数列求和7种方法(方法全例子多)

一、利用常用求和公式求和

利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差数列求和公式：S1an)nn(a2nan(n1)12d 2、等比数列求和公式：Sna1(q1)nna1(1q)a1a1qnq1q(q1)

n3、 S1n1) 4、S21nkn(nnk12kn(n1)(2n1)

k16n5、 Sk3[12nn(n1)]k12 [例1] 已知log13xlog，求xx2x3xn的前n项和. 23解：由log13xlog3logxlog1332x2

2 由等比数列求和公式得 S23nnxxxx 1n(11 ＝x(1x)1x＝

22n)1＝1－12n 12

[例2] 设SSn＝1+2+3+…+n，n∈N*,求f(n)n(n32)S的最大值.

n1 解：由等差数列求和公式得 S1n2n(n1)， S1n2(n1)(n2) ∴ f(n)Sn(n32)S＝n2n64

n1n34 ＝

1＝

11n34648250 n(nn)50 ∴ 当

n88，即n＝8时，f(n)1max50

题1.等比数列的前ｎ项和Sｎ＝2ｎ

－１，则

＝

（利用常用公式） （利用常用公式）

-*

题2．若1+2+…+(n-1)=an+bn+cn，则a= ,b= ,c= .

22232

解： 原式=

答案：

二、错位相减法求和

这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{an· bn}的前n项和，其中{ an }、{ bn }分别是等差数列和等比数列.

23n1[例3] 求和：Sn13x5x7x(2n1)x………………………①

解：由题可知，{(2n1)xn1}的通项是等差数列{2n－1}的通项与等比数列{xn1}的通项之积

234n设xSn1x3x5x7x(2n1)x………………………. ② （设制错位） 234n1n①－②得 (1x)Sn12x2x2x2x2x(2n1)x （错位相减）

1xn1(2n1)xn 再利用等比数列的求和公式得：(1x)Sn12x1x(2n1)xn1(2n1)xn(1x) ∴ Sn 2(1x)[例4] 求数列

2462n,2,3,,n,前n项的和. 22222n1解：由题可知，{n}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{n}的通项之积

222462n设Sn23n…………………………………①

222212462nSn234n1………………………………② （设制错位） 222221222222n①－②得(1)Sn234nn1 （错位相减）

222222212n 2n1n1

22n2 ∴ Sn4n1

2，求数列｛an｝的前n项和Sn.

练习题1 已知 答案：

练习题2 的前n项和为____

-*

答案：

三、反序相加法求和

这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个(a1an).

012nn[例5] 求证：Cn3Cn5Cn(2n1)Cn(n1)2

012n证明： 设SnCn3Cn5Cn(2n1)Cn………………………….. ①

把①式右边倒转过来得

nn110Sn(2n1)Cn(2n1)Cn3CnCn （反序）

mnm 又由CnCn可得

01n1n Sn(2n1)Cn(2n1)Cn3CnCn…………..…….. ②

01n1nn ①+②得 2Sn(2n2)(CnCnCnCn)2(n1)2 （反序相加） n ∴ Sn(n1)2

[例6] 求sin1sin2sin3sin88sin89的值

解：设Ssin1sin2sin3sin88sin89…………. ①

将①式右边反序得

Ssin89sin88sin3sin2sin1…………..② （反序） 又因为 sinxcos(90x),sinxcosx1

①+②得 （反序相加）

222222222222222222S(sin21cos21)(sin22cos22)(sin289cos289)＝89

∴ S＝44.5

题1 已知函数（1）证明：

；

（2）求的值.

解：（1）先利用指数的相关性质对函数化简，后证明左边=右边

-*

（2）利用第（1）小题已经证明的结论可知，

两式相加得：

所以

.

练习、求值：

四、分组法求和

有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可. [例7] 求数列的前n项和：11,1114,27,,n13n2，… aaa111解：设Sn(11)(4)(27)(n13n2)

aaa将其每一项拆开再重新组合得

Sn(11112n1)(1473n2) （分组） aaa(3n1)n(3n1)n当a＝1时，Snn＝ （分组求和）

2211n(3n1)naa1n(3n1)na当a1时，Sn＝ 1a1221a[例8] 求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n项和.

32解：设akk(k1)(2k1)2k3kk

∴ Snk(k1)(2k1)＝(2kk1k1nn33k2k)

将其每一项拆开再重新组合得

Sn＝2k1nk3kk （分组）

32k1k1nn-*

＝2(12n)3(12n)(12n)

333222n2(n1)2n(n1)(2n1)n(n1) ＝ （分组求和） 222n(n1)2(n2) ＝

2

五、裂项法求和

这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如：

sin1tan(n1)tann（1）anf(n1)f(n) （2） cosncos(n1)(2n)21111111() （3）an （4）an(2n1)(2n1)22n12n1n(n1)nn1（5）an1111[]

n(n1)(n2)2n(n1)(n1)(n2)n212(n1)n1111nn,则S1 nn(n1)2n(n1)2n2n1(n1)2n(n1)2n(6) an（7）an1111()

(AnB)(AnC)CBAnBAnC1nn1n1n

（8）an

[例9] 求数列

112,1231,,1nn1,的前n项和.

解：设annn11n1n （裂项）

1nn1则 Sn12312 （裂项求和）

＝(21)(32)(n1n) ＝n11

-*

[例10] 在数列{an}中，an解： ∵ an212n，又bn，求数列{bn}的前n项的和. anan1n1n1n112nn n1n1n12211 ∴ bn8() （裂项）

nn1nn122∴ 数列{bn}的前n项和

1111223318n ＝8(1 ) ＝

n1n1 Sn8[(1)()()(1411)] （裂项求和） nn1111cos1[例11] 求证： 2cos0cos1cos1cos2cos88cos89sin1解：设S111 cos0cos1cos1cos2cos88cos89sin1tan(n1)tann∵ （裂项） cosncos(n1)111 （裂项求和） cos0cos1cos1cos2cos88cos891 ＝{(tan1tan0)(tan2tan1)(tan3tan2)[tan89tan88]} sin1 ∴Scos111 ＝(tan89tan0)＝cot1＝2

sin1sin1sin1 ∴ 原等式成立

练习题1.

答案：

.

练习题2。 =

答案：

六、分段求和法（合并法求和）

针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这

-*

些项放在一起先求和，然后再求Sn.

[例12] 求cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179°的值.

解：设Sn＝ cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179°

∵ cosncos(180n) （找特殊性质项）

∴Sn＝ （cos1°+ cos179°）+（ cos2°+ cos178°）+ （cos3°+ cos177°）+···

+（cos89°+ cos91°）+ cos90° （合并求和）

＝ 0

[例13] 数列{an}：a11,a23,a32,an2an1an，求S2002.

解：设S2002＝a1a2a3a2002

由a11,a23,a32,an2an1an可得

a41,a53,a62,

a71,a83,a92,a101,a113,a122,

……

a6k11,a6k23,a6k32,a6k41,a6k53,a6k62

∵ a6k1a6k2a6k3a6k4a6k5a6k60 （找特殊性质项） ∴ S2002＝a1a2a3a2002 （合并求和） ＝(a1a2a3a6)(a7a8a12)(a6k1a6k2a6k6)

(a1993a1994a1998)a1999a2000a2001a2002

＝a1999a2000a2001a2002 ＝a6k1a6k2a6k3a6k4 ＝5

[例14] 在各项均为正数的等比数列中，若a5a69,求log3a1log3a2log3a10的值.

解：设Snlog3a1log3a2log3a10

由等比数列的性质 mnpqamanapaq （找特殊性质项） 和对数的运算性质 logaMlogaNlogaMN 得

Sn(log3a1log3a10)(log3a2log3a9)(log3a5log3a6) （合并求和）

＝(log3a1a10)(log3a2a9)(log3a5a6)

-*

＝log39log39log39 ＝10

练习、求和：练习题1 设 答案：2

.

n-1

，则

＝___

练习题2 ．若Sn=1-2+3-4+…+(-1)·n，则S17+S33＋Ｓ50等于 ( ) A.1 B.-1 C.0 D .2

解：对前n项和要分奇偶分别解决，即： Sn=

2

2

2

2

2

2

答案：A

练习题 3 100-99+98-97+…+2-1的值是

A.5000 B.5050 C.10100 D.20200 解：并项求和，每两项合并，原式=(100+99)+(98+97)+…+(2+1)=5050.答案：B

七、利用数列的通项求和

先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前n项和，是一个重要的方法.

[例15] 求1111111111之和. n个1解：由于1111k个1119999(10k1) （找通项及特征） 99k个1n个1∴ 1111111111 ＝

11111(101)(1021)(1031)(10n1) （分组求和） 9999111(1010210310n)(1111) 99n个1＝

110(10n1)n ＝91019-*

＝

1(10n1109n) 818,求(n1)(anan1)的值. [例16] 已知数列{an}：an(n1)(n3)n1解：∵ (n1)(anan1)8(n1)[11] （找通项及特征）

(n1)(n3)(n2)(n4) ＝8[11] （设制分组）

(n2)(n4)(n3)(n4) ＝4(1111)8() （裂项）

n2n4n3n41111)8() （分组、裂项求和） ∴ (n1)(anan1)4(n2n4n3n4n1n1n1 ＝4( ＝

1311)8 4413 3提高练习：

1．已知数列an中，Sn是其前n项和，并且Sn14an2(n1,2,L),a11，

⑴设数列bnan12an(n1,2,)，求证：数列bn是等比数列； ⑵设数列cnan,(n1,2,)，求证：数列cn是等差数列； n2

22．设二次方程anx-an+1x+1=0(n∈N)有两根α和β，且满足6α-2αβ+6β=3．

(1)试用an表示an1；

*3．数列an中，a18,a42且满足an22an1an nN

⑴求数列an的通项公式；

-*

⑵设Sn|a1||a2||an|，求Sn；

说明：本资料适用于高三总复习，也适用于高一“数列”一章的学习。