第10章 基带信号的噪声检测

第10章 基带信号的噪声检测

第9章考虑的数字调制技术涉及到每次将k比特信息转换为通信信道上M个独特的传输波形之一。基带解调器已经知道调制器所用的波形集合sm(t), m=1,2,…,M。数字通信系统中，基带调制器的目的不是象第4、第5和第7章的模拟通信系统那样逼真的恢复发送波形。而基带调制器或检测器的功能是确定接收信号中的符号持续期间传输的是M个发送符号中的哪一个。由于判决基于对基带信号的观测，这里的接收信号受到信道或接收机前端噪声的损伤，所以，这样的解决办法总含有不确定性。由于存在噪声，因此检测或判决过程引入了偶尔但不可避免的差错。这就隐含着二进制情况下，实际发送比特0时检测器判决的是比特1。最佳检测方案的设计中，适当的性能目标是使这类差错发生的概率最小。

这里在概率论环境中研究了最佳检测问题。M个发送符号的先验概率（即，观察接收信号之前的概率）通常建模为等概率发生。检测器通过在每个符号持续期间对接收信号进行观测，采用最大后验概率准则(criterion)在M个可能的选择中作出判决。为简化起见，我们假定信道不是色散信道，所以对符号的检测没有受到来自其他符号干扰的影响。而且我们假定加性噪声是高斯噪声，其双边功率谱密度为 N0/2W /Hz。本章分为如下几节。 10.1 二进制信号的AWGN 检测（重译）

本节考虑的是数字通信问题的最简单类型，即，存在加性高斯白噪声（AWGN）时二进制信号的检测。 10.2 匹配滤波器

本节学习检测器输出SNR取最大值的线性接收机。分析了二进制各种信号传输方案时，所得到的的匹配滤波器和相关检测器的结构。 10.3 矢量空间的概念

本节我们回顾了矢量和内积空间的概念。然后介绍Gram-Schmidt过程，为含有有限矢量的集合构建正交基【此句重译】

10.4 信号与高斯白噪声的矢量空间表示

我们介绍了数字通信系统中所碰到的信号波形的有限集表示，这些波形对应有限维空间的点或矢量。然后解释了判决哪个信号是发送信号时，考虑沿信号空间基矢量的噪声分量就足够了。

10.5 本节我们考虑的是WGN信道上的M进制矢量的检测，以得到最大的正确判决平均概率。然后考虑了用一排匹配滤波器或相关器实现最大似然检测器。 10.6 最大似然检测器的差错性能

利用最大似然检测导出了M进制通信系统差错性能的联合限。然后得出了符号差错率与比特差错率之间的关系。

10.7 M进制PAM信号的差错性能

本节分析了M进制PAM系统的差错性能。这里证实了最近邻限提供了系统的确切误码率。

10.1 二进制信号的AWGN检测

二进制数字通信系统中，在每一比特的持续时间（Tb）内发送两个可能的信号s1(t)或

s2(t)之一。因此，检测器仅通过处理在时间间隔内后判决每比特持续时间内发送的是0还是1。假定为有限值的s1(t)和s2(t)的能量，分别表示为E1和E2。本节中考虑的二进制检测的一般问题如图10.1所示。不失一般性，我们考虑第一个信号间隔内表示如下的发送信号：

s1(t),s(t)=s2(t),0tTb0tTb二进制1二进制0 （10.1）

在存在双边功率谱密度为N0/2（W/Hz）的加性高斯白噪声时信号放送到接收端。接收信号可以表示为：

r(t)s(t)n(t),0tTb （10.2）

检测器由频率响应为H（f）的线性、时不变滤波器组成，随后是采样器和门限比较器。滤波器的初始条件是，在每个新脉冲到来之前置为零（该句重译）。线性滤波器的输出为：

r0(t)s01(t)s02(t)n0(t) （10.3）

其中，

s01(t)h(t)s1(t)s1(t)脉冲的接收滤波器输出 （10.4） s02(t)h(t)s2(t)s2(t)脉冲的接收滤波器输出 （10.5） n0(t)n(t)h(t)接收滤波器的输出噪声 (10.6)

在比特时间间隔0≤t≤Tb的时刻t0时对接收滤波器的输出r0(t)采样。所得样值r0是可以表示如下的随机变量：

s01+n0,r0=s02+n0,发送二进制1发送二进制0 （10.7）

式中采样时刻t=t0时，s01和s02分别是s01(t)和s02(t)的值。n0是t=t0时的滤波器输出噪声的样值。随机变量r0是均值s01或者s02(取决于发送的是s1(t)还是s2(t))的高斯过程。

2

根据式（6.189）得到它的方差σ为：

02Nn0022H(f)df （10.8）

2我们可以写出随机变量r0的条件PDF如下：

fr0r0发送s1(t)fn0(r0s01)fr0r0发送s2(t)fn0(r0s02)12012022(r0s01)2e202 （10.9）

(r0s02)2e202 （10.10）

r0的条件PDF如图10.2所示。门限比较器通过将采样器输出r0与门限电压VT比较作出

判决。判决规则可以表述为：

r0>VT,表示发送的是s1(t) r0下面我们讨论最佳VT的选择。 10.1.1 比特差错的概率

如果发送的s1(t)的先验概率是P，和发送是s2(t)的先验概率为1-P,则差错的平均概率（即，BER）表示为：

BERP发送s(t)P差错发送s(t)P发送s2(t)P差错发送s2(t)11PP差错发送s(t)1PP差错发送s2(t)1

（10.11） 比特差错的平均概率通常叫做误比特率（BER）。下述两种情况之一发生时出现差错： 1. 发送s1(t),且r0VT

那么发生差错的条件概率可以表示为：

P差错发送s(t)Pr0VT发送s(t)11VTVTr0发送s(t)dr01

1202(r0s01)2e202sVdr0Q01T0 （10.12）

P差错发送s2(t)Pr0VT发送s2(t)VTVTr0发送s(t)dr01

1202(r0s02)2e202VTs02dr0Q0 （10.13） 根据式（6.55）式中Q（）定义为：

Q(u)u1x22edx,u0 （6.55） 2结合式（10.11）~式（10.13），我们可以写出误比特率的如下表达式：

sVBERPQ01T0VTs021PQ （10.14）

0假定二进制符号等概率出现，则式（10.14）的BER表达式可以简化为：

dQudu1x22dedxx2u12e2du21x2e21e22uduxudu （10.16）

2u2dudu现在我们利用式（10.16）计算BER的导数，并将其置零以得到下面最佳门限Vopt必须

满足的条件：

dBER11e2VVdVT220ToptVopts01220211e2220Vopts0222020

上式相当于求解下面的方程，（equivalently）,

eVopts012e2Vopts022

2或者，

Vopts01Vopts02，

因而得到，

Vopts01s02 （10.17） 2将门限电压最佳值Vopt代入式（10.15）得，

ssBERQ0102 （10.18）

20式中已假定s01> Vopt> s02

例10.1 用例2.33 RC低通滤波器作为接收滤波器时，计算该检测器采用单极性NRZ信号时的BER性能。

解：根据式（2.125）得到RC低通滤波器的传输函数为：

Hf1

f1jf3dB式中f3dB是3dB截止频率。根据式（2.130）得到RC低通滤波器的冲击响应为：

h(t)2f3dBe2f3dBtu(t)

采用单极性NRZ传输信号时，s1(t)=A , s2(t)=0, (0≤t≤Tb)对应s1(t)脉冲的滤波器输出为：

A1-e2f3dBt, s012f3dBTb2f3dBtAe1e,s01s01TbA1eBN=2f3dBTb0tTbtTb （10.19）

t=Tb时滤波器输出出现峰值，如图10.3（a）所示。实现的信号为：

 （10.20） 显然，s02=0 。根据式（6.253）得到的RC低通滤波器的等效噪声宽带BN为：

f3dB2

将上式代入式（10.21）得：

02N0f3dB (10.22) 2结合式（10.20）与式（10.22），我们得到，

s01s024022A2Tb2f3dBTb221e2f3dBTb2A1e2N02f3dBN02f3dBTb （10.23）

2式中，

z2Eb1e2N0Zz2f3dBTb

A2Tb121平均能量Eb=ATb0

比特222注意，z是发送的脉冲持续时间与滤波器带宽之积。常叫做带宽时间（BT）积，且是个

非常有用的设计参数。将式（10.23）代入式（10.18），得到：

s201BERQ402z22E1ebQN0z （10.24） 从式（10.24）我们可以看出BER是BT积z的函数。给定比特率时，可以通过选择适当的z值（即，接收机带宽f3dB来优化BER性能。

图10.3（b）示出了作为BT积z函数的h(z)21ezz2的图形。h(z)的最大值为

0.8154，该值出现在z=1.256。这时对应的RC低通滤波器的3dB带宽

f3dB0.20.2RbHz。将h(z)的最大值代入BER的表达式，得： TbEbQ0.8154N （10.25）

0BERRC下一节我们比较这种较简单滤波器与最优设计滤波器的性能。 10.2 匹配滤波器

我们来考虑图10.1中线路滤波器H（f）的设计。对于二进制检测方案，H（f）取式（10.18）

平均差错概率的最小值。由于Q函数是自变量的单调递减函数，因此，为了求出最佳滤波器的传输函数Hopt(f),我们需要求解下面的优化问题：

Maxs01s02 （10.26）

H(f)20在s2(t)=0的特例中，前面的优化问题简化为：

2Maxs01Maxs01 （10.27）

H(f)2H(f)2a2a00括号内的量定义的是采样器输出端的信号与均方根噪声功率（SNR）之比。从式（10.4）

可得采样时刻t0时滤波器的输出信号为：

s01s1(t)h(t)tt0s1(f)H(f)ej2ftdftt0 （10.28）

s1(f)H(f)ej2ft0df利用式（10.8）与式（10.28），我们可以写出：

2s01a022s1(f)H(f)ej2f0dfN02 （10.29）

H(f)df2式（10.27）的优化问题求解的是式（10.29）RHS（?）表达式取最大值的H(f)。通过利用Cauchy-Schwarz不等式取分母的最大值可以做到这一点，即，

2X(f)Y(f)dfX(f)df2Y(f)df （10.30）

2其中X(f)和Y（f）可以是实变量f的复函数。而且，仅当满足下式时，式（10.30）的等号成立：

XfKYf （10.31）

式中K为任意常数。为了利用Cauchy-Schwarz不等式，我们选择：

XfHf （10.32）

而且，

Yfs1fej2ft0 （10.33）

将式（10.32）与式（10.33）代入式（10.30），得：

2j2ft0HfS1fedfHf2dfS1f2df （10.34）

用式（10.34）的右端替换式（10.29）的分母，得到不等式：

s01202HfdfN022S1(f)df22Hfdf2N02S1(f)df （10.35）

2当按照式（10.31）选择H（f）时得到了s01／σ0的最大值。将式（10.32）与式（10.33）代入式（10.31）时，得到最佳滤波器的响应为：

2Hopt(f)S1fej2ft0 （10.36）

对式（10.36）的两端取Fourier反变换，最佳滤波器的冲击响应可以表示为：

hoptts1tt0 （10.37）

最佳滤波器的冲击响应hopt(t)是输入信号s1(t)的时间反转，因此最佳滤波器叫做匹配滤波器。注意滤波器的响应函数式（10.37）与白噪声频谱密度电平N0／2无关。由于匹配滤波器解决方案取式（10.27）输出SNR的最大值，因此这一特性用于雷达系统的时延估计。D.Q.North发明的匹配滤波器源于第Ⅱ次世界大战期间雷达系统的开发。根据式（10.35）可得到匹配滤波器采样器输出端的SNR为：

SNRMFs0122222S(f)df1aNN000max2E1N0s12(t)dt （10.38）

式中E1是脉冲s1(t)的能量。式（10.38）是个非常值得关注的结果。该式表明，匹配滤波器输出SNR取决于信号能量但不取决于波形形状。当然，可以通过增大信号幅度或者持续时间来增大信号的能量。

若s2(t)≠0，则式（10.26）的优化可用Cauchy-Schwarz不等式进行类似的处理。这时，匹配滤波器传输函数为：

j2ft0 （10.39） HoptfSfSfe12

根据式（10.39），匹配滤波器的冲击响应可以表示为：

hoptts1t0ts2t0t （10.40）

匹配滤波器可用两个分别与s1(t)和s2(t)匹配的并行滤波器实现，如图10.4所示。采用时

刻t0时它们的输出之差与式（10.17）的门限相比。如何选择t0？我们注意到，若t0s01s1thoptttTbs1tdts1ts2tdt （10.41）

2s02s2thoptttTbs2tdts2ts1tdt （10.42）

2例10.2 求与图10.5（a）所示脉冲匹配的滤波器的冲击响应函数。 a. 显示输出脉冲。 b. 输出峰值是多少？

解：匹配滤波器的冲击响应由下式给出：

hoptts1Tbt

图10.5（b）示出了hopt 。 a. 匹配滤波器的输出由下式给出：

s01s1thoptts1hopttd

匹配滤波器的输出示于图10.5（c）中。

b.我们注意到匹配滤波器的输出的峰值出现在采样时刻t= Tb处，且等于信号s1(t)的能量。这是匹配滤波器非常重要的特性：采样时刻的输出值等于发送脉冲的能量。而与s1(t)的波形形状无关。

我们将匹配滤波器两个输出信号样值之间的距离d定义为：

d2s01s02 （10.43）

把式（10.41）与式（10.42）代入式（10.43），得到匹配滤波器检测器的表达

式如下：

22d2s1tdts1ts2tdt2s2tdts2ts1tdt

s1ts2tdt（10.44）

结合式（10.40）和式（10.44），可以得到

22d2hopttdtHoptfdf （10.45）

把式（10.45）代入式（10.8）可得到匹配滤波器的输出噪声功率为：

Na0022Hoptfdf2N02d （10.46） 2把式（10.44）与式（10.46）代入式（10.48）得到匹配检测滤波器的BER为：

BERMFd2Q2N0 （10.47） 10.2.1相关检测器

匹配滤波器也可以用另一种方案实现，如图10.6所示。则匹配滤波器的输出信号为：

r0trthopthopttd （10.48）

将hopttsTbt代入上式，得：

r0TbsTbtrd （10.49） 采样时刻t= Tb时。我们有：

r0Tbsrd （10.50）



由于s(t)为有限持续时间(0≤t≤Tb)的波形，因此匹配滤波器的输出为：

Tb0r0Tbsrd （10.51）

式（10.51）可用乘数积分器（multiplier integrator）结构实现，如图10.6（a）所示。由于图中求出的是接收信号与发送波形之间的相关性或相似性，所以这样的实现叫做相关检测器。而且，若发送波形为矩形脉冲，则检测器中不必乘以s(t)。所得的结构叫做积分转储检测器（integrate and detector）,如图10.6（b）所示。 10.2.2二进制信号传输的系统的性能

下面我们来比较采用匹配滤波器检测时，各种二进制信号传输系统的性能。 单极性NRZ或通断信号（传输）

在这种情况下，0≤t≤Tb时，s1(t)=A和s2(t)=0。将其代入式（10.44），得

Tb0d2s1ts2tdtA2dtA2Tb2Eb （10.52）

2式中，

A2Tb121平均能量=ATb0 Eb

比特222把式（10.52）代入式（10.47），得，

2EEBERMFQbQb （10.53）

2N0N0叫做SNR／比特的参数 Eb／N0出现在每个数字通信系统的BER表达式中。将式（10.53）与

式（10.25）比较，我们得出结论：与同样差错性能的匹配滤波器检测器相比，非最优RC低通滤波器检测器（filter detector）还需要10log100.8154=0.89dB的附加SNR／比特。极性或反极性NRZ信号传输。

在这种情况下，s1(t)=- s2(t)。所以0≤t≤Tb时，s1(t)- s2(t)=2A。将其代入式

（10.44），得：

Tb0d2s1ts2tdt4A2dt4A2Tb4Eb （10.54）

2式中，

Eb平均能量121ATbA2TbA2Tb

比特22=将式（10.54）代入式（10.47），得，

BERMF4EbQ2N02EbQN0 （10.55） 将式（10.55）与式（10.53）比较，我们可以看出：与单极性NRZ编码相比，实现

同样BER性能时，极性NRZ信号需要的SNR／比特少3dB。通过采用类似于例10.1中的步骤，我们可以证明，非最优RC低通滤波器检测器所能实现的BER性能如下：

Eb （10.56） BERRCQ1.63N0这表明：与采用二进制极性信号的匹配滤波器相比，SNR损失了0.89dB。 正交信号

在正交信号传输时，在比特间隔0≤t≤Tb内，将s1(t)与s2(t)选为正交信号。即，

Tb0s1ts2tdt0 （10.57）

正交信号有许多选择。例如，考虑信号集：

A,s1t0,A，s2t0，0t其他TbTb2tTb (10.58)

2其他把式（10.58）代入式（10.44），得，

2Tb0d2s1ts2tdtA2dtA2Tb2Eb （10.59）

式中，

2ATb1122Eb平均能量=ATbATb

比特442

把式（10.59）代入式（10.47），得

BERMF2EbQ2N0Eb （10.60） QN0比较式（10.60）与式（10.53），我们可以看出，实现同样BER性能时，正交基带信

号所需的SNR／比特比反极性方案多了3dB。正交信号的性能与单极性NRZ或通断波形的性能相同，单极性NRZ或通断波形也是正交的。

双极性NRZ信号

双极性NRZ信号时，表示二进制1的s1(t)在v(t)和-v(t)之间交替出现，s2(t)=0

表示二进制零。采用双极性信号时，匹配滤波器的冲击响应为：

hopttvTbt

幅度为A﹑持续时间为Tb矩形基本脉冲形状v(t)的能量表示为：

Tb0E1vtdtA2Tb2

由于双极性信号采用了三种脉冲，所以每比特的平均能量Eb为：

EbE111E10E11 （10.61） 4242那么通过代入（？）可得匹配滤波器输出噪声方差为

02N02Hoptf2Ndf02Tb0vtdt2N0E1 (10.62) 2差错概率由下式给出：

BERP发送vtP发送-vt差错发送vtP差错发送-vtPP发送s2t差错发送s2tP

（10.63） 将脉冲概率Ps2t11和PvtPvt代入式（10.63），得： 24

BER111P差错发送vtP差错发送-vt差错发送s2tP 442 （10.64）

图10.7（a)示出了r0 条件PDF。设置了-E1／2和E1／2两个门限。比较器的传输特性如图10.7（b)所示。根据图10.7（a),差错条件概率P差错发送-vt可以表示为：

P差错发送-vtPr0E1E112发送-vtr0E12E12fr0r0发送vtdr01x22edx2

2202e202dr0E120E1Q20 （10.65） 类似地，可以证明

E1P差错发送vtPr0而且，

E发送vtQ1 （10.66） 220rE1rE1发送stP差错发送stP002222E122

fr0r0发送s2tdr0E1fr0r0发送s2tdr01r0222E12E1220e2202dr0201x2edx23EQ1220 （10.68） 把式（10.61）与式（10.62）代入式（10.68），得，

3Eb （10.69） BERQ2N0图10.8示出了三种二进制信号传输方案的Eb／N0～BER性能。反极性信号完成的最

-6

好，比正交方案和双极性方案均优3dB。为了实现10的BER，反极性信号需要约10.5dB的Eb／N0

例10.3 假定二进制数据在功率谱密度为N0／2=10W／Hz的AWGN信道上传输。当数据速率

-6

为下述值时，求出达到BER=10所需的信号幅度：（a) 10kbps; (b) 100kbps; (c）1.55mbps。计算时采用双极性NRZ和曼彻斯特线路编码。上述每种情况下的信号带宽（基于频谱第一零点）是多少？

解： 双极性NRZ信号时，

-10

3Eb 采用MF接收机 BERQ2N0N021010N021010根据表6.1，BER=10-6时，我们得到x=4.7535。

4.753523.377Eb4.675109

A2Tb2所以

EbN0由于 Eb2

-4

a.R=10Kbps,所以Tb=10，

4.6751092A9.67mV A4102 b.R=100Kbps,所以Tb=10，

-5

4.6751092A30.58mV A1052 c.R=1.55Mbps,所以Tb6.4510，

74.6751092A120.38mV A6.451072

采用曼彻斯特编码（反极性）时，采用MF接收机的EbATb，且BERQ根据表6.1，BER=10时，我们得到x=4.7535。

-6

22EbN0。 所以

2Eb24.753522.5625Eb2.25625109 N0 那么

a.R=10Kbps,所以，Tb=10

-4

2.25625109 AA4.75mV

1042b. R=100Kbps,所以，Tb=10，

-5

2.25625109 AA59.14mV 76.45102下表概括了该结果

比特率 双极性NRZ 曼彻斯特 A(mV） BW(kHz) A(mV） BW(kHz) 10 9.67 10 4.75 20 100 30.58 100 15 200 1550 120.38 1550 59.14 3100 实

验10.1带相关检测器的反极性二进制系统

本实验中我们构建带有相关检测器的极性NRZ数字通信系统的模型。用10.9（a)示出了该系统的Simulink模型。模型参数由companion的MATLAB m文件建立。m文件还用于计算BER理论值和画出仿真图﹑理论值的BER性能图。

例3.2介绍的极性Bernoulli信源用于产生极性NRZ信号。经采用AWGN信道方框加入了AWGN，如图10.9（a)所示。相关检测器采用的是每个比特间隔都复位的离散时间积分器来实现。对符号率采样方框中的积分器输出在tkTb时采样。然后，符号框在这些样值与门限电平（此时为零伏）比较的基础上产生再生的输出脉冲。然后再生的极性信号与误码仪（error-ratemeter)方框中发送的极性信号比较。仿真BER值传送到MATLAB workspace得到BER性能曲线。图10.9（b)示出了该仿真产生的各种波形。图10.9（c)给出了BER性能理论值与仿真值的比较。

实验10.2 带匹配滤波检测的二进制反极性信号系统

本实验中我们用MF检测器构建二进制反极性数字通信系统的模型。仿真参数由companion MATLAB m文件建立。m文件也用于计算BER理论值和画出BER性能的仿真值和理论值的图。例3.2中介绍的极性Bernoulli信源也用于产生极性NRZ信号。通过滚降系数为0.5的根升余弦（RRC）滤波器实现发送买吃的整形。经采用图10.9（a)中所示的AWGN信道方框加入了AWGN.接收滤波器也是RRC类型，与发送滤波器匹配。在符号率采样框中，在tkTb时对MF的输出采样。（该句重译）。然后，符号框在这些样值与门限电平（此时为零伏）比较的基础上产生再生的输出脉冲。然后再生的极性符号在误码仪方框与发达信号比较。仿真的BER值传递到MATLAB workspace产生BER性能曲线。图10.10（b)示出了该仿真的各种波形。图10.10（c)提供了BER性能理论结果与仿真结果的比较。 10.3 矢量空间的概念

我们都很熟悉的二维和三维Euclidean空间的矢量。二维Euclidean空间的矢量表示平面内的一个点；它由有序实数对u1,u2定义。类似地，三维Euclidean空间的矢量或点由有序的实数三元组u1,u2,u3定义。这一概念可以推广到将n维矢量定义为n维数组

uu1,u2,,un。矢量的分量是复数域C（或其子集R）的单元（elements)。在第14章，

我们将在开发可靠通信编码技术的环境下，学习定义在二进制域F0,1的矢量空间。 矢量或线性空间V是具有如下特性的集或者集合：若u和v在V中，则对于任何标量

,C，线性组合uv也在v中。此即叠加性。所以矢量空间都包含零矢量0,这

是因为标量零乘以任何矢量都得到零矢量。可能最熟悉的矢量空间的例子是R的集合。R域的加和标量乘运算定义各组成分量。

本章我们主要关注的是矢量空间，它是定义在间隔t0,t0T的有限能量复数波形（函数）的集合。对于L2中的任意矢量u(t):

nnn元实数

Tutdt2

其中

T表示区间t0,t0T的积分。即，若u(t)和v（t)是两个能量有限的复数波形，则

对任意复数和，utvt的能量也有限。（即，在L2中）。利用不等式

uv2u2v，我们可以写出：

222Tutvtdt222Tutdt222Tvtdt （10.70）

2因此，能量有限的复数波形 的集合由具有复数加和标量的乘运算的矢量空间构成。类似地，有限能量实数波形的集合构成了具有实数加和标量乘的集合。在表示 中的矢量u(t)时我们交替的使用u。

矢量空间V的子空间S是V的子集，使得S中的矢量也满足叠加性。例如，子集但不是

22是

2的

的子空间。矢量u2,3是

22的单元，也是

2的单元。但标量积

2ju4j,6j不是实二元组，因此不在

10.3.1 有限维矢量空间 若每个矢量uu1,u2,中。

,unV是v1,v2,,vn的线性组合，则矢量v1,v2,,vnV的

集合is said to span V。即， uu1v1u2v2unvn （10.71）

,vn，则矢量空间V为有限维。若不是有限维，则

若存在span V的有限矢量集合v1,v2,叫做无限维。例如，考虑矢量空间即，e11,0,n。设ei1in是位置i为1其余位置为0的矢量，

,0,0，e20,1,0,,0，等等。矢量e1,e2,,en叫做

n的单位矢量。

注意，每个矢量uu1,u2,,un可以表示为单位矢量的线性组合。例，

uu1e1u2e2unen （10.72）

n 所以矢量e1,e2,,en的集合span矢量空间

。

若集合中没有一个矢量能够表示为集合中其余矢量的线性组合，则矢量v1,v2,合线性独立。即，对于线性独立的矢量v1,v2,,vn的集

,vn的集合，不可能找到非全零的标量

1,2,n,n满足下式：

vi1ii0 （10.73）

若集合满足span V和线性独立两项，则在V中矢量v1,v2,间的基不唯一。e1,e2,,vn的集合是V的基。矢量空

,en是

n的基但不是

n唯一的基。矢量空间V的维数是V的任意

基中矢量的数目。若已知有限维矢量空间V的任意基v1,v2,以表示为：

n,vn，则V中的任意矢量u可

uv （10.74）

iii1式中1,2,,n是独特的标量。根据给定的基，V中的每个矢量u可以表示为系数n元组

1,2,,n。

3 基的最简单例子是所以

3中由矢量e11,0,0，e20,1,0和e30,0,1组成的标准基。

的维数为3。

10.3.2 矢量空间的内积

尽管距离或符号的表示法明确出现在二维和三维Euclidean空间，但矢量空间本身并不包含距离或矢量的表示。内积是点积的推广。具有内积的矢量空间叫做内积空间。内积空间的例子包括： 1.矢量空间

n，其中的内积为点积。对于

n中的任意两个矢量u，v，点积定义为：

uvuivi （10.75）

i1n 2.定义在区间t0,t0T的有限能量复波形的矢量空间个矢量u(t),v(t），内积定义为：

2t0,t0T。对于 中的任意两

uvutvtdt (10.76)

T 矢量v的模或长度v定义为：

vvv （10.77）

,vn的模为：

在矢量空间

n中，矢量vv1,v2,v

vi1n2i （10.78）

在有限能量复波形空间

2t0,t0T中，矢量u(t)的模为：

uutdt （10.79）

T2内积空间V中，两个矢量u，v间的距离du,v定义为矢量之差的模。即，

du,vuv （10.80）

在矢量空间

n中，两个矢量u，v之间的距离为：

du,vuvuviii1n2 （10.81）

上述结论与Euclidean距离或笛卡尔坐标表示法的距离一致。

根据定义，有限能重复波形空间L2中，两个矢量u(t)和v(t)之间的距离du,v如下：

du,vutvtTutvtdt2 （10.82）

正交矢量和正交单位矢量

若两个矢量u和v满足uv0，则这两个矢量定义为正交。在内积空间，若满足下式，则矢量1,2,,n的集合为标准正交集：

jk1,0,jk (10.83) jk 换句话说，标准正交集是一组正交矢量，其中的每个矢量都归一化为具有单位长度。可以看出，若一组矢量 v1,v2,,vn正交，则下面的集合为标准正交：

jvjvj,j1,2,,n （10.84）

注意，若矢量正交，则矢量任意缩放（包括归一化）后仍正交。矢量u在另一矢量v上的投影是矢量u在v轴上的分量，且定义为：

u在v上的投影=uvv （10.85)

若两个矢量正交，则一个矢量在另一个矢量上的投影为零矢量。

我们用一个非常重要的研究结果来结束本节：对于无限维矢量空间的有限维子空间，例如 L2而言，总存在标准正交基。Gram-Schmidt正交化是实现有限矢量s1t,s2t,集合和构建标准正交基it,i1,2,,smt的

,N的有益的方法（其中NM)。该方法不仅在

实际求解正交基时有用，而且理论上也很重要，因为该方法证明了它们的存在。 10.3.3 Gram-Schmidt标准正交化过程

Gram-Schmidt构建了一组标准正交化矢量，这些一个或一个的标准正交矢量不必来自正交或归一化的矢量。

1.第1个基函数可以是si(t)中的任一个,i1,2,,M。若我们取s1t，则s1t除以

E1得到单位能量函数：

s1ts1t 1tst1E1 （10.86）

式中，

s1tTs1tdtE1 2 2.为了求出第2个基函数2t，我们从s2t中减去s2t在1t上的投影，产生如下函数：

2ts2t1ts2t1t （10.87） 其中，

 s2t1tsttdt

T21 由于我们去除了s2t在1t轴上的分量，所以2t与1t正交。第2个基函数为：

2t2t2t 2tE2式中

2tT2tdtE

2 3.第2步中的方法可扩展到k2时任何基函数kt的计算。为了计算kt，我们根据

skt产生函数kt如下：

k1i1 ktsktct,kii2kM (10.88)

式中，ckisktit （10.89） 我们可以看出kt与前面的每个基函数jt(j1,2,,k1)正交。即，

ttsttcttkjkjkiiji1k1

ckjckjjtjtckjckj0

第k个基函数可以表示为 ktktkt （10.90）

ktEk其中，

ktTktdtE k 若我们从一组不是线性独立的矢量开始，则该算法求解的是现有标准正交基（表示为

mt0）线性组合的任意矢量（比如smt），包括构成基的分量，和继续求下一基矢量。

【该句重译】

因此，G-S过程产生表示M个不同的能量有限信号s1t,s2t,准正交基函数。

例10.4 用Gram-Schmidt正交化方法求出图10.11所示信号集的正交基。 解：我们取s1t为第一个基函数，

,sMt的NM个标

E1=sT21tdt0stdt01dt2

2132s1t除以E1得到单位能量函数1t。即，

s1t,t 120,0t2其他 （10.91）

下面我们根据式（10.88）计算函数2t 2ts2tc211t 式中，

11121dt1dt0 c21ts2t1ts2t1tdt001223这就隐含着s2t和s1t正交。所以， 2ts2t 由于，

20 2E2s22tdt112

根据式（10.90），可得第2个标准正交函数为

2t2t2s2t2 （10.92）

为了得到下一代标准正交函数，根据式（10.89）计算出函数3t为： 3ts3tc311tc322t 式中，

1112 c31ts3t1ts3t1tdt1dt11dt0 002231112 c32ts3t2ts3t2tdt1dt11dt2 00223将c31和c32的值代入3t的表达式，得到，

3ts3t22t 或者，

3t0,1,0t2

2t3由于3t1，所以，3t3t。将其代入式（10.93），得，

3ts3t22t （10.94）

为了check for另一个标准正交函数，我们根据式（10.88)计算函数4t。即， 4ts4tc411tc422tc433t 式中，

121 c41ts4t1ts4t1dt 1dt01223121 c42ts4t2ts4t2dt 1dt0122313 c43ts4t3ts4t3dt1dt1 0223将c41﹑c42﹑c43的值代入4t的表达式，得

4ts4t111t2t3t0 22或者，

s4t111t2t3t （10.95） 22

10.4 信号和WGN的矢量空间表示

本节我们考虑的是有限维矢量空间中，作为矢量（“点”）的能量有限信号波形的表示。尽管该概念是由Kotenikov和Shannon各自地发明和应用，但将这一概念推广应归功于Wozencraft和Jacobs的text。这一几何观点构成现代数字通信系统分析和设计的基础之一。 10.4.1 波形矢量的空间表示

假定我们有定义在区间t0,t0T上的M个有限能量能构成了全部能量有限波形矢量空间L2的有限维子空间。经采用Gram-Schmidt正交化过程，我们可以求出正交基

t,i1,2,i（exactly)表示为： ,N,NM,使得M个波形中的每一个sit可以精确

sitst （10.96）

ijjj1N其中，

sijsitjtsttdt （10.97）

Tij因此在标准正交量it,i1,2,可以表示为N元件： sisi1,si2,,N spanned的子空间里，波形sit,i1,2,,M,siN,i1,2,,M （10.98）

我们把这种子空间叫信号空间。这种表示使得我们把信号视为N维信号空间的矢量或点而不是无穷维函数空间L2的波形。矢量空间的长度和距离的概念在开发最佳信号检测方法和性能分析中都很有用处。我们把波形的集合sit,i1,2,集。M个矢量的集合si,i1,2,,M叫做数字调制方案的信号

,M叫做信号星座。信号星座是信号空间中由基

,M的唯一表示。我们可以看出信

t,i1,2,i,N确定的信号集合sit,i1,2,号集的特定星座表示相对特定信号空间而言是唯一的。然而，在另一个基矢量集合定义的不同的信号空间中，同样的星座可能表示不同的信号集。

例10.5 用例10.4中开发的（developed)标准正交基求出图10.11中信号集合的矢量空间表示。

解：由于例10.4中信号空间的维数N是3，所以例10.11中的每个信号都可以用式（10.96）

表示为例10.4求出的三个基函数1t﹑2t和3t的线性组合。即， sitsi11tsi22tsi33t,i1,2,3,4 （10.99）

根据式（10.91）与式（10.99），我们可以得到对应信号s1t的信号矢量。 s1ts111ts122ts133t21ts1s11,s12,s132,0,0

 类似地，我们可以根据式（10.92）﹑（10.94）﹑（10.95）与（10.99）得到信号s2t﹑s3t﹑s4t的矢量空间表示如下：

s2ts211ts222ts233t22ts2s21,s22,s230,2,0 s3ts311ts322ts333t22t3ts2s31,s32,s330,2,1

s4ts411ts422ts433t111t2t3t22 s4s41,s42,s431,1,122图10.11中信号集合的矢量空间表示如图10.13所示。

特定发送符号产生决定了星座中第i个矢量si的概率Psi。任何实际通信系统中可获得（available)的功率限定了发送连续发送的每个符号所需能量的平均值。因此，信号星座的重要概念是其平均能量。信号星座的平均能量（也叫做平均能量/符号）Es定义为：

Essi1M2iPsi (10.100）

2假定符号等概率出现，则平均能量/符号由下式给出：

1 EsMsi1Mi （10.101）

平均能量/比特（Eb）与Es的关系为：

EbEs （10.102）

log2M信号星座的平均能量与平均功率的概念也密切相关，即， PsEs （10.103） T其中T是符号间隔。Es的最小化将信号星座点置于（place)靠近原点的地方，然而，存在噪声时调制方案的差错性能由星座点之间的距离决定，见第10.6节的介绍。 10.4.2 信号星座实例 二进制反极性信号 在这种条件下，

 s1ts2tAtT （10.104） b 如果我们选择基函数 1t1tT （10.105） Tbb则可以在一维空间用spanned的1t表示式（10.104）中的信号集：

s1tATb1tEb1t

s2tATb1tEb1t （10.106） 根据式（10.106）得到星座点为：

s1Eb  （10.107）

s2Eb二进制正交信号

考虑是式（10.58）描述的正交信号集：

A, s1t0,和，

0t其他Tb2

A, s2t0,TbtTb2 其他 由于函数s1t与s2t在时间上没有重叠（nonoverlapping),所以G－S正交化过程的简单应用表示我们需要两个基函数。若我们选择基函数为：

tTb2t41TbTb2  (10.108)

t3Tb242tTbTb2因此，可以在二维空间经spanned1t和2t将正交信号集表示为：

s1tA stA2Tb1tEb1t2Tb2tEb2t2 （10.109）

根据式（10.109），星座点为：

s1Eb,0  （10.110）

s20,Eb图10.14（b)示出了正交信号的星座。 M进制PAM信号集为： smtamAtT,m1,2,,M (10.111)

式中am1,3,,M1。若我们选择基函数为：

1t1tT (10.112) T 则可以在一维空间里往spanned 1t将式（10.111）的信号集表示为：

smtamAT1t,m1,2,根据式（10.113），得出星座点为： smtamAT,m1,2,,M (10.113)

,M （10.114）

图10.14（c)示出了M进制PAM信号集的信号星座。 方形星座

图10.14（d)示出了广泛出现在数字传输系统中的信号星座。它可以视为将两个反极性信号集组合得到的；反极性信号集则由两个正交奇函数构成。图10.14（e)是通过将图10.14（d)对角上移2Eb的转换得到的（？）。经应用式（10.101），图10.14（e)中星座的平均能量为：

14 Essi4i12

根据图10.14（e)，我们可以得出： s12Eb22Eb28Eb

s202Eb224Eb

s30

s422Eb+04Eb

所以，

Es18Eb4Eb04Eb4Eb 4 该值为图10.14（d)中星座平均能量/符号的两倍。因此，在信号空间，能量有效的星座集中在原点附近。

例10.6 考虑图10.15(b)中的两个基函数。画出对应图10.15（b)和（c)中所示星座点的波形概图。

解：图10.15（b)中信号集的维数N是1.若我们选择1t作为基函数，则所对应的星座点的波形可以表示为：

s1ts111tA1t s2ts211tA1t

图10.15（c)中信号集的维数N为2.则所对应的星座点的波形可以表示为： s1ts111ts122tA1tA2t s2ts211ts222tA1tA2t s3ts311ts322tA1tA2t s4ts411ts422tA1tA2t 图10.16（b)示出了信号s1t﹑s2t﹑s3t和s4t。 10.4.3 WGN的矢量空间表示

我们在第10.4.2节证明（demonstrate)了M个能量有限波形的集合sit,i1,2,可以表示为N维矢量空间里spanned正交基it,i1,2,,M,M的矢量。表示随机过程需

要无限维的标准正交基。考虑将功率谱密度N0／2 (瓦/赫兹）的高斯白噪声n(t)表示为和式：

N ntntnt (10.115)

iii1

式中njntjt是n(t)在jt轴上的投影。由下式定义的n´(t)的分量：

 ntntnt （10.116）

iii1N式（10.116）的n´(t)的分量表示在高斯白噪声与其在spannedit,i1,2,,N矢量

空间的n维表示之间的差值。可以证明：n´(t)与关于发送的是哪个信号的判决无关（？）。下面我们高斯随机变量nj的均值由下式给出：

EnjEntjtEntjtdtT （10.117）

Entjtdt0T 由于对于所有j,Ent0，所以高斯随机变量nj的方差可以表示为：

EninjEntitdtnujuduTT

TEntnutudtTijTTN0tuitjudtdu2 （10.118）

N0iujudu2TN0ij2所以，随机变量nj 不相关，且每个随机变量有均方值N0／2。由于n(t)是高斯过程，因此这就暗示着nj是联合高斯过程且统计独立。总之，我们可以将高斯白噪声n(t)表示为spannedit,i1,2,,N的信号空间中高斯随机变量nn1,n2,,nN，其中，分量

nj是均值零﹑方差N0／2的高斯随机变量。在以原点为中心的信号空间中，随机变量

nn1,n2,,nN看起来像个球面云。云中的每个点表示随机过程样本函数集合中的一个

实现。在云中用阴影强度表示的点的密度与给定区域观测n的概率成正比。图（10.17）示出了高斯噪声和信号，以及三维空间的噪声矢量。 10.5 AWGN系统中的M进制信号检测

现在我们考虑M进制通信系统中调制器在每个符号周期T发送M个波形

st,i1,2,i（该句重译）存在AWGN n(t)时接收端收到的发送波形sit为,M之一。

r(t):

rtsitnt,0tT (10.119)

最佳检测方案中我们关注的是，通过在区间0≤t≤T观测到随机信号r(t)的样本函数，根据集合sit,i1,2,,M来确定发送的是哪一个信号sit。在第10.4节，我们

showed了存在AWGN时，集合s1t,s2t,,sMt中的信号可以表示为N维信号空间中

的矢量，其中NM。因此，我们可以把确定在区间0≤t≤T哪个信号sit（或相当于星座点si）发送的问题转换为下面的矢量检测问题：

rsin （10.120）

式中r﹑si和n是对应信号空间维数的N维矢量。基于所测的观接收矢量r的特定实现r，我们期望设计如下的最佳检测器：从某种意义上说，使得符号差错概率最小化，或相当于，取正确判决概率的最大值。给定接收信号矢量r的观测值r时，检测器正确判决ssi的条件概率为：

P正确判决rrP发送sirr （10.121）

 P发送sirr是在rr的条件时发送信号为si的条件概率。所以，叫做si的后验概率。从式（10.121）我们可以看出取正确判决概率的最大值就是从集合si,i1,2,,M中

选择使得后验概率P发送sirr最大的s。因此，最小化符号差错概率的检测器就是最大后验概率（MAP）检测器。 10.5.1 最大后验概率检测器

^

MAP检测器定义为满足如F条件的检测器：观测到接收信号矢量rr和选择取后验概率

P发送sirr最大值的信号矢量。若满足下式则检测器判决发送信号为sk：

PskrrPsirr全部ik (10.122)

若对于jk 的某值时，式（10.122）中的等号成立，则可以判决为sk或者sj而并不改变差错概率。该判决准则叫做最大后验概率（MAP）准则。利用贝叶斯准则（式（6.146）），后验概率可以表示为：

PsirrfrrssiPsifrr （10.123）

式中，frrssi发送si时接收矢量为r的条件PDF； Psi发送si的后验概率。

 由于式（10.123）的分母与si无关，则求Psirr最大值时可忽略。所以我们可以将检测规则陈述如下：

ˆsk： 若满足下式则判决发送信号为s frrsskPskfrrssiPsi所有ik （10.124）

若对于jk的某值时，式（10.124）中的等号成立，则可以交替地判决为sk或者sj而并不改变差错概率。 10.5.2 最大似然检测器

若所有M个发送信号si等概，即，若

Psi1， M 则MAP检测规则变为最大似然检测规则：

MaxPsirrMaxfrrssi (10.125)

ii 条件PDFfrrssi或任意单调函数常叫做似然函数。最大似然检测规则可表述如下：

ˆsk： 若满足下式则判决发送信号s

frrsskfrrssi全部ik （10.126）

式（10.126）叫做最大似然（ML）准则。再者，jk的某值时若式（10.126）的等号成立，则可以判决为sk或者sj而并未改变差错概率。

回顾第10.4.3节中，n的分量是均值零，方差N0／2的独立且同分布的高斯随机变量。根据式（6.173），n的联合PDF可以写为：

fnnfnjnjj1N1NN0e2N0j1Nnj2 （10.127）

由于rsin，因此我们可以写出下面的条件PDFfrrssi的表述式：

frrssifnrsi

1NN0e2j1NrjsijN02 （10.128）

由于exp是其自变量的单调函数，所以取frrssk等价于取对数似然函数的最小值，且定义为：

 RsilogeN0N21frrssiN0rj1Njsij （10.129）

2 式（10.129）中的累加和与Euclidean距离的关系为：

dr,sirsirj1Njsij （10.130）

2 式中的Euclidean距离指的是距离指的是r与si之间的距离。因此，最大似然检测器在所有的信号星座点上通过求解取得rsi最小值的sk作出最佳判决。即，最大似然检测器选择的是：与接收矢量r的Euclidean距离最近的信号星座点sk。按照Euclidean距离最大似然检测规则式（10.126）可陈述如下：

2ˆsk 若满足下述条件，则判决发送的信号为s22 rskrsi所有ik （10.131）

类似地，我们可以根据Euclidean长度将最大后验概率检测规则叙述如下：若满足下式则

ˆsk： 判决发送信号为s2 rskN0logePskrsk2N0logePsi所有ik （10.132）

10.5.3 最大后验概率和最大似然检测器的实现

最大似然检测器仅仅通过计算。接收矢量r与信号集合si,i1,2,,M的所有信号之

间的距离作出判决，且如果ik使得下式取最小值则推断发送的是sk：

rsir22rsisi2r2rsiEi （10.133）

2 式中EiTsitdt是第i个信号sit的能量。式（10.133）右边的第一项在最小化

2期间为常数，因而可以略去由于取式（10.133）的最小值等价于取2rsiEi的最大值，所以最大似然检测器的优化问题可以表示为：

MaxrsiiEi （10.134） 2

经将接收信号rt,0tT通过一排与正交基函数it,i1,2,,N匹配的相关

器计算出观测矢量r。然后检测器计算信号集中每个矢量si的内积rsiEi，而且如果2ik时内积取得最大值，则检测器判决发送的是sk。图10.18示出了用相关器实现最大似

然检测器。如果所有信号的能量相同，则式（10.134）中的Ei项（over i)为常数，因而可以略去。

或者（alternatively),最大似然检测器可以用一排（N个）匹配滤波器实现，如图10.19所示。正如第10.2节的介绍，如果我们选择冲击响应为hjtjTt的第j个滤波器，则在采样时刻t=T匹配滤波器的输出rj与相关器实现时得到的输出相同。即，

rjrthjt

tT=ruhjtuduTtTrujtT+uduTtTrujuduT （10.135）

10.5.4 判决区（decision regions)

可以把MAP或者ML检测当作将信号空间分为M个不重叠或不相交的区域D1，D2，,DM。在采用最大似然检测时，用检测器规则式（10.131）分配判决区如下： Dir:rsirsj全部ji （10.136）

即，如果接受矢量r落入区域Di，则信号空间中它与信号si最近。那么，式（10.136）的判决规则可以表述为：

若r在Di内发送的是si （10.137） 下面的几个方式可用于将信号空间分为最大似然判决区。 ·用线连接相邻所有的信号点对 ·画出每条线的垂直平分线

判决区的分界线由连接信号点的二等分组构成。图10.20示出了用这种方法构造的两个信号星座的判决区。从图10.20（a)我们可以看出，信号s2和s3离s1最近，所以它们更容

易错成s1。所以最短的噪声矢量n将会使s1n进入判决区D2或D3。星座中相隔最近的信号对之间的距离叫做星座的最小距离。在图10.20（a)所示的例子中，我们得到： dmins1s2或者s1s3或者s3s4 （10.138）

10.6 最大似然检测器的差错性能

最大似然检测器性能的基本度量是其差错概率。对于具有复信号星座的M进制通信系统来说，很难导出符号差错概率的解析表达式。在这种情况下，我们求解差错概率的上限并用仿真来验证。我们以两个信号星座的最大似然检测器性来作为我们分析的开始。 10.6.1 两星座信号的差错检测概率

考虑图10.21所示的具有两个可能信号si和sk的信号星座图。假定我们选择的信号基使得第一个标准正交函数1t与连接si与sk的矢量一致，那么信号空间的维数是1。正如第10.4.3的介绍，在确定最大似然检测器的性能时，我们仅需要考虑WGN在1t上的投影n1。

n1是均值零﹑方差

N02的高斯随机变量。若发送si，在接收信号rsin1超出线段

sksi的垂直平分线的条件则该事件发生。所以，两星座信号的概率可以表示为：

P2判决为sk发送siPr位于线段DkPn1ddfn1n1dn1221N0de2n12N0dn1

dsksi2QQ2NN002 （10.139）

例10.7 在图10.13所示的二进制信号集合中，求最大似然检测器的BER。a.反极性信号；b.正交信号

解：假定二进制信号等概发送，则根据式（10.11）可以写出BER的表达式如下： BER11P判决为s2发送s1P判决为s1发送s2 (10.140) 22a.反极性信号

参考图10.14（a)中反极性信号的星座，我们可以得到： d2Eb （10.141）

将式（10.141）代入式（10.139），然后根据式（10.140）可得BER为：

BERP判决为s2发送s1P判决为s1发送s2Q2EbN0 （10.142）  上式即反极性信号的最佳似然检测器性能。由于式（10.142）与式（10.55）MF检测器的性能相同，因此我们可以看出，从最大似然的角度来说，MF不仅取输出SNR的最大值，而且是最优性能。 B.正交信号

参考图10.14（b)中的正交信号的星座，我们可以得到： d2Eb （10.143）

将式（10.143）代入式（10.139），并且根据式（10.144），可得如下的BER：

Eb BERPeQ （10.144）

N0 我们注意到，对于正交信号，最大似然检测器的性能等于MF检测器的性能。另外，从最

大似然角度来说，MF也是最优的。 10.6.2 M进制信号的差错概率

对于M进制的通信系统，最大似然检查规则将信号空间分为M个判决区D1,D2,假定发送的是si，则正确判决的概率为：

,DM。

P正确判决发送sir位于Di内发送si （10.145）

 作出上面判决的理由是若接收矢量r位于Di内，则最大似然判决器判决为si。另一方面，如果接收矢量r为于Di之外的任何一个其他判决区Dk，i≠k，则发出差错事件。所以，符号差错概率可以表示为：

P差错发送siPr不在Di内发送siPr在D内发送si kki （10.146） 由于判决区没有重叠或者互相排斥，则，

Pr在D内发送siPr在Dk内发送si （10.147） kkiki 将式（10.147）代入式（10.146），得：

那么

P差错发送siPr在Dk中发送si （10.148）

ki Pr在Dk中发送siDkfrr发送sidrDkfnrsidr （10.149）

式中fnn是由式（10.127）给出的n维联合高斯PDF。从式（10.149）可以明显看出，为了计算式（10.148）的和的每一项，必须在不同的区域DkR对fnn积分。对于实

N际应用中实现的许多信号星座而言，判决区Dk常常具有复杂的几何，从图10.20（b)可以明显看出。在这种情况很难求解式（10.149）的积分。这使得我们在分析任意信号星座时，

提供符号差错概率严格估计的联合限。为了做到这一点，我们用二星座信号差错概率

P2判决sk发送si替换PrDk发送si。假定我们在图10.22方形星座的情况下考虑

这一步骤的效果。根据图10.22（a）可得符号差错的条件概率P差错发送si：



P差错发送si=Pr不在D1中发送s1=Pr在D2D3D4中发送s1=Pr在D2中发送s1Pr在D1中发送s1+Pr在D4中发送s1

（10.150） 如果我们用P2判决s2发送s1替代Pr2在D2内发送s1，则计算包含了半个R2平面的积分而不是quadrantD2平面的积分，如图10.22（b)所示。所以，



P2判决s2发送s1Pr2在D2内发送s1。类似地，从图10.22（c)和（d)可明显看出，

式（10.150）的最后两项是上界概率。注意R2﹑R3和R4是重叠的，所以我们可以将这些二信号星座的差错概率加到式（10.150）中以产生如下的联合限： P差错发送siP判决s2k2,3,4k发送s1 （10.151）

Eb 因为n关于si的二维联合高斯PDF快速衰落，尤其是在

N0值很大时，和只有离s1最

近的circular区域对积分有用，因此，式（10.151）提供的是紧界。

现在我们回到式（10.148）。经采用相应两星座信号差错概率取代累加和中的每一项，

P差错发送si也有上界，即，

sksi P差错发送siP2判决为sk发送siQ2Nkikj0 M进制信号集合的符号差错平均概率为：

 (10.152)  PePsP差错发送s （10.153）

iii1M信号集中的信号等概发送时，我们有：

1 PeMP差错发送s （10.154）

ii1M将式（10.152）代入式（10.154）得到符号差错平均概率的联合限为：

1PeM

sksiQ2Ni1ki0M （10.155） 仔细分析式（10.155）表明，当距离自变量sksi增大时，该式含有M(M-1)项快速衰落的指数项。具有最小距离dmin的项将在和式中起作用。通常在星座中有几个最小距离信号对，且和加倍时对应的对数加倍（该句重译）。因此，根据式（10.155）我们可以写出符号差错平均概率的如下近似表达式：

2KdminQ PeM2N0 （10.156） 

式中K为存在最小距离dmin的不同信号对的数目。式（10.156）叫做Pe的最近邻近似（nearest neighbor approximation),反映的是确定符号差错概率时，邻近信号点的优势。【该句重译】 例10.8 考虑图10.23中QPSK（方形）星座图。计算符号差错率并将它与最近邻限比较。 解：每个星座点si的判决区Di是包含si的所在象限，如图10.23所示。由于对称性，每个星座点的条件差错概率P差错si都一样，因此我们将考虑P差错s1。正确判决的差错概率要求沿两个坐标轴的噪声分量都落入D1内。即，（该句重译）

P正确判决发送s1Pn1dmin和n2dmin22Pn1dminPn2dmin22dmindmin1Q1Q2N2N00

dmin2dmin12QQ2N2N00（10.157）

因此我们可以写出条件差错概率为：

P差错发送si1P正确发送s1发送

dmin 2dmin=2QQ2N2N00将式（10.158）代入式（10.154）得到符号差错的平均概率为：

dmindminQ2 Pe2Q (10.159) 2N2N00 在认可的差错率范围内（即，Pe≤10）,式（10.159）右边第2项可忽略，因此，

-3

Pe2Qdmin （10.160）

2N0 我们将式（10.160）与所得到的最近邻限式（10.156）比较，星座的最小距离对数等于4。

将K=4代入式（10.156），我们得到：

Pe2Eb24dminQ=2Q2N40N0 (10.161)  注意式（10.161）的最近邻限等于QPSK信号确切的符号差错概率。

例10.9 二进制数字通信系统采用反极性信号。对应二进制“1”的信号s1(t)示于图10.24（a）中。信道引入了功率谱密度为N0／2 W／Hz的AWGN。

a. 画出与s1(t)匹配的滤波器的冲击响应概图。画出输入s1(t)时的输出概图。 b. 画出信号星座。信号集（signal set）的dmin是多少？ c. 根据A和N0写出BER的表达式。

解：a.通过采用如下的基函数在一维信号空间可将二进制反极性信号s1(t)和s2(t)表示为，（此句重译）。

1t3s1t

2TbAb.根据图10.19可得与s1(t)匹配的滤波器的冲击响应为：

ht1Tbt3s1Tbt 2TbA 图10.24（b）与（c）分别示出了匹配滤波器的冲击响应和对应输入s1(t)的输出。利用基函数1t，可将s1(t)和s2(t)分别表示为：

s1tA

3Tb1t33Tb1t3

s2tA 图10.24（d）反极性信号集（signal set）的星座，星座的最小距离dmin由下式给出：

dmin2A2Tb 3c.根据式（10.47），通过将dmin值代入可得比特差错的平均概率为：

d24A2Tminb BERQQ2N03N0 10.6.3 比特差错率与符号差错率之间的关系

在M进制传输方案中，我们采用符号差错平均概率作为品质因素。数字传输的各种方案比较时，比较这些传输方案的比特差错率性能更有意义。比特差错率与符号差错率之间的关系取决于（1）信号空间的结构；（2）信号空间点列二进制序列之间的转换。 在许多实际的M进制通信系统中，M个星座点与k比特序列（M=2）之间的转换用Gray编码实现，使得星座图中一个信号点与相邻信号点间只有1比特改变。图10.25示出了QPSK、8PSK和8PAM调制方案的信号星座，它们的信号点分别用2比特、3比特Gray码表示。由于错成相邻信号点的概率是最可能的符号差错事件，所以，最常见的符号差错发生时，选择Gray编码确保发生的是单比特差错。因此，最常判决的差错发生时数据比特的Gray码映射使得比特差错数最小。由于每个传输符号表示log2M比特，所以我们得到如下的比特差错率与符号差错率之间的关系：

k

Pe判决的符号差错差错比特数=log2MBER (10.162) 传输比特总数传输符号总数log2M或者，我们将式（10.162）写为：

BERPe (10.163)

log2M10.7 M进制PAM信号的差错性能

根据式（10.133）得到M进制PAM信号集（signal set）为： smtamT1t,m1,2,,M (10.164)

式中am∈{±1,±3,…,±(M-1)}。用下式表示式（10.164）的signal set很方便： smtEsC0am1t,m1,2,,M (10.165)

式中引入了归一化常数C0使得signal set的平均能量等于Es。M进制PAM星座的平均能量为：

M222i1C0EsM1 (10.166) 23i1M221 EsM因而得到：

si12i8CE0SM

C03M21 (10.167)

按照能量和星座的大小可将M进制PAM的最小距离表示如下：

dmin2C0Es12Es (10.168) 2M1M进制PAM符号正确检测的概率为：

PcPsiP正确判决发送sii1M1MP正确判决发送sii1M 符号等概发送 （10.169）

正确判决的条件概率属于以下两类之一时，可精确计算M进制PAM的符号差错概率：【该

句重译】

•只有一个最邻近的两个端点（图10.25（c）中的点A与B）

P正确判决发送si端点APn1dmindmin1Q 22N0 （10.170）

P正确判决发送si端点BPn1dmindmin1Q 22N0 (10.171) •(M-2)个内部点每个都有两个最邻近（例如，图10.25（c）中的C点）

P正确判决发送siP-dminn1dmin22内部点dmin12Q2N0 （10.172）

将式（10.170）～（10.172）代入式（10.169），我们得到：

dmin2M2Pc12Q+M2N0MM-1dmin=1-2Q2NM0dmin1Q2N0 (10.173)

因此，M进制PAM的符号差错概率为：

Pe1Pc2M1dmin （10.174） QM2N0注意这是M进制PAM的符号差错概率的精确概率。我们将式（10.174）与所得到的式（10.156）

的最近邻限进行比较。星座最小距离对数为M-1。将K=M-1代入式（10.156）得：

M1dminPe2 （10.175） QM2N0比较式（10.175）与式（10.174），我们得出结论：最近邻限是M进制PAM的精确值。将式（10.168）代入式（10.174）或（10.174），我们得到：

2M12M112ES6ES (10.176) PeQQ2N0M21N0M21MM根据式（10.176），采用式（10.102）与式（10.163）可得到M进制PAM信号的BER

为：

BERMPAM2M16log2MEbQ2Mlog2MM1N0 （10.177） 图10.26示出了M进制PAM系统的比特差错率性能。M=2的情形对应的是二进制反极性信号的BER。M增大时，每个传输符号传输log2M比特的信息。然而实现时存在SNR／比特为

10log10M213log2MdB。若BER性能相同，幅度电平（M）每加倍时，需要约4dB的附加SNR

／比特。即，Eb／N0每增大4dB时，为我们换来了每符号1比特的频外的信息。因此，如果我们增大按因子4增大幅度电平数，则比特率可增大到原值的3倍，而要求同样的差错率性

0.8

能时，Eb／N0增大8dB。为了将Eb／N0增大8dB，调制器功率必须按因子10=6.3倍增大。在低SNR环境下，这种折衷并非总是可行的。通信系统设计中的这一重要问题将在第11章和第3章进一步展开。

实验10.3 4PAM信号传输系统的噪声性能

本实验中，我们构建4PAM数字通信系统的模型。图10.27（a）示出了该系统的Simulink模型。仿真参数由companion MATLAB m文件建立。该m文件还计算BER性能的理论值，和

画出仿真BER性能与理论值BER性能图。

例3.2中介绍的M-PAM信源用于产生四进制极性NRZ信号。经采用图10.9（a）所示的信道方框加入AWGN。相关检测器用离散时间积分器实现，它在每个符号的起始时复位。t=KT时用“符号率采样”方框对积分器的输出采样。这些样值在“4电平门限比较器”中进行比较，然后按lookup表产生输出脉冲。接着再生的四进制极性信号与误码仪方框的发送信号作比较。仿真的BER传送到MATLAB workspace,产生BER性能曲线。图10.27（b）示出了该仿真产生的各种波形。图10.27（c）给出了理论计算与仿真的BER性能比较。 结束语

本章我们介绍了由高斯白噪声损伤的（corrupted）数字信号检测。在这种背景下，我们发现，在有限维空间将信号和噪声表示为矢量很有用处。取平均符号概率最小值的最佳检测器结构选择的是在信号空间最接近已加入噪声的接收矢量。这样的检测器可用一排相关器或匹配滤波器实现。这些检测器的符号差错概率取决于存在噪声时错成发送信号矢量中相邻信号点的概率。在SNR很高的环境中，为了得到数字通信系统严格而有用的差错率性只估值，只需作些简单的计算。 通过适当选择基集，许多不同的signalset产生相同的星座。比特差错率和符号差错率的计算仅取决于星座的配置，而与基函数集的选择无关。分析数字通信系统性能时这种去耦相当有用。 深度读物

存在噪声时数字信号的检测包含在本科生的许多通信系统教材中【1-5】。Wozencra和jacobs[6]是关于数字信号矢量和噪声矢量几何表示的极好的文献。Eiemer[7]、Anderson[8]和proakis[9]提供了本章内容更先进和更全面分析。 【电子版拷贝】 习题

-9

10.1二进制信号在功率谱密度N0／2=10W／Hz的AWGN信道上传输。当数据率为下述值时，

-6

求出实现BER=10所需的信号幅度：（a）1Mbps,(b)10Mbps;(c)100Mbps。计算单极性NRZ和RZ线路编码时对应的幅度值。每种情况下的第一零点带宽是多少？ 10.2 考虑采用如下正弦脉冲到二进制信号传输系统。

ts1tAsin,0tTb Tbs2t0 相关接收机用在功率谱密度

N022.81011WHz到AWGN信道的输出端，对发送符号

进行检测。

a. 假定二进制数据等概出现，求比特差错平均概率的表达式。 b. 计算A=50mV和比特率1Mbps时的BER。

c. 若比特率加倍，为实现同样的BER性能，接受脉冲幅度必须增大多少？

10.3 二进制信号传输系统采用s1(t)和s2(t)(0≤t≤Tb)传输出现概率分别为p和1-p的二进制数据。匹配滤波接收机用于功率谱密度N0／2 W／Hz的AWGN信道的输出端，对发送符号进行检测。

a.证明最佳门限值为：

VoptN0pssloge0102 21p2

式中s01和s02分别由式（10.41）与式（10.42）给出。 b.二进制信号等概出现时最佳门限值是多少？ c.证明系统的平均差错概率为：

s01s02N0N0pps01s02loglogee221p21p21pQBERPQN0s01s02N0s01s0222 10.4 习题10.3中的二进制信号传输系统采用反极性脉冲s1tAtTs2t。 b （a）证明最佳门限值为： VoptN0ploge 21p （b）先验比特概率为下述值时，计算最佳门限值Vopt：

(i) p=0.5, 1-p=0.5 (ii) p=0.3, 1-p=0.5 (iii)p=0.8, 1-p=0.2

（c）证明系统的平均差错概率为：

N0ppN02Eloglog2Ebeeb221p1p BERPQ1pQ

2N0Eb2N0Eb 式中Eb为平均能量／比特。

10.5 习题10.3中的二进制信号传输系统采用单极性脉冲s1tAt a.证明最佳门限值Vopt为： VoptEb和st0。

2TbN0ploge 21p 式中Eb为平均能量／比特。

b.先验比特概率为下述值时，计算最佳门限值。

(i) p=0.5, 1-p=0.5 (ii) p=0.3, 1-p=0.5 (iii)p=0.8, 1-p=0.2

d. 求出检测器输出端的平均差错概率的表达式。

10.6 考虑采用反极性信号传输的二进制通信系统，对应二进制“1”的接收信号为： rts1tnt

其中s1(t)如图P10.1所示，n(t)是功率谱密度为N0／2 W／Hz的AWGN。

a. 画出与s1(t)匹配的滤波器的冲击响应概图。

a. 画出（a）中对应输入为s1(t)的滤波器输出概图。 b. 画出信号星座图。 Signal set的dmin是多少？ c. 根据A和N0写出BER的表达式。

10.7 二进制数字通信系统采用图10.2中的正交脉冲。信道噪声是功率谱密度为N0／2 W／Hz的高斯白噪声。

a．画出最大似然检测器的方框图。画出匹配滤波器冲击响应函数的概图。

b．当输入为s1(t)时，画出与s1(t)匹配的滤波器的输出。当输入为s2(t)时重复上面的处理。 c.当输入为s2(t)时，画出与s2(t)匹配的滤波器的输出。当输入为s1(t)时，重复上面的处理。从（b）和（c）得出什么结论？

d.画出信号星座。signal set的dmin是多少？ e.根据A和N0写出BER的表达式。 10.8 考虑图P10.3的signal set a．用Gram-Schmidt正交化方程求出signal set 的一个标准正交基。 b．画出对应signal set的信号星座图 10.9 考虑信号集

sit其中，

2EScos2fcti,0tT,i1,2,T,8,

5373i0,,,,,,,

424424a. 信号空间的维数是多少？ b. 求出信号集的基矢量。 c. 画出信号集的星座图。

10.10 考虑示于图10.4(a)中的两个基函数。

画出对应图10.4（b）与（c）中所示星座点的波形概图。 10.11利用图P10.5（a）中基函数，画出对应星座点的波形。 10.12考虑图P10.5（b）所示的信号星座。

a.导出星座图中平均符号差错概率的精确表达式。 b.用最近邻限计算平均符号差错概率。并分析结果。 10.13 考虑图P10.6的信号集

a.求出每个信号星座的平均能量。 b．画出每种情况的判决区概图。

c．用最近邻限写出每个星座的平均符号差错概率。

d.从该例中，根据星座旋转和转换对信号集差错性能的影响上，你得到什么结论。 10.14 考虑具有图P10.7所示星座图的8PAM信号。 a.画出相关检测器的方框图。 b．画出门限比较器的传输特性。

c.当相关器输出样值为{+0.12,-0.201,+0.71,-1.55,-0.6,1.25}时，求出符号估值序列和相应的比特序列。

10.15 考虑图P10.8所示的8点信号星座。

a.若所需比特率为45Mbps，求符号率。 b.计算信号集的平均能量。 c.信号集的dmin是多少？

d.用最近邻限估计比特差错概率。你能通过包含附加项改进估值吗？ 10.16 考虑图P10.9所示的8点信号星座。

a.用Gray编码为星座图中的每个点分配比特。 b.计算信号集的平均能量。

c.画出信号集的最大似然判决区概图。 d.用最近邻限估计比特差错概率。 MATLAB习题

10.17 考虑AWGN信道上二进制单极性NRZ脉冲的传输 a.产生长为Nbit=10的二进制随机序列b[n]

b．产生对应上面随机比特序列的单极性NRZ脉冲序列x[n]。用nsamp=16样值／脉冲。显示出x[n]。

c.用均值零方差的一串高斯随机变量仿真AWGN。值为SNR／比特的EbN0以dB为单位，单边带功率谱密度N0为：

2

N0Eb10EbN010

若单极性信号的Tb=1，Eb=1／2。根据式（6.344）可得到仿真单边带功率谱密度N0的AWGN的高斯随机信号方差为： 10N0fs10fs = 242EbN0 其中Tb=1时，fs=样值数目／比特（nsamp）。检测器输入端的序列r[n]为 rnxnsigmarandn(1,Nbitsnsamp)

nsamp10^0.1EbN0其中sigmasqrt4EbN0=13dB时显示出接收信号序列r[n]。

 d. 序列r[n]用积分与清除滤波器处理。显示输出波形y[n]。

【电子版代码】

e. 用门限比较器对序列y[n]采样和检测：

【电子版代码】

f. 再生单极性NRZ序列xhat【n】且显示出来。

【电子版代码】

10.18 我们在Eb／N0值为3～13dB的AWGN信道上仿真单极性NRZ信号的BER性能。 a.产生长Nbits=20,000的随机比特和单极性脉冲序列。

b.在Eb／N0值给定时，象习题10.17（c）介绍的那样将AWGN加到发送序列x[n]后，产生接收序列r[n]。

c.序列r[n]经积分与清除滤波器处理。然后用门限比较器采样和检测。 用下面的程序代码段计算仿真的BER：

【电子版代码段】

d. 用式（10.53）计算BER性能的理论值，并在指定Eb／N0值时在同一个图中与BER性

能的仿真值比较。

10.19 采用二进制极性信号时重复习题10.17. 10.20 采用二进制极性信号时重复习题10.18. 10.21 在AWGN信道上考虑4PAM脉冲的传输。 a.产生长为Nsymbols=10的随机符号序列： 【电子版代码段】

b.产生对应上面随机符号序列的极性4PAM序列x[n]。采用nsamp=16样值／脉冲。显示出x[n]。

2

c．用均值零与方差σ的高斯随机变量序列仿真AWGN。若给定的EsN0 值为Es／N0,单位dB，单位功率谱密度N0为

N0Es10EsN010

4PAM信号集{-3，-1,1,3}和T=1，Es=5。根据式（6.344）可得仿真单边功率谱密度N0的高斯随机变量的方差为，

Nf510 =0s222ESN010fs

式中T=1时的fs=样值数目／脉冲（nsamp）。检测器输入端的序列r[n]为

rnxnsigmarandn(1,Nbitsnsamp)

5nsamp10^0.1EsN0 其中 sigmasqrt3 显示EbN0=16dB时的接收序列r[n]。

d.序列r[n]经积分与清除滤波器处理。显示出输出波形y[n]。 【程序代码段】

e．用门限比较器对序列y[n]采样和检测。 【程序代码段】

e. 恢复4PAM极性波形xhat【n】且显示出来。 【电子版代码段】

10.22在Es／N0值为6～16dB的AWGN信道上仿真4PAM信号的差错率性能。

a.产生长为Nsymbols=20,000的随机序列和4PAM脉冲序列。利用nsamp=16样值／脉冲。 b.给定Es／N0值时，按照习题10.21（c）的介绍将AWGN加到发送序列x[n]后，产生接收序列r[n]。

c.序列r[n]经积分与清除滤波器处理。然后用门限比较器采样和检测。仿真的符号差错概率ser用下面的代码段计算

【电子版代码段】

用式（10.176）计算符号差错概率Pe的理论值，并在给定Es／N0值时在同一个图中与仿真值比较。