一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．请将正确选项填涂在答题卡相应的位置．
1．2016年10月1日，约110 000名群众观看了天安门广场的升旗仪式．将110 000用科学记数法表示应为（ ）
A．11×104 B．1.1×105 C．1.1×104 D．0.11×106
2．下列四个图形依次是北京、云南、西藏、安徽四个省市的图案字体，其中是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．五边形的内角和为（ ） A．360°
B．540°
C．720°
D．900°
4．用配方法解方程x2﹣4x﹣1=0，方程应变形为（ ） A．（x+2）=3
2
B．（x+2）=5
2
C．（x﹣2）=3 D．（x﹣2）=5
22
5．下列选项中，左边的平面图形能够折成右边封闭的立体图形的是（ ）
A． B． C．
D．
6．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点A，点C分别在直线a，b上，且a∥b．若∠1=60°，则∠2的度数为（ ）
A．75° B．105° C．135° D．155°
7．如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，若∠ACO=50°，则∠B的度数为（ ）
A．60° B．50° C．40° D．30°
8．如图，数轴上A，B两点所表示的数互为倒数，则关于原点的说法正确的是（ ）
A．一定在点A的左侧 B．一定与线段AB的中点重合 C．可能在点B的右侧 D．一定与点A或点B重合
9．二十四节气是中国古代劳动人民长期经验积累的结晶，它与白昼时长密切相关．当春分、秋分时，昼夜时长大致相等；当夏至时，白昼时长最长．如图是一年中部分节气所对应的白昼时长示意图．在下列选项中白昼时长超过13小时的节气是（ ）
A．惊蛰 B．小满 C．秋分 D．大寒
10．如图为2009年到2015年中关村国家自主创新示范区企业经营技术收入的统计图．下面四个推断：
①2009年到2015年技术收入持续增长；
②2009年到2015年技术收入的中位数是4032亿； ③2009年到2015年技术收入增幅最大的是2015年；
④2009年到2011年的技术收入增长的平均数比2013年到2015年技术收入增长的平均数大． 其中，正确的是（ ）
A．①③ B．①④ C．②③ D．③④
二、填空题（本题共18分，每小题3分） 11．分解因式：ab+4ab+4b= ．
12．如图，AB，CD相交于O点，△AOC∽△BOD，OC：OD=1：2，AC=5，则BD的长为 ．
2
13．图中的四边形均为矩形．根据图形，写出一个正确的等式： ．
14．某小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一事件发生的频率，绘制了如图所示的折线图．
该事件最有可能是 （填写一个你认为正确的序号）． ①掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上一面的点数是2； ②掷一枚硬币，正面朝上；
③暗箱中有1个红球和2个黄球，这些球除了颜色外无其他差别，从中任取一球是红球．
15．如图，在平面直角坐标系xOy中，A（1，1），B（2，2），双曲线y=与线段AB有公共点，则k的取值范围是 ．
16．下面是“作三角形一边中线”的尺规作图过程． 已知：△ABC（如图），求作：BC边上的中线AD． 作法：如图2，
（1）分别以点B，C为圆心，AC，AB长为半径作弧，两弧相交于P点； （2）作直线AP，AP与BC交于D点． 所以线段AD就是所求作的中线． 请回答：该作图的依据是 ．
三、解答题（本题共72分，第17～26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分） 17．（5分）计算：（）+2cos45°+|18．（5分）解不等式3（x﹣1）≤
﹣1
﹣1|﹣（3.14﹣π）．
0
，并把它的解集在数轴上表示出来．
19．（5分）如图，在△ABC中，D，E是BC边上两点，AD=AE，∠BAD=∠CAE．求证：AB=AC．
20．（5分）关于x的方程x2﹣ax+a=0有两个相等的实数根，求代数式•的值．
21．（5分）在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y=k1x+b过A（0，﹣3），B（5，2），直线l2：y=k2x+2． （1）求直线l1的表达式；
（2）当x≥4时，不等式k1x+b＞k2x+2恒成立，请写出一个满足题意的k2的值．
22．（5分）某校八年级共有8个班，241名同学，历史老师为了了解新中考模式下该校八年级学生选修历史学科的意向，请小红，小亮，小军三位同学分别进行抽样调查．三位同学调查结果反馈如下：
小红、小亮和小军三人中，你认为哪位同学的调查结果较好地反映了该校八年级同学选修历史的意向，请说出理由，并由此估计全年级有意向选修历史的同学的人数．
23．（5分）如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于点E点，延长BC至F点使CF=BE，连接AF，DE，DF． （1）求证：四边形AEFD是矩形； （2）若AB=6，DE=8，BF=10，求AE的长．
24．（5分）阅读下列材料： 厉害了，我的国！
近年来，中国对外开放的步伐加快，与世界经济的融合度日益提高，中国经济稳定增长是世界经济复苏的主要动力．“十二五”时期，按照2010年美元不变价计算，中国对世界经济增长的年均贡献率达到30.5%，跃居全球第一，与“十五”和“十一五”时期14.2%的年均贡献率相比，提高16.3个百分点，同期美国和欧元区分别为17.8%和4.4%．分年度来看，2011、2012、2013、2014、2015年，中国对世界经济增长的贡献率分别为28.6%、31.7%、32.5%、29.7%、30.0%，而美国分别为11.8%、20.4%、15.2%、19.6%、21.9%． 2016年，中国对世界经济增长的贡献率仍居首位，预计全年经济增速为6.7%左右，而世界银行预测全球经济增速为2.4%左右．按2010年美元不变价计算，2016年中国对世界经济增长的贡献率仍然达到33.2%．如果按照2015年价格计算，则中国对世界经济增长的贡献率会更高一点，根据有关国际组织预测，2016年中国、美国、日本经济增速分别为6.7%、1.6%、0.6%． 根据以上材料解答下列问题：
（1）选择合适的统计图或统计表将2013年至2015年中国和美国对世界经济增长的贡献率表示出来； （2）根据题中相关信息，2016年中国经济增速大约是全球经济增速的 倍（保留1位小数）； （3）根据题中相关信息，预估2017年中国对世界经济增长的贡献率约为 ，你的预估理由是 ． 25．（5分）如图，在△ABC中，点O在边AC上，⊙O与△ABC的边BC，AB分别相切于C，D两点，与边AC交于E点，弦CF与AB平行，与DO的延长线交于M点． （1）求证：点M是CF的中点； （2）若E是
的中点，BC=a，写出求AE长的思路．
26．（5分）有这样一个问题：探究函数y=下面是小文的探究过程，请补充完整： （1）函数y=
的图象与性质．
的自变量x的取值范围是 ；
（2）如表是y与x的几组对应值． x … ﹣3 y …
﹣2
﹣1
0 0
2 2
3
4
5 … …
﹣ ﹣ ﹣
如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点．
①观察图中各点的位置发现：点A1和B1，A2和B2，A3和B3，A4和B4均关于某点中心对称，则该点的坐标为 ； ②小文分析函数y=
的表达式发现：当x＜1时，该函数的最大值为0，则该函数图象在直线x=1左侧
的最高点的坐标为 ；
（3）小文补充了该函数图象上两个点（，﹣），（，）， ①在上图中描出这两个点，并画出该函数的图象； ②写出该函数的一条性质： ．
27．（7分）平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx2﹣2m2x+2交y轴于A点，交直线x=4于B点． （1）抛物线的对称轴为x= （用含m的代数式表示）； （2）若AB∥x轴，求抛物线的表达式；
（3）记抛物线在A，B之间的部分为图象G（包含A，B两点），若对于图象G上任意一点P（xp，yp），yp≤2，求m的取值范围．
28．（7分）在▱ABCD中，点B关于AD的对称点为B′，连接AB′，CB′，CB′交AD于F点． （1）如图1，∠ABC=90°，求证：F为CB′的中点；
（2）小宇通过观察、实验、提出猜想：如图2，在点B绕点A旋转的过程中，点F始终为CB′的中点．小宇把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法： 想法1：过点B′作B′G∥CD交AD于G点，只需证三角形全等； 想法2：连接BB′交AD于H点，只需证H为BB′的中点； 想法3：连接BB′，BF，只需证∠B′BC=90°． …
请你参考上面的想法，证明F为CB′的中点．（一种方法即可） （3）如图3，当∠ABC=135°时，AB′，CD的延长线相交于点E，求
的值．
29．（8分）在平面直角坐标系xOy中，若P，Q为某个菱形相邻的两个顶点，且该菱形的两条对角线分别与x轴，y轴平行，则称该菱形为点P，Q的“相关菱形”．图1为点P，Q的“相关菱形”的一个示意图． 已知点A的坐标为（1，4），点B的坐标为（b，0），
（1）若b=3，则R（﹣1，0），S（5，4），T（6，4）中能够成为点A，B的“相关菱形”顶点的是 ； （2）若点A，B的“相关菱形”为正方形，求b的值； （3）⊙B的半径为
，点C的坐标为（2，4）．若⊙B上存在点M，在线段AC上存在点N，使点M，N的“相
关菱形”为正方形，请直接写出b的取值范围．
2021年北京市海淀区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．请将正确选项填涂在答题卡相应的位置．
1．2016年10月1日，约110 000名群众观看了天安门广场的升旗仪式．将110 000用科学记数法表示应为（ ）
A．11×104 B．1.1×105 C．1.1×104 D．0.11×106 【考点】1I：科学记数法—表示较大的数．
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10，其中1≤|a|＜10，n为整数，据此判断即可． 【解答】解：110000=1.1×105． 故选：B．
【点评】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10，其中1≤|a|＜10，确定a与n的值是解题的关键．
2．下列四个图形依次是北京、云南、西藏、安徽四个省市的图案字体，其中是轴对称图形的是（ ）
﹣n
﹣n
A． B． C． D．
【考点】P3：轴对称图形．
【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解． 【解答】解：A、是轴对称图形，故本选项正确； B、不是轴对称图形，故本选项错误； C、不是轴对称图形，故本选项错误； D、不是轴对称图形，故本选项错误． 故选A．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
3．五边形的内角和为（ ） A．360°
B．540°
C．720°
D．900°
【考点】L3：多边形内角与外角．
【分析】n边形的内角和是（n﹣2）180°，由此即可求出答案． 【解答】解：五边形的内角和是（5﹣2）×180°=540°．故选B． 【点评】本题主要考查了多边形的内角和公式，是需要熟记的内容．
4．用配方法解方程x2﹣4x﹣1=0，方程应变形为（ ） A．（x+2）2=3
B．（x+2）2=5
C．（x﹣2）2=3 D．（x﹣2）2=5
【考点】A6：解一元二次方程﹣配方法．
【分析】常数项移到方程的右边后，两边配上一次项系数一半的平方，写成完全平方式即可得． 【解答】解：∵x﹣4x=1， ∴x﹣4x+4=1+4，即（x﹣2）=5， 故选：D．
【点评】本题主要考查配方法解一元二次方程的能力，熟练掌握完全平方公式和配方法的基本步骤是解题的关键．
5．下列选项中，左边的平面图形能够折成右边封闭的立体图形的是（ ）
2
2
2
A． B． C．
D．
【考点】I7：展开图折叠成几何体．
【分析】根据立体图形平面展开图的特征进行判断即可． 【解答】解：A．四棱锥的展开图有四个三角形，故A选项错误； B．根据长方体的展开图的特征，可得B选项正确； C．正方体的展开图中，不存在“田”字形，故C选项错误； D．圆锥的展开图中，有一个圆，故D选项错误． 故选：B．
【点评】本题主要考查了展开图折叠成几何体，解题时注意多从实物出发，然后再从给定的图形中辨认它们能否折叠成给定的立体图形．
6．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点A，点C分别在直线a，b上，且a∥b．若∠1=60°，则∠2的度数为（ ）
A．75° B．105° C．135° D．155°
【考点】KW：等腰直角三角形；JA：平行线的性质．
【分析】根据等腰直角三角形的性质得到∠B=∠ACB=45°，根据平行线的性质即可得到结论．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC， ∴∠B=∠ACB=45°，
∴∠3=180°﹣60°﹣45°=75°， ∵a∥b，
∴∠2=180°﹣∠3=105°， 故选B．
【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握等腰直角三角形的性质是解题的关键．
7．如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，若∠ACO=50°，则∠B的度数为（ ）
A．60° B．50° C．40° D．30° 【考点】M5：圆周角定理．
【分析】先根据圆周角定理求出∠ACB的度数，再由等腰三角形的性质即可得出结论． 【解答】解：∵AB为⊙O的直径， ∴∠ACB=90°． ∵∠ACO=50°，
∴∠BCO=90°﹣50°=40°． ∵OC=OB，
∴∠B=∠BCO=40°． 故选C．
【点评】本题考查的是圆周角定理，熟知直径所对的圆周角是直角是解答此题的关键．
8．如图，数轴上A，B两点所表示的数互为倒数，则关于原点的说法正确的是（ ）
A．一定在点A的左侧 B．一定与线段AB的中点重合 C．可能在点B的右侧 D．一定与点A或点B重合 【考点】13：数轴；17：倒数．
【分析】根据倒数的定义可知A，B两点所表示的数符号相同，依此求解即可． 【解答】解：∵数轴上A，B两点所表示的数互为倒数， ∴A，B两点所表示的数符号相同， ∴原点可能在点B的左侧或右侧． 故选：C．
【点评】本题考查了数轴，倒数的定义，由题意得到A，B两点所表示的数符号相同是解题的关键．
9．二十四节气是中国古代劳动人民长期经验积累的结晶，它与白昼时长密切相关．当春分、秋分时，昼夜时长大致相等；当夏至时，白昼时长最长．如图是一年中部分节气所对应的白昼时长示意图．在下列选项中白昼时长超过13小时的节气是（ ）
A．惊蛰 B．小满 C．秋分 D．大寒 【考点】E6：函数的图象．
【分析】根据函数的图象确定每个节气白昼时长，然后即可确定正确的选项． 【解答】解：A、惊蛰白昼时长为11.5小时，不符合题意； B、小满白昼时长为14.5小时，符合题意； C、秋分白昼时长为12.2小时，不符合题意； D、大寒白昼时长为9.8小时，不符合题意， 故选B．
【点评】考查了函数的图象的知识，解题的关键是能够读懂函数的图象并从中整理出进一步解题的有关信息，难度不大．
10．如图为2009年到2015年中关村国家自主创新示范区企业经营技术收入的统计图．下面四个推断：
①2009年到2015年技术收入持续增长；
②2009年到2015年技术收入的中位数是4032亿； ③2009年到2015年技术收入增幅最大的是2015年；
④2009年到2011年的技术收入增长的平均数比2013年到2015年技术收入增长的平均数大． 其中，正确的是（ ）
A．①③ B．①④ C．②③ D．③④ 【考点】W4：中位数；W1：算术平均数．
【分析】直接利用中位数的定义结合算术平均数的定义分别分析得出答案． 【解答】解：①由图象可得，2009年到2015年技术收入持续增长，正确； ②2009年到2015年技术收入的中位数是3403亿，故此选项错误； ③2009年到2015年技术收入增幅最大的是2015年，正确；
④2009年到2011年的技术收入增长的平均数为：376，2013年到2015年技术收入增长的平均数为：1296，故此选项错误． 故选：A．
【点评】此题主要考查了中位数以及算术平均数，正确利用图形分析是解题关键．
二、填空题（本题共18分，每小题3分） 11．分解因式：ab+4ab+4b= b（a+2） ． 【考点】55：提公因式法与公式法的综合运用． 【分析】原式提取b，再利用完全平方公式分解即可． 【解答】解：原式=b（a2+4a+4）=b（a+2）2， 故答案为：b（a+2）
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
12．如图，AB，CD相交于O点，△AOC∽△BOD，OC：OD=1：2，AC=5，则BD的长为 10 ．
22
2
【考点】S7：相似三角形的性质．
【分析】根据相似三角形的对应边的比相等列出不等式，计算即可． 【解答】解：∵△AOC∽△BOD， ∴
=
，即
=，
解得，BD=10， 故答案为：10．
【点评】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形的对应角相等，对应边的比相等是解题的关键．
13．图中的四边形均为矩形．根据图形，写出一个正确的等式： （m+n）（m+b）=m2+am+bm+ab（答案不唯一） ．
【考点】4B：多项式乘多项式．
【分析】根据图形，从两个角度计算面积即可求出答案． 【解答】解：（m+n）（m+b）=m+am+bm+ab（答案不唯一） 故答案为：（m+n）（m+b）=m+am+bm+ab（答案不唯一）
【点评】本题考查多项式乘以多项式，解题的关键是熟练运用运算法则，本题属于基础题型．
14．某小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一事件发生的频率，绘制了如图所示的折线图．
2
2
该事件最有可能是 ③ （填写一个你认为正确的序号）． ①掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上一面的点数是2； ②掷一枚硬币，正面朝上；
③暗箱中有1个红球和2个黄球，这些球除了颜色外无其他差别，从中任取一球是红球． 【考点】X8：利用频率估计概率；V9：频数（率）分布折线图；X1：随机事件．
【分析】根据统计图可知，试验结果在0.33附近波动，即其概率P≈，计算三个选项的概率，约为者即为正确答案．
【解答】解：由折线统计图知，随着试验次数的增加，频率逐渐稳定在0.33，即左右， ①中向上一面的点数是2的概率为，不符合题意； ②中掷一枚硬币，正面朝上的概率为，不符合题意； ③中从中任取一球是红球的概率为，符合题意， 故答案为：③．
【点评】本题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率=所求
情况数与总情况数之比．同时此题在解答中要用到概率公式．
15．如图，在平面直角坐标系xOy中，A（1，1），B（2，2），双曲线y=与线段AB有公共点，则k的取值范围是 1≤k≤4 ．
【考点】G6：反比例函数图象上点的坐标特征．
【分析】求得A和B分别在双曲线上时对应的k的值，则k的范围即可求解． 【解答】解：当（1，1）在y=上时，k=1， 当（2，2）在y=的图象上时，k=4．
则双曲线y=与线段AB有公共点，则k的取值范围是1≤k≤4． 故答案是：1≤k≤4．
【点评】本题主要考查一次函数和反比例函数的交点问题，确定出双曲线的两个特殊位置时k的值是解题的关键，属于中考常考题型．
16．下面是“作三角形一边中线”的尺规作图过程． 已知：△ABC（如图），求作：BC边上的中线AD． 作法：如图2，
（1）分别以点B，C为圆心，AC，AB长为半径作弧，两弧相交于P点； （2）作直线AP，AP与BC交于D点． 所以线段AD就是所求作的中线．
请回答：该作图的依据是 两组对边分别相等的四边形是平行四边形，平行四边形的对角线互相平分 ．
【考点】N3：作图—复杂作图；L7：平行四边形的判定与性质．
【分析】利用作法先判断四边形ABPC为平行四边形，然后利用平行四边形的性质得到BD=CD，从而确定AD
为中线．
【解答】解：由作法得BP=AC，CP=AB，则四边形ABPC为平行四边形， 所以BD=CD，即点D为BC的中点， 所以AD为中线．
故答案为两组对边分别相等的四边形是平行四边形，平行四边形的对角线互相平分．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．
三、解答题（本题共72分，第17～26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分） 17．计算：（）+2cos45°+|
﹣1
﹣1|﹣（3.14﹣π）．
0
【考点】2C：实数的运算；6E：零指数幂；6F：负整数指数幂；T5：特殊角的三角函数值． 【分析】首先计算乘方和乘法，然后从左向右依次计算，求出算式（）+2cos45°+|π）的值是多少即可．
【解答】解：（）﹣1+2cos45°+|=2+2×=2+=2
+
+
﹣1﹣1
﹣1|﹣（3.14﹣π）0
0
﹣1
﹣1|﹣（3.14﹣
﹣2
【点评】此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
18．解不等式3（x﹣1）≤
，并把它的解集在数轴上表示出来．
【考点】C6：解一元一次不等式；C4：在数轴上表示不等式的解集．
【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得． 【解答】解：6（x﹣1）≤x+4， 6x﹣6≤x+4， 6x﹣x≤4+6， 5x≤10， x≤2，
将解集表示在数轴上如下：
【点评】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．
19．如图，在△ABC中，D，E是BC边上两点，AD=AE，∠BAD=∠CAE．求证：AB=AC．
【考点】KD：全等三角形的判定与性质．
【分析】根据等腰三角形的性质得到∠1=∠2，根据全等三角形的判定和性质即可得到结论． 【解答】解：∵AD=AE， ∴∠1=∠2，
∴180°，﹣∠1=180°﹣∠2． 即∠3=∠4， 在△ABD与△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（ASA）， ∴AB=AC．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
20．关于x的方程x2﹣ax+a=0有两个相等的实数根，求代数式【考点】AA：根的判别式．
【分析】根据判别式的意义得到△=（﹣a）2﹣4a=0，即a2﹣4a=0，再将所求代数式化简为整体代入计算即可．
【解答】解：∵关于x的方程x2﹣ax+a=0有两个相等的实数根， ∴△=（﹣a）2﹣4a=0，即a2﹣4a=0，
，然后
•
的值．
∴===．
• •
【点评】本题考查了一元二次方程ax+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了分式的化简求值．
21．在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y=k1x+b过A（0，﹣3），B（5，2），直线l2：y=k2x+2． （1）求直线l1的表达式；
（2）当x≥4时，不等式k1x+b＞k2x+2恒成立，请写出一个满足题意的k2的值．
22
【考点】FD：一次函数与一元一次不等式；FA：待定系数法求一次函数解析式．
【分析】（1）把A（0，﹣3），B（5，2）代入y=k1x+b，利用待定系数法即可求出直线l1的表达式； （2）根据题意，把x=4代入k1x+b＞k2x+2，求出k2的范围，进而求解即可． 【解答】解：（1）∵直线l1：y=k1x+b过A（0，﹣3），B（5，2）， ∴
，解得
，
∴直线l1的表达式为y=x﹣3；
（2）∵当x≥4时，不等式x﹣3＞k2x+2恒成立， ∴4﹣3＞4k2+2， ∴k2＜﹣，
∴取k2=﹣1满足题意．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式，利用待定系数法求出直线l1的表达式是解题的关键．
22．某校八年级共有8个班，241名同学，历史老师为了了解新中考模式下该校八年级学生选修历史学科的意向，请小红，小亮，小军三位同学分别进行抽样调查．三位同学调查结果反馈如下：
小红、小亮和小军三人中，你认为哪位同学的调查结果较好地反映了该校八年级同学选修历史的意向，请说出理由，并由此估计全年级有意向选修历史的同学的人数． 【考点】V5：用样本估计总体．
【分析】根据抽样调查的代表性可知小军的结果较好地反映了该校八年级同学选修历史的意向，再用样本中选择历史的人数所占比例乘以总人数可得答案．
【解答】答：小军的数据较好地反映了该校八年级同学选修历史的意向． 理由如下：
小红仅调查了一个班的同学，样本不具有随机性；
小亮只调查了8位历史课代表，样本容量过少，不具有代表性； 小军的调查样本容量适中，且能够代表全年级的同学的选择意向． 根据小军的调查结果，有意向选择历史的比例约为
=；
故据此估计全年级选修历史的人数为241×=60.25≈60（人）．
【点评】本题主要考查用样本估计总体，掌握用样本估计总体是统计的基本思想是解题的关键．
23．如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于点E点，延长BC至F点使CF=BE，连接AF，DE，DF． （1）求证：四边形AEFD是矩形； （2）若AB=6，DE=8，BF=10，求AE的长．
【考点】LD：矩形的判定与性质；L5：平行四边形的性质．
【分析】（1）先证明四边形AEFD是平行四边形，再证明∠AEF=90°即可． （2）证明△ABF是直角三角形，由三角形的面积即可得出AE的长． 【解答】（1）证明：∵CF=BE， ∴CF+EC=BE+EC． 即 EF=BC．
∵在▱ABCD中，AD∥BC且AD=BC， ∴AD∥EF且AD=EF．
∴四边形AEFD是平行四边形． ∵AE⊥BC， ∴∠AEF=90°． ∴四边形AEFD是矩形；
（2）解：∵四边形AEFD是矩形，DE=8， ∴AF=DE=8． ∵AB=6，BF=10， ∴AB+AF=6+8=100=BF． ∴∠BAF=90°． ∵AE⊥BF，
∴△ABF的面积=AB•AF=BF•AE． ∴AE=
=
=
．
2
2
2
2
2
【点评】本题考查矩形的性质、菱形的性质、平行四边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握这些知识的应用，属于中考常考题型．
24．阅读下列材料： 厉害了，我的国！
近年来，中国对外开放的步伐加快，与世界经济的融合度日益提高，中国经济稳定增长是世界经济复苏的主要动力．“十二五”时期，按照2010年美元不变价计算，中国对世界经济增长的年均贡献率达到30.5%，跃居全球第一，与“十五”和“十一五”时期14.2%的年均贡献率相比，提高16.3个百分点，同期美国和欧元区分别为17.8%和4.4%．分年度来看，2011、2012、2013、2014、2015年，中国对世界经济增长的贡献率分别为28.6%、31.7%、32.5%、29.7%、30.0%，而美国分别为11.8%、20.4%、15.2%、19.6%、21.9%． 2016年，中国对世界经济增长的贡献率仍居首位，预计全年经济增速为6.7%左右，而世界银行预测全球经济增速为2.4%左右．按2010年美元不变价计算，2016年中国对世界经济增长的贡献率仍然达到33.2%．如果按照2015年价格计算，则中国对世界经济增长的贡献率会更高一点，根据有关国际组织预测，2016年中国、美国、日本经济增速分别为6.7%、1.6%、0.6%． 根据以上材料解答下列问题：
（1）选择合适的统计图或统计表将2013年至2015年中国和美国对世界经济增长的贡献率表示出来； （2）根据题中相关信息，2016年中国经济增速大约是全球经济增速的 2.8 倍（保留1位小数）； （3）根据题中相关信息，预估2017年中国对世界经济增长的贡献率约为 31.0% ，你的预估理由是 从2011年到2016年中国对世界经济增长的贡献率平均每年为31.0%左右 ． 【考点】VE：统计图的选择；V5：用样本估计总体．
【分析】（1）根据2013年至2015年中国和美国对世界经济增长的贡献率绘制统计图或统计表即可； （2）根据2016年中国全年经济增速为6.7%左右，而世界银行全球经济增速为2.4%左右，可得2016年中国经济增速大约是全球经济增速的2.8倍；
（3）根据2011年到2016年中国对世界经济增长的贡献率的平均值为30.95%，可预估2017年中国对世界经济增长的贡献率约为31.0%．答案不唯一，预估理由与预估结果相符即可．
【解答】解：（1）2013年至2015年中国和美国对世界经济增长的贡献率如图（表）所示：
（2）∵2016年中国全年经济增速为6.7%左右，而世界银行全球经济增速为2.4%左右， ∴6.7%÷2.4%=2.8，
即2016年中国经济增速大约是全球经济增速的2.8倍， 故答案为：2.8； （3）从
2011
年到
2016
年中国对世界经济增长的贡献率的平均值为：
（28.6%+31.7%+32.5%+29.7%+30.0%+33.2%）÷6=30.95%， 所以2017年中国对世界经济增长的贡献率约为31.0%．
故答案为：31.0%，从2011年到2016年中国对世界经济增长的贡献率平均每年为31.0%左右．（答案不唯一）
【点评】本题主要考查了统计图的选择，解题时注意：折线统计图能清楚地反映事物的变化情况，显示数据变化趋势．根据具体问题选择合适的统计图，可以使数据变得清晰直观．
25．如图，在△ABC中，点O在边AC上，⊙O与△ABC的边BC，AB分别相切于C，D两点，与边AC交于E点，弦CF与AB平行，与DO的延长线交于M点． （1）求证：点M是CF的中点；
（2）若E是的中点，BC=a，写出求AE长的思路．
【考点】MC：切线的性质．
【分析】（1）根据切线的性质得到OD⊥AB于D．根据平行线的性质得到∠OMF=∠ODB=90°．由垂径定理即可得到结论；
（2）连接DC，DF．由M为CF的中点，E为
的中点，可以证明△DCF是等边三角形，根据等边三角形的
性质得到∠1=30°；根据切线的性质得到BC=BD=a．推出△BCD为等边三角形；解直角三角形即可得到结论． 【解答】（1）证明：∵AB与⊙O相切于点D， ∴OD⊥AB于D． ∴∠ODB=90°． ∵CF∥AB，
∴∠OMF=∠ODB=90°． ∴OM⊥CF．
∴点M是CF的中点； （2）思路： 连接DC，DF．
①由M为CF的中点，E为
的中点，
可以证明△DCF是等边三角形，且∠1=30°； ②由BA，BC是⊙O的切线，可证BC=BD=a． 由∠2=60°，从而△BCD为等边三角形；
③在Rt△ABC中，∠B=60°，BC=BD=a，可以求得AD=a，CO=④AE=AO﹣OE=解：连接DC，DF，
由（1）证得M为CF的中点，DM⊥CF， ∴DC=DF， ∵E是
的中点，
﹣
=
．
，OA=
；
∴CE垂直平分DF， ∴CD=CF，
∴△DCF是等边三角形， ∴∠1=30°，
∵BC，AB分别是⊙O的切线， ∴BC=BD=a，∠ACB=90°， ∴∠2=60°，
∴△BCD是等边三角形， ∴∠B=60°， ∴∠A=30°， ∴OD=
a，AO=
a， a．
∴AE=AO﹣OE=
【点评】本题考查了切线的性质，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，垂径定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
26．有这样一个问题：探究函数y=下面是小文的探究过程，请补充完整： （1）函数y=
的自变量x的取值范围是 x≠1 ；
的图象与性质．
（2）如表是y与x的几组对应值． x … ﹣3 y …
﹣2
﹣1
0 0
2 2
3
4
5 … …
﹣ ﹣ ﹣
如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点．
①观察图中各点的位置发现：点A1和B1，A2和B2，A3和B3，A4和B4均关于某点中心对称，则该点的坐标为 （1，1） ； ②小文分析函数y=
的表达式发现：当x＜1时，该函数的最大值为0，则该函数图象在直线x=1左侧
的最高点的坐标为 （0，0） ；
（3）小文补充了该函数图象上两个点（，﹣），（，）， ①在上图中描出这两个点，并画出该函数的图象；
②写出该函数的一条性质： 当x＞1时，该函数的最小值为1 ．
【考点】H3：二次函数的性质；H2：二次函数的图象；H7：二次函数的最值． 【分析】（1）分式的分母不等于零；
（2）①根据中心对称的性质和所对应的点点坐标即可求得，②根据函数的性质求得即可； （3）①根据坐标系中的点，用平滑的直线连接即可；
②可以从增减性、渐近性、连续性、与坐标轴交点、图象所在象限等方面作答． 【解答】解：（1）依题意得：2x﹣2≠0， 解得x≠1， 故答案是：x≠1；
（2）①点A1和B1，A2和B2，A3和B3，A4和B4均关于某点中心对称，A1（0，0），B2（2，2）， ∴中心点点坐标为（1，1）；
②∵当x＜1时，该函数的最大值为0，
∴该函数图象在直线x=1左侧的最高点的坐标为（0，0）； 故答案为（1，1）；（0，0）； （3）①
②该函数的性质：
（ⅰ）当x＜0时，y随x的增大而增大； 当0≤x＜1时，y随x的增大而减小； 当1＜x＜2时，y随x的增大而减小； 当x≥2时，y随x的增大而增大． （ⅱ）函数的图象经过第一、三、四象限．
（ⅲ）函数的图象与直线x=1无交点，图象由两部分组成． （ⅳ）当x＞1时，该函数的最小值为1． 故答案为当x＞1时，该函数的最小值为1．
【点评】本题考查了二次函数的图象和性质，根据图表画出函数的图象是解题的关键．
27．平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx﹣2mx+2交y轴于A点，交直线x=4于B点． （1）抛物线的对称轴为x= m （用含m的代数式表示）； （2）若AB∥x轴，求抛物线的表达式；
（3）记抛物线在A，B之间的部分为图象G（包含A，B两点），若对于图象G上任意一点P（xp，yp），yp≤2，求m的取值范围．
2
2
【考点】H8：待定系数法求二次函数解析式；H3：二次函数的性质． 【分析】（1）根据抛物线的对称轴为直线x=﹣
，代入数据即可得出结论；
（2）由AB∥x轴，可得出点B的坐标，进而可得出抛物线的对称轴为x=2，结合（1）可得出m=2，将其代入抛物线表达式中即可；
（3）分m＞0及m＜0两种情况考虑，依照题意画出函数图象，利用数形结合即可得出m的取值范围． 【解答】解：（1）抛物线的对称轴为x=故答案为：m．
（2）当x=0时，y=mx2﹣2m2x+2=2， ∴点A（0，2）．
∵AB∥x轴，且点B在直线x=4上，
∴点B（4，2），抛物线的对称轴为直线x=2，
=m．
∴m=2，
∴抛物线的表达式为y=2x2﹣8x+2． （3）当m＞0时，如图1． ∵A（0，2），
∴要使0≤xp≤4时，始终满足yp≤2，只需使抛物线y=mx﹣2mx+2的对称轴与直线x=2重合或在直线x=2的右侧． ∴m≥2；
当m＜0时，如图2，
在0≤xp≤4中，yp≤2恒成立．
综上所述，m的取值范围为m＜0或m≥2．
2
2
【点评】本题考查了二次函数的性质、二次函数的图象以及待定系数法求二次函数解析式，解题的关键是：（1）牢记抛物线的对称轴为直线x=﹣m＜0两种情况考虑．
28．在▱ABCD中，点B关于AD的对称点为B′，连接AB′，CB′，CB′交AD于F点． （1）如图1，∠ABC=90°，求证：F为CB′的中点；
（2）小宇通过观察、实验、提出猜想：如图2，在点B绕点A旋转的过程中，点F始终为CB′的中点．小宇把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法： 想法1：过点B′作B′G∥CD交AD于G点，只需证三角形全等； 想法2：连接BB′交AD于H点，只需证H为BB′的中点； 想法3：连接BB′，BF，只需证∠B′BC=90°． …
请你参考上面的想法，证明F为CB′的中点．（一种方法即可） （3）如图3，当∠ABC=135°时，AB′，CD的延长线相交于点E，求
的值．
；（2）根据二次函数的性质找出对称轴为x=2；（3）分m＞0及
【考点】SO：相似形综合题．
【分析】（1）证明：根据已知条件得到□ABCD为矩形，AB=CD，根据矩形的性质得到∠D=∠BAD=90°，根据全等三角形的性质即可得到结论；
（2）方法1：如图2，过点B′作B′G∥CD交AD于点G，由轴对称的性质得到∠1=∠2，AB=AB′，根据平行线的性质得到∠2=∠3，∠1=∠3，根据平行线的性质得到∠4=∠D，根据全等三角形的性质即可得到结论；方法2：连接BB′交直线AD于H点，根据线段垂直平分线的性质得到B′H=HB，由平行线分线段成比例定理得到结论；方法3：连接BB′，BF，根据轴对称的性质得到AD是线段B′B的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质得到B′F=FB，得到∠1=∠2，由平行线的性质得到∠B′BC=90°，根据余角的性质得到∠3=∠4，于是得到结论；
（3）取B′E的中点G，连结GF，由（2）得，F为CB′的中点，根据平行线的性质得到∠BAD=180°﹣∠ABC=45°，由对称性的性质得到∠EAD=∠BAD=45°，根据平行线的性质得到∠GFA=∠FAB=45°，根据三角函数的定义即可得到结论． 【解答】（1）证明：
∵四边形ABCD为平行四边形，∠ABC=90°， ∴□ABCD为矩形，AB=CD， ∴∠D=∠BAD=90°， ∵B，B′关于AD对称，
∴∠B′AD=∠BAD=90°，AB=AB′， ∴∠B′AD=∠D， ∵∠AFB′=∠CFD， 在△AFB′与△CFD中，∴△AFB′≌△CFD（AAS）， ∴FB′=FC， ∴F是CB′的中点；
（2）证明：
方法1：如图2，过点B′作B′G∥CD交AD于点G， ∵B，B′关于AD对称， ∴∠1=∠2，AB=AB′，
，
∵B′G∥CD，AB∥CD， ∴B′G∥AB． ∴∠2=∠3， ∴∠1=∠3， ∴B′A=B′G， ∵AB=CD，AB=AB′， ∴B′G=CD， ∵B′G∥CD， ∴∠4=∠D， ∵∠B′FG=∠CFD， 在△B′FG与△CFD中∴△B′FG≌△CFD（AAS）， ∴FB′=FC， ∴F是CB′的中点；
方法2：连接BB′交直线AD于H点， ∵B，B′关于AD对称，
∴AD是线段B′B的垂直平分线， ∴B′H=HB， ∵AD∥BC， ∴
=
=1，
，
∴FB′=FC． ∴F是CB′的中点； 方法3：连接BB′，BF， ∵B，B′关于AD对称，
∴AD是线段B′B的垂直平分线， ∴B′F=FB， ∴∠1=∠2， ∵AD∥BC， ∴B′B⊥BC， ∴∠B′BC=90°，
∴∠1+∠3=90°，∠2+∠4=90°， ∴∠3=∠4， ∴FB=FC，
∴B′F=FB=FC， ∴F是CB′的中点；
（3）解：取B′E的中点G，连结GF， ∵由（2）得，F为CB′的中点， ∴FG∥CE，FG=CE，
∵∠ABC=135°，□ABCD中，AD∥BC， ∴∠BAD=180°﹣∠ABC=45°， ∴由对称性，∠EAD=∠BAD=45°， ∵FG∥CE，AB∥CD， ∴FG∥AB，
∴∠GFA=∠FAB=45°， ∴∠FGA=90°，GA=GF， ∴FG=sin∠EAD•AF=∴由①，②可得
=
AF， ．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质，平行线的性质，平行线分线段成比例定理，三角函数的定义，正确的作出辅助线是解题的关键．
29．在平面直角坐标系xOy中，若P，Q为某个菱形相邻的两个顶点，且该菱形的两条对角线分别与x轴，y轴平行，则称该菱形为点P，Q的“相关菱形”．图1为点P，Q的“相关菱形”的一个示意图． 已知点A的坐标为（1，4），点B的坐标为（b，0），
（1）若b=3，则R（﹣1，0），S（5，4），T（6，4）中能够成为点A，B的“相关菱形”顶点的是 R，S ； （2）若点A，B的“相关菱形”为正方形，求b的值； （3）⊙B的半径为
，点C的坐标为（2，4）．若⊙B上存在点M，在线段AC上存在点N，使点M，N的“相
关菱形”为正方形，请直接写出b的取值范围．
【考点】MR：圆的综合题．
【分析】（1）如图1中，观察图象可知：R、S能够成为点A，B的“相关菱形”顶点．
（2）如图2中，过点A作AH垂直x轴于H点．根据正方形的性质可知BH=4，由此即可解决问题． （3）根据正方形的性质，画出图象，即可判断．
【解答】解：（1）如图1中，观察图象可知：R、S能够成为点A，B的“相关菱形”顶点．
故答案为R，S．
（2）如图2中，过点A作AH垂直x轴于H点．
∵点A，B的“相关菱形”为正方形， ∴△ABH为等腰直角三角形． ∵A（1，4）， ∴BH=AH=4． ∴b=﹣3或5．
（3）如图3中，观察图象可知，满足条件的b的范围为：﹣5≤b≤0或3≤b≤8．
【点评】本题考查圆综合题、菱形的性质、正方形的性质、点P，Q的“相关菱形”的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会利用图象解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，注意一题多解，属于中考创新题目．
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