖) =i，
3𝑛11
= 𝑙𝑖𝑚 = =1． 𝑛1−0𝑛→∞3𝑛+2𝑛𝑛→∞1+(2)3∴|z|=1．
故答案为1．
【点评】：本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，属于基础题． 4.（填空题，4分）若sinα= 3 ，则cos（π-2α）=___ ． 【正确答案】：[1]- 9
【解析】：原式利用诱导公式化简后，再利用二倍角的余弦函数公式变形，将sinα的值代入计算即可求出值．
【解答】：解：∵sinα= ，
∴cos（π-2α）=-cos2α=-（1-2sin2α）=-1+2sin2α=-1+ 9 =- 9 ． 故答案为：- 9
【点评】：此题考查了二倍角的余弦函数公式，熟练掌握公式是解本题的关键． 5.（填空题，4分）抛物线y2=-4x的准线方程是___ ． 【正确答案】：[1]x=1
【解析】：根据抛物线的标准方程及基本概念，结合题中数据加以计算，可得答案．
【解答】：解：∵抛物线的方程y2=-4x，∴2p=4，得 2 =1， 因此，抛物线的焦点为F（-1，0），准线方程为x=1． 故答案为：x=1
【点评】：本题给出抛物线方程，求它的准线方程．着重考查了抛物线的标准方程与简单几何性质等知识，属于基础题．
6.（填空题，4分）已知函数f（x）图象与函数g（x）=2x的图象关于y=x对称，则f（3）=___ ．
【正确答案】：[1]log23
【解析】：由函数f（x）的图象与函数g（x）=2x的图象关于直线y=x对称，可得：函数f（x）与函数g（x）=2x互为反函数，求出函数解析式，可得答案．
【解答】：解：∵函数f（x）的图象与函数g（x）=2x的图象关于直线y=x对称， ∴函数f（x）与函数g（x）=2x互为反函数， ∴f（x）=log2x，
𝑝
7
2
7
137
1
∴f（3）=log23， 故答案为：log23．
【点评】：本题考查的知识点是反函数，熟练掌握同底的指数函数和对数函数互为反函数，是解答的关键．
7.（填空题，5分）从包含学生甲的1200名学生中随机抽取一个容量为80的样本，则学生甲被抽到的概率___ ． 【正确答案】：[1] 80791
【解析】：基本事件总数n= 𝐶1200 ，学生甲被抽到包含的基本事件个数m= 𝐶1200𝐶1 ，由此能
1
15
求出学生甲被抽到的概率．
【解答】：解：从包含学生甲的1200名学生中随机抽取一个容量为80的样本，
80
基本事件总数n= 𝐶1200 ，
791学生甲被抽到包含的基本事件个数m= 𝐶1200𝐶1 ，
∴学生甲被抽到的概率故答案为： ．
1
15
791
𝑚𝐶1199𝐶11
P= 𝑛 = 𝐶80 = 15 ．
1200
【点评】：本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
8.（填空题，5分）在（x2+ 𝑥 ）6的二项展开式中，常数项等于___ ． 【正确答案】：[1]240
【解析】：在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项．
𝑟
【解答】：解：在（x2+ 𝑥 ）6的二项展开式中，通项公式为 Tr+1= 𝐶6 •2r•x12-3r， 4令12-3r=0，求得r=4，可得展开式的常数项为 𝐶6 •24=240，
2
2
故答案为：240．
【点评】：本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，属于基础题． 9.（填空题，5分）在△ABC中，角A，B，C对的边分别为a，b，c，且 |√3𝑏+2𝑐
𝑐𝑜𝑠𝐵则角A=___ ． 【正确答案】：[1] 6
5𝜋
2𝑎| =0，1
【解析】：利用行列式的运算法则以及正弦定理，结合两角和与差的三角函数化简求解即可．
【解答】：解：在△ABC中，角A，B，C对的边分别为a，b，c，且 |√3𝑏+2𝑐
𝑐𝑜𝑠𝐵可得 √3𝑏+2𝑐 =2acosB，
由正弦定理可得 √3 sinB+sinC=2sinAcosB， 即 √3 sinB+sin（A+B）=2sinAcosB，可得cosA= −所以A= 6 ． 故答案为： 6 ．
【点评】：本题考查正弦定理以及两角和与差的三角函数，行列式的应用，是基本知识的考查． 10.（填空题，5分）从以下七个函数：y=x，y= 𝑥 ，y=x2，y=2x，y=log2x，y=sinx，y=cosx中选取两个函数记为f（x）和g（x），构成函数F（x）=f（x）+g（x），若F（x）的图象如图所示，则F（x）=___ ．
【正确答案】：[1]2x+sinx
【解析】：由函数F（x）的定义域排除y= 𝑥 ，y=log2x，再由F（x）的图象过定点（0，1）及图象的变化情况排除y=x与y=x2，然后分析y=2x与y=cosx，或y=2x与y=sinx是否经过（0，1）得结论．
【解答】：解：由图象可知，函数F（x）的定义域为R，故排除y= 𝑥 ，y=log2x， 又F（x）的图象过定点（0，1），
当x＞0时，F（x）＞1且为增函数，当x＜0时，F（x）大于0与小于0交替出现， 故排除y=x，y=x2，
∵y=2x过（0，1），且当x＞0时，y＞1，当x＜0时，0＜y＜1． 若包含y=cosx，当x=0时，y=1，y=2x+cosx不满足过点（0，1）， ∴只有y=2x+sinx满足． 故答案为：2x+sinx．
1
1
1
5𝜋5𝜋
√3 ， 2
2𝑎| =0，
1
【点评】：本题考查函数的图象及图象变换，考查基本初等函数的性质，考查数形结合的解题思想，是中档题．
⃗⃗ |=| 𝑐⃗⃗ = 1 ，且 𝑐⃗⃗ ，则x+y的最11.（填空题，5分）已知向量| 𝑎⃗ |=| 𝑏⃗ |=1，若 𝑎⃗ • 𝑏⃗ =x 𝑎⃗ +y 𝑏
2
大值为___ ． 【正确答案】：[1]
2√3 3
⃗⃗ 的夹角为60°⃗⃗ 与 𝑐【解析】：易知 𝑎⃗ 与 𝑏，不妨设 𝑎⃗ =（1，0），写出 𝑏⃗ 的坐标，再由| 𝑐⃗ |=1和基本不等式，即可得解．
⃗⃗ |，且 𝑎⃗⃗ = 1 ， 【解答】：解：∵| 𝑎⃗ |=| 𝑏⃗ • 𝑏2⃗⃗ 的夹角为60°∴ 𝑎⃗ 与 𝑏，
⃗⃗ =（ 1 ， √3 ）， 设 𝑎⃗ =（1，0），则 𝑏22⃗⃗ ， ∵ 𝑐⃗ =x 𝑎⃗ +y 𝑏∴ 𝑐⃗ =（x+ y， y）， 又| 𝑐⃗ |=1，
∴（x+ 2 y）2+（ 2 y）2=1，化简得x2+xy+y2=1， ∴（x+y）2-1=xy≤ ∴x+y≤
2√3 ． 3
2√3 ． 3
(𝑥+𝑦)2
4
1
√312
√32
，当且仅当x=y= 3 时，等号成立，
√3故答案为：
【点评】：本题考查平面向量的混合运算，还涉及利用基本不等式解决最值问题，考查学生的逻辑推理能力和运算求解能力，属于中档题．
12.（填空题，5分）对于定义域为D的函数f（x），若存在x1，x2∈D且x1≠x2，使得f（x12）=f（x22）=2f（x1+x2），则称函数f（x）具有性质M，若函数g（x）=|log2x-1|，具x∈（0，a]有性质M，则实数a的最小值为___ ． 【正确答案】：[1] √2√2+2 【解析】：设x1＜x2，由f（x12）=f（x22），可得 𝑥12𝑥22=4 ，结合 2𝑓(𝑥1+𝑥2)=
|2𝑙𝑜𝑔2(𝑥1+𝑥2)−2|=|𝑙𝑜𝑔2(𝑥1+𝑥2)2−2| 可得 𝑥14+4𝑥12+4=8 ，进而求得x1，x2，由此得解．
【解答】：解：设x1＜x2，由f（x12）=f（x22）得， |𝑙𝑜𝑔2𝑥12−1|=|𝑙𝑜𝑔2𝑥22−1| ， 则 1−𝑙𝑜𝑔2𝑥12=𝑙𝑜𝑔2𝑥22−1 ，故 𝑙𝑜𝑔2𝑥12𝑥22=2 ， ∴ 𝑥12𝑥22=4(𝑥12＜2，𝑥22＞2) ，
又 2𝑓(𝑥1+𝑥2)=|2𝑙𝑜𝑔2(𝑥1+𝑥2)−2|=|𝑙𝑜𝑔2(𝑥1+𝑥2)2−2| ， ∴ 𝑙𝑜𝑔2(𝑥1+𝑥2)2−2=1−𝑙𝑜𝑔2𝑥12 ，
∵ 𝑥12=𝑥2 ，∴ 𝑙𝑜𝑔2(𝑥12+𝑥2+4)−2=1−𝑙𝑜𝑔2𝑥12 ，
2
1
44
则 𝑙𝑜𝑔2(𝑥14+4𝑥12+4)=3 ，∴ 𝑥14+4𝑥12+4=8 ， ∴ 𝑥1=√2√2−2 ，故 𝑥2=√2√2+2 ，
∴ 𝑎≥√2√2+2 ，则实数a的最小值为 √2√2+2 ． 故答案为： √2√2+2 ．
【点评】：本题以新定义为载体考查函数性质的运用，旨在考查学生分析问题，解决问题的能力，考查数学运算，逻辑推理等核心素养，属于中档题．
13.（单选题，5分）已知两条直线l1，l2的方程为l1：ax+y-1=0和l2：x-2y+1=0，则a=2是“直线l1⊥l2”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件
D.既不充分也不必要条件 【正确答案】：C
【解析】：根据充分必要条件的定义，分别判断其充分性和必要性即可．
【解答】：解：若a=2，则l1：2x+y-1=0和l2：x-2y+1=0，k1•k2=-2× 2 =-1， 所以直线l1⊥l2，满足充分性；
若直线l1⊥l2，则a×1+1×（-2）=0，解得a=2，满足必要性． 所以a=2是“直线l1⊥l2”的充要条件． 故选：C．
【点评】：本题主要考查充分条件、必要条件，考查两直线垂直的充要条件，属于基础题． 14.（单选题，5分）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，下列四个结论中错误的是（ ）
A.直线B1C与直线AC所成的角为60°
1
B.直线B1C与平面AD1C所成的角为60° C.直线B1C与直线AD1所成的角为90° D.直线B1C与直线AB所成的角为90° 【正确答案】：B
【解析】：连接AB1，求出∠ACB1可判断选项A；连接B1D1，找出点B1在平面AD1C上的投影O，设直线B1C与平面AD1C所成的角为θ，由cosθ= 𝐵𝐶 可判断选项B；利用平移法找出
1
𝑂𝐶
选项C和D涉及的异面直线夹角，再进行相关运算，即可得解．
【解答】：解：连接AB1，∵△AB1C为等边三角形，∴∠ACB1=60°，即直线B1C与AC所成的角为60°，故选项A正确；
连接B1D1，∵AB1=B1C=CD1=AD1，∴四面体AB1CD1是正四面体，
∴点B1在平面AD1C上的投影为△AD1C的中心，设为点O，连接B1O，OC，则OC= BC， 设直线B1C与平面AD1C所成的角为θ， 则
𝐵𝐶𝑂𝐶1√3
cosθ= 𝐵𝐶 = 32𝐵𝐶 = 3 ≠ 2 ，故选项
√1
√6
√6
3
B错误；
连接BC1，∵AD1 || BC1，且B1C⊥BC1，∴直线B1C与AD1所成的角为90°，故选项C正确； ∵AB⊥平面BCC1B1，∴AB⊥B1C，即直线B1C与AB所成的角为90°，故选项D正确． 故选：B．
【点评】：本题考查异面直线夹角、线面角的求法，利用平移法找出异面直线夹角，以及理解线面角的定义是解题的关键，考查学生的空间立体感、逻辑推理能力和运算求解能力，属于基础题．
15.（单选题，5分）设x＞0，y＞0，若2x+ 𝑦 =1，则 𝑥 的（ ） A.最小值为8 B.最大值为8 C.最小值为2 D.最大值为2 【正确答案】：A
【解析】：先由已知求出y，然后代入所求的关系式中，化为与x 有关的函数，然后利用函数的性质即可求解．
1
𝑦
【解答】：解：由已知2x+ 𝑦=1 可得y= 1−2𝑥 ，（x ≠2 ）， 所以 𝑥 = 𝑥(1−2𝑥)=−2𝑥2+𝑥 = 14𝑦
1
1
1−2(𝑥−)+18
12148
111
，
𝑦
𝑥
当x= 时，（-2x2+x）max= ，此时（ )min=8， 故选：A．
【点评】：本题考查了函数的最值问题，涉及到二次函数的最值问题以及统一变量思想，属于基础题．
16.（单选题，5分）记Sn为数列{an}的前n项和，已知点（n，an）在直线y=10-2x上，若有且只有两个正整数n满足Sn≥k，则实数k的取值范围是（ ） A.（8，14] B.（14，18] C.（18，20] D.（18， ] 【正确答案】：C
【解析】：由已知可得数列{an}为等差数列，首项为8，公差为-2，由等差数列的前n项和公式可得Sn=-n2+9n，由二次函数的性质可得n=4或5时，Sn取得最大值为20，根据题意，结合二次函数的图象与性质即可求得k的取值范围．
【解答】：解：由已知可得an=10-2n，由an-an-1=-2，所以数列{an}为等差数列，首项为8，公差为-2， 所以Sn=8n+
𝑛(𝑛−1)
×（-2）=-n2+9n， 281
4
当n=4或5时，Sn取得最大值为20， 因为有且只有两个正整数n满足Sn≥k， 所以满足条件的n=4和n=5， 因为S3=S6=18，
所以实数k的取值范围是（18，20]． 故选：C．
【点评】：本题主要考查数列与函数的综合，考查等差数列前n项和公式，二次函数的图象与性质，属于中档题．
17.（问答题，14分）如图1，在三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AB⊥AC，AB=AC=1，AA1=2，且AA1⊥平面ABC，过A1，C1，B三点作平面截此三棱柱，截得一个三棱锥和一个四棱锥（如图2）．
（1）求异面直线BC1与AA1所成角的大小（结果用反三角函数表示）； （2）求四棱锥B-ACC1A1的体积和表面积．
【正确答案】：
【解析】：（1）由棱柱的结构特征可得AA1 || CC1，∴∠BC1C即为异面直线BC1与
AA1所成角，证明CC1⊥平面ABC，再由已知求解三角形得答案；
（2）直接由棱锥体积公式求四棱锥B-ACC1A1的体积，再由三角形面积公式及矩形面积公式求四棱锥B-ACC1A1的表面积．
【解答】：解：（1）∵AA1 || CC1，∴∠BC1C即为异面直线BC1与AA1所成角， ∵AA1⊥平面ABC，∴CC1⊥平面ABC， ∴∠C1CB=90°．
∵ 𝐶𝐵=√𝐴𝐵2+𝐴𝐶2=√1+1=√2 ，CC1=2， ∴ 𝑡𝑎𝑛∠𝐶1𝐶𝐵=
√2√2
，得∠C1CB=arctan ， 22
√2
2
即异面直线BC1与AA1所成角的大小为arctan ； （2） 𝑉𝐵−𝐴𝐶𝐶1𝐴1=×1×22= ； 𝑆全=𝑆△𝐵𝐴𝐶+𝑆△𝐵𝐴𝐴1+𝑆△𝐵𝐴1𝐶1 +𝑆𝐶𝐴𝐴1𝐶1
= 2×1×1+2×1×2+2×1×√5+2×√2×2+1×2 = +1+
12
√52
1
1
1
1
13
43
+√2+2=+√2+
4
72√5 ． 2
7
√5 ． 2
∴四棱锥B-ACC1A1的体积为 3 ，表面积为 2+√2+
【点评】：本题考查异面直线所成角的求法，考查多面体的体积与表面积的求法，考查空间想象能力与运算求解能力，是中档题．
18.（问答题，14分）已知函数f（x）= √3 sinxcosx+cos2x+1． （1）求f（x）的最小正周期和值域；
（2）若对任意x∈R，f2（x）-k•f（x）-2≤0的恒成立，求实数k的取值范围．
【正确答案】：
【解析】：（1）利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得f（x）=sin（2x+ 6 ）+ 2 ，利用正弦函数的性质即可求解． （2）记f（x）=t，则
15
t∈[ 2 ， 2 ]，可得
𝑡2−22
k≥ 𝑡 =t −𝑡 ，由于
2
1
5𝜋
3
g（t）=t- 𝑡 在t∈[ 2 ， 2 ]时单调
递增，利用函数的性质即可求解．
【解答】：解：（1）f（x）= √3 sinxcosx+cos2x+1= 2 sin2x+ cos2x+ 2 =sin（2x+ 6 ）+ 2 ，
所以f（x）的最小正周期T= =π，值域为[ ， ]． （2）记f（x）=t，则t∈[ 2 ， 2 ]，
由f2（x）-k•f（x）-2≤0恒成立，知t2-kt-2≤0恒成立，即kt≥t2-2恒成立， 因为t＞0，所以k≥
5
𝑡2−22
=t − ，因为𝑡𝑡5
4
17
2
1
5
1
52𝜋
2
12
52
3
𝜋
3
√3𝑐𝑜𝑠2𝑥+11√3 +1= sin2x+ 222
g（t）=t- 𝑡 在t∈[ 2 ， 2 ]时单调递增，
gmax（t）=g（ 2 ）= 2 - 5 = 10 ， 所以k的取值范围是k≥ 10 ．
【点评】：本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦函数的性质，考查了函数思想，属于中档题．
19.（问答题，14分）某网店有3（万件）商品，计划在元旦旺季售出商品x（万件），经市场调查测算，花费t（万元）进行促销后，商品的剩余量3-x与促销费t之间的关系为3-x=
𝑘
（其中𝑡+1
17
k为常数），如果不搞促销活动，只能售出1（万件）商品．
（1）要使促销后商品的剩余量不大于0.1（万件），促销费t至少为多少（万元）？
（2）已知商品的进价为32（元/件），另有固定成本3（万元），定义每件售出商品的平均成本为32+ 𝑥 （元），若将商品售价定为：“每件售出商品平均成本的1.5倍“与“每件售出商品平均促销费的一半”之和，则当促销费t为多少（万元）时，该网店售出商品的总利润最大？此时商品的剩余量为多少？
【正确答案】：
【解析】：（1）在已知等式中，取t=0，x=1求得k值，可得3-x= 的范围得答案；
（2）由题意写出网店的利润为y关于t的函数，再由基本不等式求最值即可．
【解答】：解：（1）由3-x= 𝑡+1 ，当t=0，x=1时，得k=2， ∴3-x=
22 ，由 𝑡+1𝑡+1
𝑘
22
，由 𝑡+1𝑡+1
3
≤0.1 求解t
≤0.1 ，得t≥19，
故要使促销后商品的剩余量不大于0.1（万件），促销费t至少为19（万元）； （2）设网店的利润为y（万元），由题意可得， y= 𝑥(
99
3+32𝑥
𝑥32
×1.5+2𝑥)−(3+32𝑥+𝑡)
𝑡
32
𝑡+1
) ≤2
𝑡
= 2−𝑡+1−2=50−(𝑡+1+当且仅当 𝑡+1=
32
𝑡+1
，即2
50−2√𝑡+1•
32
𝑡+1
2
=42 ．
t=7时取等号，此时3-x=0.25．
∴当促销费t为7（万元）时，该网店售出商品的总利润最大为42万元，此时商品的剩余量为0.25（万件）．
【点评】：本题考查根据实际问题选择函数模型，训练了利用基本不等式求最值，是中档题． 20.（问答题，16分）已知椭圆Γ： 𝑎2+𝑏2 =1（a＞b＞0）的右焦点坐标为（2，0），且长轴长为短轴长的 √2 倍，直线l交Γ椭圆于不同的两点M和N， （1）求椭圆Γ的方程；
（2）若直线l经过点P（0，4），且△OMN的面积为2 √2 ，求直线l的方程；
（3）若直线l的方程为y=kx+t（k≠0），点M关于x轴的对称点为M′，直线MN，M′N分别与x轴相交于P、Q两点，求证：|OP|•|OQ|为定值．
𝑥2
𝑦2
【正确答案】：
【解析】：（1）根据已知以及a，b，c的恒等式即可求解；（2）设出直线l的方程并与椭圆方程联立，然后根据韦达定理以及弦长公式求出三角形OMN的面积，并令面积为2 √2 ，即可求解；（3）由已知可得M′与M关于x轴对称，联立直线与椭圆的方程，写出韦达定理，并求出直线M′N的方程，令y=0求出x，即可得|OQ|的长度，并根据直线l的方程求出|OP|，然后相乘即可求解．
【解答】：解：（1）由题意可得a= √2 b，a2-b2=4， 解得a=2 √2 ，b=2， 所以椭圆的方程为
𝑥28
+
𝑦24
=1 ；
（2）设点M，N的坐标为M（x1，y1），N（x2，y2）， 𝑦=𝑘𝑥+4
直线l的方程为y=kx+4，联立方程 {𝑥2𝑦2 ，
+=184消去y可得：（1+2k2）x2+16kx+24=0， 则x 1+𝑥2=1+2𝑘2 ，x 1𝑥2=1+2𝑘2 ， 所以
1
S△OMN= 2
−16𝑘
24
•4•√(𝑥1+𝑥2
)28√2√2𝑘2−3−4𝑥1𝑥2 = 1+2𝑘2 =2 √2 ，
√14𝑥2
解得k= ±
√14 ，所以直线2
l的方程为y= ±+4 ；
（3）证明：由题意知M′点的坐标为M′（x1，-y1），
将y=kx+t代入椭圆方程可得：（1+2k2）x2+4ktx+2t2-8=0， 所以
−4𝑘𝑡
x1+x2= 1+2𝑘2 ，x 1𝑥2
=
2𝑡2−8
， 1+2𝑘2
𝑡
所以y 1+𝑦2=𝑘(𝑥1+𝑥2)+2𝑡=1+2𝑘2 ，
对于直线y=kx+t，令y=0，得x=- 𝑘 ，所以|OP|=|- 𝑘 |， 对于直线M′N：y-y2= 𝑥2−𝑥1(𝑥−𝑥2) ，令y=0，得x=
2
1
𝑡 𝑡
𝑦+𝑦
− 𝑦2(𝑥2−𝑥1)
+𝑦2+𝑦1
𝑥2
= =
𝑥1𝑦2+𝑥2𝑦1
𝑦2+𝑦1
=
𝑥1(𝑘𝑥2+𝑡)+𝑥2(𝑘𝑥1+𝑡)
𝑦2+𝑦1
2𝑘𝑥1𝑥2+𝑡(𝑥1+𝑥2)8𝑘8𝑘
=- ，所以|OQ|=|- |， 𝑦2+𝑦1𝑡𝑡
𝑡
8𝑘
所以|OP|•|OQ|=|- 𝑘 |•|- 𝑡 |=8为定值， 故原结论成立．
【点评】：本题考查了椭圆的标准方程以及直线与椭圆的位置关系的应用，涉及到三角形面积问题以及椭圆中的定值问题，考查了学生的运算转化能力和推理能力，属于难题．
21.（问答题，18分）对于由m个正整数构成的有限集M={a1，a2，a3，…，am}，记P（M）=a1+a2+…+am，特别规定P（∅）=0，若集合M满足：对任意的正整数k≤P（M），都存在集合M的两个子集A、B，使得k=P（A）-P（B）成立，则称集合M为“满集”． （1）分别判断集合M1={1，2}与M2={1，4}是否为“满集”，请说明理由；
（2）若a1，a2，…，am由小到大能排列成公差为d（d∈N*）的等差数列，求证：集合M为“满集”的必要条件是a1=1，d=1或2；
（3）若a1，a2，…，am由小到大能排列成首项为1，公比为2的等比数列，求证：集合M是“满集”．
【正确答案】：
【解析】：（1）根据“满集”的定义，可知集合M1是“满集”，集合M2不是“满集”，然后利用定义说明理由即可；
（2）由题设条件和“满集“的定义⇒a1=1，d=1或2，即可证明结论；
（3）由题设，可得M={1，2，4，…，2m-1}，P（M）=1+2+4+…+2m-1=2m-1，然后根据“满集”的定义证明结论即可．
【解答】：解：（1）集合M1是“满集”，集合M2不是“满集”，理由如下： 对于集合M1，P（M1）=1+2=3，且M1共有4个子集：∅，{1}，{2}，{1，2}，
当k分别取1，2，3时，有1=P（{1}）-P（∅），2=P（{2}）-P（∅），3=P（{1，2}）-P
（∅），
故集合M1是“满集”；
对于集合M2，P（M2）=1+4=5，且M1共有4个子集：∅，{1}，{4}，{1，4}， 当k=2时，不存在M2的两个子集A，B，使得P（A）-P（B）=2， 故集合M2不是“满集”，
（2）证明：∵a1，a2，…，am由小到大能排列成公差为d（d∈N*）的等差数列， ∴a1＜a2＜…＜am，记k0=P（M）=a1+a2+…+am， ∵集合M为“满集”，
∴对任意的正整数k≤k0，都存在集合M的两个子集A、B，使得k=P（A）-P（B）成立， 当k=k0-1时，由k0-1=P（A）-P（B），及P（B）≥0，知P（A）=k0或P（A）=k0-1， 若P（A）=k0，则P（B）=1，此时A={a1，a2，…，am}，B={a1}，∴a1=1； 若P（A）=k0-1，则在M的真子集中，P（A）=a2+a3+…+am最大，必有a1=1， 此时A={a2，a2，…，am}，B=∅， 综上，可得a1=1；
若d≥3，当k=k0-3时，∵k0-0＞k0-1＞（k0-1）-1＞…＞k0-（1+d）＞…， ∴不存在集合M的两个子集A、B，使得k=k0-3=P（A）-P（B）成立， ∴d=1或2，
综，可得集合M为“满集”的必要条件是a1=1，d=1或2，
（3）证明：由题设，可得M={1，2，4，…，2m-1}，P（M）=1+2+4+…+2m-1=2m-1， 对任意k≤2m-1，∵k∈N*，∴存在k1＜k，k1∈N*，p1∈{0，1}，使得k=2k1+p1，
同理有k1=2k2+p2，k2=2k3+p3，…，其中ki＜ki-1，ki∈N*，pi∈{0，1}，经过有限次的操作后， 必存在ks=1（0≤s＜m），
∴k=2k1+p1=2（2k2+p2）+p1=…=2s+2s-1ps+2s-2ps-1+…+2p2+20p1， 当p 𝑗1 =p 𝑗2 =…=p 𝑗𝑚 =1时，k=2s+2 𝑗1 +2 𝑗2 +…+2 𝑗𝑠 ，
此时取A={2s，2 𝑗1 ，2 𝑗2 ，…，2 𝑗𝑠 }，B=∅，则有P（A）-P（B）=2s+2 𝑗1 +2 𝑗2 +…+2 𝑗𝑠 -0=k，
∴集合M是“满集”．
【点评】：本题主要考查数列在概念新定义题型中的综合应用，属于一道难题．
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