一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请将答案选项填在题中括号内. 1．下列二次根式中属于最简二次根式的是（ ） A．
B．
C．
D．
2．把一个边长为1的正方形如图所示放在数轴上，以正方形的对角线为半径画弧交数轴于点A，则点A对应的数是（ ）
A．1
3．下列二次根式中，与A．
B．
C．
D．2
是同类二次根式的是（ ） B．
C．
D．
4．满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的是（ ） A．a：b：c＝3：4：5 C．∠C＝∠A﹣∠B
5．平行四边形具有的特征是（ ） A．四边相等 C．对角线互相平分
6．下列变形中，正确的是（ ） A．（2C．
）2＝2×3＝6 ＝
B．D．
＝﹣
＝
B．对角线相等 D．四个角都是直角
B．∠A：∠B：∠C＝9：12：15 D．b2﹣a2＝c2
7．AC长为半径作圆弧交边AB于点D．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以点A为圆心，若 AC＝3，BC＝4．则BD的长是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
8．如图，字母B所代表的正方形的面积是（ ）
A．12 cm2 B．15 cm2 C．144 cm2 D．306 cm2
9．若矩形的一条角平分线分一边为3cm和5cm两部分，则矩形的周长为（ ） A．22
B．26
C．22或26
D．28
10．如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分为四边形ABCD，若测得A，C之间的距离为6cm，点B，D之间的距离为8cm，则线段AB的长为（ ）
A．5 cm B．4.8 cm C．4.6 cm
+
D．4 cm 化简后为（ ）
11．实数a在数轴上的位置如图所示，则
A．7
B．﹣7
C．2a﹣15 D．无法确定
12．如图，在长方形ABCD中无重叠放入面积分别为16cm2和12cm2的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为（ ）cm2．
A．16﹣8 B．﹣12+8 C．8﹣4 D．4﹣2
二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分.把答案填直接填在题中横线上. 13．二次根式
有意义，则实数x的取值范围是 ．
14．若一个直角三角形两边的长分别为6和8，则第三边的长为 ．
15．在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝4，则斜边AB上的中线长是 ． 16．把二次根式
化成最简二次根式，则
＝ ．
17．如图，△ABC中，BD平分∠ABC，且AD⊥BD，E为AC的中点，AD＝6cm，BD＝8cm，BC＝16cm，则DE的长为 cm．
18．由四个全等的直角三角形拼成如图所示的“赵爽弦图”，若直角三角形斜边长为2，最短的边长为1，则图中阴影部分的面积为 ．
三、解答题：本大题共5小题，共66分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程. 19．（8分）计算：
×（2﹣
）﹣
÷
+
．
20．（8分）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫格点． （1）在图①中，以格点为端点，画线段MN＝
；
（2）在图②中，以格点为顶点，画正方形ABCD，使它的面积为10．
21．如图所示，在▱ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F，求证：BE＝DF．
22．已知：如图，四边形ABCD中，AB⊥BC，AB＝1，BC＝2，CD＝2，AD＝3，求四边形ABCD
的面积．
23．如图，在▱ABCD中AB＝6，BC＝8，AC＝10． （1）求证：四边形ABCD是矩形； （2）求BD的长．
2017-2018学年天津市宝坻区八年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请将答案选项填在题中括号内. 1．下列二次根式中属于最简二次根式的是（ ） A．
B．
C．
D．
【分析】判断一个二次根式是否为最简二次根式主要方法是根据最简二次根式的定义进行，或直观地观察被开方数的每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2，且被开方数中不含有分母，被开方数是多项式时要先因式分解后再观察． 【解答】解：A、误； B、C、D、
＝
＝4
，二次根式的被开方数中含有没开的尽方的数，故B选项错误； ＝
，二次根式的被开方数中含有没开的尽方的数，故A选项错
符合最简二次根式的定义，故C选项正确； 的被开方数中含有分母，故D选项错误；
故选：C．
【点评】本题考查了最简二次根式的定义．在判断最简二次根式的过程中要注意： （1）在二次根式的被开方数中，只要含有分数或小数，就不是最简二次根式；
（2）在二次根式的被开方数中的每一个因式（或因数），如果幂的指数大于或等于2，也不是最简二次根式．
2．把一个边长为1的正方形如图所示放在数轴上，以正方形的对角线为半径画弧交数轴于点A，则点A对应的数是（ ）
A．1 B． C． D．2
【分析】根据勾股定理求出OA的长，根据实数与数轴的知识解答． 【解答】解：
＝
，
∴OA＝，
，
则点A对应的数是故选：B．
【点评】本题考查的是勾股定理的应用，掌握任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解题的关键． 3．下列二次根式中，与A．
是同类二次根式的是（ ） B．
C．
D．
【分析】先把各选项中的二次根式化简，然后根据同类二次根式的定义进行判断． 【解答】解：所以
与
＝2，
＝2
，
＝2
，
＝3
，
是同类二次根式．
故选：B．
【点评】本题考查了同类二次根式：一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式． 4．满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的是（ ） A．a：b：c＝3：4：5 C．∠C＝∠A﹣∠B
B．∠A：∠B：∠C＝9：12：15 D．b2﹣a2＝c2
【分析】依据勾股定理的逆定理，三角形内角和定理以及直角三角形的性质，即可得到结论． 【解答】解：A、由a：b：c＝3：4：5得c2＝a2+b2符合勾股定理的逆定理，故是直角三角形； B、由∠A：∠B：∠C＝9：12：15，及∠A+∠B+∠C＝180°得∠C＝75°≠90°，故不是直角三角形；
C、由三角形三个角度数和是180°及∠C＝∠A﹣∠B解得∠A＝90°，故是直角三角形． D、由b2﹣a2＝c2得b2＝a2+c2符合勾股定理的逆定理，故是直角三角形； 故选：B．
【点评】本题考查了直角三角形的判定及勾股定理的逆定理，掌握直角三角形的判定及勾股定理的逆定理是解题的关键．
5．平行四边形具有的特征是（ ） A．四边相等 C．对角线互相平分
【分析】根据平行四边形的性质即可判断． 【解答】解：平行四边形的对角线互相平分．
B．对角线相等 D．四个角都是直角
故选：C．
【点评】本题考查平行四边形的性质：平行四边形的对边平行且相等；平行四边形的对角相等；平行四边形的对角线互相平分．解题的关键是记住平行四边形的性质，属于中考常考题型． 6．下列变形中，正确的是（ ） A．（2C．
）2＝2×3＝6 ＝
B．D．
＝﹣
＝
【分析】根据二次根式的性质，可得答案． 【解答】解；A、（2B、C、D、故选：D．
【点评】本题考查了二次根式性质与化简，利用了二次根式的性质．
7．AC长为半径作圆弧交边AB于点D．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以点A为圆心，若 AC＝3，BC＝4．则BD的长是（ ）
）2＝12，故A错误；
＝，故B错误；
＝5，故C错误； ＝
，故D正确；
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】首先利用勾股定理可以算出AB的长，再根据题意可得到AD＝AC，根据BD＝AB﹣AD即可算出答案．
【解答】解：∵AC＝3，BC＝4， ∴AB＝
＝
＝5，
∵以点A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点D， ∴AD＝AC， ∴AD＝3，
∴BD＝AB﹣AD＝5﹣3＝2． 故选：A．
【点评】此题主要考查了勾股定理，关键是熟练掌握勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方． 8．如图，字母B所代表的正方形的面积是（ ）
A．12 cm2 B．15 cm2 C．144 cm2 D．306 cm2
【分析】如图，利用勾股定理得到a2+b2＝c2，再根据正方形的面积公式得到a2＝81，c2＝225，则可计算出b2＝144，从而得到字母B所代表的正方形的面积． 【解答】解：如图，∵a2+b2＝c2， 而a2＝81，c2＝225， ∴b2＝225﹣81＝144，
∴字母B所代表的正方形的面积为144cm2． 故选：C．
【点评】本题考查了勾股定理：会利用勾股定理进行几何计算．
9．若矩形的一条角平分线分一边为3cm和5cm两部分，则矩形的周长为（ ） A．22
B．26
C．22或26
D．28
【分析】根据AD∥BC，理解平行线的性质，以及角平分线的定义，即可证得∠ABE＝∠AEB，利用等边对等角可以证得AB＝AE，然后分AE＝3cm，DE＝5cm和AE＝5cm，DE＝3cm两种情况即可求得矩形的边长，从而求解． 【解答】解：∵AD∥BC， ∴∠AEB＝∠EBC
又∵BE平分∠ABC，即∠ABE＝∠EBC，
∴∠ABE＝∠AEB， ∴AB＝AE．
当AE＝3cm，DE＝5cm时，AD＝BC＝8cm，AB＝CD＝AE＝3cm． ∴矩形ABCD的周长是：2×8+2×3＝22cm；
当AE＝3cm，DE＝2cm时，AD＝BC＝8cm，AB＝CD＝AE＝5cm， ∴矩形ABCD的周长是：2×8+2×5＝26cm． 故矩形的周长是：22cm或26cm． 故选：C．
【点评】此题考查了矩形的性质以及等腰三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用．
10．如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分为四边形ABCD，若测得A，C之间的距离为6cm，点B，D之间的距离为8cm，则线段AB的长为（ ）
A．5 cm B．4.8 cm C．4.6 cm D．4 cm
【分析】作AR⊥BC于R，AS⊥CD于S，根据题意先证出四边形ABCD是平行四边形，再由AR＝AS得平行四边形ABCD是菱形，再根据根据勾股定理求出AB即可． 【解答】解：
如图，作AR⊥BC于R，AS⊥CD于S，连接AC，BD交于点O， 由题意知，AD∥BC，AB∥CD， ∴四边形ABCD是平行四边形． ∵两张纸条等宽， ∴AR＝AS． ∵AR•BC＝AS•CD， ∴BC＝CD，
∴平行四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD．
在Rt△AOB中，OA＝3，OB＝4， ∴AB＝故选：A．
【点评】本题主要考查菱形的判定和性质，证得四边形ABCD是菱形是解题的关键． 11．实数a在数轴上的位置如图所示，则
A．7
B．﹣7
C．2a﹣15
D．无法确定
+
化简后为（ ）
＝5．
【分析】根据二次根式的性质，可得答案． 【解答】解：由数轴上点的位置，得 4＜a＜8．
+
故选：A．
【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，利用二次根式的性质化简是解题关键．
12．如图，在长方形ABCD中无重叠放入面积分别为16cm2和12cm2的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为（ ）cm2．
＝a﹣3+10﹣a＝7，
A．16﹣8 B．﹣12+8 C．8﹣4 D．4﹣2
【分析】根据正方形的面积求出两个正方形的边长，从而求出AB、BC，再根据空白部分的面积等于长方形的面积减去两个正方形的面积列式计算即可得解． 【解答】解：∵两张正方形纸片的面积分别为16cm2和12cm2， ∴它们的边长分别为
＝2
cm，
+4）cm，
+4）×4﹣12﹣16， ＝4cm，
∴AB＝4cm，BC＝（2∴空白部分的面积＝（2
＝8+16﹣12﹣16，
）cm2．
＝（﹣12+8故选：B．
【点评】本题考查了二次根式的应用，算术平方根的定义，解题的关键在于根据正方形的面积求出两个正方形的边长．
二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分.把答案填直接填在题中横线上. 13．二次根式
有意义，则实数x的取值范围是 x≤﹣2或x≥2 ．
【分析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解． 【解答】解：由题意得，x2﹣4≥0， 解得x≤﹣2或x≥2． 故答案是：x≤﹣2或x≥2．
【点评】本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数． 14．若一个直角三角形两边的长分别为6和8，则第三边的长为 10或2
．
【分析】由于直角三角形的斜边不能确定，故分b是斜边与直角边两种情况进行解答． 【解答】解：分情况讨论：
①当6和8为两条直角边时，由勾股定理得第三边长为：②当8为斜边，6为直角边时，由勾股定理地第三边长为：故答案为：10或2
．
＝10； ＝2
；
【点评】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．
15．在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝4，则斜边AB上的中线长是 4 ．
【分析】作出图形，然后根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得AB＝2BC，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答． 【解答】解：如图，作斜边AB上的中线CD． ∵∠ACB＝90°，∠A＝30°， ∴AB＝2BC＝2×4＝8， ∵CD是斜边上的中线， ∴CD＝AB＝4．
故答案为：4．
【点评】本题考查了直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，熟记性质是解题的关键，作出图形更形象直观． 16．把二次根式
化成最简二次根式，则
＝
．
【分析】根据二次根式的性质把根号内的因式开出来即可． 【解答】解：故答案为：
＝．
＝
，
【点评】本题考查了最简二次根式和二次根式的性质，能正确根据二次根式的性质进行变形是解此题的关键．
17．如图，△ABC中，BD平分∠ABC，且AD⊥BD，E为AC的中点，AD＝6cm，BD＝8cm，BC＝16cm，则DE的长为 3 cm．
【分析】延长AD交BC于F，利用“角边角”证明△BDF和△BDA全等，根据全等三角形对应边相等可得DF＝AD，FB＝AB＝10cm，再求出CF并判断出DE是△ACF的中位线，然后根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得DE＝CF． 【解答】解：如图，延长AD交BC于F， ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠FBD， ∵AD⊥BD，
∴∠BDA＝∠BDF＝90°，AB＝
＝
＝10（cm），
在△BDF和△BDA中，，
∴△BDF≌△BDA（ASA）， ∴DF＝AD，FB＝AB＝10cm， ∴CF＝BC﹣FB＝16﹣10＝6cm， 又∵点E为AC的中点， ∴DE是△ACF的中位线， ∴DE＝CF＝3cm． 故答案为：3．
【点评】本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，全等三角形的判定与性质，熟记性质并作出辅助线构造成全等三角形是解题的关键．
18．由四个全等的直角三角形拼成如图所示的“赵爽弦图”，若直角三角形斜边长为2，最短的边长为1，则图中阴影部分的面积为 4﹣2
．
【分析】由题意可知阴影部分的面积＝大正方形的面积﹣4个小直角三角形的面积，代入数值计算即可．
【解答】解：∵直角三角形斜边长为2，最短的之边长为1， ∴该直角三角形的另外一条直角边长为∴S阴影＝22﹣4××1×故答案是：4﹣2
．
＝4﹣2
．
，
【点评】本题考查利用图形面积的关系证明勾股定理，解题关键是利用三角形和正方形边长的关系进行组合图形．
三、解答题：本大题共5小题，共66分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程. 19．（8分）计算：
×（2﹣
）﹣
÷
+
．
【分析】先化简各二次根式，再根据混合运算顺序依次计算可得．
【解答】解：原式＝3＝6＝5
﹣﹣
﹣ +
×（2﹣）﹣+
【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质和二次根式的混合运算的顺序和法则是解题的关键．
20．（8分）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫格点． （1）在图①中，以格点为端点，画线段MN＝
；
（2）在图②中，以格点为顶点，画正方形ABCD，使它的面积为10．
【分析】（1）以3和2为直角边作出直角三角形，斜边即为所求；
（2）以3和1为直角边作出直角三角形，斜边为正方形的边长，如图②所示． 【解答】解：（1）如图①所示：
（2）如图②所示．
【点评】此题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．
21．如图所示，在▱ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F，求证：BE＝DF．
【分析】利用AAS，易证得△ABE≌△CDF，然后由全等三角形的性质，证得结论． 【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB＝CD， ∴∠ABE＝∠CDF， ∵AE⊥BD，CF⊥BD， ∴∠AEB＝∠CFD＝90°， 在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（AAS）， ∴BE＝DF．
【点评】此题考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质．注意证得△ABE≌△CDF是关键．
22．已知：如图，四边形ABCD中，AB⊥BC，AB＝1，BC＝2，CD＝2，AD＝3，求四边形ABCD的面积．
【分析】连接AC，先根据勾股定理求出AC的长度，再根据勾股定理的逆定理判断出△ACD的形状，再利用三角形的面积公式求解即可． 【解答】解：连接AC．
∵∠ABC＝90°，AB＝1，BC＝2， ∴AC＝
＝
，
在△ACD中，AC2+CD2＝5+4＝9＝AD2， ∴△ACD是直角三角形，
∴S四边形ABCD＝AB•BC+AC•CD， ＝×1×2+×＝1+
．
．
×2，
故四边形ABCD的面积为1+
【点评】本题考查的是勾股定理的逆定理及三角形的面积，能根据勾股定理的逆定理判断出△ACD的形状是解答此题的关键．
23．如图，在▱ABCD中AB＝6，BC＝8，AC＝10． （1）求证：四边形ABCD是矩形； （2）求BD的长．
【分析】（1）由在▱ABCD中，AB＝6，BC＝8，AC＝10，利用勾股定理的逆定理，即可证得∠ABC＝90°，即可判定▱ABCD是矩形；
（2）由四边形ABCD是矩形，根据矩形的对角线相等，即可求得BD的长． 【解答】（1）证明：∵AB＝6，BC＝8，AC＝10， ∴AB2+BC2＝AC2， ∴∠ABC＝90°，
∵四边形ABCD是平行四边形， ∴▱ABCD是矩形；
（2）∵四边形ABCD是矩形， ∴BD＝AC＝10．
【点评】此题考查了矩形的判定与性质以及勾股定理的逆定理．注意利用勾股定理的逆定理证得∠ABC＝90°是关键．
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